ในการศึกษาวิชาตรรกศาสตร์ เราคุ้นเคยกับ "ประพจน์" (Proposition) ซึ่งเป็นประโยคที่บอกค่าความจริงได้ (จริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง) แต่เมื่อประโยคมี "ตัวแปร" ปะปนอยู่ เราจะไม่สามารถบอกค่าความจริงได้จนกว่าจะแทนค่าตัวแปรนั้น การใช้ "ตัวบ่งปริมาณ" (Quantifiers) จะเข้ามาช่วยเติมเต็มเงื่อนไข เพื่อเปลี่ยนประโยคที่มีตัวแปรให้กลายเป็นประพจน์ที่สมบูรณ์
In logic, we are familiar with a "Proposition", which is a declarative sentence that is either true or false. However, when a sentence contains a "variable", its truth value cannot be determined until the variable is specified. Using "Quantifiers" helps fulfill the condition, transforming a sentence with variables into a complete proposition.
ประโยคเปิด Open Sentences
ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มี ตัวแปร และยังไม่เป็นประพจน์ แต่จะกลายเป็นประพจน์ได้เมื่อเราแทนค่าตัวแปรนั้นด้วยสมาชิกใน เอกภพสัมพัทธ์ ($U$) ที่กำหนด นิยมเขียนแทนประโยคเปิดที่มีตัวแปร $x$ ด้วย $P(x), Q(x), R(x)$ เป็นต้น
An Open Sentence is a declarative or negative sentence that contains a variable and is not yet a proposition. It becomes a proposition when the variable is replaced by an element from a specified Universal Set ($U$). An open sentence with a variable $x$ is often denoted as $P(x), Q(x), R(x)$, etc.
พิจารณาประโยค: $x + 2 = 5$
ประโยคนี้เป็นประโยคเปิด เพราะมีตัวแปร $x$ เราไม่รู้ว่าจริงหรือเท็จ จนกว่าจะแทนค่า เช่น ถ้าแทน $x=3$ จะได้ประพจน์ที่เป็นจริง ถ้าแทน $x=1$ จะได้ประพจน์ที่เป็นเท็จ
Consider the sentence: $x + 2 = 5$
This is an open sentence because of variable $x$. Its truth value is unknown until we substitute $x$. If $x=3$, it's true. If $x=1$, it's false.
พิจารณาประโยค: "เขาเป็นนักคณิตศาสตร์"
ประโยคนี้เป็นประโยคเปิด โดยมี "เขา" เป็นตัวแปร หากแทน "เขา" ด้วย "ปีทาโกรัส" ประโยคจะเป็นจริง หากแทนด้วยสรรพนามคนอื่นอาจเป็นเท็จ
Consider the sentence: "He is a mathematician."
This is an open sentence where "He" is the variable. If "He" is replaced by "Pythagoras", it becomes true.
พิจารณาประโยค: $x^2 > 4$
ประโยคนี้เป็นประโยคเปิด เพราะหากแทน $x = 3$ จะได้ $9 > 4$ (จริง) แต่หากแทน $x = 1$ จะได้ $1 > 4$ (เท็จ)
Consider the sentence: $x^2 > 4$
This is an open sentence. If we substitute $x = 3$, it yields $9 > 4$ (True), but if $x = 1$, it yields $1 > 4$ (False).
พิจารณาประโยค: $x + y = 10$
ประโยคเปิดสามารถมีตัวแปรได้มากกว่าหนึ่งตัว ในกรณีนี้ต้องแทนค่าทั้ง $x$ และ $y$ พร้อมกัน จึงจะสามารถบอกค่าความจริงได้
Consider the sentence: $x + y = 10$
An open sentence can have multiple variables. In this case, both $x$ and $y$ must be substituted to determine its truth value.
พิจารณาประโยค: "$x$ เป็นจำนวนเฉพาะ"
เป็นประโยคเปิด หากแทน $x = 5$ ประโยคจะเป็นจริง แต่ถ้าแทน $x = 4$ ประโยคจะเป็นเท็จ
Consider the sentence: "$x$ is a prime number."
It is an open sentence. If $x = 5$, it is true. If $x = 4$, it is false.
พิจารณาประโยค: "จังหวัด $y$ อยู่ในภาคใต้ของประเทศไทย"
ตัวแปรคือ $y$ หากแทน $y$ ด้วย "ภูเก็ต" ประโยคจะเป็นจริง แต่ถ้าแทนด้วย "เชียงใหม่" ประโยคจะเป็นเท็จ
Consider the sentence: "Province $y$ is located in Southern Thailand."
The variable is $y$. If $y$ is "Phuket", it's true. If $y$ is "Chiang Mai", it's false.
พิจารณาประโยค: "เธอเป็นนายกรัฐมนตรีหญิงคนแรกของไทย"
คำว่า "เธอ" ทำหน้าที่เป็นตัวแปร (เปรียบเสมือนตัวแปร $x$) หากแทนด้วย "ยิ่งลักษณ์ ชินวัตร" ประโยคจะเป็นจริง
Consider the sentence: "She is the first female Prime Minister of Thailand."
The word "She" acts as a variable. If replaced by "Yingluck Shinawatra", the sentence becomes true.
พิจารณาประโยค: $A \subset \{1, 2, 3\}$
เป็นประโยคเปิดที่มี $A$ เป็นตัวแปร (ซึ่งเป็นเซต) หากแทน $A = \{1\}$ จะได้ประพจน์จริง หากแทน $A = \{4\}$ จะได้ประพจน์เท็จ
Consider the sentence: $A \subset \{1, 2, 3\}$
This is an open sentence with $A$ as the variable (a set). If $A = \{1\}$, it's true. If $A = \{4\}$, it's false.
พิจารณาประโยค: $\sin(\theta) = 1$
ตัวแปรคือมุม $\theta$ หากแทน $\theta = 90^\circ$ (หรือ $\frac{\pi}{2}$) จะได้สมการที่เป็นจริง
Consider the sentence: $\sin(\theta) = 1$
The variable is the angle $\theta$. If we substitute $\theta = 90^\circ$ (or $\frac{\pi}{2}$), the equation is true.
พิจารณาประโยค: $|x - 3| \le 5$
ประโยคเปิดรูปแบบอสมการค่าสัมบูรณ์ ค่าความจริงขึ้นอยู่กับตัวแปร $x$ ที่นำมาแทนค่า เช่นแทน $x=0$ (จริง) แทน $x=10$ (เท็จ)
Consider the sentence: $|x - 3| \le 5$
An open sentence in the form of an absolute value inequality. The truth value depends entirely on the substituted value of $x$.
ตัวบ่งปริมาณ Quantifiers
ตัวบ่งปริมาณในตรรกศาสตร์มี 2 ชนิดหลักที่ใช้ระบุขอบเขตของตัวแปร $x$ ในเอกภพสัมพัทธ์ $U$:
- ตัวบ่งปริมาณบอกทั้งหมด (Universal Quantifier): เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\forall$ อ่านว่า "สำหรับ...ทุกตัว" (For all)
- ตัวบ่งปริมาณบอกบางส่วน (Existential Quantifier): เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\exists$ อ่านว่า "มี...อย่างน้อยหนึ่งตัว" หรือ "สำหรับ...บางตัว" (For some / There exists)
There are 2 main types of quantifiers used to specify the scope of variable $x$ in a universal set $U$:
- Universal Quantifier: Denoted by $\forall$, read as "For all" or "For every".
- Existential Quantifier: Denoted by $\exists$, read as "For some" or "There exists".
ข้อความ: "จำนวนจริง $x$ ทุกจำนวน บวกด้วยศูนย์จะเท่ากับตัวมันเอง"
Statement: "For every real number $x$, adding zero equals itself."
ข้อความ: "มีจำนวนเต็ม $x$ บางจำนวนที่ยกกำลังสองแล้วเท่ากับ 4"
Statement: "There exists an integer $x$ such that its square is 4."
ข้อความ: "จำนวนจริง $x$ ใดๆ จะมีค่าสัมบูรณ์มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ"
Statement: "For every real number $x$, its absolute value is always greater than or equal to zero."
ข้อความ: "มีจำนวนจริง $x$ บางตัวที่บวกด้วย 5 แล้วผลลัพธ์เท่ากับ 10"
Statement: "There is some real number $x$ such that when added to 5, the result is 10."
ข้อความ: "กำลังสองของจำนวนจริงทุกจำนวน ย่อมไม่เป็นจำนวนลบ"
Statement: "The square of all real numbers is always non-negative."
ข้อความ: "มีจำนวนเต็ม $x$ บางจำนวนที่อยู่ระหว่าง 2 และ 5"
Statement: "There exists an integer $x$ that is between 2 and 5."
ข้อความ: "สำหรับจำนวนเต็ม $x$ ทุกจำนวน ถ้า $x$ น้อยกว่า 0 แล้ว $x^2$ จะมากกว่า 0"
Statement: "For all integers $x$, if $x$ is less than 0, then $x^2$ is greater than 0."
ข้อความ: "มีจำนวนนับบางจำนวนที่เป็นทั้งจำนวนเฉพาะและเป็นเลขคู่"
Statement: "There exists some natural number $x$ that is both prime and even."
ข้อความ: "สำหรับมุม $\theta$ ที่เป็นจำนวนจริงใดๆ ค่าของ $\sin^2\theta + \cos^2\theta$ จะเท่ากับ 1 เสมอ"
Statement: "For any real angle $\theta$, the value of $\sin^2\theta + \cos^2\theta$ is always equal to 1."
ข้อความ: "มีจำนวนจริง $x$ อย่างน้อยหนึ่งตัว ที่นำไปคูณกับจำนวนจริงใดๆ แล้วได้ตัวมันเอง (นั่นคือ 1)"
Statement: "There exists at least one real number $x$ such that when multiplied with any real number, it remains the same (which is 1)."
กรณีที่มี 2 ตัวแปร (Nested Quantifiers)
ข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนขึ้น มักจะมีความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรมากกว่า 1 ตัว ซึ่งเราสามารถใช้ตัวบ่งปริมาณวางซ้อนกันได้ การอ่านจะแปลความหมายจาก ซ้ายไปขวา เสมอ:
More complex mathematical statements often involve relationships between multiple variables. We can nest quantifiers to express this. The reading order is always strictly from left to right:
ข้อความ: "สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทุกตัว ผลบวกของ $x+y$ ย่อมมีค่าเท่ากับ $y+x$"
Statement: "For all real numbers $x$ and $y$, the sum of $x+y$ is always equal to $y+x$."
ข้อความ: "มีจำนวนเต็ม $x$ และ $y$ บางคู่ ที่บวกกันแล้วมีค่าเท่ากับ 10"
Statement: "There exist some integers $x$ and $y$ such that their sum equals 10."
ข้อความ: "สำหรับจำนวนจริง $x$ ทุกจำนวน จะมีจำนวนจริง $y$ บางจำนวนที่ทำให้ $x \cdot y = 1$"
Statement: "For every real number $x$, there exists some real number $y$ such that $x \cdot y = 1$."
ข้อความ: "มีจำนวนจริง $x$ บางจำนวน ซึ่งเมื่อนำไปบวกกับจำนวนจริง $y$ ใดๆ ก็ตาม จะได้ผลลัพธ์เป็น $y$ เสมอ"
(หมายถึงมีตัวหลัก $x$ ที่เป็นเอกลักษณ์การบวก ซึ่งก็คือ 0 นั่นเอง)
Statement: "There is some real number $x$, such that when added to any real number $y$, the result is always $y$."
(This refers to a master variable $x$ acting as the additive identity, which is 0.)
ข้อความ: "สำหรับจำนวนเต็ม $x$ และ $y$ ทุกจำนวน ถ้า $x > 0$ และ $y > 0$ แล้วผลคูณของพวกมันจะต้องมากกว่า 0 ด้วย"
Statement: "For all integers $x$ and $y$, if $x > 0$ and $y > 0$, then their product must also be greater than 0."
การหาค่าความจริง Truth Values
การประเมินค่าความจริง (T หรือ F) ของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ขึ้นอยู่กับเอกภพสัมพัทธ์ ($U$) ที่กำหนด:
- $\forall x [P(x)]$ จะเป็น จริง (T) ก็ต่อเมื่อแทนค่า $x$ ทุกตัวใน $U$
แล้วทำให้ $P(x)$ เป็นจริงทั้งหมด
จะเป็น เท็จ (F) เมื่อเจอ $x$ อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ $P(x)$ เป็นเท็จ (หาข้อขัดแย้งเจอ) - $\exists x [P(x)]$ จะเป็น จริง (T) ก็ต่อเมื่อหาเจอ $x$ อย่างน้อย 1
ตัวใน $U$ ที่ทำให้ $P(x)$ เป็นจริง
จะเป็น เท็จ (F) เมื่อแทนค่า $x$ ทุกตัวแล้ว $P(x)$ เป็นเท็จทั้งหมด
Evaluating the truth value (T or F) depends on the Universal Set ($U$):
- $\forall x [P(x)]$ is True (T) if replacing $x$ with every
element in $U$ makes $P(x)$ true.
It is False (F) if you find at least one $x$ that makes $P(x)$ false (a counterexample). - $\exists x [P(x)]$ is True (T) if you find at least one $x$ in
$U$ that makes $P(x)$ true.
It is False (F) if every element in $U$ makes $P(x)$ false.
จงหาค่าความจริงของ $\forall x [x + 1 > x]$ เมื่อ $U = \mathbb{R}$ (จำนวนจริง)
วิธีคิด: พิจารณาแก้อสมการด้านใน
เนื่องจาก $1 > 0$ เป็นอสมการที่เป็นจริงเสมอ ไม่ว่าจะแทน $x$ เป็นจำนวนจริงใดก็ตาม
$\therefore$ ค่าความจริงคือ T (จริง)
Find the truth value of $\forall x [x + 1 > x]$ where $U = \mathbb{R}$
Method: Consider the inequality:
Since $1 > 0$ is always true for all real numbers.
$\therefore$ Truth value is True
จงหาค่าความจริงของ $\forall x [x^2 > 0]$ เมื่อ $U = \{-1, 0, 1\}$
วิธีคิด: ตัวบ่งปริมาณ $\forall$ ต้องเป็นจริงทุกตัว ลองแทนค่าสมาชิกใน $U$:
- แทน $x = -1 \implies (-1)^2 = 1 > 0$ (จริง)
- แทน $x = 0 \implies 0^2 = 0 \ngtr 0$ (เท็จ)
เราพบ $x = 0$ อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ประโยคเป็นเท็จ (เกิดข้อขัดแย้ง)
$\therefore$ ค่าความจริงคือ F (เท็จ)
Find the truth value of $\forall x [x^2 > 0]$ where $U = \{-1, 0, 1\}$
Method: Test the elements in $U$:
- Let $x = -1 \implies (-1)^2 = 1 > 0$ (True)
- Let $x = 0 \implies 0^2 = 0 \ngtr 0$ (False)
Since $x = 0$ makes it false, we found a counterexample.
$\therefore$ Truth value is False
จงหาค่าความจริงของ $\exists x [x^2 = 4]$ เมื่อ $U = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$
วิธีคิด: ตัวบ่งปริมาณ $\exists$ ต้องการหาเพียงแค่ 1 ตัวที่ทำให้สมการเป็นจริง
ลองแทน $x = 2$ ลงในสมการ:
สมการเป็นจริง (หรือถ้าเลือก $x = -2$ ก็ได้ผลลัพธ์เป็นจริงเช่นกัน)
$\therefore$ ค่าความจริงคือ T (จริง)
Find the truth value of $\exists x [x^2 = 4]$ where $U = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$
Method: We just need to find one value that makes the equation true.
Let $x = 2$:
The statement holds true (choosing $x = -2$ also works).
$\therefore$ Truth value is True
จงหาค่าความจริงของ $\exists x [x+5 = 0]$ เมื่อ $U = \mathbb{N}$ (จำนวนนับ)
วิธีคิด: แก้สมการเพื่อหาค่า $x$:
แต่พบว่า $-5 \notin \mathbb{N}$ (ไม่ได้อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ที่กำหนด)
จึงสรุปได้ว่าไม่มีจำนวนนับใดเลยที่ทำให้สมการนี้เป็นจริงได้
$\therefore$ ค่าความจริงคือ F (เท็จ)
Find the truth value of $\exists x [x+5 = 0]$ where $U = \mathbb{N}$ (Natural numbers)
Method: Solve the equation for $x$:
However, $-5 \notin \mathbb{N}$ (Not in the universal set).
No natural number makes this equation true.
$\therefore$ Truth value is False
จงหาค่าความจริงของ $\forall x [x < 5 \rightarrow x^2 < 25]$ เมื่อ $U=\{1, 2, 3, 4\}$
วิธีคิด: ทดสอบความจริงของประโยคกับสมาชิกทุกตัวใน $U$:
- $x=1 : (1<5) \rightarrow (1<25) \equiv T \rightarrow T \equiv T$
- $x=2 : (2<5) \rightarrow (4<25) \equiv T \rightarrow T \equiv T$
- $x=3 : (3<5) \rightarrow (9<25) \equiv T \rightarrow T \equiv T$
- $x=4 : (4<5) \rightarrow (16<25) \equiv T \rightarrow T \equiv T$
เป็นจริงครบทุกกรณี
$\therefore$ ค่าความจริงคือ T (จริง)
Find the truth value of $\forall x [x < 5 \rightarrow x^2 < 25]$ where $U=\{1, 2, 3, 4\}$
Method: Test all cases for elements in $U$:
- $x=1 : (1<5) \rightarrow (1<25) \equiv T \rightarrow T \equiv T$
- $x=2 : (2<5) \rightarrow (4<25) \equiv T \rightarrow T \equiv T$
- $x=3 : (3<5) \rightarrow (9<25) \equiv T \rightarrow T \equiv T$
- $x=4 : (4<5) \rightarrow (16<25) \equiv T \rightarrow T \equiv T$
All cases are true.
$\therefore$ Truth value is True
จงหาค่าความจริงของ $\forall x [x < 0 \rightarrow x^2> 0]$ เมื่อ $U = \mathbb{Z}$ (จำนวนเต็ม)
วิธีคิด: แบ่งพิจารณาตามเงื่อนไขของตัวเลข:
- กรณี $x < 0$ (เช่น -1, -2): ประพจน์หน้าเป็น $T$ และจำนวนลบยกกำลังสองย่อมเป็นบวก (ประพจน์หลัง $T$) จะได้ $T \rightarrow T \equiv T$
- กรณี $x \ge 0$ (เช่น 0, 1, 2): ประพจน์หน้าเป็น $F$ ตามกฎตรรกศาสตร์ ถ้าเหตุเป็นเท็จ ประโยค "ถ้า..แล้ว" จะเป็นจริงเสมอ จะได้ $F \rightarrow \dots \equiv T$
เป็นจริงทุกกรณี
$\therefore$ ค่าความจริงคือ T (จริง)
Find the truth value of $\forall x [x < 0 \rightarrow x^2> 0]$ where $U = \mathbb{Z}$ (Integers)
Method: Split into cases:
- If $x < 0$: Antecedent is $T$, Consequent is $T$ (negative squared is positive). $T \rightarrow T \equiv T$
- If $x \ge 0$: Antecedent is $F$. Implication is always true when antecedent is false. $F \rightarrow \dots \equiv T$
It holds true for all cases.
$\therefore$ Truth value is True
จงหาค่าความจริงของ $\exists x [x \text{ เป็นเลขคู่ } \land x \text{ เป็นจำนวนเฉพาะ}]$ เมื่อ $U = \mathbb{N}$
วิธีคิด: ต้องการหาจำนวนนับเพียง 1 ตัวที่เป็นทั้ง "เลขคู่" และ "จำนวนเฉพาะ" ซึ่งนั่นคือ $x = 2$
เมื่อนำมาตรวจสอบกับประพจน์ย่อยจะได้:
$\therefore$ ค่าความจริงคือ T (จริง)
Find the truth value of $\exists x [x \text{ is even } \land x \text{ is prime}]$ where $U = \mathbb{N}$
Method: We need one natural number that is both even and prime. That number is $x = 2$.
Testing the statement:
$\therefore$ Truth value is True
จงหาค่าความจริงของ $\forall x [x \text{ เป็นเลขคี่ } \rightarrow x^2 \text{ เป็นเลขคี่}]$ เมื่อ $U = \mathbb{Z}$
วิธีคิด: ตามสมบัติทางคณิตศาสตร์ เลขคี่ยกกำลังสองจะได้ผลลัพธ์เป็นเลขคี่เสมอ
- ถ้า $x$ เป็นเลขคี่: ด้านหน้า $T \rightarrow$ ด้านหลัง $T \equiv T$
- ถ้า $x$ เป็นเลขคู่: ด้านหน้า $F \rightarrow$ ประพจน์เงื่อนไขเป็นจริงทันที $\equiv T$
$\therefore$ ค่าความจริงคือ T (จริง)
Find the truth value of $\forall x [x \text{ is odd } \rightarrow x^2 \text{ is odd}]$ where $U = \mathbb{Z}$
Method: By mathematical property, an odd number squared is always odd.
- If $x$ is odd: Front $T \rightarrow$ Back $T \equiv T$
- If $x$ is even: Front $F \rightarrow$ Implication is automatically true $\equiv T$
$\therefore$ Truth value is True
จงหาค่าความจริงของ $\exists x [|x| < 0]$ เมื่อ $U=\mathbb{R}$
วิธีคิด: จากนิยามของคณิตศาสตร์ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ จะต้องมีค่า $\ge 0$ เสมอ
ดังนั้นจึงไม่มีจำนวนจริงใดเลยที่ทำให้เงื่อนไข $|x| < 0$ เป็นจริงได้ ทุกการแทนค่าใน $U$ ล้วนเป็นเท็จ
$\therefore$ ค่าความจริงคือ F (เท็จ)
Find the truth value of $\exists x [|x| < 0]$ where $U=\mathbb{R}$
Method: By definition, absolute value is always greater than or equal to zero.
No real number can satisfy $|x| < 0$. Every substitution yields False.
$\therefore$ Truth value is False
จงหาค่าความจริงของ $\forall x [x^2 = x]$ เมื่อ $U = \{0, 1\}$
วิธีคิด: เนื่องจากเอกภพสัมพัทธ์มีสมาชิกแค่ 2 ตัว จึงสามารถแทนค่าเพื่อตรวจสอบได้ทั้งหมด:
เป็นจริงสำหรับทุกสมาชิกใน $U$
$\therefore$ ค่าความจริงคือ T (จริง)
Find the truth value of $\forall x [x^2 = x]$ where $U = \{0, 1\}$
Method: Since $U$ is small, check all elements:
It is true for all elements in $U$.
$\therefore$ Truth value is True
กรณีที่มี 2 ตัวแปร (Nested Quantifiers)
เมื่อประโยคเปิดมีตัวแปร 2 ตัว (เช่น $x$ และ $y$) ลำดับของการวางตัวบ่งปริมาณมีความสำคัญอย่างยิ่ง:
- $\forall x \forall y$ : จะเป็น จริง เมื่อจับคู่ $x$ และ $y$ ทุกคู่ แล้วเป็นจริงทั้งหมด
- $\exists x \exists y$ : จะเป็น จริง เมื่อหาพบแค่ $x$ และ $y$ อย่างน้อย 1 คู่ ที่ทำให้เป็นจริง
- $\forall x \exists y$ : จะเป็น จริง ถ้าสำหรับ $x$ ทุกตัว เราสามารถหา $y$ บางตัว (เลือกค่า $y$ ให้เปลี่ยนตาม $x$ ได้) มาจับคู่แล้วทำให้เป็นจริง
- $\exists x \forall y$ : จะเป็น จริง ก็ต่อเมื่อมี $x$ ค่าคงที่อย่างน้อย 1 ตัว ที่เมื่อนำไปจับคู่กับ $y$ ทุกตัว ในเอกภพสัมพัทธ์แล้วเป็นจริงเสมอ
When an open sentence contains 2 variables (like $x$ and $y$), the order of quantifiers is extremely important:
- $\forall x \forall y$ : True only if every pair of $x$ and $y$ makes the statement true.
- $\exists x \exists y$ : True if you can find at least one pair of $x$ and $y$ that makes it true.
- $\forall x \exists y$ : True if for every $x$, you can find some $y$ (the value of $y$ can depend on $x$) that makes it true.
- $\exists x \forall y$ : True if there is at least one specific $x$ (a master value) that works with every $y$ in the universal set.
จงหาค่าความจริงของ $\forall x \forall y [x + y = y + x]$ เมื่อ $U = \mathbb{R}$
วิธีคิด: ตาม สมบัติการสลับที่ของการบวก (Commutative Property)
ไม่ว่าจะหยิบ $x$ และ $y$ คู่ใดๆ ในระบบจำนวนจริงมาบวกกัน ค่าที่ได้จะเท่ากันเสมอ:
$\therefore$ ค่าความจริงคือ T (จริง)
Find the truth value of $\forall x \forall y [x + y = y + x]$ where $U = \mathbb{R}$
Method: By the Commutative Property of Addition.
Any pair of real numbers $x, y$ will always be equal when swapped:
$\therefore$ Truth value is True
จงหาค่าความจริงของ $\exists x \exists y [x^2 + y^2 = 0]$ เมื่อ $U = \mathbb{R}$
วิธีคิด: เราต้องการหา $x, y$ เพียงแค่ 1 คู่ที่สอดคล้องกับสมการ ลองกำหนดให้ $x = 0$ และ $y = 0$
สมการเป็นจริง เราพบ 1 คู่ที่สอดคล้องแล้ว
$\therefore$ ค่าความจริงคือ T (จริง)
Find the truth value of $\exists x \exists y [x^2 + y^2 = 0]$ where $U = \mathbb{R}$
Method: We just need to find 1 valid pair. Let $x = 0$ and $y = 0$:
The equation holds true.
$\therefore$ Truth value is True
จงหาค่าความจริงของ $\forall x \exists y [x + y = 0]$ เมื่อ $U = \mathbb{R}$
วิธีคิด: ความหมายคือ: สำหรับ $x$ ทุกตัว ต้องสามารถหา $y$ บางตัวมาบวกแล้วได้ $0$
สำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ เราสามารถเลือก $y$ ให้เป็น อินเวอร์สการบวก (Additive Inverse) ของมันได้เสมอ นั่นคือ:
เช่น ถ้าให้ $x = 5$ เราจะสามารถเลือก $y = -5$ มาคู่กันได้เสมอ จึงสามารถหาคู่ให้ $x$ ได้ทุกตัว
$\therefore$ ค่าความจริงคือ T (จริง)
Find the truth value of $\forall x \exists y [x + y = 0]$ where $U = \mathbb{R}$
Method: Meaning: For every $x$, we must find a $y$ that sums to $0$.
We can always choose $y$ as the Additive Inverse of $x$:
For example, if $x = 5$, we choose $y = -5$. A matching pair always exists.
$\therefore$ Truth value is True
จงหาค่าความจริงของ $\exists x \forall y [x \cdot y = 0]$ เมื่อ $U = \mathbb{R}$
วิธีคิด: ความหมายคือ: ต้องมี $x$ ค่าคงที่ 1 ตัว ที่นำไปคูณกับ $y$ ค่าไหนก็ได้ แล้วได้ผลลัพธ์เป็น $0$ เสมอ
ถ้าเรากำหนดให้ $x = 0$ เป็นตัวหลัก จะได้สมการ:
ซึ่งสมการนี้เป็นจริงสำหรับ $y$ ทุกตัวบนโลก เช่น $0(5)=0$, $0(-2)=0$, $0(\pi)=0$
$\therefore$ ค่าความจริงคือ T (จริง)
Find the truth value of $\exists x \forall y [x \cdot y = 0]$ where $U = \mathbb{R}$
Method: Meaning: There is one fixed $x$ that when multiplied by any $y$, yields $0$.
If we set $x = 0$, then the equation becomes:
Which is true for all $y$. For example, $0(5)=0$, $0(-2)=0$, $0(\pi)=0$.
$\therefore$ Truth value is True
จงหาค่าความจริงของ $\exists y \forall x [x + y = 0]$ เมื่อ $U = \mathbb{R}$
วิธีคิด: (โจทย์คล้าย 3.13 แต่สลับลำดับ $\exists, \forall$ ทำให้ความหมายเปลี่ยนไป)
ความหมายคือ: ต้องมี $y$ ค่าคงที่ ตัวเดียว ที่สามารถบวกกับ $x$ ทุกตัว บนโลกแล้วได้ $0$
ถ้าสมมติเราเลือก $y = 5$ จะได้สมการ $x + 5 = 0$ ซึ่งสมการนี้จะเป็นจริงแค่กรณีที่ $x = -5$ เท่านั้น
ดังนั้น ไม่มี $y$ ตัวใดเลยในจักรวาลที่สามารถใช้ครอบจักรวาลสำหรับ $x$ ได้ทุกตัว
$\therefore$ ค่าความจริงคือ F (เท็จ)
Find the truth value of $\exists y \forall x [x + y = 0]$ where $U = \mathbb{R}$
Method: (Similar to 3.13 but swapping $\exists, \forall$ changes the meaning)
Meaning: There is ONE fixed $y$ that sums with ANY $x$ to yield $0$.
If we guess $y = 5$, the equation $x + 5 = 0$ is ONLY true for $x = -5$.
No single value of $y$ can universally work for all $x$.
$\therefore$ Truth value is False
จงหาค่าความจริงของ $\forall x \exists y [x > y]$ เมื่อ $U = \mathbb{N}$ (จำนวนนับ)
วิธีคิด: ความหมายคือ: สำหรับ $x$ ทุกตัว ต้องสามารถหาจำนวนนับ $y$ ที่มีค่าน้อยกว่ามันได้
ถ้าเราลองพิจารณา $x = 1$ เราจะต้องหา $y \in \mathbb{N}$ ที่ทำให้เงื่อนไขเป็นจริง:
แต่ในเซตของจำนวนนับ $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ ไม่มีตัวเลขใดที่มีค่าน้อยกว่า 1 เลย (เราจึงหาคู่ให้ $x=1$ ไม่เจอ)
$\therefore$ ค่าความจริงคือ F (เท็จ)
Find the truth value of $\forall x \exists y [x > y]$ where $U = \mathbb{N}$ (Natural numbers)
Method: Meaning: For every $x$, we can find a natural number $y$ that is strictly less.
If we test $x = 1$, we need $y \in \mathbb{N}$ such that:
However, in $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$, no number is less than 1. No pair can be found for $x=1$.
$\therefore$ Truth value is False
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ Negation of Quantifiers
การหานิเสธ (Negation) ของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ มีกฎการแปลงง่ายๆ 2 ขั้นตอน คือ เปลี่ยนตัวบ่งปริมาณ (สลับระหว่าง $\forall$ กับ $\exists$) และ ใส่นิเสธที่ประโยคเปิด (เปลี่ยนเงื่อนไขด้านในเป็นตรงกันข้าม)
Finding the negation involves 2 simple steps: flip the quantifier (swap $\forall$ and $\exists$) and negate the open sentence (change the inner condition to its opposite).
จงหานิเสธของ $\forall x [x > 0]$
Find the negation of $\forall x [x > 0]$
จงหานิเสธของ $\exists x [x = 5]$
Find the negation of $\exists x [x = 5]$
จงหานิเสธของ $\forall x [x > 0 \rightarrow x^2 > 0]$
หมายเหตุ: $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \land \sim q$ (หน้าเหมือนเดิม และ นิเสธหลัง)
Find the negation of $\forall x [x > 0 \rightarrow x^2 > 0]$
Note: $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \land \sim q$ (Keep front AND negate back)
จงหานิเสธของ $\exists x [x > 2 \land x < 5]$
Find the negation of $\exists x [x > 2 \land x < 5]$
จงหานิเสธของ $\forall x [P(x) \lor Q(x)]$
Find the negation of $\forall x [P(x) \lor Q(x)]$
จงหานิเสธของข้อความ "มีจำนวนจริงบางจำนวนที่เป็นเลขคู่"
Find the negation of "Some real numbers are even."
จงหานิเสธของ $\forall x [x+1 = x]$
Find the negation of $\forall x [x+1 = x]$
จงหานิเสธของ $\exists x [\sim P(x)]$
Find the negation of $\exists x [\sim P(x)]$
จงหานิเสธของ $\forall x [-2 \le x < 5]$
แยกความหมายของ $-2 \le x < 5$ ออกมาคือ $(x \ge -2) \land (x < 5)$ ก่อน
Find the negation of $\forall x [-2 \le x < 5]$
Expand the meaning first: $(x \ge -2) \land (x < 5)$
จงหานิเสธของ $\exists x [x^2 = 4 \leftrightarrow x = 2]$
หมายเหตุ: $\sim(p \leftrightarrow q) \equiv p \leftrightarrow \sim q$ หรือ $\sim p \leftrightarrow q$
Find the negation of $\exists x [x^2 = 4 \leftrightarrow x = 2]$
Note: $\sim(p \leftrightarrow q) \equiv p \leftrightarrow \sim q$ or $\sim p \leftrightarrow q$
กรณีที่มี 2 ตัวแปร (Nested Quantifiers)
การหานิเสธของประโยคที่มี 2 ตัวแปร ให้ปฏิบัติตามกฎ 2 ข้ออย่างเคร่งครัด:
- กลับตัวบ่งปริมาณทุกตัวจากซ้ายไปขวา: เปลี่ยน $\forall$ เป็น $\exists$ และ $\exists$ เป็น $\forall$ ทุกตัวตามลำดับ
- ใส่นิเสธที่ประโยคเปิดด้านใน: เปลี่ยนเงื่อนไขด้านในสุดให้เป็นตรงกันข้าม
To negate an open sentence with 2 variables, strictly follow these 2 rules:
- Flip all quantifiers from left to right: Change every $\forall$ to $\exists$ and every $\exists$ to $\forall$ in order.
- Negate the inner open sentence: Change the innermost condition to its opposite.
จงหานิเสธของ $\forall x \exists y [x + y = 0]$
วิธีคิด:
- เปลี่ยนตัวบ่งปริมาณ: $\forall x \exists y$ กลายเป็น $\exists x \forall y$
- นิเสธประโยคเปิด: $x + y = 0$ กลายเป็น $x + y \neq 0$
Find the negation of $\forall x \exists y [x + y = 0]$
Method:
- Flip quantifiers: $\forall x \exists y$ becomes $\exists x \forall y$
- Negate condition: $x + y = 0$ becomes $x + y \neq 0$
จงหานิเสธของ $\exists x \forall y [x > y]$
วิธีคิด:
- เปลี่ยนตัวบ่งปริมาณ: $\exists x \forall y$ กลายเป็น $\forall x \exists y$
- นิเสธประโยคเปิด: เครื่องหมาย $>$ จะถูกเปลี่ยนเป็น $\le$
Find the negation of $\exists x \forall y [x > y]$
Method:
- Flip quantifiers: $\exists x \forall y$ becomes $\forall x \exists y$
- Negate condition: $>$ becomes $\le$
จงหานิเสธของ $\forall x \forall y [x^2 + y^2 \ge 0]$
วิธีคิด:
- เปลี่ยนตัวบ่งปริมาณ: $\forall x \forall y$ กลายเป็น $\exists x \exists y$ (เปลี่ยนทั้งหมด)
- นิเสธประโยคเปิด: เครื่องหมาย $\ge$ จะถูกเปลี่ยนเป็น $<$< /li>
Find the negation of $\forall x \forall y [x^2 + y^2 \ge 0]$
Method:
- Flip quantifiers: $\forall x \forall y$ becomes $\exists x \exists y$
- Negate condition: $\ge$ becomes $<$< /li>
จงหานิเสธของ $\forall x \exists y [x > 0 \rightarrow x \cdot y > 0]$
วิธีคิด: ข้อนี้ระวังการนิเสธประโยค "ถ้า...แล้ว..."
- เปลี่ยนตัวบ่งปริมาณ: $\forall x \exists y$ กลายเป็น $\exists x \forall y$
- นิเสธประโยคเงื่อนไข: ใช้กฎ $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \land \sim q$ (หน้าเหมือนเดิม และ นิเสธหลัง)
Find the negation of $\forall x \exists y [x > 0 \rightarrow x \cdot y > 0]$
Method: Be careful when negating an implication.
- Flip quantifiers: $\forall x \exists y$ becomes $\exists x \forall y$
- Negate implication: Use the rule $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \land \sim q$ (Keep front, AND, negate back).
จงหานิเสธของ $\exists x \exists y [x \text{ เป็นเลขคู่ } \land y \text{ เป็นเลขคี่}]$
วิธีคิด: ข้อนี้ต้องใช้กฎเดอมอร์แกน (De Morgan's Laws) กับตัวเชื่อม "และ"
- เปลี่ยนตัวบ่งปริมาณ: $\exists x \exists y$ กลายเป็น $\forall x \forall y$
- กระจายนิเสธเข้าประโยค: $\sim(p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q$
Find the negation of $\exists x \exists y [x \text{ is even } \land y \text{ is odd}]$
Method: Apply De Morgan's Laws to the "AND" connective.
- Flip quantifiers: $\exists x \exists y$ becomes $\forall x \forall y$
- Negate condition: $\sim(p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q$
จงหานิเสธของ $\forall x \forall y [x = y \leftrightarrow x - y = 0]$
วิธีคิด:
- เปลี่ยนตัวบ่งปริมาณ: $\forall x \forall y$ กลายเป็น $\exists x \exists y$
- นิเสธ "ก็ต่อเมื่อ": กระจายนิเสธเข้าฝั่งใดฝั่งหนึ่ง เช่น $\sim(p \leftrightarrow q) \equiv p \leftrightarrow \sim q$
Find the negation of $\forall x \forall y [x = y \leftrightarrow x - y = 0]$
Method:
- Flip quantifiers: $\forall x \forall y$ becomes $\exists x \exists y$
- Negate biconditional: Apply negation to one side, e.g., $\sim(p \leftrightarrow q) \equiv p \leftrightarrow \sim q$
คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary
คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์
| คำศัพท์ | รากศัพท์ / Root | ความหมาย / Meaning |
|---|---|---|
| Quantifier | quantitas (quantity) | ตัวบ่งปริมาณ · คำที่ใช้ระบุปริมาณของตัวแปรในประโยคเปิด |
| Open Sentence | open (not closed) | ประโยคเปิด · ประโยคที่มีตัวแปร ไม่สามารถบอกค่าความจริงได้ทันที |
| Universal Quantifier | universus (whole, entire) | ตัวบ่งปริมาณบอกทั้งหมด ($\forall$) · สำหรับทุกๆ ตัว |
| Existential Quantifier | exsistere (to stand forth, exist) | ตัวบ่งปริมาณบอกบางส่วน ($\exists$) · มีอย่างน้อยหนึ่งตัว |
| Truth Value | veritas (truth) + valere (to be worth) | ค่าความจริง · ค่าที่บอกสถานะว่าเป็นจริง (True) หรือเท็จ (False) |
| Negation | negare (to deny, say no) | นิเสธ · ข้อความที่มีความหมายตรงกันข้ามกับข้อความเดิม |
| Universal Set | universus (whole, entire) | เอกภพสัมพัทธ์ ($U$) · ขอบเขตของสมาชิกทั้งหมดที่เราสนใจ |