การอ้างเหตุผล

การอ้างเหตุผล (Logical Arguments) คือ กระบวนการอ้างข้อความกลุ่มหนึ่งซึ่งเรียกว่า "เหตุ" (Premises) เพื่อสนับสนุนข้อความอีกอันหนึ่งซึ่งเรียกว่า "ผล" (Conclusion) โดยในวิชาตรรกศาสตร์ เราจะให้ความสำคัญกับ รูปแบบ (Form) ของการอ้างเหตุผลมากกว่าเนื้อหา ว่าผลสรุปนั้นตามมาจากเหตุอย่างสมเหตุสมผลหรือไม่

A Logical Argument is a process of stating a set of propositions called "Premises" to support another proposition called the "Conclusion". In logic, we focus more on the Form of the argument rather than its content, checking if the conclusion validly follows from the premises.

ความสมเหตุสมผล Validity of an Argument

การอ้างเหตุผลประกอบด้วย เหตุ $P_1, P_2, \dots, P_n$ และ ผล $C$
การอ้างเหตุผลนี้จะ สมเหตุสมผล (Valid) ก็ต่อเมื่อ รูปแบบของประพจน์

$$(P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n) \rightarrow C$$

เป็นสัจนิรันดร์ (Tautology) ซึ่งหมายความว่า "หากเหตุทั้งหมดเป็นจริง ผลต้องเป็นจริงเสมอ"

An argument consists of premises $P_1, P_2, \dots, P_n$ and a conclusion $C$.
This argument is Valid if and only if the propositional form

$$(P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n) \rightarrow C$$

is a Tautology, which means "if all premises are true, the conclusion must inevitably be true."

ขั้นตอนการตรวจสอบ (วิธีหาข้อขัดแย้ง) Steps for Checking (Contradiction Method)

แทนที่จะสร้างตารางค่าความจริงที่ยาวและเสียเวลา เรานิยมใช้วิธีที่กระชับกว่า โดยมีขั้นตอนดังนี้:

จัดรูป: เชื่อมเหตุทุกข้อด้วย "และ" ($\land$) แล้วเชื่อมไปหาผลด้วย "ถ้า...แล้ว" ($\rightarrow$)
พิสูจน์: ตรวจสอบว่ารูปแบบประพจน์ที่ได้เป็น สัจนิรันดร์ หรือไม่ (นิยมใช้วิธีหาข้อขัดแย้ง หรือ จับเท็จด้วยการโยงเส้น)
สรุป: ถ้าเป็นสัจนิรันดร์ (สมมติให้เป็นเท็จแล้วเกิดข้อขัดแย้ง) $\implies$ สมเหตุสมผล (Valid)

Instead of building a long truth table, we prefer a more concise method:

Setup: Connect all premises with "and" ($\land$), then connect to the conclusion with "if...then" ($\rightarrow$).
Prove: Check if the resulting statement is a Tautology (commonly using the contradiction line diagram method).
Conclude: If it is a tautology (contradiction occurs when assuming false) $\implies$ Valid.

📝 ตัวอย่างการตรวจสอบ 20 รูปแบบ 📝 20 Examples of Argument Checking

มาดูตัวอย่างการตรวจสอบความสมเหตุสมผลด้วย การจัดรูป $\rightarrow$ พิสูจน์ $\rightarrow$ สรุป ใน 20 รูปแบบที่พบบ่อย

Let's look at 10 examples of checking validity using Setup $\rightarrow$ Prove $\rightarrow$ Conclude in common patterns.

Example 1

โจทย์: จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้

$$ \begin{aligned} &\text{เหตุ} \quad &&1) \ p \rightarrow q \\ & &&2) \ p \\ &\text{ผล} &&q \end{aligned} $$

วิธีทำ:

1. จัดรูป: นำเหตุมาเชื่อมด้วย $\land$ และเชื่อมผลด้วย $\rightarrow$
$$ [(p \rightarrow q) \land p] \rightarrow q $$
2. พิสูจน์: ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
3. สรุป: จากแผนภาพ เกิดข้อขัดแย้ง (รูปแบบประพจน์เป็นสัจนิรันดร์)
$\implies$ การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล (Valid)

Problem: Check the validity of the following argument.

$$ \begin{aligned} &\text{Premises} \quad &&1) \ p \rightarrow q \\ & &&2) \ p \\ &\text{Conclusion} &&q \end{aligned} $$

Solution:

1. Setup: Connect premises with $\land$ and conclusion with $\rightarrow$
$$ [(p \rightarrow q) \land p] \rightarrow q $$
2. Prove: Check if it is a tautology
3. Conclude: The diagram shows a contradiction (it is a tautology).
$\implies$ The argument is Valid

Example 2

โจทย์: จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้

$$ \begin{aligned} &\text{เหตุ} \quad &&1) \ p \rightarrow q \\ & &&2) \ \sim q \\ &\text{ผล} &&\sim p \end{aligned} $$

วิธีทำ:

1. จัดรูป: นำเหตุมาเชื่อมด้วย $\land$ และเชื่อมผลด้วย $\rightarrow$
$$ [(p \rightarrow q) \land \sim q] \rightarrow \sim p $$
2. พิสูจน์: ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
3. สรุป: จากแผนภาพ เกิดข้อขัดแย้ง
$\implies$ การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล (Valid)

Problem: Check the validity of the following argument.

$$ \begin{aligned} &\text{Premises} \quad &&1) \ p \rightarrow q \\ & &&2) \ \sim q \\ &\text{Conclusion} &&\sim p \end{aligned} $$

Solution:

1. Setup: Connect premises with $\land$ and conclusion with $\rightarrow$
$$ [(p \rightarrow q) \land \sim q] \rightarrow \sim p $$
2. Prove: Check if it is a tautology
3. Conclude: The diagram shows a contradiction.
$\implies$ The argument is Valid

Example 3

โจทย์: จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้

$$ \begin{aligned} &\text{เหตุ} \quad &&1) \ p \rightarrow q \\ & &&2) \ q \\ &\text{ผล} &&p \end{aligned} $$

วิธีทำ:

1. จัดรูป:
$$ [(p \rightarrow q) \land q] \rightarrow p $$
2. พิสูจน์: ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
3. สรุป: จากแผนภาพ ไม่เกิดข้อขัดแย้ง
$\implies$ การอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล (Invalid)

Problem: Check the validity of the following argument.

$$ \begin{aligned} &\text{Premises} \quad &&1) \ p \rightarrow q \\ & &&2) \ q \\ &\text{Conclusion} &&p \end{aligned} $$

Solution:

1. Setup:
$$ [(p \rightarrow q) \land q] \rightarrow p $$
2. Prove: Check if it is a tautology
3. Conclude: The diagram shows no contradiction.
$\implies$ The argument is Invalid

Example 4

โจทย์: จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้

$$ \begin{aligned} &\text{เหตุ} \quad &&1) \ p \rightarrow q \\ & &&2) \ \sim p \\ &\text{ผล} &&\sim q \end{aligned} $$

วิธีทำ:

1. จัดรูป:
$$ [(p \rightarrow q) \land \sim p] \rightarrow \sim q $$
2. พิสูจน์: ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
3. สรุป: จากแผนภาพ ไม่เกิดข้อขัดแย้ง
$\implies$ การอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล (Invalid)

Problem: Check the validity of the following argument.

$$ \begin{aligned} &\text{Premises} \quad &&1) \ p \rightarrow q \\ & &&2) \ \sim p \\ &\text{Conclusion} &&\sim q \end{aligned} $$

Solution:

1. Setup:
$$ [(p \rightarrow q) \land \sim p] \rightarrow \sim q $$
2. Prove: Check if it is a tautology
3. Conclude: The diagram shows no contradiction.
$\implies$ The argument is Invalid

Example 5

โจทย์: จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้

$$ \begin{aligned} &\text{เหตุ} \quad &&1) \ p \lor q \\ & &&2) \ \sim p \\ &\text{ผล} &&q \end{aligned} $$

วิธีทำ:

1. จัดรูป:
$$ [(p \lor q) \land \sim p] \rightarrow q $$
2. พิสูจน์: ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
3. สรุป: จากแผนภาพ เกิดข้อขัดแย้ง
$\implies$ การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล (Valid)

Problem: Check the validity of the following argument.

$$ \begin{aligned} &\text{Premises} \quad &&1) \ p \lor q \\ & &&2) \ \sim p \\ &\text{Conclusion} &&q \end{aligned} $$

Solution:

1. Setup:
$$ [(p \lor q) \land \sim p] \rightarrow q $$
2. Prove: Check if it is a tautology
3. Conclude: The diagram shows a contradiction.
$\implies$ The argument is Valid

Example 6

โจทย์: จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้

$$ \begin{aligned} &\text{เหตุ} \quad &&p \land q \\ &\text{ผล} &&p \end{aligned} $$

วิธีทำ:

1. จัดรูป:
$$ (p \land q) \rightarrow p $$
2. พิสูจน์: ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
3. สรุป: จากแผนภาพ เกิดข้อขัดแย้ง
$\implies$ การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล (Valid)

Problem: Check the validity of the following argument.

$$ \begin{aligned} &\text{Premises} \quad &&p \land q \\ &\text{Conclusion} &&p \end{aligned} $$

Solution:

1. Setup:
$$ (p \land q) \rightarrow p $$
2. Prove: Check if it is a tautology
3. Conclude: The diagram shows a contradiction.
$\implies$ The argument is Valid

Example 7

โจทย์: จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้

$$ \begin{aligned} &\text{เหตุ} \quad &&p \\ &\text{ผล} &&p \lor q \end{aligned} $$

วิธีทำ:

1. จัดรูป:
$$ p \rightarrow (p \lor q) $$
2. พิสูจน์: ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
3. สรุป: จากแผนภาพ เกิดข้อขัดแย้ง
$\implies$ การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล (Valid)

Problem: Check the validity of the following argument.

$$ \begin{aligned} &\text{Premises} \quad &&p \\ &\text{Conclusion} &&p \lor q \end{aligned} $$

Solution:

1. Setup:
$$ p \rightarrow (p \lor q) $$
2. Prove: Check if it is a tautology
3. Conclude: The diagram shows a contradiction.
$\implies$ The argument is Valid

Example 8

โจทย์: จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้

$$ \begin{aligned} &\text{เหตุ} \quad &&1) \ p \rightarrow q \\ & &&2) \ q \rightarrow r \\ &\text{ผล} &&p \rightarrow r \end{aligned} $$

วิธีทำ:

1. จัดรูป:
$$ [(p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r)] \rightarrow (p \rightarrow r) $$
2. พิสูจน์: ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
3. สรุป: จากแผนภาพ เกิดข้อขัดแย้ง
$\implies$ การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล (Valid)

Problem: Check the validity of the following argument.

$$ \begin{aligned} &\text{Premises} \quad &&1) \ p \rightarrow q \\ & &&2) \ q \rightarrow r \\ &\text{Conclusion} &&p \rightarrow r \end{aligned} $$

Solution:

1. Setup:
$$ [(p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r)] \rightarrow (p \rightarrow r) $$
2. Prove: Check if it is a tautology
3. Conclude: The diagram shows a contradiction.
$\implies$ The argument is Valid

Example 9

โจทย์: จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้

$$ \begin{aligned} &\text{เหตุ} \quad &&1) \ p \rightarrow q \\ & &&2) \ r \rightarrow q \\ &\text{ผล} &&p \rightarrow r \end{aligned} $$

วิธีทำ:

1. จัดรูป:
$$ [(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow q)] \rightarrow (p \rightarrow r) $$
2. พิสูจน์: ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
3. สรุป: จากแผนภาพ ไม่เกิดข้อขัดแย้ง
$\implies$ การอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล (Invalid)

Problem: Check the validity of the following argument.

$$ \begin{aligned} &\text{Premises} \quad &&1) \ p \rightarrow q \\ & &&2) \ r \rightarrow q \\ &\text{Conclusion} &&p \rightarrow r \end{aligned} $$

Solution:

1. Setup:
$$ [(p \rightarrow q) \land (r \rightarrow q)] \rightarrow (p \rightarrow r) $$
2. Prove: Check if it is a tautology
3. Conclude: The diagram shows no contradiction.
$\implies$ The argument is Invalid

Example 10

โจทย์: จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้

$$ \begin{aligned} &\text{เหตุ} \quad &&1) \ p \leftrightarrow q \\ & &&2) \ p \\ &\text{ผล} &&q \end{aligned} $$

วิธีทำ:

1. จัดรูป:
$$ [(p \leftrightarrow q) \land p] \rightarrow q $$
2. พิสูจน์: ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
3. สรุป: จากแผนภาพ เกิดข้อขัดแย้ง
$\implies$ การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล (Valid)

Problem: Check the validity of the following argument.

$$ \begin{aligned} &\text{Premises} \quad &&1) \ p \leftrightarrow q \\ & &&2) \ p \\ &\text{Conclusion} &&q \end{aligned} $$

Solution:

1. Setup:
$$ [(p \leftrightarrow q) \land p] \rightarrow q $$
2. Prove: Check if it is a tautology
3. Conclude: The diagram shows a contradiction.
$\implies$ The argument is Valid

Example 11

โจทย์: จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้

$$ \begin{aligned} &\text{เหตุ} \quad &&1) \ p \rightarrow q \\ & &&2) \ q \rightarrow r \\ & &&3) \ p \\ &\text{ผล} &&r \end{aligned} $$

วิธีทำ:

1. จัดรูป:
$$ [(p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r) \land p] \rightarrow r $$
2. พิสูจน์: ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
3. สรุป: จากแผนภาพ เกิดข้อขัดแย้ง
$\implies$ การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล (Valid)

Problem: Check the validity of the following argument.

$$ \begin{aligned} &\text{Premises} \quad &&1) \ p \rightarrow q \\ & &&2) \ q \rightarrow r \\ & &&3) \ p \\ &\text{Conclusion} &&r \end{aligned} $$

Solution:

1. Setup:
$$ [(p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r) \land p] \rightarrow r $$
2. Prove: Check if it is a tautology.
3. Conclude: The diagram shows a contradiction.
$\implies$ The argument is Valid

Example 12

โจทย์: จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้

$$ \begin{aligned} &\text{เหตุ} \quad &&1) \ p \lor q \\ & &&2) \ p \rightarrow r \\ & &&3) \ \sim r \\ &\text{ผล} &&q \end{aligned} $$

วิธีทำ:

1. จัดรูป:
$$ [(p \lor q) \land (p \rightarrow r) \land \sim r] \rightarrow q $$
2. พิสูจน์: ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
3. สรุป: จากแผนภาพ เกิดข้อขัดแย้ง
$\implies$ การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล (Valid)

Problem: Check the validity of the following argument.

$$ \begin{aligned} &\text{Premises} \quad &&1) \ p \lor q \\ & &&2) \ p \rightarrow r \\ & &&3) \ \sim r \\ &\text{Conclusion} &&q \end{aligned} $$

Solution:

1. Setup:
$$ [(p \lor q) \land (p \rightarrow r) \land \sim r] \rightarrow q $$
2. Prove: Check if it is a tautology.
3. Conclude: The diagram shows a contradiction.
$\implies$ The argument is Valid

Example 13

โจทย์: จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้

$$ \begin{aligned} &\text{เหตุ} \quad &&1) \ p \rightarrow q \\ & &&2) \ q \rightarrow r \\ & &&3) \ \sim p \\ &\text{ผล} &&\sim r \end{aligned} $$

วิธีทำ:

1. จัดรูป:
$$ [(p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r) \land \sim p] \rightarrow \sim r $$
2. พิสูจน์: ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
3. สรุป: จากแผนภาพ ไม่เกิดข้อขัดแย้ง (มีกรณีที่ทำให้เป็นเท็จได้)
$\implies$ การอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล (Invalid)

Problem: Check the validity of the following argument.

$$ \begin{aligned} &\text{Premises} \quad &&1) \ p \rightarrow q \\ & &&2) \ q \rightarrow r \\ & &&3) \ \sim p \\ &\text{Conclusion} &&\sim r \end{aligned} $$

Solution:

1. Setup:
$$ [(p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r) \land \sim p] \rightarrow \sim r $$
2. Prove: Check if it is a tautology.
3. Conclude: The diagram shows no contradiction (there's a case where it's False).
$\implies$ The argument is Invalid

Example 14

โจทย์: จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้

$$ \begin{aligned} &\text{เหตุ} \quad &&1) \ p \rightarrow (q \land r) \\ & &&2) \ \sim q \\ & &&3) \ p \lor s \\ &\text{ผล} &&s \end{aligned} $$

วิธีทำ:

1. จัดรูป:
$$ [(p \rightarrow (q \land r)) \land \sim q \land (p \lor s)] \rightarrow s $$
2. พิสูจน์: ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
3. สรุป: จากแผนภาพ เกิดข้อขัดแย้ง
$\implies$ การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล (Valid)

Problem: Check the validity of the following argument.

$$ \begin{aligned} &\text{Premises} \quad &&1) \ p \rightarrow (q \land r) \\ & &&2) \ \sim q \\ & &&3) \ p \lor s \\ &\text{Conclusion} &&s \end{aligned} $$

Solution:

1. Setup:
$$ [(p \rightarrow (q \land r)) \land \sim q \land (p \lor s)] \rightarrow s $$
2. Prove: Check if it is a tautology.
3. Conclude: The diagram shows a contradiction.
$\implies$ The argument is Valid

Example 15

โจทย์: จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้

$$ \begin{aligned} &\text{เหตุ} \quad &&1) \ p \lor q \\ & &&2) \ q \rightarrow r \\ & &&3) \ p \rightarrow r \\ &\text{ผล} &&\sim r \end{aligned} $$

วิธีทำ:

1. จัดรูป:
$$ [(p \lor q) \land (q \rightarrow r) \land (p \rightarrow r)] \rightarrow \sim r $$
2. พิสูจน์: ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
3. สรุป: จากแผนภาพ ไม่เกิดข้อขัดแย้ง
$\implies$ การอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล (Invalid)

Problem: Check the validity of the following argument.

$$ \begin{aligned} &\text{Premises} \quad &&1) \ p \lor q \\ & &&2) \ q \rightarrow r \\ & &&3) \ p \rightarrow r \\ &\text{Conclusion} &&\sim r \end{aligned} $$

Solution:

1. Setup:
$$ [(p \lor q) \land (q \rightarrow r) \land (p \rightarrow r)] \rightarrow \sim r $$
2. Prove: Check if it is a tautology.
3. Conclude: The diagram shows no contradiction.
$\implies$ The argument is Invalid

Example 16

โจทย์: จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้

เหตุ:
1) ถ้าฉันอ่านหนังสือ แล้วฉันจะสอบผ่าน
2) ถ้าฉันสอบผ่าน แล้วพ่อจะซื้อโทรศัพท์ให้
3) ฉันไม่ได้โทรศัพท์
ผล: ฉันไม่ได้อ่านหนังสือ

วิธีทำ:

0. แปลงเป็นสัญลักษณ์:
ให้ $p$ แทน "ฉันอ่านหนังสือ"
ให้ $q$ แทน "ฉันสอบผ่าน"
ให้ $r$ แทน "พ่อจะซื้อโทรศัพท์ให้"

$$ \begin{aligned} &\text{เหตุ} \quad &&1) \ p \rightarrow q \\ & &&2) \ q \rightarrow r \\ & &&3) \ \sim r \\ &\text{ผล} &&\sim p \end{aligned} $$
1. จัดรูป:
$$ [(p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r) \land \sim r] \rightarrow \sim p $$
2. พิสูจน์: ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
3. สรุป: จากแผนภาพ เกิดข้อขัดแย้ง
$\implies$ การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล (Valid)

Problem: Check the validity of the following argument.

Premises:
1) If I study, then I will pass the exam.
2) If I pass the exam, then my dad will buy me a phone.
3) I did not get a phone.
Conclusion: I did not study.

Solution:

0. Translate to symbols:
Let $p$ = "I study"
Let $q$ = "I pass the exam"
Let $r$ = "My dad buys me a phone"

$$ \begin{aligned} &\text{Premises} \quad &&1) \ p \rightarrow q \\ & &&2) \ q \rightarrow r \\ & &&3) \ \sim r \\ &\text{Conclusion} &&\sim p \end{aligned} $$
1. Setup:
$$ [(p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r) \land \sim r] \rightarrow \sim p $$
2. Prove: Check if it is a tautology.
3. Conclude: The diagram shows a contradiction.
$\implies$ The argument is Valid

Example 17

โจทย์: จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้

เหตุ:
1) ฉันจะกินข้าวผัด หรือ ก๋วยเตี๋ยว
2) ถ้าฉันกินข้าวผัด แล้วฉันจะอิ่มมาก
3) ฉันไม่อิ่มมาก
ผล: ฉันกินก๋วยเตี๋ยว

วิธีทำ:

0. แปลงเป็นสัญลักษณ์:
ให้ $p$ แทน "ฉันกินข้าวผัด"
ให้ $q$ แทน "ฉันกินก๋วยเตี๋ยว"
ให้ $r$ แทน "ฉันอิ่มมาก"

$$ \begin{aligned} &\text{เหตุ} \quad &&1) \ p \lor q \\ & &&2) \ p \rightarrow r \\ & &&3) \ \sim r \\ &\text{ผล} &&q \end{aligned} $$
1. จัดรูป:
$$ [(p \lor q) \land (p \rightarrow r) \land \sim r] \rightarrow q $$
2. พิสูจน์: ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
3. สรุป: จากแผนภาพ เกิดข้อขัดแย้ง
$\implies$ การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล (Valid)

Problem: Check the validity of the following argument.

Premises:
1) I will eat fried rice or noodles.
2) If I eat fried rice, then I will be very full.
3) I am not very full.
Conclusion: I ate noodles.

Solution:

0. Translate to symbols:
Let $p$ = "I eat fried rice"
Let $q$ = "I eat noodles"
Let $r$ = "I am very full"

$$ \begin{aligned} &\text{Premises} \quad &&1) \ p \lor q \\ & &&2) \ p \rightarrow r \\ & &&3) \ \sim r \\ &\text{Conclusion} &&q \end{aligned} $$
1. Setup:
$$ [(p \lor q) \land (p \rightarrow r) \land \sim r] \rightarrow q $$
2. Prove: Check if it is a tautology.
3. Conclude: The diagram shows a contradiction.
$\implies$ The argument is Valid

Example 18

โจทย์: จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้

เหตุ:
1) ถ้าเขาเป็นคนดี แล้วเขาจะช่วยเหลือคนอื่น
2) ถ้าเขาช่วยเหลือคนอื่น แล้วเขาจะมีความสุข
3) เขาไม่ได้เป็นคนดี
ผล: เขาไม่มีความสุข

วิธีทำ:

0. แปลงเป็นสัญลักษณ์:
ให้ $p$ แทน "เขาเป็นคนดี"
ให้ $q$ แทน "เขาช่วยเหลือคนอื่น"
ให้ $r$ แทน "เขาจะมีความสุข"

$$ \begin{aligned} &\text{เหตุ} \quad &&1) \ p \rightarrow q \\ & &&2) \ q \rightarrow r \\ & &&3) \ \sim p \\ &\text{ผล} &&\sim r \end{aligned} $$
1. จัดรูป:
$$ [(p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r) \land \sim p] \rightarrow \sim r $$
2. พิสูจน์: ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
3. สรุป: จากแผนภาพ ไม่เกิดข้อขัดแย้ง (มีกรณีที่ทำให้เป็นเท็จได้)
$\implies$ การอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล (Invalid)

Problem: Check the validity of the following argument.

Premises:
1) If he is a good person, then he will help others.
2) If he helps others, then he will be happy.
3) He is not a good person.
Conclusion: He is not happy.

Solution:

0. Translate to symbols:
Let $p$ = "He is a good person"
Let $q$ = "He helps others"
Let $r$ = "He is happy"

$$ \begin{aligned} &\text{Premises} \quad &&1) \ p \rightarrow q \\ & &&2) \ q \rightarrow r \\ & &&3) \ \sim p \\ &\text{Conclusion} &&\sim r \end{aligned} $$
1. Setup:
$$ [(p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r) \land \sim p] \rightarrow \sim r $$
2. Prove: Check if it is a tautology.
3. Conclude: The diagram shows no contradiction (there's a case where it's False).
$\implies$ The argument is Invalid

Example 19

โจทย์: จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้

เหตุ:
1) ถ้าอากาศร้อน แล้วฉันจะเปิดแอร์และกินไอศกรีม
2) ฉันไม่ได้เปิดแอร์
3) อากาศร้อน หรือ ฉันไปว่ายน้ำ
ผล: ฉันไปว่ายน้ำ

วิธีทำ:

0. แปลงเป็นสัญลักษณ์:
ให้ $p$ แทน "อากาศร้อน"
ให้ $q$ แทน "ฉันเปิดแอร์"
ให้ $r$ แทน "ฉันกินไอศกรีม"
ให้ $s$ แทน "ฉันไปว่ายน้ำ"

$$ \begin{aligned} &\text{เหตุ} \quad &&1) \ p \rightarrow (q \land r) \\ & &&2) \ \sim q \\ & &&3) \ p \lor s \\ &\text{ผล} &&s \end{aligned} $$
1. จัดรูป:
$$ [(p \rightarrow (q \land r)) \land \sim q \land (p \lor s)] \rightarrow s $$
2. พิสูจน์: ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
3. สรุป: จากแผนภาพ เกิดข้อขัดแย้ง
$\implies$ การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล (Valid)

Problem: Check the validity of the following argument.

Premises:
1) If the weather is hot, then I will turn on the AC and eat ice cream.
2) I did not turn on the AC.
3) The weather is hot, or I go swimming.
Conclusion: I go swimming.

Solution:

0. Translate to symbols:
Let $p$ = "The weather is hot"
Let $q$ = "I turn on the AC"
Let $r$ = "I eat ice cream"
Let $s$ = "I go swimming"

$$ \begin{aligned} &\text{Premises} \quad &&1) \ p \rightarrow (q \land r) \\ & &&2) \ \sim q \\ & &&3) \ p \lor s \\ &\text{Conclusion} &&s \end{aligned} $$
1. Setup:
$$ [(p \rightarrow (q \land r)) \land \sim q \land (p \lor s)] \rightarrow s $$
2. Prove: Check if it is a tautology.
3. Conclude: The diagram shows a contradiction.
$\implies$ The argument is Valid

Example 20

โจทย์: จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้

เหตุ:
1) วันนี้เป็นวันเสาร์ หรือ วันอาทิตย์
2) ถ้าวันนี้เป็นวันอาทิตย์ แล้วฉันจะไปเที่ยว
3) ถ้าวันนี้เป็นวันเสาร์ แล้วฉันจะไปเที่ยว
ผล: ฉันไม่ได้ไปเที่ยว

วิธีทำ:

0. แปลงเป็นสัญลักษณ์:
ให้ $p$ แทน "วันนี้เป็นวันเสาร์"
ให้ $q$ แทน "วันนี้เป็นวันอาทิตย์"
ให้ $r$ แทน "ฉันจะไปเที่ยว"

$$ \begin{aligned} &\text{เหตุ} \quad &&1) \ p \lor q \\ & &&2) \ q \rightarrow r \\ & &&3) \ p \rightarrow r \\ &\text{ผล} &&\sim r \end{aligned} $$
1. จัดรูป:
$$ [(p \lor q) \land (q \rightarrow r) \land (p \rightarrow r)] \rightarrow \sim r $$
2. พิสูจน์: ตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
3. สรุป: จากแผนภาพ ไม่เกิดข้อขัดแย้ง
$\implies$ การอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล (Invalid)

Problem: Check the validity of the following argument.

Premises:
1) Today is Saturday or Sunday.
2) If today is Sunday, then I will go traveling.
3) If today is Saturday, then I will go traveling.
Conclusion: I did not go traveling.

Solution:

0. Translate to symbols:
Let $p$ = "Today is Saturday"
Let $q$ = "Today is Sunday"
Let $r$ = "I go traveling"

$$ \begin{aligned} &\text{Premises} \quad &&1) \ p \lor q \\ & &&2) \ q \rightarrow r \\ & &&3) \ p \rightarrow r \\ &\text{Conclusion} &&\sim r \end{aligned} $$
1. Setup:
$$ [(p \lor q) \land (q \rightarrow r) \land (p \rightarrow r)] \rightarrow \sim r $$
2. Prove: Check if it is a tautology.
3. Conclude: The diagram shows no contradiction.
$\implies$ The argument is Invalid

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์ตรรกศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Logical Argument	arguere (make clear, prove)	การอ้างเหตุผล · กระบวนการใช้เหตุผลเพื่อสนับสนุนข้อสรุป
Premise	praemittere (set in front)	เหตุ / ข้อสมมติ · ข้อความที่ถูกกำหนดให้เป็นข้อเท็จจริงตั้งต้น
Conclusion	concludere (shut up, enclose)	ผล / ข้อสรุป · ประพจน์ที่ได้มาจากกระบวนการคิดตามเหตุ
Validity (Valid)	validus (strong, effective)	ความสมเหตุสมผล · สถานะที่รูปแบบการอ้างเหตุผลมีผลสรุปที่แน่นอน (ไม่สามารถเกิดกรณีที่เหตุจริงแต่ผลเท็จได้)
Contradiction	contra- (against) + dicere (speak)	ข้อขัดแย้ง · สถานการณ์ที่เกิดความไม่สอดคล้องกันของค่าความจริง (เช่น ตัวแปรเดียวกันมีทั้งค่า T และ F ในเวลาเดียวกัน)
Tautology	tauto- (the same) + logos (word)	สัจนิรันดร์ · รูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น "จริง (T)" เสมอในทุกกรณี