ฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันลอการิทึม (Logarithmic Function) ถูกสร้างขึ้นมาเพื่อแก้ปัญหาในการหาค่าของเลขชี้กำลัง ถือเป็นส่วนกลับที่สมบูรณ์แบบของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล การเข้าใจกลไกของลอการิทึมจะช่วยให้เราแก้สมการที่ตัวแปรลอยอยู่บนอากาศ (เลขชี้กำลัง) ได้อย่างง่ายดาย

The Logarithmic Function was created to solve problems involving unknown exponents. It is the perfect counterpart to the exponential function. Understanding logarithmic mechanics allows us to easily solve equations where variables are in the exponent.

🔄 แนวคิดของฟังก์ชันผกผัน 🔄 Concept of Inverse Function

ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม คือการเป็น ฟังก์ชันผกผัน (Inverse Function) ซึ่งกันและกัน กล่าวคือ หากเราสลับที่ตัวแปร $x$ และ $y$ ในสมการเอกซ์โพเนนเชียล เราจะได้สมการลอการิทึม

$$ y = a^x \xrightarrow{\text{สลับ } x, y} x = a^y \xrightarrow{\text{เขียนรูปใหม่}} y = \log_a x $$

The relationship between exponential and logarithmic functions is that they are Inverse Functions of each other. This means if we swap the variables $x$ and $y$ in an exponential equation, we obtain a logarithmic equation.

$$ y = a^x \xrightarrow{\text{Swap } x, y} x = a^y \xrightarrow{\text{Rewrite}} y = \log_a x $$

📖 นิยามและการปรับรูปฟังก์ชัน 📖 Definition and Equation Conversion

รูปแบบของฟังก์ชัน (Set Definition):

$$ f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R} \mid y = \log_a x, \, a > 0 \text{ และ } a \neq 1\} $$

หัวใจสำคัญ (The Golden Rule): การแปลงสมการไปมาซ้ายขวา คือกุญแจสำคัญในการแก้โจทย์ลอการิทึมแทบทุกข้อ

$$ y = \log_a x \iff x = a^y $$

จำง่ายๆ: "ดันฐานล็อกไปเป็นฐานเลขยกกำลัง"

Set Definition:

$$ f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R} \mid y = \log_a x, \, a > 0 \text{ and } a \neq 1\} $$

The Golden Rule: Converting back and forth between these two forms is the key to solving almost all logarithmic problems.

$$ y = \log_a x \iff x = a^y $$

Memory trick: "Push the log base to become the exponential base."

Example 2.1

จงเขียนสมการ $2^4 = 16$ ให้อยู่ในรูปลอการิทึม

$$ \begin{aligned} \text{จาก } x &= a^y \iff y = \log_a x \\ 16 &= 2^4 \iff 4 = \log_2 16 \end{aligned} $$

Write the equation $2^4 = 16$ in logarithmic form.

$$ \begin{aligned} \text{From } x &= a^y \iff y = \log_a x \\ 16 &= 2^4 \iff 4 = \log_2 16 \end{aligned} $$

Example 2.2

จงเขียนสมการ $\log_5 125 = 3$ ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง

$$ \begin{aligned} \text{จาก } y &= \log_a x \iff x = a^y \\ 3 &= \log_5 125 \iff 125 = 5^3 \end{aligned} $$

Write the equation $\log_5 125 = 3$ in exponential form.

$$ \begin{aligned} \text{From } y &= \log_a x \iff x = a^y \\ 3 &= \log_5 125 \iff 125 = 5^3 \end{aligned} $$

Example 2.3

จงหาค่าของ $\log_3 81$

สมมติให้ก้อนล็อกเท่ากับตัวแปร แล้วดันฐาน

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } \log_3 81 &= y \\ 81 &= 3^y \\ 3^4 &= 3^y \\ y &= 4 \end{aligned} $$

ดังนั้น $\log_3 81 = 4$

Evaluate $\log_3 81$

Set the log equal to a variable, then rewrite.

$$ \begin{aligned} \text{Let } \log_3 81 &= y \\ 81 &= 3^y \\ 3^4 &= 3^y \\ y &= 4 \end{aligned} $$

Therefore, $\log_3 81 = 4$

Example 2.4

จงหาค่าของ $\log_4 \left(\frac{1}{64}\right)$

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } \log_4 \left(\frac{1}{64}\right) &= x \\ \frac{1}{64} &= 4^x \\ \frac{1}{4^3} &= 4^x \\ 4^{-3} &= 4^x \\ x &= -3 \end{aligned} $$

ดังนั้น $\log_4 \left(\frac{1}{64}\right) = -3$

Evaluate $\log_4 \left(\frac{1}{64}\right)$

$$ \begin{aligned} \text{Let } \log_4 \left(\frac{1}{64}\right) &= x \\ \frac{1}{64} &= 4^x \\ \frac{1}{4^3} &= 4^x \\ 4^{-3} &= 4^x \\ x &= -3 \end{aligned} $$

Therefore, $\log_4 \left(\frac{1}{64}\right) = -3$

Example 2.5

จงแก้สมการหาค่า $x$ จาก $\log_x 64 = 3$

$$ \begin{aligned} \log_x 64 &= 3 \\ 64 &= x^3 \quad \text{(ดันฐาน } x \text{ ไปฝั่งขวา)} \\ 4^3 &= x^3 \\ x &= 4 \end{aligned} $$

Solve for $x$ in $\log_x 64 = 3$

$$ \begin{aligned} \log_x 64 &= 3 \\ 64 &= x^3 \quad \text{(Push base } x \text{ to the right)} \\ 4^3 &= x^3 \\ x &= 4 \end{aligned} $$

Example 2.6

จงแก้สมการหาค่า $x$ จาก $\displaystyle \log_{16} x = \frac{3}{4}$

$$ \begin{aligned} \log_{16} x &= \frac{3}{4} \\ x &= 16^{\frac{3}{4}} \\ x &= (\sqrt[4]{16})^3 \\ x &= (2)^3 \\ x &= 8 \end{aligned} $$

Solve for $x$ in $\displaystyle \log_{16} x = \frac{3}{4}$

$$ \begin{aligned} \log_{16} x &= \frac{3}{4} \\ x &= 16^{\frac{3}{4}} \\ x &= (\sqrt[4]{16})^3 \\ x &= (2)^3 \\ x &= 8 \end{aligned} $$

🎯 โดเมนและเรนจ์ 🎯 Domain and Range

ข้อจำกัดที่สำคัญที่สุดของฟังก์ชันลอการิทึม $y = \log_a x$ คือ "หลังล็อกต้องเป็นบวกเสมอ และฐานต้องเป็นบวกที่ไม่ใช่ 1"

โดเมน (Domain, $D_f$): $x \in \mathbb{R}^+$ หรือ อาร์กิวเมนต์ $x > 0$ เสมอ
เรนจ์ (Range, $R_f$): $y \in \mathbb{R}$ (ผลลัพธ์ของการถอดล็อกเป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ได้ เป็นบวก ลบ หรือศูนย์ก็ได้)
เงื่อนไขของฐาน (Base): $a > 0$ และ $a \neq 1$

The most critical restriction of the logarithmic function $y = \log_a x$ is: "The argument must be strictly positive, and the base must be positive and not 1."

Domain ($D_f$): $x \in \mathbb{R}^+$ or Argument $x > 0$ always.
Range ($R_f$): $y \in \mathbb{R}$ (The result of a log can be any real number: positive, negative, or zero).
Base Conditions: $a > 0$ and $a \neq 1$.

Example 3.1

จงหาโดเมนของฟังก์ชัน $y = \log_3 (x - 4)$

พิจารณาเงื่อนไขหลังล็อกต้องมากกว่าศูนย์

$$ \begin{aligned} x - 4 &> 0 \\ x &> 4 \end{aligned} $$

ดังนั้น $D_f = (4, \infty)$

Find the domain of $y = \log_3 (x - 4)$

Consider the condition that the argument must be greater than zero.

$$ \begin{aligned} x - 4 &> 0 \\ x &> 4 \end{aligned} $$

Therefore, $D_f = (4, \infty)$

Example 3.2

จงหาโดเมนของฟังก์ชัน $y = \log_5 (10 - 2x)$

$$ \begin{aligned} 10 - 2x &> 0 \\ -2x &> -10 \\ x &< 5 \quad \text{(กลับเครื่องหมายเมื่อหารด้วยลบ)} \end{aligned} $$

ดังนั้น $D_f = (-\infty, 5)$

Find the domain of $y = \log_5 (10 - 2x)$

$$ \begin{aligned} 10 - 2x &> 0 \\ -2x &> -10 \\ x &< 5 \quad \text{(Flip inequality sign when dividing by negative)} \end{aligned} $$

Therefore, $D_f = (-\infty, 5)$

Example 3.3

จงหาโดเมนของฟังก์ชัน $y = \log_2 (x^2 - 16)$

แก้อสมการพหุนามดีกรีสอง

$$ \begin{aligned} x^2 - 16 &> 0 \\ (x - 4)(x + 4) &> 0 \end{aligned} $$

เขียนเส้นจำนวนจะได้ช่วงบวกคือ $x < -4$ หรือ $x> 4$

ดังนั้น $D_f = (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$

Find the domain of $y = \log_2 (x^2 - 16)$

Solve the quadratic inequality.

$$ \begin{aligned} x^2 - 16 &> 0 \\ (x - 4)(x + 4) &> 0 \end{aligned} $$

Using a number line, the positive intervals are $x < -4$ or $x> 4$.

Therefore, $D_f = (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$

Example 3.4

จงหาโดเมนของฟังก์ชัน $y = \log_{x-2} (10)$

ข้อนี้ตัวแปรอยู่ที่ "ฐาน" ต้องใช้เงื่อนไขของฐาน: $a > 0$ และ $a \neq 1$

$$ \begin{aligned} \text{เงื่อนไขที่ 1: } x - 2 &> 0 \implies x > 2 \\ \text{เงื่อนไขที่ 2: } x - 2 &\neq 1 \implies x \neq 3 \end{aligned} $$

นำทั้งสองเงื่อนไขมาอินเตอร์เซกชัน (Intersection) กัน

ดังนั้น $D_f = (2, 3) \cup (3, \infty)$

Find the domain of $y = \log_{x-2} (10)$

Here, the variable is in the "base". Apply base conditions: $a > 0$ and $a \neq 1$.

$$ \begin{aligned} \text{Condition 1: } x - 2 &> 0 \implies x > 2 \\ \text{Condition 2: } x - 2 &\neq 1 \implies x \neq 3 \end{aligned} $$

Take the intersection of both conditions.

Therefore, $D_f = (2, 3) \cup (3, \infty)$

Example 3.5

จงหาโดเมนของฟังก์ชัน $\displaystyle y = \log_7 \left(\frac{x+1}{x-3}\right)$

$$ \begin{aligned} \frac{x+1}{x-3} &> 0 \end{aligned} $$

หาค่าวิกฤตคือ $x = -1$ และ $x = 3$ เขียนเส้นจำนวนจะได้ช่วงบวก

ดังนั้น $D_f = (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$

Find the domain of $\displaystyle y = \log_7 \left(\frac{x+1}{x-3}\right)$

$$ \begin{aligned} \frac{x+1}{x-3} &> 0 \end{aligned} $$

Critical points are $x = -1$ and $x = 3$. Using a number line to find positive intervals.

Therefore, $D_f = (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Logarithm	logos (proportion/ratio) + arithmos (number)	ลอการิทึม · ฟังก์ชันที่บอกจำนวนครั้งของฐานที่ต้องคูณกันเพื่อให้ได้ค่าที่ต้องการ
Inverse Function	in- (in/toward) + vertere (to turn)	ฟังก์ชันผกผัน · ฟังก์ชันที่ทำหน้าที่ "ย้อนกลับ" กระบวนการของฟังก์ชันเดิม (สลับโดเมนและเรนจ์)
Argument	arguere (to make clear)	อาร์กิวเมนต์ · ค่าที่อยู่ด้านหลังเครื่องหมายล็อก (เช่น x ใน $\log_a x$) ซึ่งต้องมีค่าเป็นบวกเสมอ
Base	basis (foundation)	ฐาน · ตัวเลขตัวห้อยของล็อก (a) ซึ่งเป็นฐานเดียวกับสมการเอกซ์โพเนนเชียล
Domain	dominium (property/right)	โดเมน · เซตของค่า x ทั้งหมดที่เป็นไปได้ที่ทำให้ฟังก์ชันหาค่าได้
Range	rangen (to arrange/row)	เรนจ์ · เซตของผลลัพธ์ y ทั้งหมดที่เป็นไปได้จากฟังก์ชัน