เลขคณิตมอดุลาร์

เลขคณิตมอดุลาร์ (Modular Arithmetic) มักถูกเรียกว่า "คณิตศาสตร์นาฬิกา" เป็นระบบตัวเลขที่ค่าตัวเลขจะ "วนกลับ (Wrap around)" เมื่อถึงค่าที่กำหนดไว้ (เรียกว่า โมดูลัส) ซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่งในทฤษฎีจำนวนและวิทยาการเข้ารหัสลับ (Cryptography)

Modular Arithmetic, often called "clock arithmetic", is a system of arithmetic for integers where numbers "wrap around" upon reaching a certain value (the modulus). It is highly fundamental in number theory and cryptography.

📖 บทนิยามและการตรวจสอบสมภาค / Definition of Congruence

กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก เราจะกล่าวว่าจำนวนเต็ม $a$ สมภาค (Congruent) กับจำนวนเต็ม $b$ มอดุโล $n$ ก็ต่อเมื่อ $n$ หารผลต่าง $(a - b)$ ลงตัวพอดี เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์:

$$ a \equiv b \pmod n \iff n \mid (a - b) $$

ความหมายในเชิงปฏิบัติ: $a$ และ $b$ เมื่อนำไปหารด้วย $n$ จะให้ "เศษ" (Remainder) เท่ากัน

Given a positive integer $n$, an integer $a$ is congruent to an integer $b$ modulo $n$ if and only if $n$ divides the difference $(a - b)$. This is denoted as:

$$ a \equiv b \pmod n \iff n \mid (a - b) $$

Practical meaning: Both $a$ and $b$ leave the same remainder when divided by $n$.

Example 1.1 : การตรวจสอบนิยาม (บวก)

จงแสดงว่า $38 \equiv 14 \pmod 8$ เป็นจริง

$$ \begin{aligned} \text{พิจารณาผลต่าง: } 38 - 14 &= 24 \\ \text{และเนื่องจาก } 24 &= 8 \times 3 \\ \text{แสดงว่า } 8 &\mid (38 - 14) \end{aligned} $$

ดังนั้น $38 \equiv 14 \pmod 8$ เป็นความจริง

Show that $38 \equiv 14 \pmod 8$ is true.

$$ \begin{aligned} \text{Consider the difference: } 38 - 14 &= 24 \\ \text{Since } 24 &= 8 \times 3 \\ \text{It means } 8 &\mid (38 - 14) \end{aligned} $$

Therefore, $38 \equiv 14 \pmod 8$ is true.

Example 1.2 : การตรวจสอบนิยาม (ลบ)

จงตรวจสอบว่า $-17 \equiv 3 \pmod 5$ หรือไม่

$$ \begin{aligned} \text{ผลต่าง } a - b &= -17 - 3 \\ &= -20 \\ \text{ซึ่ง } -20 &= 5 \times (-4) \end{aligned} $$

หารลงตัว ดังนั้น $-17 \equiv 3 \pmod 5$ เป็นจริง

Verify if $-17 \equiv 3 \pmod 5$.

$$ \begin{aligned} \text{Difference } a - b &= -17 - 3 \\ &= -20 \\ \text{Which is } -20 &= 5 \times (-4) \end{aligned} $$

Divisible, so $-17 \equiv 3 \pmod 5$ is True.

Example 1.3 : กรณีที่ไม่สมภาค

จงตรวจสอบว่า $25 \equiv 12 \pmod 7$ หรือไม่

$$ \begin{aligned} \text{หาผลต่าง: } 25 - 12 &= 13 \end{aligned} $$

เนื่องจาก $7$ หาร $13$ ไม่ลงตัว (เหลือเศษ 6) จะเขียนได้ว่า $25 \not\equiv 12 \pmod 7$

Verify if $25 \equiv 12 \pmod 7$.

$$ \begin{aligned} \text{Find difference: } 25 - 12 &= 13 \end{aligned} $$

Since 7 does not divide 13 evenly, we write $25 \not\equiv 12 \pmod 7$.

Example 1.4 : เศษเหลือมาตรฐาน (Standard Remainder)

จงหาจำนวนเต็มบวก $x$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $100 \equiv x \pmod 9$

$$ \begin{aligned} \text{นำ } 100 \text{ หารด้วย } 9 \text{ จะได้ } 100 &= 9(11) + 1 \\ \text{ดังนั้นเศษคือ } 1 \end{aligned} $$

นั่นคือ $100 \equiv 1 \pmod 9$ คำตอบคือ $x = 1$

Find the smallest positive integer $x$ such that $100 \equiv x \pmod 9$.

$$ \begin{aligned} \text{Divide } 100 \text{ by } 9 \text{ to get } 100 &= 9(11) + 1 \\ \text{The remainder is } 1 \end{aligned} $$

Thus $100 \equiv 1 \pmod 9$. The answer is $x = 1$.

Example 1.5 : การหาเศษจากตัวเลขติดลบ

จงหาค่า $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ ที่ทำให้ $-22 \equiv x \pmod 6$

$$ \begin{aligned} \text{ลองบวก } 6 \text{ เข้าไปเรื่อยๆ จนกว่าจะเป็นบวก:} \\ -22 &\equiv -22 + 6(4) \pmod 6 \\ &\equiv -22 + 24 \pmod 6 \\ &\equiv 2 \pmod 6 \end{aligned} $$

ดังนั้น $x = 2$

Find $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ such that $-22 \equiv x \pmod 6$.

$$ \begin{aligned} \text{Keep adding multiples of 6 until positive:} \\ -22 &\equiv -22 + 6(4) \pmod 6 \\ &\equiv -22 + 24 \pmod 6 \\ &\equiv 2 \pmod 6 \end{aligned} $$

Therefore, $x = 2$.

Example 1.6 : การแปลงเป็นสมการพีชคณิต

ความหมายของ $x \equiv 3 \pmod 4$ ในรูปสมการคืออะไร?

$$ \begin{aligned} \text{จากบทนิยาม } 4 &\mid (x - 3) \\ \text{แสดงว่าจะมีจำนวนเต็ม } k \text{ ที่ทำให้ } x - 3 &= 4k \\ x &= 4k + 3 \end{aligned} $$

เช่น ถ้า $k = 0 \implies x = 3$, ถ้า $k = 1 \implies x = 7$ เป็นต้น

What is the equation form of $x \equiv 3 \pmod 4$?

$$ \begin{aligned} \text{By definition } 4 &\mid (x - 3) \\ \text{There exists an integer } k \text{ such that } x - 3 &= 4k \\ x &= 4k + 3 \end{aligned} $$

For example, if $k = 0 \implies x = 3$, if $k = 1 \implies x = 7$.

Example 1.7 : สมบัติการถ่ายทอด (Transitive Property)

กำหนด $a \equiv 15 \pmod 7$ และ $15 \equiv 1 \pmod 7$ จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ $a \ge 0$

$$ \begin{aligned} \text{โดยสมบัติการถ่ายทอด: } & \\ \text{ถ้า } a \equiv b \pmod n \text{ และ } b \equiv c \pmod n \\ \text{แล้วจะได้ว่า } a &\equiv c \pmod n \\ \text{ดังนั้น } a &\equiv 1 \pmod 7 \end{aligned} $$

จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดหรือศูนย์คือ $a = 1$

Given $a \equiv 15 \pmod 7$ and $15 \equiv 1 \pmod 7$. Find the smallest non-negative value for $a$.

$$ \begin{aligned} \text{By transitive property: } & \\ \text{If } a \equiv b \pmod n \text{ and } b \equiv c \pmod n \\ \text{Then } a &\equiv c \pmod n \\ \text{Thus, } a &\equiv 1 \pmod 7 \end{aligned} $$

The smallest non-negative integer is $a = 1$.

⚖️ พีชคณิตของมอดุโล / Modular Algebra

มอดุโลมีสมบัติที่คล้ายคลึงกับสมการปกติ ซึ่งช่วยให้เราสามารถคำนวณตัวเลขขนาดใหญ่ได้โดยการลดทอนลงก่อนบวกหรือคูณ กำหนดให้ $a \equiv b \pmod n$ และ $c \equiv d \pmod n$ จะได้ว่า:

การบวก: $a + c \equiv b + d \pmod n$
การลบ: $a - c \equiv b - d \pmod n$
การคูณ: $ac \equiv bd \pmod n$
เลขยกกำลัง: $a^k \equiv b^k \pmod n$ (เมื่อ $k \in \mathbb{I}^+$)

** ข้อควรระวังในการหาร **

การหารสองข้างของมอดุโลไม่สามารถตัดทอนกันได้โดยตรงเหมือนสมการทั่วไป ยกเว้นว่าตัวที่นำมาหารจะมี ห.ร.ม. (GCD) กับ $n$ เท่ากับ $1$ (เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน)

Modular arithmetic shares properties with normal algebra, allowing us to reduce large numbers before operations. Given $a \equiv b \pmod n$ and $c \equiv d \pmod n$:

Addition: $a + c \equiv b + d \pmod n$
Subtraction: $a - c \equiv b - d \pmod n$
Multiplication: $ac \equiv bd \pmod n$
Exponentiation: $a^k \equiv b^k \pmod n$ (for integer $k > 0$)

** Warning on Division **

You cannot simply divide both sides of a congruence. You can only divide by a number if it is coprime (GCD = 1) with the modulus $n$.

Example 2.1 : สมบัติการบวก

จงหาเศษเมื่อหาร $45 + 78$ ด้วย $6$

แทนที่จะบวกกันก่อน ให้หาเศษของแต่ละตัวแล้วค่อยนำมาบวกกัน

$$ \begin{aligned} 45 &\equiv 3 \pmod 6 \quad \text{(เพราะ } 45 = 6 \times 7 + 3) \\ 78 &\equiv 0 \pmod 6 \quad \text{(เพราะ } 78 = 6 \times 13) \\ \text{ดังนั้น } (45 + 78) &\equiv 3 + 0 \pmod 6 \\ &\equiv 3 \pmod 6 \end{aligned} $$

เศษคือ $3$

Find the remainder when $45 + 78$ is divided by $6$.

$$ \begin{aligned} 45 &\equiv 3 \pmod 6 \\ 78 &\equiv 0 \pmod 6 \\ \text{Thus } (45 + 78) &\equiv 3 + 0 \pmod 6 \\ &\equiv 3 \pmod 6 \end{aligned} $$

The remainder is $3$.

Example 2.2 : สมบัติการคูณ

จงหาเศษเมื่อหาร $102 \times 55$ ด้วย $7$

$$ \begin{aligned} 102 &\equiv 4 \pmod 7 \quad \text{(} 102 = 7 \times 14 + 4 \text{)} \\ 55 &\equiv 6 \pmod 7 \quad \text{(} 55 = 7 \times 7 + 6 \text{)} \\ \text{คูณกันจะได้ } 102 \times 55 &\equiv 4 \times 6 \pmod 7 \\ &\equiv 24 \pmod 7 \\ &\equiv 3 \pmod 7 \quad \text{(เพราะ } 24 = 7 \times 3 + 3 \text{)} \end{aligned} $$

Find the remainder of $102 \times 55 \pmod 7$.

$$ \begin{aligned} 102 &\equiv 4 \pmod 7 \\ 55 &\equiv 6 \pmod 7 \\ \text{Multiplying: } 102 \times 55 &\equiv 4 \times 6 \pmod 7 \\ &\equiv 24 \pmod 7 \\ &\equiv 3 \pmod 7 \end{aligned} $$

Example 2.3 : สมบัติการลบ (ติดลบ)

จงหาค่าบวกของ $(20 - 45) \pmod 7$

$$ \begin{aligned} 20 &\equiv 6 \pmod 7 \\ 45 &\equiv 3 \pmod 7 \\ \text{ดังนั้น } 20 - 45 &\equiv 6 - 3 \pmod 7 \\ &\equiv 3 \pmod 7 \end{aligned} $$

Evaluate $(20 - 45) \pmod 7$.

$$ \begin{aligned} 20 &\equiv 6 \pmod 7 \\ 45 &\equiv 3 \pmod 7 \\ \text{Thus } 20 - 45 &\equiv 6 - 3 \pmod 7 \\ &\equiv 3 \pmod 7 \end{aligned} $$

Example 2.4 : เลขยกกำลังเบื้องต้น

จงหาเศษเมื่อหาร $4^4$ ด้วย $5$

$$ \begin{aligned} \text{เริ่มจากฐาน: } 4 &\equiv -1 \pmod 5 \\ \text{ยกกำลัง 4: } 4^4 &\equiv (-1)^4 \pmod 5 \\ &\equiv 1 \pmod 5 \end{aligned} $$

Find the remainder of $4^4 \pmod 5$.

$$ \begin{aligned} \text{Base: } 4 &\equiv -1 \pmod 5 \\ \text{Power of 4: } 4^4 &\equiv (-1)^4 \pmod 5 \\ &\equiv 1 \pmod 5 \end{aligned} $$

Example 2.5 : การแทนค่าพหุนาม

ให้ $f(x) = x^2 + 2x + 1$ จงหา $f(5) \pmod 3$

แทนที่จะหาค่า $f(5)$ ตรงๆ เราสามารถลดทอน $x = 5 \equiv 2 \pmod 3$ ก่อนได้

$$ \begin{aligned} f(5) &\equiv f(2) \pmod 3 \\ &\equiv (2)^2 + 2(2) + 1 \pmod 3 \\ &\equiv 4 + 4 + 1 \pmod 3 \\ &\equiv 9 \pmod 3 \\ &\equiv 0 \pmod 3 \end{aligned} $$

Let $f(x) = x^2 + 2x + 1$. Find $f(5) \pmod 3$.

Reduce $x = 5 \equiv 2 \pmod 3$ before substituting.

$$ \begin{aligned} f(5) &\equiv f(2) \pmod 3 \\ &\equiv (2)^2 + 2(2) + 1 \pmod 3 \\ &\equiv 4 + 4 + 1 \pmod 3 \\ &\equiv 9 \pmod 3 \\ &\equiv 0 \pmod 3 \end{aligned} $$

Example 2.6 : การหารที่ห้ามตัดทอน (Invalid Division)

ถ้า $4x \equiv 8 \pmod{12}$ เราสามารถเอา 4 หารตลอดได้หรือไม่?

คำตอบ: ไม่ได้! เพราะ ห.ร.ม. ของ 4 และ 12 คือ 4 (ไม่เท่ากับ 1) ถ้าหาร 4 ทิ้งจะได้ $x \equiv 2 \pmod{12}$ ซึ่งผิด (ลองแทน $x=5$ จะเห็นว่า $4(5)=20 \equiv 8 \pmod{12}$ จริง แต่ $5 \not\equiv 2 \pmod{12}$)

วิธีที่ถูกต้อง: ต้องหารค่ามอดุลัสด้วย ห.ร.ม. ด้วย

$$ \begin{aligned} 4x &\equiv 8 \pmod{12} \\ \frac{4x}{4} &\equiv \frac{8}{4} \pmod{\frac{12}{4}} \\ x &\equiv 2 \pmod 3 \end{aligned} $$

If $4x \equiv 8 \pmod{12}$, can we divide by 4?

No! Because $\text{GCD}(4, 12) = 4 \ne 1$. You must also divide the modulus by the GCD.

$$ \begin{aligned} 4x &\equiv 8 \pmod{12} \\ \frac{4x}{4} &\equiv \frac{8}{4} \pmod{\frac{12}{4}} \\ x &\equiv 2 \pmod 3 \end{aligned} $$

Example 2.7 : การหารที่ทำได้ (Valid Division)

จงหาคำตอบของ $3x \equiv 15 \pmod 7$

$$ \begin{aligned} \text{เนื่องจาก } \text{ห.ร.ม.}(3, 7) &= 1 \text{ (เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์)} \\ \text{เราจึงสามารถนำ } 3 \text{ ไปหารทั้งสองข้างได้โดยตรง:} \\ \frac{3x}{3} &\equiv \frac{15}{3} \pmod 7 \\ x &\equiv 5 \pmod 7 \end{aligned} $$

Solve $3x \equiv 15 \pmod 7$.

$$ \begin{aligned} \text{Since } \text{GCD}(3, 7) &= 1 \text{ (Coprime)} \\ \text{We can divide both sides by } 3 \text{ directly:} \\ \frac{3x}{3} &\equiv \frac{15}{3} \pmod 7 \\ x &\equiv 5 \pmod 7 \end{aligned} $$

🚀 การประยุกต์ใช้แก้โจทย์ปัญหา / Applications

โจทย์คณิตศาสตร์หลายข้อออกแบบมาเพื่อให้คำนวณตัวเลขมหาศาลโดยไม่จำเป็นต้องใช้เครื่องคิดเลข เราสามารถใช้สมบัติของเลขคณิตมอดุลาร์เพื่อช่วยได้ เช่น:

การหาเศษของการยกกำลังมากๆ: พยายามจัดรูปฐานให้สมภาคกับ $1$ หรือ $-1$ มอดุโล $n$ เพื่อความง่ายในการยกกำลังต่อ
การหาเลขโดดหลักสุดท้าย: หลักหน่วยคือการหาค่า $\pmod{10}$, หลักสิบและหลักหน่วยคือการหาค่า $\pmod{100}$
ทฤษฎีบทเศษเหลือและการพิสูจน์: ใช้ตรวจสอบการหารลงตัวของพจน์พีชคณิต

Many math problems involve huge numbers designed to be solved without calculators. Modular arithmetic properties help simplify these:

Remainder of large exponents: Try to reduce the base to be congruent to $1$ or $-1 \pmod n$.
Finding the last digits: The last digit is the value $\pmod{10}$, last two digits is $\pmod{100}$.
Divisibility proofs: Useful to prove expressions are always divisible by $n$.

Example 3.1 : เลขยกกำลังมหาศาล (ฐานบวก)

จงหาเศษเมื่อหาร $2^{100}$ ด้วย $7$

แนวคิด: สังเกตว่า $2^3 = 8$ ซึ่งใกล้เคียง $7$ มาก ($8 \equiv 1 \pmod 7$)

$$ \begin{aligned} 2^{100} &= 2^{(3 \times 33 + 1)} \\ &= (2^3)^{33} \times 2^1 \\ \text{พิจารณามอดุโล } 7: \quad (8)^{33} \times 2 &\equiv (1)^{33} \times 2 \pmod 7 \\ &\equiv 1 \times 2 \pmod 7 \\ &\equiv 2 \pmod 7 \end{aligned} $$

เศษคือ $2$

Find the remainder of $2^{100} \div 7$.

Hint: Notice that $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod 7$.

$$ \begin{aligned} 2^{100} &= (2^3)^{33} \times 2^1 \\ \text{Modulo } 7: \quad (8)^{33} \times 2 &\equiv (1)^{33} \times 2 \pmod 7 \\ &\equiv 2 \pmod 7 \end{aligned} $$

The remainder is $2$.

Example 3.2 : เลขยกกำลังมหาศาล (ฐานติดลบ)

จงหาเศษเมื่อหาร $3^{50}$ ด้วย $5$

แนวคิด: สังเกตว่า $3^2 = 9 \equiv -1 \pmod 5$ ซึ่งง่ายต่อการยกกำลัง

$$ \begin{aligned} 3^{50} &= (3^2)^{25} \\ \text{พิจารณามอดุโล } 5: \quad (9)^{25} &\equiv (-1)^{25} \pmod 5 \\ &\equiv -1 \pmod 5 \\ &\equiv 4 \pmod 5 \quad \text{(บวก 5 กลับไปให้เป็นบวก)} \end{aligned} $$

เศษคือ $4$

Find the remainder of $3^{50} \div 5$.

$$ \begin{aligned} 3^{50} &= (3^2)^{25} \\ \text{Modulo } 5: \quad (9)^{25} &\equiv (-1)^{25} \pmod 5 \\ &\equiv -1 \pmod 5 \\ &\equiv 4 \pmod 5 \end{aligned} $$

The remainder is $4$.

Example 3.3 : การหาเลขโดดหลักหน่วย

เลขโดดหลักสุดท้ายของ $7^{2026}$ คือเลขอะไร?

แนวคิด: การหาหลักหน่วยเทียบเท่ากับการหาค่า มอดุโล $10$ ลองวนลูปยกกำลังของ 7

$$ \begin{aligned} 7^1 &\equiv 7 \pmod{10} \\ 7^2 &\equiv 49 \equiv 9 \equiv -1 \pmod{10} \\ \text{เพื่อความง่าย ใช้ } 7^2 &\equiv -1 \pmod{10} \\ 7^{2026} &= (7^2)^{1013} \\ &\equiv (-1)^{1013} \pmod{10} \\ &\equiv -1 \pmod{10} \\ &\equiv 9 \pmod{10} \end{aligned} $$

หลักหน่วยคือ $9$

What is the last digit of $7^{2026}$?

Hint: Last digit is value modulo 10.

$$ \begin{aligned} 7^2 &\equiv 49 \equiv -1 \pmod{10} \\ 7^{2026} &= (7^2)^{1013} \\ &\equiv (-1)^{1013} \pmod{10} \\ &\equiv -1 \equiv 9 \pmod{10} \end{aligned} $$

The last digit is $9$.

Example 3.4 : การหาเลขโดดสองหลักสุดท้าย

จงหาเลขโดด 2 หลักสุดท้ายของ $99^{99}$

แนวคิด: หาค่ามอดุโล $100$

$$ \begin{aligned} 99 &\equiv -1 \pmod{100} \\ 99^{99} &\equiv (-1)^{99} \pmod{100} \\ &\equiv -1 \pmod{100} \\ &\equiv 99 \pmod{100} \end{aligned} $$

สองหลักสุดท้ายคือ $99$

Find the last two digits of $99^{99}$.

Hint: Modulo 100.

$$ \begin{aligned} 99 &\equiv -1 \pmod{100} \\ 99^{99} &\equiv (-1)^{99} \pmod{100} \\ &\equiv 99 \pmod{100} \end{aligned} $$

Example 3.5 : อนุกรมแฟกทอเรียล (Factorials)

จงหาเศษเมื่อหาร $1! + 2! + 3! + \dots + 100!$ ด้วย $8$

แฟกทอเรียลที่มีค่าตั้งแต่ $4! = 24$ ขึ้นไป จะมี 8 เป็นตัวประกอบเสมอ ดังนั้นจะหารลงตัว (มอดุโลเป็น 0)

$$ \begin{aligned} 1! &= 1 \equiv 1 \pmod 8 \\ 2! &= 2 \equiv 2 \pmod 8 \\ 3! &= 6 \equiv 6 \pmod 8 \\ 4! &= 24 \equiv 0 \pmod 8 \\ \dots \\ 100! &\equiv 0 \pmod 8 \\ \text{ผลรวม} &\equiv 1 + 2 + 6 + 0 + \dots + 0 \pmod 8 \\ &\equiv 9 \pmod 8 \\ &\equiv 1 \pmod 8 \end{aligned} $$

เศษคือ $1$

Find the remainder of $1! + 2! + \dots + 100! \pmod 8$.

$$ \begin{aligned} \text{Since } 4! &= 24 \equiv 0 \pmod 8 \text{, all terms } \ge 4! \text{ are } 0. \\ \text{Sum} &\equiv 1! + 2! + 3! \pmod 8 \\ &\equiv 1 + 2 + 6 \pmod 8 \\ &\equiv 9 \equiv 1 \pmod 8 \end{aligned} $$

Example 3.6 : พิสูจน์การหารลงตัว

จงแสดงว่า $5^{2n} - 1$ หารด้วย $24$ ลงตัวเสมอ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$

$$ \begin{aligned} 5^{2n} - 1 &= (5^2)^n - 1 \\ &= 25^n - 1 \\ \text{พิจารณามอดุโล } 24: \quad 25 &\equiv 1 \pmod{24} \\ 25^n - 1 &\equiv 1^n - 1 \pmod{24} \\ &\equiv 1 - 1 \pmod{24} \\ &\equiv 0 \pmod{24} \end{aligned} $$

เศษเป็น 0 แสดงว่าหารด้วย $24$ ลงตัวเสมอ

Show that $5^{2n} - 1$ is always divisible by $24$ for $n \in \mathbb{I}^+$.

$$ \begin{aligned} 5^{2n} - 1 &= 25^n - 1 \\ \text{Modulo } 24: \quad 25^n - 1 &\equiv 1^n - 1 \pmod{24} \\ &\equiv 0 \pmod{24} \end{aligned} $$

Remainder 0 implies it is divisible.

Example 3.7 : ประยุกต์ใช้กับปฏิทิน

ถ้าวันนี้เป็นวันอังคาร อีก $1000$ วันข้างหน้าจะเป็นวันอะไร?

แนวคิด: 1 สัปดาห์มี 7 วัน วงจรของวันจะวนทับตำแหน่งเดิมทุกๆ 7 วัน (มอดุโล 7)

$$ \begin{aligned} 1000 &\equiv 1000 \pmod 7 \\ 1000 &= 7 \times 142 + 6 \\ \text{ดังนั้น } 1000 &\equiv 6 \pmod 7 \end{aligned} $$

หมายความว่านับจากวันอังคารไปอีก 6 วัน (หรือถอยหลัง 1 วัน) ซึ่งก็คือ วันจันทร์

If today is Tuesday, what day of the week will it be in 1000 days?

$$ \begin{aligned} 1000 &= 7 \times 142 + 6 \\ 1000 &\equiv 6 \pmod 7 \end{aligned} $$

6 days after Tuesday is Monday.

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Modulo (mod)	modulus (small measure)	มอดุโล · ระบบการคำนวณที่ตัวเลขวนกลับเมื่อถึงค่าที่กำหนด
Congruence	congruere (agree, come together)	สมภาค · ความเท่ากันในระบบมอดุลาร์ (เหลือเศษเท่ากัน)
Remainder	re- (back) + manere (to stay)	เศษเหลือ · จำนวนที่เหลือจากการหารที่ไม่ลงตัว
Divisibility	dividere (divide) + -ibilis (able to)	การหารลงตัว · คุณสมบัติที่จำนวนเต็มหนึ่งสามารถหารอีกจำนวนได้โดยไม่มีเศษ
Coprime	co- (together) + primus (first)	จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ · จำนวนเต็มสองตัวที่มี ห.ร.ม. เท่ากับ 1