กลับ
คณิตศาสตร์ · Mathematics

ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
GCD and LCM

การหารลงตัว ตัวหารร่วมมาก ตัวคูณร่วมน้อย และความสัมพันธ์

TH

ในระบบจำนวนจริง การหารลงตัว (Divisibility) เป็นสมบัติพื้นฐานที่นำไปสู่การหา ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) และ ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ซึ่งเป็นเครื่องมือสำคัญในการแก้โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ทั้งในเรื่องเศษส่วน การจัดกลุ่ม และการหาจุดร่วมของเวลา

EN

In the real number system, Divisibility is a fundamental property that leads to finding the Greatest Common Divisor (GCD) and the Least Common Multiple (LCM). These are essential tools for solving mathematical problems involving fractions, grouping, and synchronization.

1

ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) / Greatest Common Divisor

TH

ตัวหารร่วมมาก ของจำนวนเต็ม $a$ และ $b$ (ที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน) คือ จำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากที่สุดที่ไปหารทั้ง $a$ และ $b$ ลงตัว

$$d = \gcd(a, b)$$
EN

The Greatest Common Divisor of integers $a$ and $b$ (not both zero) is the largest positive integer that divides both $a$ and $b$ without a remainder.

$$d = \gcd(a, b)$$
Example 1.1 : หา ห.ร.ม. ตัวเลขพื้นฐาน

จงหา $\gcd(36, 60)$ โดยการแยกตัวประกอบเฉพาะ

$$ \begin{aligned} 36 &= 2^2 \times 3^2 \\ 60 &= 2^2 \times 3 \times 5 \\ \gcd(36, 60) &= 2^2 \times 3^1 \quad \text{(เลือกฐานที่ซ้ำกัน และกำลังน้อยที่สุด)} \\ &= 12 \end{aligned} $$

Find $\gcd(36, 60)$ using prime factorization.

$$ \begin{aligned} 36 &= 2^2 \times 3^2 \\ 60 &= 2^2 \times 3 \times 5 \\ \gcd(36, 60) &= 2^2 \times 3^1 \quad \text{(Choose common bases with lowest exponents)} \\ &= 12 \end{aligned} $$
Example 1.2 : หา ห.ร.ม. 3 จำนวน

จงหา ห.ร.ม. ของ $24, 36$ และ $48$

$$ \begin{aligned} 24 &= 2^3 \times 3 \\ 36 &= 2^2 \times 3^2 \\ 48 &= 2^4 \times 3 \\ \gcd(24, 36, 48) &= 2^2 \times 3^1 \\ &= 12 \end{aligned} $$

Find the GCD of $24, 36$, and $48$.

$$ \begin{aligned} 24 &= 2^3 \times 3 \\ 36 &= 2^2 \times 3^2 \\ 48 &= 2^4 \times 3 \\ \gcd(24, 36, 48) &= 2^2 \times 3^1 \\ &= 12 \end{aligned} $$
Example 1.3 : หา ห.ร.ม. ของตัวแปรพีชคณิต

จงหา $\gcd(x^3y^2, x^2y^5)$ เมื่อ $x, y$ เป็นจำนวนเฉพาะ

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } A &= x^3y^2 \\ B &= x^2y^5 \\ \gcd(A, B) &= x^{\min(3, 2)} y^{\min(2, 5)} \\ &= x^2y^2 \end{aligned} $$

Find $\gcd(x^3y^2, x^2y^5)$ where $x, y$ are primes.

$$ \begin{aligned} \text{Let } A &= x^3y^2 \\ B &= x^2y^5 \\ \gcd(A, B) &= x^{\min(3, 2)} y^{\min(2, 5)} \\ &= x^2y^2 \end{aligned} $$
Example 1.4 : หา ห.ร.ม. ด้วยขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด (Euclidean Algorithm)

จงหา $\gcd(252, 105)$

$$ \begin{aligned} 252 &= 2(105) + 42 \quad \text{(นำ } 105 \text{ ไปหาร } 252 \text{ เศษ } 42 \text{)} \\ 105 &= 2(42) + 21 \quad \text{(นำ } 42 \text{ ไปหาร } 105 \text{ เศษ } 21 \text{)} \\ 42 &= 2(21) + 0 \quad \text{(หารลงตัว เศษ } 0 \text{)} \\ \text{ตัวหารตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม. ดังนั้น } \gcd(252, 105) &= 21 \end{aligned} $$

Find $\gcd(252, 105)$ using Euclidean Algorithm.

$$ \begin{aligned} 252 &= 2(105) + 42 \quad \text{(Divide } 252 \text{ by } 105 \text{, remainder } 42 \text{)} \\ 105 &= 2(42) + 21 \quad \text{(Divide } 105 \text{ by } 42 \text{, remainder } 21 \text{)} \\ 42 &= 2(21) + 0 \quad \text{(Remainder is } 0 \text{)} \\ \text{The last divisor is the GCD, thus } \gcd(252, 105) &= 21 \end{aligned} $$
Example 1.5 : โจทย์ปัญหา ห.ร.ม. (การจัดกลุ่ม)

มีนักเรียนชาย $30$ คน และนักเรียนหญิง $45$ คน ต้องการจัดกลุ่มๆ ละเท่าๆ กัน โดยไม่ให้ชายหญิงปนกัน จะจัดได้มากที่สุดกลุ่มละกี่คน?

$$ \begin{aligned} \text{หา } \gcd(30, 45): \\ 30 &= 2 \times 3 \times 5 \\ 45 &= 3^2 \times 5 \\ \gcd(30, 45) &= 3 \times 5 \\ &= 15 \end{aligned} $$

ตอบ: กลุ่มละ 15 คน

There are $30$ boys and $45$ girls. You want to group them into equal-sized groups without mixing genders. What is the maximum number of students per group?

$$ \begin{aligned} \text{Find } \gcd(30, 45): \\ 30 &= 2 \times 3 \times 5 \\ 45 &= 3^2 \times 5 \\ \gcd(30, 45) &= 3 \times 5 \\ &= 15 \end{aligned} $$

Answer: 15 students per group

Example 1.6 : โจทย์ปัญหา ห.ร.ม. (การแบ่งพื้นที่จัตุรัส)

ห้องกว้าง $120$ ซม. ยาว $150$ ซม. ต้องการปูกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแผ่นใหญ่ที่สุดโดยไม่ต้องตัดกระเบื้อง กระเบื้องต้องมีขนาดกี่ ซม.?

$$ \begin{aligned} \text{ความยาวด้านกระเบื้องคือ } \gcd(120, 150): \\ 120 &= 2^3 \times 3 \times 5 \\ 150 &= 2 \times 3 \times 5^2 \\ \gcd(120, 150) &= 2 \times 3 \times 5 \\ &= 30 \end{aligned} $$

ตอบ: ขนาด 30 x 30 ซม.

A room is $120$ cm wide and $150$ cm long. You want to pave it with the largest possible square tiles without cutting. What should the tile dimension be?

$$ \begin{aligned} \text{Tile length is } \gcd(120, 150): \\ 120 &= 2^3 \times 3 \times 5 \\ 150 &= 2 \times 3 \times 5^2 \\ \gcd(120, 150) &= 2 \times 3 \times 5 \\ &= 30 \end{aligned} $$

Answer: 30 x 30 cm

Example 1.7 : โจทย์ปัญหา ห.ร.ม. (แบบมีเศษเหลือ)

จงหาจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่นำไปหาร $43$ และ $73$ แล้วเหลือเศษ $3$ และ $1$ ตามลำดับ

$$ \begin{aligned} \text{นำเศษไปลบออกจากตัวตั้งก่อน:} \\ 43 - 3 &= 40 \\ 73 - 1 &= 72 \\ \text{จากนั้นหา } \gcd(40, 72): \\ 40 &= 2^3 \times 5 \\ 72 &= 2^3 \times 3^2 \\ \gcd(40, 72) &= 2^3 \\ &= 8 \end{aligned} $$

Find the largest positive integer that divides $43$ and $73$ leaving remainders of $3$ and $1$ respectively.

$$ \begin{aligned} \text{Subtract remainders first:} \\ 43 - 3 &= 40 \\ 73 - 1 &= 72 \\ \text{Then find } \gcd(40, 72): \\ 40 &= 2^3 \times 5 \\ 72 &= 2^3 \times 3^2 \\ \gcd(40, 72) &= 2^3 \\ &= 8 \end{aligned} $$
2

ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) / Least Common Multiple

TH

ตัวคูณร่วมน้อย ของจำนวนเต็ม $a$ และ $b$ คือ จำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยที่สุดที่ถูกหารด้วย $a$ และ $b$ ลงตัวทั้งหมด

$$m = \text{lcm}(a, b)$$
EN

The Least Common Multiple of integers $a$ and $b$ is the smallest positive integer that is divisible by both $a$ and $b$.

$$m = \text{lcm}(a, b)$$
Example 2.1 : หา ค.ร.น. ตัวเลขพื้นฐาน

จงหา $\text{lcm}(12, 18)$

$$ \begin{aligned} 12 &= 2^2 \times 3 \\ 18 &= 2 \times 3^2 \\ \text{lcm}(12, 18) &= 2^2 \times 3^2 \quad \text{(นำฐานทุกตัวที่มีกำลังสูงสุดมาคูณกัน)} \\ &= 4 \times 9 \\ &= 36 \end{aligned} $$

Find $\text{lcm}(12, 18)$

$$ \begin{aligned} 12 &= 2^2 \times 3 \\ 18 &= 2 \times 3^2 \\ \text{lcm}(12, 18) &= 2^2 \times 3^2 \quad \text{(Take all bases with highest exponents)} \\ &= 4 \times 9 \\ &= 36 \end{aligned} $$
Example 2.2 : หา ค.ร.น. 3 จำนวน

จงหา ค.ร.น. ของ $15, 20$ และ $30$

$$ \begin{aligned} 15 &= 3 \times 5 \\ 20 &= 2^2 \times 5 \\ 30 &= 2 \times 3 \times 5 \\ \text{lcm}(15, 20, 30) &= 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \\ &= 4 \times 3 \times 5 \\ &= 60 \end{aligned} $$

Find the LCM of $15, 20$, and $30$.

$$ \begin{aligned} 15 &= 3 \times 5 \\ 20 &= 2^2 \times 5 \\ 30 &= 2 \times 3 \times 5 \\ \text{lcm}(15, 20, 30) &= 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \\ &= 4 \times 3 \times 5 \\ &= 60 \end{aligned} $$
Example 2.3 : หา ค.ร.น. ของตัวแปรพีชคณิต

จงหา $\text{lcm}(a^2b^3c, ab^4)$ เมื่อ $a, b, c$ เป็นจำนวนเฉพาะ

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } X &= a^2b^3c \\ Y &= ab^4 \\ \text{lcm}(X, Y) &= a^{\max(2, 1)} b^{\max(3, 4)} c^{\max(1, 0)} \\ &= a^2b^4c \end{aligned} $$

Find $\text{lcm}(a^2b^3c, ab^4)$ where $a, b, c$ are primes.

$$ \begin{aligned} \text{Let } X &= a^2b^3c \\ Y &= ab^4 \\ \text{lcm}(X, Y) &= a^{\max(2, 1)} b^{\max(3, 4)} c^{\max(1, 0)} \\ &= a^2b^4c \end{aligned} $$
Example 2.4 : ค.ร.น. ของจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์

จงหา $\text{lcm}(7, 11)$

$$ \begin{aligned} \text{เนื่องจาก } 7 \text{ และ } 11 \text{ ไม่มีตัวประกอบร่วมกัน (ห.ร.ม. = 1)} \\ \text{lcm}(7, 11) &= 7 \times 11 \\ &= 77 \end{aligned} $$

Find $\text{lcm}(7, 11)$

$$ \begin{aligned} \text{Since } 7 \text{ and } 11 \text{ have no common factors (GCD = 1)} \\ \text{lcm}(7, 11) &= 7 \times 11 \\ &= 77 \end{aligned} $$
Example 2.5 : โจทย์ปัญหา ค.ร.น. (จุดร่วมของเวลา)

ไฟกระพริบ 3 ดวง กระพริบทุกๆ $15, 20$ และ $30$ วินาทีตามลำดับ หากกระพริบพร้อมกันครั้งแรก อีกกี่วินาทีจึงจะกระพริบพร้อมกันอีกครั้ง?

$$ \begin{aligned} \text{หา } \text{lcm}(15, 20, 30) \text{ ซึ่งคำนวณไว้แล้วในตัวอย่าง 2.2:} \\ \text{lcm}(15, 20, 30) &= 60 \end{aligned} $$

ตอบ: อีก 60 วินาที

Three flashing lights blink every $15, 20$, and $30$ seconds. If they blink together now, in how many seconds will they blink together again?

$$ \begin{aligned} \text{Find } \text{lcm}(15, 20, 30) \text{ calculated in Example 2.2:} \\ \text{lcm}(15, 20, 30) &= 60 \end{aligned} $$

Answer: In 60 seconds

Example 2.6 : โจทย์ปัญหา ค.ร.น. (การวิ่งรอบสนาม)

นักวิ่ง 3 คน วิ่งรอบสนาม 1 รอบใช้เวลา $4, 6$ และ $8$ นาทีตามลำดับ หากออกตัวพร้อมกัน พวกเขาจะมาเจอกันที่จุดเริ่มต้นพร้อมกันอีกครั้งในอีกกี่นาที?

$$ \begin{aligned} \text{หา } \text{lcm}(4, 6, 8): \\ 4 &= 2^2 \\ 6 &= 2 \times 3 \\ 8 &= 2^3 \\ \text{lcm}(4, 6, 8) &= 2^3 \times 3 \\ &= 8 \times 3 \\ &= 24 \end{aligned} $$

ตอบ: อีก 24 นาที

3 runners take $4, 6$, and $8$ minutes respectively to complete a lap. If they start together, in how many minutes will they meet at the start line again?

$$ \begin{aligned} \text{Find } \text{lcm}(4, 6, 8): \\ 4 &= 2^2 \\ 6 &= 2 \times 3 \\ 8 &= 2^3 \\ \text{lcm}(4, 6, 8) &= 2^3 \times 3 \\ &= 8 \times 3 \\ &= 24 \end{aligned} $$

Answer: In 24 minutes

Example 2.7 : โจทย์ปัญหา ค.ร.น. (แบบมีเศษเหลือเท่ากัน)

จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่เมื่อถูกหารด้วย $3, 4$ และ $5$ แล้วเหลือเศษ $2$ เท่ากันเสมอ

$$ \begin{aligned} \text{หา ค.ร.น. ของตัวหาร แล้วบวกด้วยเศษที่เหลือ:} \\ \text{lcm}(3, 4, 5) &= 3 \times 4 \times 5 \quad \text{(เพราะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน)} \\ &= 60 \\ \text{จำนวนนั้นคือ } 60 + 2 &= 62 \end{aligned} $$

Find the smallest positive integer that leaves a remainder of $2$ when divided by $3, 4$, and $5$.

$$ \begin{aligned} \text{Find LCM of divisors, then add the remainder:} \\ \text{lcm}(3, 4, 5) &= 3 \times 4 \times 5 \quad \text{(Since they are coprimes)} \\ &= 60 \\ \text{The number is } 60 + 2 &= 62 \end{aligned} $$
3

ความสัมพันธ์ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. / Relationship

TH

ทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดกล่าวไว้ว่า สำหรับจำนวนเต็มบวก $a$ และ $b$ ใดๆ ผลคูณของจำนวนทั้งสอง จะมีค่าเท่ากับผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของสองจำนวนนั้นเสมอ:

$$\displaystyle a \cdot b = \gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b)$$
EN

The theorem states that for any positive integers $a$ and $b$, their product is strictly equal to the product of their GCD and LCM:

$$\displaystyle a \cdot b = \gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b)$$
Example 3.1 : การพิสูจน์ความสัมพันธ์พื้นฐาน

จงแสดงว่าความสัมพันธ์นี้เป็นจริง สำหรับตัวเลข $12$ และ $18$

$$ \begin{aligned} \gcd(12, 18) &= 6 \\ \text{lcm}(12, 18) &= 36 \\ \text{ฝั่งซ้าย (ผลคูณ): } 12 \times 18 &= 216 \\ \text{ฝั่งขวา (ห.ร.ม. } \times \text{ ค.ร.น.): } 6 \times 36 &= 216 \\ \text{ดังนั้น } 12 \times 18 &= \gcd(12, 18) \times \text{lcm}(12, 18) \end{aligned} $$

Verify this relationship holds true for $12$ and $18$.

$$ \begin{aligned} \gcd(12, 18) &= 6 \\ \text{lcm}(12, 18) &= 36 \\ \text{LHS (Product): } 12 \times 18 &= 216 \\ \text{RHS (GCD } \times \text{ LCM): } 6 \times 36 &= 216 \\ \text{Thus, } 12 \times 18 &= \gcd(12, 18) \times \text{lcm}(12, 18) \end{aligned} $$
Example 3.2 : ทราบผลคูณ และ ห.ร.ม. หา ค.ร.น.

จำนวนเต็มบวกสองจำนวนมีผลคูณเท่ากับ $300$ และมี ห.ร.ม. เป็น $5$ จงหา ค.ร.น. ของสองจำนวนนี้

$$ \begin{aligned} a \cdot b &= \gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) \\ 300 &= 5 \cdot \text{lcm}(a, b) \\ \text{lcm}(a, b) &= \frac{300}{5} \\ &= 60 \end{aligned} $$

The product of two positive integers is $300$ and their GCD is $5$. Find their LCM.

$$ \begin{aligned} a \cdot b &= \gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) \\ 300 &= 5 \cdot \text{lcm}(a, b) \\ \text{lcm}(a, b) &= \frac{300}{5} \\ &= 60 \end{aligned} $$
Example 3.3 : ทราบ ห.ร.ม., ค.ร.น., และจำนวนแรก หาจำนวนที่สอง

ห.ร.ม. ของสองจำนวนคือ $5$ และ ค.ร.น. คือ $60$ หากจำนวนแรกคือ $15$ จงหาจำนวนที่สอง

$$ \begin{aligned} 15 \cdot b &= 5 \cdot 60 \\ 15 \cdot b &= 300 \\ b &= \frac{300}{15} \\ &= 20 \end{aligned} $$

The GCD of two numbers is $5$ and LCM is $60$. If the first number is $15$, find the second number.

$$ \begin{aligned} 15 \cdot b &= 5 \cdot 60 \\ 15 \cdot b &= 300 \\ b &= \frac{300}{15} \\ &= 20 \end{aligned} $$
Example 3.4 : ทราบ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. หาผลคูณ

จำนวนเต็มสองจำนวนมี ห.ร.ม. เป็น $4$ และ ค.ร.น. เป็น $120$ จงหาผลคูณของสองจำนวนนั้น

$$ \begin{aligned} \text{ผลคูณ } (a \cdot b) &= \gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) \\ &= 4 \cdot 120 \\ &= 480 \end{aligned} $$

Two integers have a GCD of $4$ and an LCM of $120$. Find their product.

$$ \begin{aligned} \text{Product } (a \cdot b) &= \gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) \\ &= 4 \cdot 120 \\ &= 480 \end{aligned} $$
Example 3.5 : ความสัมพันธ์ในรูปแบบตัวแปร

ให้ $A = xy^2$ และ $B = x^2y$ จงพิสูจน์ความสัมพันธ์ $A \cdot B = \gcd \cdot \text{lcm}$

$$ \begin{aligned} \gcd(A, B) &= xy \\ \text{lcm}(A, B) &= x^2y^2 \\ \text{ฝั่งซ้าย (} A \cdot B \text{)} &= (xy^2)(x^2y) = x^3y^3 \\ \text{ฝั่งขวา (} \gcd \cdot \text{lcm} \text{)} &= (xy)(x^2y^2) = x^3y^3 \\ \text{ดังนั้น } A \cdot B &= \gcd(A, B) \cdot \text{lcm}(A, B) \end{aligned} $$

Let $A = xy^2$ and $B = x^2y$. Prove the relation $A \cdot B = \gcd \cdot \text{lcm}$.

$$ \begin{aligned} \gcd(A, B) &= xy \\ \text{lcm}(A, B) &= x^2y^2 \\ \text{LHS (} A \cdot B \text{)} &= (xy^2)(x^2y) = x^3y^3 \\ \text{RHS (} \gcd \cdot \text{lcm} \text{)} &= (xy)(x^2y^2) = x^3y^3 \\ \text{Thus, } A \cdot B &= \gcd(A, B) \cdot \text{lcm}(A, B) \end{aligned} $$
Example 3.6 : ความสัมพันธ์ของจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์

จำนวนเต็ม $A$ และ $B$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ (ไม่มีตัวประกอบร่วมกัน) หาก ค.ร.น. คือ $42$ จงหาผลคูณของ $A$ และ $B$

$$ \begin{aligned} \text{สำหรับจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์, } \gcd(A, B) &= 1 \\ A \cdot B &= 1 \cdot 42 \\ A \cdot B &= 42 \end{aligned} $$

Integers $A$ and $B$ are coprimes (no common factors). If their LCM is $42$, find the product of $A$ and $B$.

$$ \begin{aligned} \text{For coprimes, } \gcd(A, B) &= 1 \\ A \cdot B &= 1 \cdot 42 \\ A \cdot B &= 42 \end{aligned} $$
Example 3.7 : ประยุกต์หาคู่ของจำนวนที่เป็นไปได้

จงหาคู่ของจำนวนเต็มบวก $(A, B)$ ทั้งหมดที่มี ห.ร.ม. เท่ากับ $5$ และ ค.ร.น. เท่ากับ $30$

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } A &= 5a \text{ และ } B = 5b \quad \text{โดยที่ } \gcd(a, b) = 1 \\ \text{จากสูตร: } A \cdot B &= \gcd(A, B) \cdot \text{lcm}(A, B) \\ (5a)(5b) &= 5 \cdot 30 \\ 25ab &= 150 \\ ab &= 6 \\ \text{คู่ } (a, b) \text{ ที่เป็นไปได้คือ } (1, 6) \text{ หรือ } (2, 3) \\ \text{ดังนั้นคู่ของ } (A, B) \text{ คือ } (5, 30) \text{ หรือ } (10, 15) \end{aligned} $$

Find all possible pairs of positive integers $(A, B)$ that have a GCD of $5$ and an LCM of $30$.

$$ \begin{aligned} \text{Let } A &= 5a \text{ and } B = 5b \quad \text{where } \gcd(a, b) = 1 \\ \text{From formula: } A \cdot B &= \gcd(A, B) \cdot \text{lcm}(A, B) \\ (5a)(5b) &= 5 \cdot 30 \\ 25ab &= 150 \\ ab &= 6 \\ \text{Possible pairs } (a, b) \text{ are } (1, 6) \text{ or } (2, 3) \\ \text{Thus pairs of } (A, B) \text{ are } (5, 30) \text{ or } (10, 15) \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์ รากศัพท์ / Root ความหมาย / Meaning
Divisibility dividere (to divide) การหารลงตัว · สมบัติของจำนวนเต็มที่สามารถหารด้วยจำนวนอื่นได้โดยไม่มีเศษ
Greatest Common Divisor (GCD) divisor (one who divides) ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) · ตัวหารที่มีค่ามากที่สุดที่ไปหารกลุ่มจำนวนเต็มลงตัว
Least Common Multiple (LCM) multiplex (having many folds) ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) · ผลคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุดของกลุ่มจำนวนเต็ม
Prime Factorization primus (first) + factor (maker) การแยกตัวประกอบเฉพาะ · การเขียนจำนวนเต็มในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ
Euclidean Algorithm Euclid (Greek Mathematician) ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด · อัลกอริทึมที่ใช้หา ห.ร.ม. อย่างเป็นระบบโดยการหารและหาเศษไปเรื่อยๆ