ประพจน์และการเชื่อมประพจน์

ตรรกศาสตร์ (Logic) เป็นการศึกษาเกี่ยวกับเหตุผลและการตัดสินใจ หัวใจแรกคือ "ประพจน์" และการนำประพจน์มารวมกันผ่าน "ตัวเชื่อม" เพื่อสร้างเงื่อนไขใหม่ที่ซับซ้อนขึ้น

Logic is the study of reasoning. The foundation begins with "propositions" and combining them using "logical connectives" to form more complex conditions.

🗣️ ความหมายของประพจน์ / Meaning of Propositions

ประพจน์ (Proposition / Statement) คือ ประโยคบอกเล่า หรือ ประโยคปฏิเสธ ที่สามารถบอกได้ว่าเป็น จริง (True, T) หรือ เท็จ (False, F) อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น

ประโยคที่ไม่ใช่ประพจน์ เช่น คำถาม, คำสั่ง, ร้องขอ, อุทาน, หรือประโยคที่มีตัวแปรแต่ยังไม่ทราบค่า (ประโยคเปิด)

A proposition is a declarative sentence that is either strictly True (T) or strictly False (F), but not both.

Non-propositions include questions, commands, requests, exclamations, or sentences with unknown variables (open sentences).

✅ เป็นประพจน์Propositions

กรุงเทพฯ เป็นเมืองหลวงของประเทศไทย Bangkok is the capital of Thailand.
(จริง / T)
$5 \times 2 = 12$
(เท็จ / F)
ดวงอาทิตย์เป็นดาวเคราะห์ The Sun is a planet.
(เท็จ / F)
$1 + 1 = 2$
(จริง / T)
$\sqrt{4} = 2$
(จริง / T)
มนุษย์ทุกคนต้องการอาหาร Every human being needs food.
(จริง / T)
จำนวนเฉพาะทุกตัวเป็นเลขคี่ Every prime number is odd.
(เท็จ / F — เพราะ 2 เป็นเฉพาะและเป็นคู่) (F — because 2 is prime and even)

❌ ไม่เป็นประพจน์Non-Propositions

กรุณาปิดประตู Please close the door.
(คำสั่ง) (Command)
คุณชื่ออะไร? What is your name?
(คำถาม) (Question)
$x + 5 = 10$
(ประโยคเปิด — ยังไม่ทราบค่า $x$) (Open sentence — $x$ is unknown)
ว้าว สวยมาก! Wow, how beautiful!
(อุทาน) (Exclamation)
ขอให้โชคดีนะ Good luck to you!
(คำอวยพร / ร้องขอ) (Wish / Request)
$n$ เป็นจำนวนนับ $n$ is a natural number.
(ประโยคเปิด — ยังไม่ทราบค่า $n$) (Open sentence — $n$ is unknown)
เธอสวยมาก She is very beautiful.
(ความคิดเห็น — ตัดสินจริง/เท็จไม่ได้) (Opinion — cannot be objectively T or F)

💡 จุดสังเกตสำคัญKey Observations

ประโยค คำถาม, คำสั่ง, คำอ้อนวอน และ อุทาน ไม่ใช่ประพจน์ เพราะไม่สามารถบอกได้ว่าจริงหรือเท็จ
ประโยคเปิด ที่มีตัวแปรและยังไม่ทราบค่า เช่น $x + 3 = 7$ หรือ "$n$ เป็นเลขคู่" จะกลายเป็นประพจน์ได้ก็ต่อเมื่อแทนค่าตัวแปรลงไปแล้วเท่านั้น
ประโยคที่บอกความคิดเห็นส่วนตัว เช่น "เธอสวย" ก็ไม่เป็นประพจน์ เพราะขึ้นอยู่กับผู้พูด

Questions, commands, requests, and exclamations are not propositions because they cannot be assigned a definite truth value.
Open sentences with unspecified variables (e.g. $x + 3 = 7$ or "$n$ is even") become propositions only once the variable is given a specific value.
Subjective opinions (e.g., "She is beautiful") depend on the speaker's perspective and cannot be objectively T or F.

🔗 ตัวเชื่อมประพจน์ / Logical Connectives

เราสามารถสร้างประพจน์ใหม่ได้โดยการนำประพจน์ย่อยมาประกอบกันด้วย "ตัวเชื่อมประพจน์" (โดยทั่วไปให้ $p, q$ แทนประพจน์ใดๆ)

We can form new propositions by combining simple ones using "logical connectives" (typically letting $p, q$ represent any propositions).

$\land$

และ (AND)

เป็น จริง ได้กรณีเดียว คือ จริงทั้งคู่ (T $\land$ T = T)

True only if both are True.

$\lor$

หรือ (OR)

เป็น เท็จ ได้กรณีเดียว คือ เท็จทั้งคู่ (F $\lor$ F = F)

False only if both are False.

$\rightarrow$

ถ้า... แล้ว... (IF...THEN)

เป็น เท็จ ได้กรณีเดียว คือ หน้าจริง หลังเท็จ (T $\rightarrow$ F = F)

False only if True implies False.

$\leftrightarrow$

ก็ต่อเมื่อ (IF AND ONLY IF)

เหมือนกันเป็น จริง, ต่างกันเป็น เท็จ

True if they have the same value.

$\sim$

นิเสธ (NOT)

กลับค่าความจริงเป็น ตรงกันข้าม

Reverses the truth value.

📊 ตารางค่าความจริง / Truth Tables

ตารางค่าความจริงใช้สำหรับสรุปผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เมื่อนำประพจน์มาเชื่อมกัน (T = True / จริง, F = False / เท็จ)

Truth tables summarize all possible outcomes when propositions are connected (T = True, F = False).

$p$	$q$	$\sim p$	$p \land q$	$p \lor q$	$p \rightarrow q$	$p \leftrightarrow q$
T	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T	F
F	F	T	F	F	T	T

📝 ตัวอย่างการหาค่าความจริง / Evaluation Examples

กำหนดให้ประพจน์ $p, q, r, s$ มีค่าความจริงดังต่อไปนี้ จงหาค่าความจริงของประพจน์รวมแบบขั้นตอน

Given the following truth values for propositions $p, q, r, s$, evaluate the compound propositions step-by-step.

ตัวอย่างที่ 1 / Example 1

กำหนดให้ $p$ มีค่าความจริงเป็นจริง และ $q$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าของ $\sim p \lor q$

Let $p$ be True and $q$ be False. Evaluate $\sim p \lor q$

ตัวอย่างที่ 2 / Example 2

กำหนดให้ $p$ มีค่าความจริงเป็นจริง, $q$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ, $r$ มีค่าความจริงเป็นจริง จงหาค่าของ $(p \rightarrow q) \lor \sim r$

Let $p$ be True, $q$ be False, $r$ be True. Evaluate $(p \rightarrow q) \lor \sim r$

ตัวอย่างที่ 3 / Example 3

กำหนดให้ $p$ และ $q$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ, $r$ และ $s$ มีค่าความจริงเป็นจริง จงหาค่าของ $(p \leftrightarrow q) \rightarrow (r \land \sim s)$

Let $p$ and $q$ be False, $r$ and $s$ be True. Evaluate $(p \leftrightarrow q) \rightarrow (r \land \sim s)$

ตัวอย่าง ง / Example D

จงหาค่าความจริงของคาดการณ์: "ถ้า 2 เป็นจำนวนคู่ และ 3 เป็นจำนวนคี่ แล้ว $2+3=6$"

Evaluate the truth value of: "If 2 is even and 3 is odd, then $2+3=6$"

กำหนดให้:
$p$ แทนประโยค “2 เป็นจำนวนคู่” — มีค่าความจริงเป็นจริง
$q$ แทนประโยค “3 เป็นจำนวนคี่” — มีค่าความจริงเป็นจริง
$r$ แทนประโยค “$2+3=6$” — มีค่าความจริงเป็นเท็จ
เขียนในรูปสัญลักษณ์: $(p \land q) \rightarrow r$

Let:
$p$ represents “2 is even” — its truth value is True
$q$ represents “3 is odd” — its truth value is True
$r$ represents “$2+3=6$” — its truth value is False
Symbolic form: $(p \land q) \rightarrow r$

p	q	r	(p ∧ q) → r
T	T	F	F
T	F	T	T
F	T	F	T
F	F	F	T

ตัวอย่างที่ 5 / Example 5 (Backward Evaluation)

กำหนดให้ประพจน์ $p \rightarrow (q \lor r)$ มีค่าความจริงเป็น เท็จ (F) จงหาค่าความจริงของ $p, q$ และ $r$

Given that $p \rightarrow (q \lor r)$ is False (F). Find the truth values of $p, q$, and $r$.

สรุป: เนื่องจาก $p \rightarrow (q \lor r)$ เป็นเท็จ ซึ่งนัยสำคัญจะเป็นเท็จก็ต่อเมื่อ เหตุเป็นจริงและผลเป็นเท็จ
ดังนั้น $p$ มีค่าความจริงเป็นจริง และ $q \lor r$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ
เมื่อ $q \lor r$ เป็นเท็จ แสดงว่า $q$ และ $r$ ต่างมีค่าความจริงเป็นเท็จ ทั้งคู่

Conclusion: Since $p \rightarrow (q \lor r)$ is False, an implication is false only when the hypothesis is true and the conclusion is false.
Therefore $p$ is True and $q \lor r$ is False.
Since $q \lor r$ is False, both $q$ and $r$ must be False.

ตัวอย่างที่ 6 / Example 6

กำหนดให้ $p$ มีค่าความจริงเป็นจริง และ $q$ มีค่าความจริงเป็นจริง จงหาค่าของ $p \land \sim q$

Let $p$ be True and $q$ be True. Evaluate $p \land \sim q$

ตัวอย่างที่ 7 / Example 7

กำหนดให้ $p$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ $q$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าของ $p \rightarrow q$

Let $p$ be False and $q$ be False. Evaluate $p \rightarrow q$

ตัวอย่างที่ 8 / Example 8

กำหนดให้ $p$ มีค่าความจริงเป็นจริง และ $q$ มีค่าความจริงเป็นจริง จงหาค่าของ $p \leftrightarrow \sim q$

Let $p$ be True and $q$ be True. Evaluate $p \leftrightarrow \sim q$

ตัวอย่างที่ 9 / Example 9

กำหนดให้ $p$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ, $q$ มีค่าความจริงเป็นจริง จงหาค่าของ $\sim(p \lor q)$

Let $p$ be False, $q$ be True. Evaluate $\sim(p \lor q)$

ตัวอย่างที่ 10 / Example 10 (Backward Evaluation)

กำหนดให้ $p \land q$ มีค่าความจริงเป็นจริง จงหาค่าความจริงของ $p$ และ $q$

Given that $p \land q$ is True. Find the truth values of $p$ and $q$.

สรุป: เนื่องจาก $p \land q$ เป็นจริง การเชื่อม AND จะให้ค่าจริงก็ต่อเมื่อ ทั้งสองประพจน์เป็นจริง
ดังนั้น $p$ มีค่าความจริงเป็นจริง และ $q$ มีค่าความจริงเป็นจริง

Conclusion: Since $p \land q$ is True, a conjunction is true only when both propositions are true.
Therefore $p$ is True and $q$ is True.

ตัวอย่างที่ 11 / Example 11 (Backward Evaluation)

กำหนดให้ $p \rightarrow q$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ $p$ และ $q$

Given that $p \rightarrow q$ is False. Find the truth values of $p$ and $q$.

สรุป: เนื่องจาก $p \rightarrow q$ เป็นเท็จ นัยสำคัญจะเป็นเท็จก็ต่อเมื่อ เหตุเป็นจริงและผลเป็นเท็จ เท่านั้น
ดังนั้น $p$ มีค่าความจริงเป็นจริง และ $q$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ (กรณีเดียวที่เป็นไปได้)

Conclusion: Since $p \rightarrow q$ is False, an implication is false only when the hypothesis is true and the conclusion is false.
Therefore $p$ is True and $q$ is False — the only possible case.

ตัวอย่างที่ 12 / Example 12 (Backward Evaluation)

กำหนดให้ $p \leftrightarrow q$ มีค่าความจริงเป็นจริง และทราบว่า $p$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ $q$

Given that $p \leftrightarrow q$ is True and $p$ is False. Find the truth value of $q$.

สรุป: เนื่องจาก $p \leftrightarrow q$ เป็นจริง การสมมูลจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ ทั้งสองประพจน์มีค่าความจริงเท่ากัน
เมื่อทราบว่า $p$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ จึงสรุปได้ว่า $q$ ต้องมีค่าความจริงเป็นเท็จ เช่นเดียวกัน

Conclusion: Since $p \leftrightarrow q$ is True, a biconditional is true only when both propositions share the same truth value.
Given $p$ is False, it follows that $q$ must also be False.

ตัวอย่างที่ 13 / Example 13 (Backward Evaluation)

กำหนดให้ $(p \land q) \rightarrow r$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ $p$, $q$ และ $r$

Given that $(p \land q) \rightarrow r$ is False. Find the truth values of $p$, $q$, and $r$.

สรุป: เนื่องจาก $(p \land q) \rightarrow r$ เป็นเท็จ จึงต้องมี เหตุเป็นจริงและผลเป็นเท็จ
กล่าวคือ $p \land q$ ต้องเป็นจริง ซึ่งบังคับให้ $p$ เป็นจริง และ $q$ เป็นจริง ด้วย
ส่วน $r$ ต้องมีค่าความจริงเป็นเท็จ

Conclusion: Since $(p \land q) \rightarrow r$ is False, the hypothesis must be true and the conclusion false.
So $p \land q$ must be True, forcing both $p$ and $q$ to be True.
And $r$ must be False.

ตัวอย่างที่ 14 / Example 14 (Backward Evaluation)

กำหนดให้ $p \lor (q \land r)$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ $p$, $q$ และ $r$

Given that $p \lor (q \land r)$ is False. Find the truth values of $p$, $q$, and $r$.

สรุป: เนื่องจาก $p \lor (q \land r)$ เป็นเท็จ การเชื่อม OR จะให้ค่าเท็จก็ต่อเมื่อ ทั้งสองฝั่งเป็นเท็จ
ดังนั้น $p$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ $q \land r$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ
เมื่อ $q \land r$ เป็นเท็จ (กรณีที่ง่ายที่สุด) คือ $q$ เป็นเท็จ และ $r$ เป็นเท็จ

Conclusion: Since $p \lor (q \land r)$ is False, a disjunction is false only when both sides are false.
Therefore $p$ is False and $q \land r$ is False.
The simplest case: $q$ is False and $r$ is False.

ตัวอย่างที่ 15 / Example 15 (Backward Evaluation)

กำหนดให้ $(p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r)$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ และทราบว่า $p \rightarrow q$ มีค่าความจริงเป็นจริง จงหาค่าความจริงของ $q$ และ $r$

Given that $(p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r)$ is False and $p \rightarrow q$ is True. Find the truth values of $q$ and $r$.

สรุป: เนื่องจาก $(p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r)$ เป็นเท็จ และทราบว่า $p \rightarrow q$ เป็นจริง
การเชื่อม AND จะเป็นเท็จต้องมีส่วนประกอบที่เป็นเท็จ ดังนั้น $q \rightarrow r$ ต้องเป็นเท็จ
นัยสำคัญ $q \rightarrow r$ เป็นเท็จ บังคับให้ $q$ เป็นจริง และ $r$ เป็นเท็จ

Conclusion: Since $(p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r)$ is False and $p \rightarrow q$ is True,
the conjunction must fail on the right side, so $q \rightarrow r$ must be False.
An implication $q \rightarrow r$ is false only when $q$ is True and $r$ is False.

📊

📊 การหาค่าความจริงด้วยตาราง / Truth Table Construction

ตารางค่าความจริงเป็นเครื่องมือที่ใช้แสดงค่าความจริงของประพจน์รวม ทุกกรณีที่เป็นไปได้ หากมีตัวแปร $n$ ตัว จะมีแถวทั้งหมด $2^n$ แถว

A truth table is a tool that displays the truth value of a compound proposition for every possible case. With $n$ variables, there are $2^n$ rows.

ตัวอย่าง 1 / Example 1 — $p \land q$

สร้างตารางค่าความจริงของ $p \land q$ (ตัวเชื่อม AND)

Construct the truth table for $p \land q$ (AND connective)

$p$	$q$	$p \land q$
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

💡 $p \land q$ เป็นจริงก็ต่อเมื่อ ทั้งสองประพจน์เป็นจริงพร้อมกัน เท่านั้น

💡 $p \land q$ is True only when both propositions are True simultaneously.

ตัวอย่าง 2 / Example 2 — $p \to q$

สร้างตารางค่าความจริงของ $p \to q$ (ตัวเชื่อมนัยสำคัญ)

Construct the truth table for $p \to q$ (implication)

$p$	$q$	$p \to q$
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

💡 $p \to q$ เป็นเท็จได้กรณีเดียวเท่านั้น คือ เหตุจริง ($p$=T) แต่ผลเท็จ ($q$=F)

💡 $p \to q$ is False in only one case: when the hypothesis is True ($p$=T) but the conclusion is False ($q$=F).

ตัวอย่าง 3 / Example 3 — $(p \lor q) \to \sim p$

สร้างตารางค่าความจริงของ $(p \lor q) \to \sim p$ ทีละขั้น

Build the truth table for $(p \lor q) \to \sim p$ step by step

$p$	$q$	$\sim p$	$p \lor q$	$(p \lor q) \to \sim p$
T	T	F	T	F
T	F	F	T	F
F	T	T	T	T
F	F	T	F	T

💡 วิธีเติมตาราง: สร้างคอลัมน์กลางก่อน ($\sim p$ และ $p \lor q$) จากนั้นจึงคำนวณคอลัมน์สุดท้าย

💡 Strategy: Fill intermediate columns first ($\sim p$ and $p \lor q$), then compute the final column.

ตัวอย่าง 4 / Example 4 — $p \lor q$

สร้างตารางค่าความจริงของ $p \lor q$ (ตัวเชื่อม OR)

Construct the truth table for $p \lor q$ (OR connective)

$p$	$q$	$p \lor q$
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

💡 $p \lor q$ เป็นเท็จได้กรณีเดียวเท่านั้น คือ เมื่อทั้งสองเป็นเท็จพร้อมกัน

💡 $p \lor q$ is False in only one case: when both propositions are False.

ตัวอย่าง 5 / Example 5 — $p \leftrightarrow q$

สร้างตารางค่าความจริงของ $p \leftrightarrow q$ (ตัวเชื่อม "ก็ต่อเมื่อ")

Construct the truth table for $p \leftrightarrow q$ (Biconditional)

$p$	$q$	$p \leftrightarrow q$
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

💡 $p \leftrightarrow q$ เป็นจริงเมื่อ ค่าความจริงเหมือนกัน (T ทั้งคู่ หรือ F ทั้งคู่)

💡 $p \leftrightarrow q$ is True when truth values are identical (both T or both F).

ตัวอย่าง 6 / Example 6 — $\sim(p \land q) \leftrightarrow (\sim p \lor \sim q)$

ตรวจสอบความสมมูล (Tautology) ของกฎ De Morgan

Verify the equivalence (Tautology) of De Morgan's Law

$p$	$q$	$\sim(p \land q)$	$\sim p \lor \sim q$	$\sim(p \land q) \leftrightarrow (\sim p \lor \sim q)$
T	T	F	F	T
T	F	T	T	T
F	T	T	T	T
F	F	T	T	T

💡 หากผลลัพธ์เป็น T ทั้งหมด แสดงว่าเป็นประพจน์ที่เป็น สัจนิรันดร์ (Tautology)

💡 If all results are T, the compound proposition is a Tautology.

ตัวอย่าง 7 / Example 7 — $(p \land q) \to r$

สร้างตารางสำหรับ 3 ตัวแปร (จะมีทั้งหมด $2^3 = 8$ กรณี)

Construct a table for 3 variables ($2^3 = 8$ possible cases)

$p$	$q$	$r$	$p \land q$	$(p \land q) \to r$
T	T	T	T	T
T	T	F	T	F
T	F	T	F	T
T	F	F	F	T
F	T	T	F	T
F	T	F	F	T
F	F	T	F	T
F	F	F	F	T

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์ตรรกศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Proposition / Statement	proponere (to propose)	ประพจน์ · ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง
Logical Connective	connectere (to bind together)	ตัวเชื่อมประพจน์ · คำที่ใช้เชื่อมประพจน์ย่อยเข้าด้วยกัน
Negation	negare (to deny)	นิเสธ · การเปลี่ยนค่าความจริงของประพจน์ให้เป็นตรงข้าม
Truth Value	-	ค่าความจริง · สถานะของประพจน์ว่าเป็นจริง (True) หรือเท็จ (False)