ตัวบ่งปริมาณ

เมื่อเรามีข้อความที่มีตัวแปร เราไม่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จจนกว่าจะมีการระบุว่าตัวแปรนั้นคืออะไร เราใช้ "ตัวบ่งปริมาณ" เพื่อระบุขอบเขตของตัวแปรนั้นๆ

When we have statements with variables, we cannot determine their truth value until the variables are specified. We use "Quantifiers" to define the scope of those variables.

🗣️ ประโยคเปิด / Open Sentences

ประโยคเปิด (Open Sentence) คือ ข้อความบอกเล่าหรือปฏิเสธที่มี "ตัวแปร" รวมอยู่ด้วย และยังไม่ทราบค่าความจริง (ไม่ใช่ประพจน์) จนกว่าจะมีการแทนค่าตัวแปรนั้นด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ ($U$)

An Open Sentence is a declarative or negative statement containing "variables". It is not a proposition until the variables are replaced by specific values from the Universal Set ($U$).

📝 ตัวอย่างประโยคเปิด (คณิตศาสตร์)

$x + 2 = 5$
$x^2 - 1 = 0$
$x$ เป็นจำนวนเฉพาะ (prime)
$x + y > 10$
$|x| = x$

🗣️ ตัวอย่างประโยคเปิด (ภาษา)

เขาเป็นนักเรียน
$x$ เป็นจังหวัดในภาคเหนือ
เธอเป็นคนสวย
มันเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม
เขาเดินไปโรงเรียน

💡 จุดสังเกต

ประโยคที่มีสรรพนาม เช่น "เขา", "มัน", "เธอ" ถือเป็นประโยคเปิด เพราะสรรพนามทำหน้าที่เป็นตัวแปร
ประโยคเปิดจะกลายเป็นประพจน์เมื่อแทนค่าตัวแปร เช่น แทน $x=3$ ใน $x+2=5$ จะได้ $5=5$ ซึ่งเป็นจริง (T)

Sentences with pronouns like "He", "It", "She" are open sentences because the pronouns act as variables.
An open sentence becomes a proposition when a value is substituted, e.g., substituting $x=3$ in $x+2=5$ yields $5=5$ (True).

🔗 ตัวบ่งปริมาณ / Quantifiers

เพื่อระบุว่าข้อความนั้นครอบคลุมสมาชิกตัวไหนบ้างในเอกภพสัมพัทธ์ เราใช้สัญลักษณ์ 2 ชนิด:

To specify which members of the Universal Set are covered by a statement, we use two types of symbols:

∀

สำหรับทุกตัว (For All)

สัญลักษณ์: $\forall x$

หมายถึง "ทุกๆ $x$ ในเอกภพสัมพัทธ์"

Means "for every $x$ in the universal set"

∃

สำหรับบางตัว (For Some)

สัญลักษณ์: $\exists x$

หมายถึง "มี $x$ อย่างน้อยหนึ่งตัว"

Means "there exists at least one $x$"

ตัวอย่างการเขียนสัญลักษณ์ (10 ตัวอย่าง)

ประโยคภาษาไทย / English	สัญลักษณ์ (Symbolic)
สำหรับจำนวนจริงทุกจำนวน $x, x^2 \ge 0$	$\forall x [x^2 \ge 0], U = \mathbb{R}$
มีจำนวนเต็ม $x$ บางตัวที่ $x + 1 = 0$	$\exists x [x + 1 = 0], U = \mathbb{I}$
จำนวนจริงทุกจำนวนบวกด้วย 0 แล้วได้ตัวเดิม	$\forall x [x + 0 = x], U = \mathbb{R}$
มี $x$ บางตัวที่ $x$ เป็นจำนวนเฉพาะ	$\exists x [x \text{ is prime}]$
สำหรับทุก $x$ และทุก $y, x + y = y + x$	$\forall x \forall y [x + y = y + x]$
มี $x$ และมี $y$ ที่ $x^2 + y^2 = 25$	$\exists x \exists y [x^2 + y^2 = 25]$
จำนวนนับทุกจำนวนมากกว่า 0	$\forall x [x > 0], U = \mathbb{N}$
มีจำนวนจริง $x$ ที่ $x^2 = 2$	$\exists x [x^2 = 2], U = \mathbb{R}$
ทุกจำนวนที่อยู่ในเซต $A$ จะอยู่ในเซต $B$	$\forall x [x \in A \rightarrow x \in B]$
มีสมาชิกบางตัวใน $A$ ที่เป็นสมาชิกใน $B$	$\exists x [x \in A \land x \in B]$

📊 ค่าความจริง / Truth Values

💡 การหาค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ

กรณี 1 ตัวแปร (Single Variable):

$\forall x [P(x)]$: เป็นจริงเมื่อ ทุกตัว ใน $U$ ทำให้ $P(x)$ เป็นจริง (ห้ามมีตัวอย่างค้านแม้แต่ตัวเดียว)
$\exists x [P(x)]$: เป็นจริงเมื่อ มี อย่างน้อยหนึ่งตัว ใน $U$ ที่ทำให้ $P(x)$ เป็นจริง

กรณี 2 ตัวแปร (Two Variables):

$\forall x \forall y [P(x, y)]$: เป็นจริงเมื่อ $P(x, y)$ เป็นจริงสำหรับ ทุกคู่ $(x, y)$
$\forall x \exists y [P(x, y)]$: เป็นจริงเมื่อ สำหรับ ทุกๆ $x$ จะมี $y$ อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ใช้ได้
$\exists x \forall y [P(x, y)]$: เป็นจริงเมื่อ มี $x$ อย่างน้อยหนึ่งตัว ที่ใช้คู่กับ $y$ ได้ ทุกตัว
$\exists x \exists y [P(x, y)]$: เป็นจริงเมื่อ มี อย่างน้อยหนึ่งคู่ $(x, y)$ ที่เป็นจริง

💡 Evaluating Quantifiers Truth Values

Single Variable:

$\forall x [P(x)]$: True if $P(x)$ is true for every element in $U$ (no counterexamples allowed).
$\exists x [P(x)]$: True if there is at least one element in $U$ that makes $P(x)$ true.

Two Variables:

$\forall x \forall y [P(x, y)]$: True if $P(x, y)$ is true for all pairs $(x, y)$.
$\forall x \exists y [P(x, y)]$: True if for every $x$, there is at least one $y$ that works.
$\exists x \forall y [P(x, y)]$: True if there is at least one $x$ that works for all $y$.
$\exists x \exists y [P(x, y)]$: True if there is at least one pair $(x, y)$ that is true.

ตัวอย่างการหาค่าความจริง (30 ตัวอย่าง)

ตัวอย่าง (Example)	เอกภพสัมพัทธ์ ($U$)	ค่าความจริง / Truth Value
$\forall x [x^2 > 0]$	$\{-1, 0, 1\}$	F เพราะ $0^2 = 0$ (ไม่มากกว่า 0)
$\forall x [x + 1 > x]$	$\mathbb{R}$	T จริงเสมอสำหรับจำนวนจริง
$\exists x [x^2 = 2]$	$\mathbb{Q}$ (จำนวนตรรกยะ)	F ไม่มีตรรกยะใดยกกำลังสองได้ 2
$\exists x [x + 5 = 5]$	$\{0, 1, 2\}$	T จริงเมื่อ $x = 0$
$\forall x [x \text{ is even}]$	$\{2, 4, 6\}$	T ทุกตัวเป็นจำนวนคู่
$\forall x [x < 0 \rightarrow x^2 > 0]$	$\mathbb{R}$	T จำนวนลบยกกำลังสองได้บวกเสมอ
$\exists x [x^2 < 0]$	$\mathbb{R}$	F ไม่มีจำนวนจริงใดยกกำลังสองได้ลบ
$\exists x [x^2 - 3x + 2 = 0]$	$\{0, 3, 4\}$	F แทนค่าแล้วไม่มีตัวไหนทำให้สมการเป็นจริง
$\forall x [\|x\| \ge 0]$	$\mathbb{R}$	T ค่าสัมบูรณ์ไม่เป็นลบเสมอ
$\exists x [x \in \mathbb{I} \cap \text{primes}]$	$\{4, 6, 8, 9\}$	F ไม่มีจำนวนเฉพาะในเซตนี้
$\forall x \forall y [x + y = y + x]$	$\mathbb{R}$	T กฎสลับที่การบวกเป็นจริงเสมอ
$\forall x \exists y [x + y = 0]$	$\mathbb{R}$	T ทุก $x$ มี $-x$ เป็นอินเวอร์สการบวก
$\exists x \forall y [x + y = y]$	$\mathbb{R}$	T เมื่อ $x = 0$ (เอกลักษณ์การบวก)
$\forall x \exists y [x < y]$	$\mathbb{Z}$	T จำนวนเต็มไม่มีค่าที่มากที่สุด
$\exists x \forall y [x \le y]$	$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$	T เมื่อ $x = 1$ เป็นค่าที่น้อยที่สุด
$\forall x \forall y [x^2 = y^2 \rightarrow x = y]$	$\mathbb{R}$	F เช่น $x=1, y=-1$ (กำลังสองเท่ากันแต่ค่าไม่เท่ากัน)
$\forall x \exists y [xy = 1]$	$\mathbb{R}$	F เพราะถ้า $x=0$ จะไม่มี $y$ ที่ทำให้ $0y=1$
$\exists x \forall y [xy = 0]$	$\mathbb{R}$	T เมื่อ $x = 0$ (0 คูณอะไรก็ได้ 0)
$\exists x \exists y [x^2 + y^2 = 25]$	$\mathbb{Z}$	T เช่น คู่ $(3, 4)$ หรือ $(0, 5)$
$\forall x [x > 1 \rightarrow x^2 > x]$	$\mathbb{R}$	T จำนวนที่มากกว่า 1 ยกกำลังสองจะมากกว่าตัวเอง
$\exists x [x^2 + 1 = 0]$	$\mathbb{R}$	F กำลังสองของจำนวนจริงบวก 1 ต้องได้ $\ge 1$
$\forall x \exists y [x + y > 10]$	$\{1, 2, 3, 4, 5\}$	F เพราะถ้า $x=1$ ค่า $y$ ที่มากที่สุดคือ 5 ซึ่ง $1+5 = 6 \ngtr 10$
$\forall x [x \in \mathbb{I} \rightarrow x+1 \in \mathbb{I}]$	$\mathbb{I}$	T จำนวนเต็มบวกหนึ่งยังคงเป็นจำนวนเต็ม
$\exists x \exists y [2x + 3y = 12]$	$\mathbb{N}$	T เช่น $x=3, y=2$
$\forall x \forall y [\|x+y\| \le \|x\| + \|y\|]$	$\mathbb{R}$	T อสมการอิงสามเหลี่ยม (Triangle Inequality)
$\exists x \forall y [x \cdot y = y]$	$\mathbb{R}$	T เมื่อ $x = 1$ (เอกลักษณ์การคูณ)
$\forall x [x^2 \ge x]$	$\{0, 1\}$	T ทั้ง $0^2 \ge 0$ และ $1^2 \ge 1$ เป็นจริง
$\exists x [x \text{ is prime } \land x \text{ is even}]$	$\mathbb{N}$	T เมื่อ $x = 2$
$\forall x \forall y [x < y \rightarrow x^2 < y^2]$	$\mathbb{R}$	F เช่น $-2 < 1$ แต่ $(-2)^2 < 1^2$ เป็นเท็จ
$\exists x \forall y [x \le y]$	$\{10, 20, 30\}$	T เมื่อ $x = 10$

📝 นิเสธของตัวบ่งปริมาณ / Negation of Quantifiers

การหานิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ มีกฎสำคัญคือ:

เปลี่ยน $\forall$ เป็น $\exists$ และเปลี่ยน $\exists$ เป็น $\forall$
เติมตัวเชื่อม "นิเสธ" ($\sim$) หน้าประโยคเปิด

สูตร 1 ตัวแปร: $\sim [\forall x P(x)] \equiv \exists x [\sim P(x)]$ และ $\sim [\exists x P(x)] \equiv \forall x [\sim P(x)]$

สูตร 2 ตัวแปร: $\sim [\forall x \exists y P(x, y)] \equiv \exists x \forall y [\sim P(x, y)]$

To find the negation of a quantified proposition:

Switch $\forall \leftrightarrow \exists$ symbols.
Apply the negation ($\sim$) to the open sentence.

1-Variable Formulas: $\sim [\forall x P(x)] \equiv \exists x [\sim P(x)]$ and $\sim [\exists x P(x)] \equiv \forall x [\sim P(x)]$

2-Variable Formulas: $\sim [\forall x \exists y P(x, y)] \equiv \exists x \forall y [\sim P(x, y)]$

ตัวอย่างการหานิเสธ (20 ตัวอย่าง)

โจทย์ (Proposition)	นิเสธ (Negation)
$\forall x [x > 5]$	$\exists x [x \le 5]$
$\exists x [x^2 = 4]$	$\forall x [x^2 \ne 4]$
$\forall x [P(x) \lor Q(x)]$	$\exists x [\sim P(x) \land \sim Q(x)]$
$\exists x [P(x) \rightarrow Q(x)]$	$\forall x [P(x) \land \sim Q(x)]$
จำนวนจริงทุกจำนวน $x, x^2 \ge 0$	มีจำนวนจริง $x$ บางตัวที่ $x^2 < 0$
มีจำนวนเฉพาะบางตัวเป็นเลขคู่	จำนวนเฉพาะทุกตัวไม่เป็นเลขคู่
$\forall x [x \in A \rightarrow x \in B]$	$\exists x [x \in A \land x \notin B]$
$\exists x [\forall y (x+y=0)]$	$\forall x [\exists y (x+y \ne 0)]$
$\forall x [x^2 + 1 > 0]$	$\exists x [x^2 + 1 \le 0]$
มีสัตว์บางชนิดบินได้	สัตว์ทุกชนิดบินไม่ได้
$\forall x \forall y [x + y = y + x]$	$\exists x \exists y [x + y \neq y + x]$
$\exists x \exists y [x + y = 5]$	$\forall x \forall y [x + y \neq 5]$
$\forall x \exists y [x < y]$	$\exists x \forall y [x \ge y]$
$\exists x \forall y [x \le y]$	$\forall x \exists y [x > y]$
$\forall x \forall y [P(x, y) \land Q(x, y)]$	$\exists x \exists y [\sim P(x, y) \lor \sim Q(x, y)]$
$\exists x \exists y [P(x, y) \lor Q(x, y)]$	$\forall x \forall y [\sim P(x, y) \land \sim Q(x, y)]$
$\forall x \exists y [P(x, y) \rightarrow Q(x, y)]$	$\exists x \forall y [P(x, y) \land \sim Q(x, y)]$
$\exists x \forall y [P(x, y) \leftrightarrow Q(x, y)]$	$\forall x \exists y [P(x, y) \not\leftrightarrow Q(x, y)]$
ทุก $x, y$ ถ้า $x < y$ แล้ว $x^2 < y^2$	มี $x, y$ ที่ $x < y$ แต่ $x^2 \ge y^2$
มี $x$ ที่ทุกๆ $y$ ทำให้ $xy = 0$	ทุกๆ $x$ จะมี $y$ ที่ทำให้ $xy \neq 0$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์ตรรกศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์ / Vocabulary	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Open Sentence	apertus (opened)	ประโยคเปิด · ข้อความที่มีตัวแปรที่ยังระบุค่าความจริงไม่ได้
Quantifier	quantus (how much)	ตัวบ่งปริมาณ · ตัวบอกขอบเขตของสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์
Universal Quantifier ($\forall$)	universalis (belonging to all)	ตัวบ่งปริมาณทั้งหมด · "สำหรับทุกตัว" (For All)
Existential Quantifier ($\exists$)	exsistere (to exist)	ตัวบ่งปริมาณมีจริง · "สำหรับบางตัว" (For Some)
Universal Set ($U$)	universus (combined into one)	เอกภพสัมพัทธ์ · เซตขอบเขตของสมาชิกทั้งหมดที่พิจารณา
Counterexample	contra (against)	ตัวอย่างค้าน · สมาชิกที่ทำให้ประพจน์ $\forall$ เป็นเท็จ