การหารลงตัว

แนวคิดของ "การหารลงตัว" เป็นรากฐานสำคัญในการศึกษาคณิตศาสตร์แขนงทฤษฎีจำนวน (Number Theory) ซึ่งนำไปสู่การทำความเข้าใจจำนวนเฉพาะ, ห.ร.ม., ค.ร.น. และสมการไดโอแฟนไทน์

The concept of "Divisibility" is an essential foundation in Number Theory, leading to the understanding of prime numbers, GCD, LCM, and Diophantine equations.

📦 บทนิยามและสัญลักษณ์ / Definition & Notation

กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ $a \neq 0$

จะกล่าวว่า $a$ หาร $b$ ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม $c$ ที่ทำให้ $b = ac$

สัญลักษณ์:

ใช้ $a \mid b$ แทน "$a$ หาร $b$ ลงตัว"

ใช้ $a \nmid b$ แทน "$a$ หาร $b$ ไม่ลงตัว"

Let $a$ and $b$ be integers with $a \neq 0$.

We say that $a$ divides $b$ if and only if there exists an integer $c$ such that $b = ac$.

Notation:

Write $a \mid b$ for "$a$ divides $b$"

Write $a \nmid b$ for "$a$ does not divide $b$"

Example 1.1 : ตัวหารเป็นบวก

พิจารณา $3$ และ $12$

Consider $3$ and $12$.

$$ \begin{aligned} 12 &= 3(4) \end{aligned} $$

เนื่องจากมีจำนวนเต็ม $4$ ที่ทำให้สมการเป็นจริง ดังนั้น $3 \mid 12$

Since integer $4$ makes the equation true, thus $3 \mid 12$.

Example 1.2 : การหารไม่ลงตัว

พิจารณา $4$ และ $15$

Consider $4$ and $15$.

$$ \begin{aligned} 15 &= 4(c) \end{aligned} $$

ไม่มีจำนวนเต็ม $c$ ใดที่ทำให้สมการนี้เป็นจริง ดังนั้น $4 \nmid 15$

No integer $c$ satisfies this equation. Thus, $4 \nmid 15$.

Example 1.3 : ตัวตั้งติดลบ

พิจารณา $5$ และ $-20$

Consider $5$ and $-20$.

$$ \begin{aligned} -20 &= 5(-4) \end{aligned} $$

เนื่องจาก $-4 \in \mathbb{Z}$ ดังนั้น $5 \mid -20$

Since $-4 \in \mathbb{Z}$, thus $5 \mid -20$.

Example 1.4 : ตัวหารติดลบ

พิจารณา $-7$ และ $21$

Consider $-7$ and $21$.

$$ \begin{aligned} 21 &= (-7)(-3) \end{aligned} $$

$\text{จะได้ว่า } -7 \mid 21$

Example 1.5 : ศูนย์เป็นตัวตั้ง

พิจารณา $8$ และ $0$

Consider $8$ and $0$.

$$ \begin{aligned} 0 &= 8(0) \end{aligned} $$

จำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ย่อมหารศูนย์ลงตัวเสมอ ดังนั้น $8 \mid 0$

Any non-zero integer divides zero. Thus $8 \mid 0$.

🔗 สมบัติถ่ายทอด / Transitive Property

ถ้า $a \mid b$ และ $b \mid c$ แล้วจะส่งผลให้ $a \mid c$

การพิสูจน์เบื้องต้น: จากบทนิยามจะได้ $b = ak_1$ และ $c = bk_2$ เมื่อนำไปแทนค่าจะได้ $c = (ak_1)k_2 = a(k_1k_2)$ ซึ่ง $k_1k_2$ เป็นจำนวนเต็ม

If $a \mid b$ and $b \mid c$, then it implies that $a \mid c$.

Basic Proof: By definition, $b = ak_1$ and $c = bk_2$. Substituting gives $c = (ak_1)k_2 = a(k_1k_2)$, where $k_1k_2$ is an integer.

Example 2.1 : การถ่ายทอดพื้นฐาน

กำหนดให้ $3 \mid 9$ และ $9 \mid 45$ จากสมบัติถ่ายทอด เราสามารถสรุปได้ว่า

Given $3 \mid 9$ and $9 \mid 45$. By transitive property, we conclude:

$$ \begin{aligned} 3 \mid 45 \end{aligned} $$

Example 2.2 : จำนวนลบ

กำหนดให้ $2 \mid -10$ และ $-10 \mid 50$ ดังนั้นจะส่งผลให้

Given $2 \mid -10$ and $-10 \mid 50$. This implies:

$$ \begin{aligned} 2 \mid 50 \end{aligned} $$

Example 2.3 : ประยุกต์ตัวแปร

ถ้าโจทย์กำหนดให้ $x \mid y^2$ และ $y^2 \mid z$ เราสามารถข้าม $y^2$ ได้เป็น

If given $x \mid y^2$ and $y^2 \mid z$. We can skip $y^2$ to get:

$$ \begin{aligned} x \mid z \end{aligned} $$

Example 2.4 : โครงสร้างสมการ

สมมติว่า $5 \mid x$ และ $x \mid 100$ นั่นคือ $x = 5k_1$ และ $100 = xk_2$

Suppose $5 \mid x$ and $x \mid 100$. That is $x = 5k_1$ and $100 = xk_2$.

$$ \begin{aligned} 100 &= (5k_1)k_2 \\ 100 &= 5(k_1 k_2) \end{aligned} $$

$\text{แสดงให้เห็นชัดเจนว่า } 5 \mid 100$

Example 2.5 : เลขยกกำลัง

พิจารณา $2 \mid 2^3$ และ $2^3 \mid 2^5$ จะได้ว่า

Consider $2 \mid 2^3$ and $2^3 \mid 2^5$. We obtain:

$$ \begin{aligned} 2 \mid 2^5 \end{aligned} $$

$\text{(เนื่องจาก } 2^5 = 2^3 \cdot 2^2 \text{)}$

⚖️ สมบัติเชิงเส้น / Linear Combination

ถ้า $a \mid b$ และ $a \mid c$ แล้ว จะส่งผลให้ $a \mid (bx + cy)$

เมื่อ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็มใดๆ (ค่า $bx + cy$ เรียกว่าผลรวมเชิงเส้น)

If $a \mid b$ and $a \mid c$, then it implies that $a \mid (bx + cy)$

where $x$ and $y$ are any integers. (The expression $bx + cy$ is called a linear combination).

Example 3.1 : บวกกัน (x=1, y=1)

กำหนดให้ $5 \mid 10$ และ $5 \mid 15$ เลือก $x = 1, y = 1$ จะได้

Given $5 \mid 10$ and $5 \mid 15$. Choosing $x = 1, y = 1$ gives

$$ \begin{aligned} 5 &\mid (10(1) + 15(1)) \\ 5 &\mid 25 \end{aligned} $$

Example 3.2 : ลบกัน (x=1, y=-1)

กำหนดให้ $7 \mid 35$ และ $7 \mid 14$ เลือก $x = 1, y = -1$ จะได้

Given $7 \mid 35$ and $7 \mid 14$. Choosing $x = 1, y = -1$ gives

$$ \begin{aligned} 7 &\mid (35(1) + 14(-1)) \\ 7 &\mid (35 - 14) \\ 7 &\mid 21 \end{aligned} $$

Example 3.3 : ขยายสัดส่วน

กำหนดให้ $3 \mid 6$ และ $3 \mid 9$ เลือก $x = 2, y = 4$ จะได้

Given $3 \mid 6$ and $3 \mid 9$. Choosing $x = 2, y = 4$ gives

$$ \begin{aligned} 3 &\mid (6(2) + 9(4)) \\ 3 &\mid (12 + 36) \\ 3 &\mid 48 \end{aligned} $$

Example 3.4 : กำจัดตัวแปร

กำหนด $n \mid (3x+2)$ และ $n \mid x$ เราต้องการกำจัด $x$ จึงเลือกคูณ $-3$ ที่เทอมหลัง

Given $n \mid (3x+2)$ and $n \mid x$. To eliminate $x$, multiply the second term by $-3$:

$$ \begin{aligned} n &\mid ((3x+2)(1) + (x)(-3)) \\ n &\mid (3x + 2 - 3x) \\ n &\mid 2 \end{aligned} $$

Example 3.5 : หาค่าคงตัว

กำหนด $d \mid (5n+3)$ และ $d \mid (2n+1)$ จงหา $d$ ที่เป็นบวก
ทำสัมประสิทธิ์ $n$ ให้เท่ากันคือ $10$ แล้วจับลบกัน

Given $d \mid (5n+3)$ and $d \mid (2n+1)$. Find positive $d$.
Equalize the coefficient of $n$ to $10$ and subtract:

$$ \begin{aligned} d &\mid [2(5n+3) - 5(2n+1)] \\ d &\mid [(10n+6) - (10n+5)] \\ d &\mid 1 \end{aligned} $$

$\text{ดังนั้น } d \text{ ที่เป็นบวกคือ } 1 \text{ เท่านั้น}$

🧮 ทดสอบการหารลงตัว / Divisibility Checker

ใช้เครื่องคิดเลขจำลองด้านล่างเพื่อตรวจสอบว่า $a \mid b$ หรือไม่ (โปรดกำหนดค่า $a$ และ $b$)

Use the custom calculator below to check if $a \mid b$ (Set values for $a$ and $b$).

ตัวหาร (a) Divisor (a)

ตัวตั้ง (b) Dividend (b)

คลิก "ตรวจสอบ" Click "Check"

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Divisibility	divisis (division)	การหารลงตัว · คุณสมบัติที่สามารถแบ่งเป็นส่วนย่อยได้โดยไม่มีเศษเหลือ The capacity of being evenly divided, without remainder.
Integer	integer (whole, intact)	จำนวนเต็ม · ตัวเลขที่ไม่มีเศษส่วนประกอบ เช่น 0, 1, -5 A whole number that can be positive, negative, or zero.
Transitive	transire (to go across)	สมบัติถ่ายทอด · สมบัติที่ถ่ายทอดความสัมพันธ์ผ่านตัวเชื่อม (ถ้า a โยง b และ b โยง c แล้ว a โยง c) A property transferring a relation across elements.
Linear Combination	linearis + combinare	ผลรวมเชิงเส้น · การนำตัวแปรมาคูณด้วยค่าคงตัวแล้วนำมาบวกกัน An expression constructed from a set of terms by multiplying each by a constant.