ในการศึกษาตรรกศาสตร์ (Logic) รูปแบบของประพจน์มีความสำคัญมาก โดยเฉพาะประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น จริง ($T$) เสมอ ไม่ว่าประพจน์ย่อยจะมีค่าความจริงเป็นอะไรก็ตาม เราเรียกรูปแบบประพจน์ลักษณะนี้ว่า "สัจนิรันดร์" ซึ่งเป็นเครื่องมือสำคัญในการพิสูจน์และการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์
In the study of Logic, the form of a proposition is highly significant. Specifically, a proposition that is always True ($T$) regardless of the truth values of its individual parts is called a "Tautology". This is a fundamental tool for mathematical proofs and reasoning.
📖 ความหมาย 📖 Meaning / Definition
สัจนิรันดร์ (Tautology) คือ รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น จริง ($T$) ทุกกรณี ไม่ว่าประพจน์ย่อยที่นำมาเชื่อมกันจะมีค่าความจริงเป็น จริง ($T$) หรือ เท็จ ($F$) ก็ตาม
ในทางกลับกัน ถ้ารูปแบบของประพจน์มีค่าความจริงเป็น เท็จ ($F$) ทุกกรณี เราจะเรียกว่า ข้อขัดแย้ง (Contradiction)
💡 ข้อสังเกตที่สำคัญ:
ถ้าประพจน์ $P$ และ $Q$ สมมูลกัน ($P \equiv Q$) แล้ว รูปแบบของประพจน์ $P \leftrightarrow Q$ จะเป็นสัจนิรันดร์เสมอ
A Tautology is a compound proposition that is always True ($T$) in every possible case, regardless of the truth values (True or False) of its individual component propositions.
Conversely, if a proposition is always False ($F$), it is called a Contradiction.
💡 Important Note:
If propositions $P$ and $Q$ are logically equivalent ($P \equiv Q$), then the biconditional statement $P \leftrightarrow Q$ is always a tautology.
📊 การใช้ตารางตรวจสอบ 📊 Checking with Truth Tables
วิธีที่ตรงไปตรงมาที่สุดในการตรวจสอบสัจนิรันดร์ คือการสร้าง ตารางค่าความจริง (Truth Table) เพื่อแจกแจงกรณีทั้งหมด หากผลลัพธ์ในคอลัมน์สุดท้ายของประพจน์นั้นเป็น $T$ ทั้งหมด แสดงว่าเป็นสัจนิรันดร์ วิธีนี้เหมาะสำหรับประพจน์ที่มีตัวแปรน้อย (เช่น 1 หรือ 2 ตัวแปร)
The most straightforward way to check for a tautology is by constructing a Truth Table to list all possible scenarios. If the final column yields only $T$ (True), the statement is a tautology. This method is best for propositions with few variables (e.g., 1 or 2).
จงตรวจสอบว่า $p \lor \sim p$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
Verify if $p \lor \sim p$ is a tautology.
| $p$ | $\sim p$ | $p \lor \sim p$ |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | T |
สรุป: เนื่องจากผลลัพธ์เป็น $T$ ทุกกรณี ดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์
Conclusion: Since the result is $T$ in all cases, it is a tautology.
จงตรวจสอบว่า $p \r\rightarrow (p \lor q)$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
Verify if $p \r\rightarrow (p \lor q)$ is a tautology.
| $p$ | $q$ | $p \lor q$ | $p \r\rightarrow (p \lor q)$ |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | T |
| F | F | F | T |
สรุป: ผลลัพธ์ช่องสุดท้ายเป็น $T$ ทุกกรณี ดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์
Conclusion: The final column is all $T$, so it is a tautology.
จงตรวจสอบว่า $(p \land q) \r\rightarrow p$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
Verify if $(p \land q) \r\rightarrow p$ is a tautology.
| $p$ | $q$ | $p \land q$ | $(p \land q) \r\rightarrow p$ |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | F | T |
| F | T | F | T |
| F | F | F | T |
สรุป: ผลลัพธ์เป็น $T$ ทุกกรณี ดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์
Conclusion: Results are $T$ in all cases, so it is a tautology.
จงตรวจสอบว่า $p \leftrightarrow \sim(\sim p)$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
Verify if $p \leftrightarrow \sim(\sim p)$ is a tautology.
| $p$ | $\sim p$ | $\sim(\sim p)$ | $p \leftrightarrow \sim(\sim p)$ |
|---|---|---|---|
| T | F | T | T |
| F | T | F | T |
สรุป: ประพจน์เชื่อมด้วย $\leftrightarrow$ และมีค่าความจริงตรงกันทั้งสองข้าง จึงเป็น $T$ เสมอ เป็นสัจนิรันดร์
Conclusion: The biconditional connects identical truth values, resulting in always $T$. It is a tautology.
จงตรวจสอบว่า $p \r\rightarrow p$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
Verify if $p \r\rightarrow p$ is a tautology.
| $p$ | $p \r\rightarrow p$ |
|---|---|
| T | T |
| F | T |
สรุป: ผลลัพธ์เป็น $T$ ทุกกรณี ดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์
Conclusion: Since the result is $T$ in all cases, it is a tautology.
จงตรวจสอบว่า $q \r\rightarrow (p \lor q)$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
Verify if $q \r\rightarrow (p \lor q)$ is a tautology.
| $p$ | $q$ | $p \lor q$ | $q \r\rightarrow (p \lor q)$ |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | T |
| F | F | F | T |
สรุป: ผลลัพธ์เป็น $T$ ทุกกรณี ดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์
Conclusion: The final column is all $T$, so it is a tautology.
จงตรวจสอบว่า $\sim(p \land \sim p)$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
Verify if $\sim(p \land \sim p)$ is a tautology.
| $p$ | $\sim p$ | $p \land \sim p$ | $\sim(p \land \sim p)$ |
|---|---|---|---|
| T | F | F | T |
| F | T | F | T |
สรุป: ผลลัพธ์เป็น $T$ ทุกกรณี ดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์
Conclusion: Results are $T$ in all cases, so it is a tautology.
จงตรวจสอบว่า $[(p \r\rightarrow q) \land p] \r\rightarrow q$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
Verify if $[(p \r\rightarrow q) \land p] \r\rightarrow q$ is a tautology.
| $p$ | $q$ | $p \r\rightarrow q$ | $(p \r\rightarrow q) \land p$ | $[(p \r\rightarrow q) \land p] \r\rightarrow q$ |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T |
| F | T | T | F | T |
| F | F | T | F | T |
สรุป: ผลลัพธ์ช่องสุดท้ายเป็น $T$ ทุกกรณี ดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์
Conclusion: Since the final column contains only $T$, it is a tautology.
จงตรวจสอบว่า $(p \lor q) \r\rightarrow p$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
Verify if $(p \lor q) \r\rightarrow p$ is a tautology.
| $p$ | $q$ | $p \lor q$ | $(p \lor q) \r\rightarrow p$ |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | F |
| F | F | F | T |
สรุป: ในกรณีที่ $p$ เป็นเท็จ และ $q$ เป็นจริง จะได้ค่าความจริงเป็น $F$ ดังนั้น ไม่เป็นสัจนิรันดร์
Conclusion: When $p$ is False and $q$ is True, the result is $F$. Therefore, it is not a tautology.
⚔️ การหาข้อขัดแย้ง ⚔️ Proof by Contradiction (Falsification Method)
การสร้างตารางค่าความจริงจะยุ่งยากมากเมื่อมีตัวแปรหลายตัว (เช่น 3 ตัวแปร = 8 กรณี, 4 ตัวแปร = 16 กรณี) วิธีที่เร็วกว่าคือ "การหาข้อขัดแย้ง" มีหลักการทำงานดังนี้:
- สมมติให้ รูปแบบประพจน์นั้นมีค่าความจริงเป็น เท็จ ($F$)
- หาค่าความจริง ของประพจน์ย่อย ($p, q, r, \dots$) โยงย้อนกลับไปทีละขั้น
- วิเคราะห์ผลลัพธ์:
- หากพบว่าค่าความจริงของประพจน์ย่อยตัวเดียวกันมีค่า ขัดแย้งกัน (เป็นทั้ง $T$ และ $F$ ในเวลาเดียวกัน) แสดงว่าการสมมติให้เป็นเท็จนั้น เป็นไปไม่ได้ ดังนั้นประพจน์นี้จึง เป็นสัจนิรันดร์
- หาก ไม่เกิดข้อขัดแย้ง สามารถหาค่า $p, q, r$ ที่ทำให้ประพจน์เป็นเท็จได้จริง แสดงว่า ไม่เป็นสัจนิรันดร์
** วิธีนี้มักใช้ได้ดีกับประพจน์ที่เชื่อมด้วย "ถ้า...แล้ว" ($\r\rightarrow$) หรือ "หรือ" ($\lor$) เพราะมีกรณีที่เป็นเท็จ ($F$) เพียงกรณีเดียว **
Drawing full truth tables becomes tedious with many variables. A faster approach is the "Contradiction Method" (or Falsification). The steps are:
- Assume the entire proposition is False ($F$).
- Deduce the truth values of the sub-propositions ($p, q, r, \dots$) working backwards.
- Analyze the outcome:
- If a variable is forced to be both $T$ and $F$ simultaneously, a contradiction occurs. This means our assumption was impossible, so the statement is a tautology.
- If no contradiction is found (meaning it can genuinely be False), then it is NOT a tautology.
** This method is highly effective for statements connected by "If...then" ($\r\rightarrow$) or "Or" ($\lor$), as they are False ($F$) in only one specific scenario. **
จงตรวจสอบว่า $((p \r\rightarrow q) \land p) \r\rightarrow q$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิเคราะห์: จากแผนภาพ เราสมมติให้ประพจน์เป็นเท็จ (F) จะถูกบังคับให้ $p$ เป็น T และ $q$ เป็น F ซึ่งเมื่อนำไปแทนในเงื่อนไขซ้ายมือ $(p \r\rightarrow q)$ จะได้ผลลัพธ์เป็นเท็จ (F) ในวงกลมประ ขัดแย้ง กับค่า T ที่เราเพิ่งหาได้ข้างบน
สรุป: เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์
Verify if $((p \r\rightarrow q) \land p) \r\rightarrow q$ is a tautology using contradiction.
Analysis: By assuming the statement is False, we deduce that $p=T$ and $q=F$. Substituting this into $(p \r\rightarrow q)$ gives $F$ (in the dotted circle). This contradicts the required $T$ value for that branch.
Conclusion: A contradiction occurs, so it is a tautology.
จงตรวจสอบว่า $((p \r\rightarrow q) \land \sim q) \r\rightarrow \sim p$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิเคราะห์: จากแผนภาพ เมื่อสมมติให้รูปแบบประพจน์เป็นเท็จ (F) จะส่งผลให้ $\sim p$ เป็น F (ทำให้ $p$ เป็น T) และวงเล็บฝั่งซ้าย $[(p \r\rightarrow q) \land \sim q]$ ต้องเป็นจริง (T) ซึ่งหมายความว่าทั้ง $p \r\rightarrow q$ เป็น T และ $\sim q$ เป็น T (ทำให้ $q$ เป็น F) เมื่อนำค่า $p = T$ และ $q = F$ ย้อนกลับไปแทนใน $p \r\rightarrow q$ จะได้ $T \r\rightarrow F \equiv F$ ซึ่ง ขัดแย้ง กับค่า T ของฝั่งซ้ายที่ได้มาก่อนหน้า
สรุป: เกิดข้อขัดแย้งดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์
Verify if $((p \r\rightarrow q) \land \sim q) \r\rightarrow \sim p$ is a tautology.
Analysis: By assuming the statement is False (F), we get $\sim p \equiv F$ (which forces $p \equiv T$) and the left bracket $[(p \r\rightarrow q) \land \sim q]$ must be True (T). This requires both $p \r\rightarrow q \equiv T$ and $\sim q \equiv T$ (which forces $q \equiv F$). Substituting $p = T$ and $q = F$ back into $p \r\rightarrow q$ yields $T \r\rightarrow F \equiv F$, which contradicts the required T value of the left branch.
Conclusion: A contradiction occurs, so it is a tautology.
จงตรวจสอบว่า $((p \r\rightarrow q) \land (q \r\rightarrow r)) \r\rightarrow (p \r\rightarrow r)$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิเคราะห์: เมื่อเราทราบค่า $p=T$ และ $r=F$ จากฝั่งขวา นำมาแทนค่าฝั่งซ้ายจะบังคับให้ตัวแปร $q$ ต้องเป็น T (จากวงเล็บแรก) และเป็น F (จากวงเล็บหลัง) ในเวลาเดียวกัน ซึ่งเป็นไปไม่ได้เลย
สรุป: เกิดข้อขัดแย้งที่ตัวแปร $q$ ดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์
Verify if $((p \r\rightarrow q) \land (q \r\rightarrow r)) \r\rightarrow (p \r\rightarrow r)$ is a tautology.
Analysis: Having $p=T$ and $r=F$ from the right side, substituting these into the left side forces the variable $q$ to be **T** (from the first bracket) and **F** (from the second bracket) at the same time, which is impossible.
Conclusion: A contradiction is found on variable $q$. Thus, it is a tautology.
จงตรวจสอบว่า $(p \lor q) \r\rightarrow p$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิเคราะห์: เราสามารถสรุปค่าได้ว่า $p \equiv F$ และเมื่อนำไปแทนฝั่งซ้าย จะทำให้ $q$ ต้องเป็นจริง ($T$) โดย ไม่เกิดข้อขัดแย้งใดๆ เลย หมายความว่ามีกรณีที่ประพจน์นี้เป็น "เท็จ" ได้จริงๆ (คือเมื่อ $p$ เป็นเท็จ และ $q$ เป็นจริง)
สรุป: ไม่เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น ไม่เป็นสัจนิรันดร์
Verify if $(p \lor q) \r\rightarrow p$ is a tautology.
Analysis: We deduced $p \equiv F$ and $q \equiv T$ with no contradictions. This means the statement can genuinely be "False" under these specific conditions.
Conclusion: No contradiction found, so it is NOT a tautology.
จงตรวจสอบว่า $( (p \lor q) \land \sim p ) \r\rightarrow q$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิเคราะห์: เมื่อสมมติให้รูปแบบประพจน์เป็นเท็จ จะได้ $q=F$ และฝั่งซ้ายเป็น $T$ ซึ่งบังคับให้ $\sim p = T$ (ทำให้ $p=F$) และ $(p \lor q) = T$ แต่เมื่อนำ $p=F, q=F$ ไปแทนใน $(p \lor q)$ จะได้ $F \lor F \equiv F$ ซึ่ง ขัดแย้ง กับค่า $T$ ที่บังคับไว้
สรุป: เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์
Verify if $( (p \lor q) \land \sim p ) \r\rightarrow q$ is a tautology.
Analysis: Assuming $F$ yields $q=F$ and forces the left side to be $T$. This means $\sim p = T$ (so $p=F$) and $(p \lor q) = T$. Substituting $p=F, q=F$ into $(p \lor q)$ gives $F$, which contradicts the required $T$.
Conclusion: Contradiction occurs, so it is a tautology.
จงตรวจสอบว่า $(p \r\rightarrow q) \r\rightarrow (q \r\rightarrow p)$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิเคราะห์: จากฝั่งขวา $q \r\rightarrow p = F$ จะได้ $q=T, p=F$ เมื่อนำไปแทนฝั่งซ้ายจะได้ $F \r\rightarrow T \equiv T$ ซึ่งสอดคล้องและ ไม่เกิดข้อขัดแย้ง
สรุป: ไม่เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น ไม่เป็นสัจนิรันดร์
Verify if $(p \r\rightarrow q) \r\rightarrow (q \r\rightarrow p)$ is a tautology.
Analysis: From the right side, $q \r\rightarrow p = F$ gives $q=T, p=F$. Substituting this into the left side yields $F \r\rightarrow T \equiv T$, which matches the required value with no contradictions.
Conclusion: No contradiction found, so it is NOT a tautology.
จงตรวจสอบว่า $(p \land q) \r\rightarrow p$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิเคราะห์: ฝั่งขวาบังคับให้ $p=F$ แต่ฝั่งซ้าย $p \land q = T$ บังคับให้ $p=T$ และ $q=T$ ซึ่งทำให้ค่า $p$ เกิดความ ขัดแย้ง กันเอง
สรุป: เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์
Verify if $(p \land q) \r\rightarrow p$ is a tautology.
Analysis: The right side forces $p=F$, while the left side $p \land q = T$ forces $p=T$. This creates a direct contradiction on variable $p$.
Conclusion: Contradiction occurs, so it is a tautology.
จงตรวจสอบว่า $p \r\rightarrow (p \lor q)$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิเคราะห์: ฝั่งซ้ายบังคับให้ $p=T$ แต่ฝั่งขวา $p \lor q = F$ บังคับให้ $p=F$ และ $q=F$ ซึ่งเกิด ข้อขัดแย้ง ที่ตัวแปร $p$ ทันที
สรุป: เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์
Verify if $p \r\rightarrow (p \lor q)$ is a tautology.
Analysis: The left side forces $p=T$, but the right side $p \lor q = F$ forces $p=F$. This creates a direct contradiction on $p$.
Conclusion: Contradiction occurs, so it is a tautology.
จงตรวจสอบว่า $(p \r\rightarrow q) \r\rightarrow (\sim q \r\rightarrow \sim p)$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิเคราะห์: ฝั่งขวาบังคับให้ $\sim q = T$ (ได้ $q=F$) และ $\sim p = F$ (ได้ $p=T$) เมื่อแทน $p=T, q=F$ กลับไปในฝั่งซ้าย $p \r\rightarrow q$ จะได้ $T \r\rightarrow F \equiv F$ ซึ่ง ขัดแย้ง กับค่า $T$ ที่บังคับไว้
สรุป: เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์
Verify if $(p \r\rightarrow q) \r\rightarrow (\sim q \r\rightarrow \sim p)$ is a tautology.
Analysis: The right side yields $q=F$ and $p=T$. Substituting this into the left side $p \r\rightarrow q$ gives $F$, which contradicts the required $T$.
Conclusion: Contradiction occurs, so it is a tautology.
จงตรวจสอบว่า $(p \r\rightarrow q) \r\rightarrow (\sim p \r\rightarrow \sim q)$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิเคราะห์: จากฝั่งขวา $\sim p \r\rightarrow \sim q = F$ จะได้ $p=F, q=T$ เมื่อแทนกลับไปในฝั่งซ้าย $p \r\rightarrow q$ จะได้ $F \r\rightarrow T \equiv T$ ซึ่งสอดคล้องและ ไม่เกิดข้อขัดแย้ง
สรุป: ไม่เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น ไม่เป็นสัจนิรันดร์
Verify if $(p \r\rightarrow q) \r\rightarrow (\sim p \r\rightarrow \sim q)$ is a tautology.
Analysis: From the right side, we deduce $p=F$ and $q=T$. Substituting into the left side yields $F \r\rightarrow T \equiv T$, which perfectly matches the required value with no contradictions.
Conclusion: No contradiction found, so it is NOT a tautology.
🔄 รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน 🔄 Equivalent Propositions (Bi-conditional Method)
มีกฎพื้นฐานในการตรวจสอบสัจนิรันดร์ที่เชื่อมด้วย "ก็ต่อเมื่อ" ($\leftrightarrow$) คือ:
ดังนั้น หากต้องการตรวจสอบว่า $A \leftrightarrow B$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ เราเพียงแค่ตรวจสอบว่า $A$ สมมูลกับ $B$ ($A \equiv B$) หรือไม่ โดยใช้กฎความสมมูล
There is a fundamental rule for checking tautologies connected by "if and only if" ($\leftrightarrow$):
Therefore, to check if $A \leftrightarrow B$ is a tautology, we simply check whether $A$ is equivalent to $B$ ($A \equiv B$) using equivalence laws.
จงตรวจสอบว่า $(p \rightarrow q) \leftrightarrow (\sim p \lor q)$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิธีทำ: ให้ $A = (p \rightarrow q)$ และ $B = (\sim p \lor q)$
จากกฎความสมมูล เราทราบว่า: $(p \rightarrow q) \equiv (\sim p \lor q)$
นั่นคือ $A \equiv B$
สรุป: เนื่องจากรูปแบบประพจน์ทั้งสองฝั่งสมมูลกัน ดังนั้นเมื่อเชื่อมด้วย $\leftrightarrow$ จึง เป็นสัจนิรันดร์
Verify if $(p \rightarrow q) \leftrightarrow (\sim p \lor q)$ is a tautology.
Solution: Let $A = (p \rightarrow q)$ and $B = (\sim p \lor q)$
From equivalence laws, we know: $(p \rightarrow q) \equiv (\sim p \lor q)$
Therefore, $A \equiv B$.
Conclusion: Since both proposition forms are equivalent, connecting them with $\leftrightarrow$ means it is a tautology.
จงตรวจสอบว่า $\sim(p \land q) \leftrightarrow (\sim p \land \sim q)$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิธีทำ: ให้ $A = \sim(p \land q)$ และ $B = (\sim p \land \sim q)$
จากกฎเดอมอร์แกน (De Morgan's Laws): $\sim(p \land q) \equiv (\sim p \lor \sim q)$
จะเห็นว่า $(\sim p \lor \sim q)$ ไม่สมมูลกับ $(\sim p \land \sim q)$
นั่นคือ $A \not\equiv B$
สรุป: เนื่องจากรูปแบบประพจน์ทั้งสองฝั่ง ไม่สมมูลกัน ดังนั้นจึง ไม่เป็นสัจนิรันดร์
Verify if $\sim(p \land q) \leftrightarrow (\sim p \land \sim q)$ is a tautology.
Solution: Let $A = \sim(p \land q)$ and $B = (\sim p \land \sim q)$
From De Morgan's Laws: $\sim(p \land q) \equiv (\sim p \lor \sim q)$
We can see that $(\sim p \lor \sim q)$ is NOT equivalent to $(\sim p \land \sim q)$.
Therefore, $A \not\equiv B$.
Conclusion: Since the proposition forms are NOT logically equivalent, it is NOT a tautology.
จงตรวจสอบว่า $(p \rightarrow q) \leftrightarrow (\sim q \rightarrow \sim p)$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิธีทำ: ให้ $A = (p \rightarrow q)$ และ $B = (\sim q \rightarrow \sim p)$
จากกฎประพจน์แย้งสลับที่ (Contrapositive Law): $(p \rightarrow q) \equiv (\sim q \rightarrow \sim p)$
นั่นคือ $A \equiv B$
สรุป: เนื่องจากรูปแบบประพจน์ทั้งสองฝั่งสมมูลกัน ดังนั้นเมื่อเชื่อมด้วย $\leftrightarrow$ จึง เป็นสัจนิรันดร์
Verify if $(p \rightarrow q) \leftrightarrow (\sim q \rightarrow \sim p)$ is a tautology.
Solution: Let $A = (p \rightarrow q)$ and $B = (\sim q \rightarrow \sim p)$
From the Contrapositive Law: $(p \rightarrow q) \equiv (\sim q \rightarrow \sim p)$
Therefore, $A \equiv B$.
Conclusion: Since both proposition forms are equivalent, connecting them with $\leftrightarrow$ means it is a tautology.
จงตรวจสอบว่า $\sim(p \lor q) \leftrightarrow (\sim p \land \sim q)$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิธีทำ: ให้ $A = \sim(p \lor q)$ และ $B = (\sim p \land \sim q)$
จากกฎเดอมอร์แกน (De Morgan's Laws): $\sim(p \lor q) \equiv (\sim p \land \sim q)$
นั่นคือ $A \equiv B$
สรุป: เนื่องจากรูปแบบประพจน์ทั้งสองฝั่งสมมูลกัน ดังนั้นเมื่อเชื่อมด้วย $\leftrightarrow$ จึง เป็นสัจนิรันดร์
Verify if $\sim(p \lor q) \leftrightarrow (\sim p \land \sim q)$ is a tautology.
Solution: Let $A = \sim(p \lor q)$ and $B = (\sim p \land \sim q)$
From De Morgan's Laws: $\sim(p \lor q) \equiv (\sim p \land \sim q)$
Therefore, $A \equiv B$.
Conclusion: Since both proposition forms are equivalent, connecting them with $\leftrightarrow$ means it is a tautology.
จงตรวจสอบว่า $(p \rightarrow q) \leftrightarrow (q \rightarrow p)$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิธีทำ: ให้ $A = (p \rightarrow q)$ และ $B = (q \rightarrow p)$
พิจารณารูปแบบบทกลับ (Converse): $(q \rightarrow p)$ ไม่สมมูลกับ $(p \rightarrow q)$
เช่น เมื่อ $p$ เป็นเท็จ ($\text{F}$) และ $q$ เป็นจริง ($\text{T}$):
จะได้ $A = (\text{F} \rightarrow \text{T}) \equiv \text{T}$ และ $B = (\text{T} \rightarrow \text{F}) \equiv \text{F}$
ดังนั้น $A \not\equiv B$
สรุป: เนื่องจากรูปแบบประพจน์ทั้งสองฝั่ง ไม่สมมูลกัน ดังนั้นจึง ไม่เป็นสัจนิรันดร์
Verify if $(p \rightarrow q) \leftrightarrow (q \rightarrow p)$ is a tautology.
Solution: Let $A = (p \rightarrow q)$ and $B = (q \rightarrow p)$
Consider the converse form: $(q \rightarrow p)$ is NOT equivalent to $(p \rightarrow q)$.
For instance, when $p$ is false ($\text{F}$) and $q$ is true ($\text{T}$):
We get $A = (\text{F} \rightarrow \text{T}) \equiv \text{T}$ and $B = (\text{T} \rightarrow \text{F}) \equiv \text{F}$.
Therefore, $A \not\equiv B$.
Conclusion: Since the proposition forms are NOT logically equivalent, it is NOT a tautology.
คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary
คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์
| คำศัพท์ | รากศัพท์ / Root | ความหมาย / Meaning |
|---|---|---|
| Tautology | tauto- (the same) + -logy (study/speech) | สัจนิรันดร์ · รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอในทุกกรณี |
| Contradiction | contra- (against) + dicere (to speak) | ข้อขัดแย้ง / ความขัดแย้ง · ประพจน์ที่เป็นเท็จเสมอ หรือสถานการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ในเชิงตรรกะ |
| Proposition | pro- (forth) + ponere (to put) | ประพจน์ · ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่สามารถระบุได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง |
| Truth Value | - | ค่าความจริง · สถานะความจริงของประพจน์ ได้แก่ จริง (True) หรือ เท็จ (False) |
| Equivalent | aequus (equal) + valere (to be well/worth) | สมมูล · รูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันกรณีต่อกรณี สามารถใช้แทนกันได้ |