สัจนิรันดร์ (Tautology) คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น "จริง" (True) เสมอ ไม่ว่าประพจน์ย่อยข้างในจะมีค่าความจริงเป็นอะไรก็ตาม
ในทางตรรกศาสตร์ สัจนิรันดร์เปรียบเสมือน "ความจริงแท้" ที่ไม่สามารถโต้แย้งได้ภายในระบบนั้นๆ
A Tautology is a compound proposition that is always true, regardless of the truth values of the individual propositions that compose it.
In logic, tautologies represent "absolute truths" that hold firm under any logical interpretation.
📊 ตารางค่าความจริง / Truth Table Method
เป็นวิธีที่เห็นภาพชัดเจนที่สุด โดยการสร้างตารางเพื่อดูผลลัพธ์ในทุกกรณีที่เป็นไปได้ ถ้าคอลัมน์สุดท้ายเป็น T ทุกบรรทัด แสดงว่าเป็นสัจนิรันดร์
The most visual method: construct a table to observe results in all possible scenarios. If the final column contains only "T" in every row, it is a tautology.
$\sim p \lor p$ (กฎของความจริงที่ขัดแย้งไม่ได้ / Law of Excluded Middle)
| $p$ | $\sim p$ | $\sim p \lor p$ |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | T |
✨ เป็นสัจนิรันดร์ / Is a Tautology
$(p \land q) \to p$ (การลดรูป / Simplification)
| $p$ | $q$ | $p \land q$ | $(p \land q) \to p$ |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | F | T |
| F | T | F | T |
| F | F | F | T |
✨ เป็นสัจนิรันดร์ / Is a Tautology
$p \to (p \lor q)$ (การเพิ่ม / Addition)
| $p$ | $q$ | $p \lor q$ | $p \to (p \lor q)$ |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | T |
| F | F | F | T |
✨ เป็นสัจนิรันดร์ / Is a Tautology
$[(p \to q) \land (p \to r)] \to [p \to (q \land r)]$
| $p$ | $q$ | $r$ | $p \to q$ | $p \to r$ | $(p \to q) \land (p \to r)$ | $q \land r$ | $p \to (q \land r)$ | $[(p \to q) \land (p \to r)] \to [p \to (q \land r)]$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F | F | T |
| T | F | T | F | T | F | F | F | T |
| T | F | F | F | F | F | F | F | T |
| F | T | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | T | T | F | T | T |
| F | F | T | T | T | T | F | T | T |
| F | F | F | T | T | T | F | T | T |
✨ เป็นสัจนิรันดร์ / Is a Tautology
$(p \leftrightarrow q) \leftrightarrow [(p \to q) \land (q \to p)]$
| $p$ | $q$ | $p \leftrightarrow q$ | $p \to q$ | $q \to p$ | $(p \to q) \land (q \to p)$ | $(p \leftrightarrow q) \leftrightarrow [(p \to q) \land (q \to p)]$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | F | T |
| F | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T |
✨ เป็นสัจนิรันดร์ / Is a Tautology
$[(p \to q) \land q] \to p$ (Affirming the Consequent)
| $p$ | $q$ | $p \to q$ | $(p \to q) \land q$ | $[(p \to q) \land q] \to p$ |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T |
| F | T | T | T | F |
| F | F | T | F | T |
✕ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ / Is NOT a Tautology
$[(p \to q) \land \sim p] \to \sim q$ (Denying the Antecedent)
| $p$ | $q$ | $p \to q$ | $\sim p$ | $(p \to q) \land \sim p$ | $\sim q$ | $[(p \to q) \land \sim p] \to \sim q$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F | T |
| T | F | F | F | F | T | T |
| F | T | T | T | T | F | F |
| F | F | T | T | T | T | T |
✕ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ / Is NOT a Tautology
𐄂 การหาข้อขัดแย้ง / Contradiction Method
นิยมใช้กับประพจน์ที่มีตัวเชื่อม $\to$ (ถ้า...แล้ว) หรือ $\lor$ (หรือ) โดยเราจะ "สมมติให้ประพจน์เป็นเท็จ" แล้วไล่หาค่าของตัวแปรย่อย:
- 1 สมมติให้ประพจน์ทั้งหมดเป็น เท็จ (F)
- 2 กระจายค่า F ไปยังตัวแปรย่อย
- 3 ถ้าเกิด ข้อขัดแย้ง (Contradiction) แสดงว่าเป็น สัจนิรันดร์
Commonly used for implications ($\to$) and disjunctions ($\lor$). We "assume the proposition is false" and derive the truth values of its components:
- 1 Assume the entire proposition is False (F).
- 2 Distribute the "F" value to its components.
- 3 If a Contradiction occurs, the proposition is a Tautology.
$(p \to q) \to (\sim q \to \sim p)$
✨ จากการสมมติให้เป็นเท็จ พบว่าเกิดความขัดแย้งที่ค่า $p$ และ $q$ ดังนั้นจึงเป็น สัจนิรันดร์
✨ Assuming F leads to a conflict in values for $p$ and $q$. Thus, it is a Tautology.
$[p \land (p \to q)] \to q$ (Modus Ponens)
✨ เป็นสัจนิรันดร์ / Is a Tautology
$[(p \lor q) \land \sim p] \to q$ (Disjunctive Syllogism)
✨ เป็นสัจนิรันดร์ / Is a Tautology
$[(p \to q) \land (q \to r)] \to (p \to r)$ (Hypothetical Syllogism)
✨ เป็นสัจนิรันดร์ / Is a Tautology
$p \to (q \to p)$ (Law of Prothesis)
✨ เป็นสัจนิรันดร์ / Is a Tautology
$[(p \to q) \land q] \to p$ (Fallacy: Affirming the Consequent)
✕ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ / Is NOT a Tautology
เมื่อ $p=F, q=T$ ประพจน์จะเป็นเท็จ / Counter-interpretation: $p=F, q=T$.
$[(p \to q) \land \sim p] \to \sim q$ (Fallacy: Denying the Antecedent)
✕ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ / Is NOT a Tautology
สามารถสมมติให้เป็นเท็จได้สำเร็จ โดยไม่มีข้อขัดแย้ง / Successfully assumed F without conflicts.
คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary
คำศัพท์ตรรกศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์
| คำศัพท์ | รากศัพท์ / Root | ความหมาย / Meaning |
|---|---|---|
| Tautology | tauto (same) | สัจนิรันดร์ · ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอในทุกกรณี |
| Contradiction | contra (against) dicere (to speak) | ข้อขัดแย้ง · ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จเสมอในทุกกรณี |
| Syllogism | syn (together) logos (reason) | การอนุมาน · การสรุปผลอย่างสมเหตุสมผลจากเหตุที่มีอยู่ |
| Excluded Middle | - | กฎการยกเว้นตัวกลาง · กฎที่ระบุว่าประพจน์ต้องจริงหรือเท็จเท่านั้น |