กลับ
คณิตศาสตร์ · Mathematics

การสร้างตารางค่าความจริงและสมมูล
Truth Tables & Equivalence

การตรวจสอบความเท่ากันของประพจน์และกฎการลดรูป · Verifying Logical Equality & Simplification Laws

ในการศึกษาตรรกศาสตร์ การรู้ว่าประพจน์สองรูปแบบให้ผลลัพธ์เหมือนกันหรือไม่นั้นสำคัญมาก เพราะจะช่วยให้เราสามารถ "ลดรูป" ประพจน์ที่ซับซ้อนให้ง่ายขึ้นได้

In logic, knowing whether two propositional forms yield identical results is crucial. This allows us to "simplify" complex expressions into more manageable forms.

1

🤝 ประพจน์ที่สมมูลกัน / Logical Equivalence

ประพจน์ที่สมมูลกัน ($\equiv$) คือ ประพจน์สองประพจน์ที่มี ค่าความจริงตรงกันทุกกรณี ของส่วนประกอบย่อย

เราสามารถตรวจสอบความสมมูลได้ 2 วิธีหลัก:

  1. ใช้ตารางค่าความจริง (ตรวจสอบทุกกรณี)
  2. ใช้กฎการสมมูล (รวดเร็วกว่าในกรณีที่ซับซ้อน)

Logical Equivalence ($\equiv$) refers to two propositions that have identical truth values for every possible combination of their components.

There are two main ways to verify equivalence:

  1. Using Truth Tables (Checking every case)
  2. Using Equivalence Laws (Efficient for complex forms)

🔍 การตรวจสอบด้วยตาราง / Verification via Table

ตรวจสอบว่า $\sim(p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q$ หรือไม่?

$p$ $q$ $p \land q$ $\sim(p \land q)$ $\sim p$ $\sim q$ $\sim p \lor \sim q$
T T T F F F F
T F F T F T T
F T F T T F T
F F F T T T T

✨ จะเห็นว่าคอลัมน์ของ $\sim(p \land q)$ และ $\sim p \lor \sim q$ มีค่าเหมือนกันทุกบรรทัด ดังนั้นประพจน์คู่นี้ สมมูลกัน

✨ Observe that the columns for $\sim(p \land q)$ and $\sim p \lor \sim q$ are identical. Therefore, these propositions are equivalent.

2

📜 กฎการสมมูลที่สำคัญ / Important Equivalence Laws

การจำกฎพื้นฐานเหล่านี้จะช่วยให้เราสามารถแก้โจทย์ตรรกศาสตร์ที่ซับซ้อนได้รวดเร็วมาก โดยเฉพาะในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย

Memorizing these fundamental laws allows for rapid simplification of complex logical expressions, a critical skill for competitive examinations.

1. กฎพื้นฐาน / Basics
  • นิเสธสองชั้น $\sim(\sim p) \equiv p$
  • การสลับที่ ($\land, \lor$) $p \land q \equiv q \land p$
  • การเปลี่ยนกลุ่ม $(p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r)$
2. การแจกแจง & เดอมอร์แกน
  • การแจกแจง $p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r)$
  • De Morgan (1) $\sim(p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q$
  • De Morgan (2) $\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$
3. กฎของ "ถ้า...แล้ว..." (ออกสอบบ่อย!)
  • เปลี่ยนเป็น หรือ $p \to q \equiv \sim p \lor q$
  • การแย้งสลับที่ $p \to q \equiv \sim q \to \sim p$
  • นิเสธของถ้า...แล้ว $\sim(p \to q) \equiv p \land \sim q$
4. กฎของ "ก็ต่อเมื่อ"
  • แยกเป็นสองทาง $p \leftrightarrow q \equiv (p \to q) \land (q \to p)$
  • สมมูลทางนิเสธ $p \leftrightarrow q \equiv \sim p \leftrightarrow \sim q$
  • นิเสธของก็ต่อเมื่อ $\sim(p \leftrightarrow q) \equiv \sim p \leftrightarrow q$
3

🚫 การกระจายนิเสธ / Negation Distribution

หัวใจของการกระจายนิเสธคือ "การเปลี่ยนตัวเชื่อม" เป็นประพจน์ตรงข้ามเสมอ

The core principle of distributing a negation is to "flip the connector" into its logical opposite.

รูปแบบ / Form ผลลัพธ์ / Transformation
$\sim(p \land q)$ $\sim p \lor \sim q$ (และ $\rightarrow$ หรือ)
$\sim(p \lor q)$ $\sim p \land \sim q$ (หรือ $\rightarrow$ และ)
$\sim(p \to q)$ $p \land \sim q$ (หน้าคงเดิม และ ปฏิเสธหลัง)
4

📝 ตัวอย่างการลดรูปประพจน์ / Simplification Examples

รวบรวมเทคนิคการใช้กฎการสมมูลเพื่อลดรูปประพจน์ที่ซับซ้อนให้สั้นที่สุด ซึ่งออกสอบบ่อยมากในระดับมัธยมปลาย

A collection of techniques using equivalence laws to simplify complex propositions, a common theme in high school mathematics examinations.

Ex 1: กระจายนิเสธพื้นฐาน / Basic Negation

จงลดรูปประพจน์ $\sim(p \lor \sim q)$

Simplify the proposition $\sim(p \lor \sim q)$

$$ \begin{aligned} \sim(p \lor \sim q) &\equiv \sim p \land \sim(\sim q) \\ &\equiv \sim p \land q \end{aligned} $$

Ex 2: การเปลี่ยน "ถ้า...แล้ว..." / Implication Conversion

จงลดรูปประพจน์ $\sim(p \to q) \lor (p \land q)$

Simplify $\sim(p \to q) \lor (p \land q)$

$$ \begin{aligned} \sim(p \to q) \lor (p \land q) &\equiv \sim(\sim p \lor q) \lor (p \land q) \\ &\equiv (p \land \sim q) \lor (p \land q) \\ &\equiv p \land (\sim q \lor q) \\ &\equiv p \land T \\ &\equiv p \end{aligned} $$

Ex 3: พิสูจน์ความสมมูล / Verification

จงตรวจสอบว่า $(p \to q)$ และ $(\sim q \to \sim p)$ สมมูลกันหรือไม่

Verify whether $(p \to q)$ and $(\sim q \to \sim p)$ are equivalent.

$$ \begin{aligned} \sim q \to \sim p &\equiv \sim(\sim q) \lor \sim p \\ &\equiv q \lor \sim p \\ &\equiv \sim p \lor q \\ &\equiv p \to q \end{aligned} $$

✨ สรุปว่า สมมูลกัน (เรียกว่า กฎการแย้งสลับที่ / Contrapositive)

✨ Conclusion: They are equivalent (Contrapositive Law).

Ex 4: การลดรูปขั้นสูง / Advanced Simplification

จงลดรูป $[(p \to q) \land p] \to q$

Simplify $[(p \to q) \land p] \to q$

$$ \begin{aligned} [(p \to q) \land p] \to q &\equiv [(\sim p \lor q) \land p] \to q \\ &\equiv [(\sim p \land p) \lor (q \land p)] \to q \\ &\equiv [F \lor (q \land p)] \to q \\ &\equiv (q \land p) \to q \\ &\equiv \sim(q \land p) \lor q \\ &\equiv (\sim q \lor \sim p) \lor q \\ &\equiv (\sim q \lor q) \lor \sim p \\ &\equiv T \lor \sim p \equiv T \end{aligned} $$

Ex 5: การกระจายนิเสธในวงเล็บ / Negation Distribution

จงลดรูป $\sim ( \sim p \land q) \land (p \lor q)$

Simplify $\sim ( \sim p \land q) \land (p \lor q)$

$$ \begin{aligned} \sim ( \sim p \land q) \land (p \lor q) &\equiv (p \lor \sim q) \land (p \lor q) \\ &\equiv p \lor (\sim q \land q) \\ &\equiv p \lor F \\ &\equiv p \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์ตรรกศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์ รากศัพท์ / Root ความหมาย / Meaning
Equivalence aequus (equal) สมมูล · การที่สองประพจน์มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี
Distributive distribuere (to distribute) การแจกแจง · การกระจายตัวเชื่อมเข้าไปในวงเล็บตามหลักตรรกศาสตร์
Simplification simplex (simple) การลดรูป · การทำให้ประพจน์ที่ซับซ้อนสั้นลงด้วยกฎการสมมูล
Tautology tauto (same) สัจนิรันดร์ · ประพจน์ที่เป็นจริงในทุกกรณีที่เป็นไปได้เสมอ