ในการศึกษาวิชาตรรกศาสตร์ บางครั้งเราจะพบประพจน์ที่เขียนในรูปแบบต่างกัน แต่เมื่อสร้างตารางค่าความจริงแล้วกลับพบว่า มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี เราจะเรียกประพจน์สองรูปแบบนั้นว่า "ประพจน์ที่สมมูลกัน" (Equivalent Propositions) ซึ่งใช้สัญลักษณ์ $\equiv$ แทนคำว่าสมมูล
In logic, we sometimes encounter propositions written differently but yielding the exact same truth values in all possible cases when evaluating a truth table. We call these "Logically Equivalent" propositions, denoted by the symbol $\equiv$.
ประพจน์ที่สมมูลกัน Logical Equivalence
นิยาม: ประพจน์รูปแบบ $A$ และรูปแบบ $B$ สมมูลกัน เขียนแทนด้วย $A \equiv B$ ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงกันกรณีต่อกรณี
Definition: Two statement forms $A$ and $B$ are logically equivalent, written as $A \equiv B$, if and only if they have identical truth values for each corresponding case.
จงตรวจสอบว่า $p \rightarrow q$ สมมูลกับ $\sim q \rightarrow \sim p$ หรือไม่
| $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $p \rightarrow q$ | $\sim q \rightarrow \sim p$ |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | T | T |
| F | F | T | T | T | T |
สรุปได้ว่า $p \rightarrow q \equiv \sim q \rightarrow \sim p$
Verify if $p \rightarrow q$ is logically equivalent to $\sim q \rightarrow \sim p$.
| $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $p \rightarrow q$ | $\sim q \rightarrow \sim p$ |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | T | T |
| F | F | T | T | T | T |
Therefore, $p \rightarrow q \equiv \sim q \rightarrow \sim p$
จงตรวจสอบว่า $\sim(p \vee q)$ สมมูลกับ $\sim p \wedge \sim q$ หรือไม่
| $p$ | $q$ | $p \vee q$ | $\sim(p \vee q)$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $\sim p \wedge \sim q$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F | F |
| T | F | T | F | F | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F |
| F | F | F | T | T | T | T |
สรุปได้ว่า $\sim(p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$
Verify if $\sim(p \vee q)$ is logically equivalent to $\sim p \wedge \sim q$.
| $p$ | $q$ | $p \vee q$ | $\sim(p \vee q)$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $\sim p \wedge \sim q$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F | F |
| T | F | T | F | F | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F |
| F | F | F | T | T | T | T |
Therefore, $\sim(p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$
จงตรวจสอบว่า $\sim(p \rightarrow q)$ สมมูลกับ $p \wedge \sim q$ หรือไม่
| $p$ | $q$ | $p \rightarrow q$ | $\sim(p \rightarrow q)$ | $\sim q$ | $p \wedge \sim q$ |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | F | T | F |
สรุปได้ว่า $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$
Verify if $\sim(p \rightarrow q)$ is logically equivalent to $p \wedge \sim q$.
| $p$ | $q$ | $p \rightarrow q$ | $\sim(p \rightarrow q)$ | $\sim q$ | $p \wedge \sim q$ |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | F | T | F |
Therefore, $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$
จงตรวจสอบว่า $p \leftrightarrow q$ สมมูลกับ $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$ หรือไม่
| $p$ | $q$ | $p \leftrightarrow q$ | $p \rightarrow q$ | $q \rightarrow p$ | $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | F |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
สรุปได้ว่า $p \leftrightarrow q \equiv (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$
Verify if $p \leftrightarrow q$ is logically equivalent to $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$.
| $p$ | $q$ | $p \leftrightarrow q$ | $p \rightarrow q$ | $q \rightarrow p$ | $(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | F |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
Therefore, $p \leftrightarrow q \equiv (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$
จงตรวจสอบว่า $p \rightarrow q$ สมมูลกับ $q \rightarrow p$ หรือไม่
| $p$ | $q$ | $p \rightarrow q$ | $q \rightarrow p$ |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | F | T |
| F | T | T | F |
| F | F | T | T |
สรุปได้ว่า $p \rightarrow q \not\equiv q \rightarrow p$ (มีค่าความจริงไม่ตรงกันในกรณีที่ 2 และ 3)
Verify if $p \rightarrow q$ is logically equivalent to $q \rightarrow p$.
| $p$ | $q$ | $p \rightarrow q$ | $q \rightarrow p$ |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | F | T |
| F | T | T | F |
| F | F | T | T |
Therefore, $p \rightarrow q \not\equiv q \rightarrow p$ (truth values differ in cases 2 and 3)
รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน Standard Equivalence Laws
เพื่อหลีกเลี่ยงการสร้างตารางค่าความจริงที่เสียเวลา นักคณิตศาสตร์ได้สรุป "กฎของตรรกศาสตร์" (Laws of Logic) พื้นฐานที่เราสามารถนำไปใช้อ้างอิงและคำนวณแบบพีชคณิตได้ทันที มีดังต่อไปนี้:
To avoid the tedious process of constructing truth tables, mathematicians have established standard "Laws of Logic". We can use these rules algebraically to simplify expressions:
การกระจายนิเสธ Negation Distribution
หัวข้อนี้มักพบบ่อยในข้อสอบ คือการหา "นิเสธของประพจน์" (ปฏิเสธข้อความเดิม) ซึ่งอาศัย กฎของเดอมอร์แกน (De Morgan's Laws) เป็นหลักในการตีนิเสธเข้าไปในวงเล็บ โดยมีกติกาคือ ต้องเปลี่ยน $\wedge$ เป็น $\vee$ และเปลี่ยน $\vee$ เป็น $\wedge$ เสมอ ส่วนเครื่องหมายลูกศร ($\rightarrow$) ต้องแปลงร่างก่อนกระจาย (มีทั้งหมด 10 ตัวอย่างเพื่อความเชี่ยวชาญ)
A common exam topic is finding the "Negation of a Proposition". This primarily relies on De Morgan's Laws to distribute the negation operator inside parentheses. The golden rule is to flip $\wedge$ to $\vee$ and vice versa. Arrow operators ($\rightarrow$) must be converted first before distribution. (10 mastery examples below).
โจทย์: จงหานิเสธของประพจน์ $p \wedge q$
กระจาย $\sim$ และกลับเครื่องหมายตรงกลาง
Problem: Find the negation of $p \wedge q$
Distribute $\sim$ and flip the middle sign
โจทย์: จงหานิเสธของประพจน์ $\sim p \vee q$
กระจาย $\sim$ และกลับเครื่องหมายตรงกลาง (นิเสธซ้อนกันจะหักล้างกัน)
Problem: Find the negation of $\sim p \vee q$
Distribute $\sim$ and flip the middle sign (Double negation cancels out)
โจทย์: จงหานิเสธของประพจน์ $p \rightarrow q$
* จุดผิดบ่อย: ห้ามกระจายนิเสธเข้าลูกศรตรงๆ เด็ดขาด! ต้องแปลงลูกศรเป็น $\vee$ ก่อน
Problem: Find the negation of $p \rightarrow q$
* Common Mistake: Never distribute negation over an arrow directly! Convert to $\vee$ first.
โจทย์: จงหานิเสธของประพจน์ $p \leftrightarrow q$
Problem: Find the negation of $p \leftrightarrow q$
โจทย์: จงหานิเสธของประพจน์ $\sim p \rightarrow q$
แปลงลูกศร $\sim p \rightarrow q$ กลายเป็น $p \vee q$ ก่อนกระจายนิเสธ
Problem: Find the negation of $\sim p \rightarrow q$
Convert arrow $\sim p \rightarrow q$ to $p \vee q$ before distributing negation
โจทย์: จงหานิเสธของประพจน์ $(p \wedge q) \rightarrow r$
ตามสมบัติ ตัวหน้าจะเหมือนเดิม เปลี่ยนเครื่องหมายเป็น $\wedge$ และหลังติดนิเสธ
Problem: Find the negation of $(p \wedge q) \rightarrow r$
According to the property, the front remains, connect with $\wedge$, and negate the back
โจทย์: จงหานิเสธของประพจน์ $p \rightarrow (q \wedge r)$
แปลงลูกศรวงนอกก่อน แล้วกระจาย $\sim$ เข้าวงเล็บหลัง
Problem: Find the negation of $p \rightarrow (q \wedge r)$
Convert outer arrow first, then distribute $\sim$ into back bracket
โจทย์: จงหานิเสธของประพจน์ $(p \vee \sim q) \wedge r$
กระจาย $\sim$ เข้าวงเล็บใหญ่ จากนั้นกระจาย $\sim$ ซ้อนเข้าวงเล็บย่อย
Problem: Find the negation of $(p \vee \sim q) \wedge r$
Distribute $\sim$ to main groups, then distribute $\sim$ to inner bracket
โจทย์: ประพจน์ $\sim(p \rightarrow \sim q)$ สมมูลกับประพจน์ใด (ลดรูปนิเสธ)
แปลงลูกศรด้านใน เมื่อกระจาย $\sim$ จะหักล้างกับ $\sim$ ด้านในทั้งหมด
Problem: Find the simplified equivalent of $\sim(p \rightarrow \sim q)$
Convert inner arrow. Distributing $\sim$ will cancel out all inner negations.
โจทย์: จงหานิเสธของประพจน์ $(p \rightarrow q) \wedge \sim r$
กระจายเข้าเครื่องหมาย $\wedge$ แปลงลูกศรวงหน้า ตัดนิเสธคู่ตัวหลัง และกระจาย $\sim$ เข้าวงหน้า
Problem: Find the negation of $(p \rightarrow q) \wedge \sim r$
Distribute over $\wedge$, convert front arrow, drop double negation on back, and distribute $\sim$ to front bracket.
การลดรูปประพจน์ Simplification of Propositions
การนำกฎตรรกศาสตร์ด้านบนมาประยุกต์ใช้เพื่อทำให้ประพจน์ที่ยาวและซับซ้อน กลายเป็นประพจน์ที่สั้นที่สุด เราเรียกกระบวนการนี้ว่า "การลดรูป" (Simplification) ซึ่งใช้วิธีการจัดรูปคล้ายการแก้สมการพีชคณิต (มีทั้งหมด 10 ตัวอย่างจัดเต็ม)
Applying the logical laws to reduce long, complex propositions into their shortest possible forms is called Simplification. It feels very similar to algebraic manipulation. (Here are 10 comprehensive examples).
โจทย์: จงลดรูปประพจน์ $p \vee (p \wedge q)$
เพิ่ม $\wedge T$ ให้ $p$ หน้าวงเล็บ จากนั้นดึงตัวร่วม $p \wedge$ ออกมาตามกฎการแจกแจง เนื่องจาก $T \vee q \equiv T$ เสมอ
Problem: Simplify the proposition $p \vee (p \wedge q)$
Add $\wedge T$ to $p$ before the bracket, factor out $p \wedge$ using Distributive Law. Since $T \vee q \equiv T$ always.
โจทย์: จงลดรูปประพจน์ $(p \wedge q) \vee (p \wedge \sim q)$
ดึงตัวร่วม $p \wedge$ ตามกฎการแจกแจง เนื่องจากสิ่งใดหรือนิเสธของมัน $q \vee \sim q \equiv T$ เสมอ
Problem: Simplify the proposition $(p \wedge q) \vee (p \wedge \sim q)$
Factor out $p \wedge$ using Distributive Law. Since a proposition OR its negation $q \vee \sim q \equiv T$ always.
โจทย์: จงหาประพจน์ที่สมมูลกับ $p \rightarrow (p \vee q)$
ใช้กฎ $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ และกฎการเปลี่ยนหมู่ เมื่อเชื่อมด้วย $\vee$ และมี $T$ ผลลัพธ์จะเป็น $T$ เสมอ
* ประพจน์ใดที่ลดรูปแล้วได้ $T$ เสมอ เรียกว่า "สัจนิรันดร์" (Tautology)
Problem: Find the equivalent proposition for $p \rightarrow (p \vee q)$
Use law $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ and Associative Law. Anything connected with $\vee$ and $T$ is always $T$.
* Any proposition that simplifies to always $T$ is called a "Tautology".
โจทย์: จงหาประพจน์ที่สมมูลกับ $\sim(p \rightarrow q) \vee p$
แปลงลูกศรก่อน กระจายนิเสธเข้าวงเล็บด้วยเดอมอร์แกน สลับที่เพื่อให้อยู่ในรูปที่คุ้นเคย และใช้กฎการดูดกลืน
Problem: Find the equivalent proposition for $\sim(p \rightarrow q) \vee p$
Convert arrow first, distribute negation using De Morgan's Law, commute to a familiar form, and use Absorption Law.
โจทย์: จงลดรูปประพจน์ $(p \vee q) \wedge \sim p$
กระจาย $\wedge \sim p$ เข้าไปข้างในวงเล็บ ประพจน์ใด $\vee F$ จะได้ประพจน์ตัวเดิม
Problem: Simplify the proposition $(p \vee q) \wedge \sim p$
Distribute $\wedge \sim p$ into the bracket. Anything $\vee F$ yields the original proposition.
โจทย์: แสดงการสมมูลกันของ $(p \rightarrow q) \wedge (p \rightarrow r) \equiv p \rightarrow (q \wedge r)$
แปลงลูกศรของทั้งสองวงเล็บ ดึงตัวร่วม $\sim p \vee$ ออกมา แล้วแปลงกลับเป็นรูปแบบลูกศร
Problem: Show the equivalence of $(p \rightarrow q) \wedge (p \rightarrow r) \equiv p \rightarrow (q \wedge r)$
Convert arrows in both brackets, factor out the common term $\sim p \vee$, and convert back to arrow form.
โจทย์: จงลดรูปประพจน์ $(p \wedge q) \rightarrow p$
แปลงลูกศรตัวหลัก กระจายนิเสธด้วยเดอมอร์แกน จัดกลุ่มใหม่เพื่อหาค่า $T$
Problem: Simplify the proposition $(p \wedge q) \rightarrow p$
Convert the main arrow, distribute negation using De Morgan's Law, regroup to identify $T$.
โจทย์: จงแสดงว่า $p \leftrightarrow p$ เป็นจริงเสมอ ($T$)
กระจายตามนิยามก็ต่อเมื่อ แล้วแปลงลูกศร
Problem: Show that $p \leftrightarrow p$ is always true ($T$)
Expand using biconditional definition, then convert arrows.
โจทย์: จงลดรูปประพจน์ $(p \rightarrow q) \vee (q \rightarrow p)$
แปลงลูกศรทั้งสองข้าง ถอดวงเล็บและสลับที่จับคู่
Problem: Simplify the proposition $(p \rightarrow q) \vee (q \rightarrow p)$
Convert arrows on both sides, remove brackets and commute to pair terms.
โจทย์: จงหาประพจน์ที่สมมูลกับ $\sim(\sim p \wedge q) \wedge p$
กระจายนิเสธเข้าวงเล็บหน้า สลับที่นำ $p$ มาไว้ข้างหน้า และเข้าข่ายกฎการดูดกลืน
Problem: Find the equivalent proposition for $\sim(\sim p \wedge q) \wedge p$
Distribute negation into the front bracket, commute to bring $p$ to the front, and apply the Absorption Law.
คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary
คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์
| คำศัพท์ | รากศัพท์ / Root | ความหมาย / Meaning |
|---|---|---|
| Equivalence | aequus (equal) + valere (to be worth) | การสมมูล · การมีค่าความจริงเหมือนกันหรือเทียบเท่ากันในทุกกรณีทางตรรกศาสตร์ |
| Proposition | pro- (forth) + ponere (to place) | ประพจน์ · ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริง (T) หรือเท็จ (F) อย่างใดอย่างหนึ่ง |
| Negation | negare (to deny) | นิเสธ · การปฏิเสธประพจน์เดิม ทำให้ค่าความจริงตรงข้ามกัน |
| Tautology | tauto- (the same) + logos (word) | สัจนิรันดร์ · รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น "จริง (T)" เสมอในทุกกรณี |
| Distributive | dis- (apart) + tribuere (to assign) | การแจกแจง · กฎที่ใช้กระจายเครื่องหมายเข้าไปในวงเล็บ (เช่น แจกแจง และ เข้าไปใน หรือ) |
| Implication | in- (into) + plicare (to fold) | เงื่อนไข / การมีเหตุผล · การเชื่อมประพจน์ด้วยเครื่องหมาย "ถ้า...แล้ว..." ($\rightarrow$) |