จำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ

ในระบบ จำนวนเต็มบวก (Positive Integers) เราสามารถจำแนกจำนวนต่างๆ ออกตามลักษณะของ ตัวหาร (Divisors) ได้เป็น 3 กลุ่มหลักๆ ได้แก่: เลข $1$, จำนวนเฉพาะ (Prime) และ จำนวนประกอบ (Composite) โดยความรู้เหล่านี้เป็นรากฐานสำคัญในทฤษฎีจำนวน

Within the system of Positive Integers, we can classify numbers based on their Divisors into 3 main categories: the number $1$, Prime numbers, and Composite numbers. This knowledge is the fundamental building block of Number Theory.

🔢 การจำแนกจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ / Identifying Prime and Composite Numbers

บทนิยาม 1 (จำนวนเฉพาะ): จำนวนเต็ม $p > 1$ จะถูกเรียกว่า จำนวนเฉพาะ (Prime Number) ก็ต่อเมื่อ มีตัวหารที่เป็นจำนวนเต็มบวกเพียง 2 ตัวเท่านั้น คือ $1$ และตัวมันเอง ($p$)

บทนิยาม 2 (จำนวนประกอบ): จำนวนเต็ม $n > 1$ ที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ จะถูกเรียกว่า จำนวนประกอบ (Composite Number) ซึ่งหมายความว่า $n$ สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนที่น้อยกว่า $n$ ได้

ข้อควรจำ: จำนวน $1$ ไม่ใช่ ทั้งจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ

Definition 1 (Prime): An integer $p > 1$ is called a Prime Number if its only positive divisors are $1$ and itself ($p$).

Definition 2 (Composite): An integer $n > 1$ that is not prime is called a Composite Number. This means $n$ can be expressed as a product of two smaller positive integers.

Note: The number $1$ is neither prime nor composite.

Example 1.1 : กรณี $n=2$

พิจารณาจำนวน $2$

$$ \begin{aligned} \text{ตัวหารบวกของ } 2 &= \{1, 2\} \\ \text{จำนวนตัวหาร} &= 2 \text{ ตัว} \end{aligned} $$

ดังนั้น $2$ เป็น จำนวนเฉพาะ (และเป็นจำนวนเฉพาะคู่ตัวเดียวในระบบคณิตศาสตร์)

Consider the number $2$.

$$ \begin{aligned} \text{Positive divisors of } 2 &= \{1, 2\} \\ \text{Number of divisors} &= 2 \end{aligned} $$

Thus, $2$ is a Prime number (and the only even prime).

Example 1.2 : กรณี $n=9$

พิจารณาจำนวน $9$

$$ \begin{aligned} 9 &= 3 \times 3 \\ \text{ตัวหารบวกของ } 9 &= \{1, 3, 9\} \\ \text{จำนวนตัวหาร} &= 3 \text{ ตัว (มากกว่า 2 ตัว)} \end{aligned} $$

ดังนั้น $9$ เป็น จำนวนประกอบ

Consider the number $9$.

$$ \begin{aligned} 9 &= 3 \times 3 \\ \text{Positive divisors of } 9 &= \{1, 3, 9\} \\ \text{Number of divisors} &= 3 \text{ (More than 2)} \end{aligned} $$

Thus, $9$ is a Composite number.

Example 1.3 : กรณี $n=17$

พิจารณาจำนวน $17$

$$ \begin{aligned} \text{ไม่มีจำนวนเต็มบวกใดหาร } 17 \text{ ลงตัว} &\text{ ยกเว้น } 1 \text{ และ } 17 \\ \text{ตัวหารบวกของ } 17 &= \{1, 17\} \end{aligned} $$

ดังนั้น $17$ เป็น จำนวนเฉพาะ

Consider the number $17$.

$$ \begin{aligned} \text{No positive integer divides } 17 &\text{ perfectly except } 1 \text{ and } 17 \\ \text{Positive divisors of } 17 &= \{1, 17\} \end{aligned} $$

Thus, $17$ is a Prime number.

Example 1.4 : จำนวนที่ดูเหมือนจำนวนเฉพาะ ($n=51$)

พิจารณาจำนวน $51$ (หลายคนมักสับสนว่าเป็นจำนวนเฉพาะ)

$$ \begin{aligned} 51 &= 3 \times 17 \quad \text{(เพราะ } 5+1 = 6 \text{ หาร } 3 \text{ ลงตัว)} \\ \text{ตัวหารบวกของ } 51 &= \{1, 3, 17, 51\} \end{aligned} $$

เนื่องจากมีตัวหาร $3$ และ $17$ ด้วย ดังนั้น $51$ เป็น จำนวนประกอบ

Consider the number $51$ (often mistaken for a prime).

$$ \begin{aligned} 51 &= 3 \times 17 \quad \text{(since } 5+1 = 6 \text{ is divisible by } 3 \text{)} \\ \text{Positive divisors of } 51 &= \{1, 3, 17, 51\} \end{aligned} $$

Since it is divisible by $3$ and $17$, $51$ is a Composite number.

Example 1.5 : กรณี $n=91$

พิจารณาจำนวน $91$

$$ \begin{aligned} \text{ทดลองนำจำนวนเฉพาะมาหาร: } \\ 91 \div 2 &\to \text{ไม่ลงตัว} \\ 91 \div 3 &\to \text{ไม่ลงตัว} \\ 91 \div 5 &\to \text{ไม่ลงตัว} \\ 91 \div 7 &= 13 \quad \implies 91 = 7 \times 13 \end{aligned} $$

พบว่า $7$ เป็นตัวหาร ดังนั้น $91$ เป็น จำนวนประกอบ

Consider the number $91$.

$$ \begin{aligned} \text{Testing prime divisors: } \\ 91 \div 2 &\to \text{remainder} \\ 91 \div 3 &\to \text{remainder} \\ 91 \div 5 &\to \text{remainder} \\ 91 \div 7 &= 13 \quad \implies 91 = 7 \times 13 \end{aligned} $$

Since $7$ is a factor, $91$ is a Composite number.

Example 1.6 : กรณี $n=97$

พิจารณาจำนวน $97$

ในการตรวจสอบ เราเพียงทดลองหารด้วยจำนวนเฉพาะ $p$ ที่ $p \le \sqrt{97} \approx 9.8$ เท่านั้น

$$ \begin{aligned} \text{จำนวนเฉพาะที่ต้องทดสอบ} &= \{2, 3, 5, 7\} \\ 97 \div 2, 3, 5, 7 &\to \text{หารไม่ลงตัวทั้งหมด} \end{aligned} $$

เนื่องจากไม่มีตัวหารใดเลยในช่วงนี้ ดังนั้น $97$ เป็น จำนวนเฉพาะ (เป็นจำนวนเฉพาะ 2 หลักที่มากที่สุด)

Consider the number $97$.

To check, we only test prime divisors $p$ where $p \le \sqrt{97} \approx 9.8$.

$$ \begin{aligned} \text{Primes to test} &= \{2, 3, 5, 7\} \\ 97 \div 2, 3, 5, 7 &\to \text{None divides perfectly} \end{aligned} $$

Since no prime in this range is a divisor, $97$ is a Prime number.

Example 1.7 : วิเคราะห์ตัวแปร $n^2 - 1$

ให้พิจารณาว่านิพจน์ $n^2 - 1$ เมื่อ $n > 2$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ

$$ \begin{aligned} \text{แยกตัวประกอบ} \quad n^2 - 1 &= (n - 1)(n + 1) \end{aligned} $$

เนื่องจาก $n > 2$ จะได้ว่า $n - 1 > 1$ และ $n + 1 > 3$
ทำให้ $(n - 1)(n + 1)$ เป็นผลคูณของจำนวนเต็มสองตัวที่ต่างก็มากกว่า 1 เสมอ
ดังนั้น $n^2 - 1$ (เมื่อ $n>2$) จะเป็น จำนวนประกอบ เสมอ

Determine if the expression $n^2 - 1$ (for $n > 2$) is prime or composite.

$$ \begin{aligned} \text{Factorize } \quad n^2 - 1 &= (n - 1)(n + 1) \end{aligned} $$

Since $n > 2$, it follows that $n - 1 > 1$ and $n + 1 > 3$.
This makes $(n - 1)(n + 1)$ a product of two integers strictly greater than 1.
Thus, $n^2 - 1$ (for $n>2$) is always a Composite number.

🧱 ทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิต / The Fundamental Theorem of Arithmetic

ทฤษฎีบท: จำนวนเต็ม $n > 1$ ใดๆ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ "ผลคูณของจำนวนเฉพาะ" (Prime Factorization) ได้เพียงรูปแบบเดียวเท่านั้น (Unique) โดยไม่คำนึงถึงลำดับก่อนหลังของการสลับที่

$$n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \dots p_k^{a_k}$$

โดยที่ $p_1, p_2, \dots, p_k$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน และ $a_1, a_2, \dots, a_k$ เป็นจำนวนเต็มบวก

Theorem: Every integer $n > 1$ can be represented as a product of prime numbers in exactly one unique way (up to the order of the factors). This is known as Prime Factorization.

$$n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \dots p_k^{a_k}$$

Where $p_1, p_2, \dots, p_k$ are distinct prime numbers, and $a_1, a_2, \dots, a_k$ are positive integers.

Example 2.1 : ตัวเลขพื้นฐาน ($n=12$)

จงเขียน $12$ ในรูปการแยกตัวประกอบเฉพาะ

$$ \begin{aligned} 12 &= 4 \times 3 \\ &= (2 \times 2) \times 3 \\ &= 2^2 \times 3^1 \end{aligned} $$

Find the prime factorization of $12$.

$$ \begin{aligned} 12 &= 4 \times 3 \\ &= (2 \times 2) \times 3 \\ &= 2^2 \times 3^1 \end{aligned} $$

Example 2.2 : การคูณอย่างต่อเนื่อง ($n=30$)

จงเขียน $30$ ในรูปการแยกตัวประกอบเฉพาะ

$$ \begin{aligned} 30 &= 3 \times 10 \\ &= 3 \times (2 \times 5) \\ &= 2^1 \times 3^1 \times 5^1 \end{aligned} $$

Find the prime factorization of $30$.

$$ \begin{aligned} 30 &= 3 \times 10 \\ &= 3 \times (2 \times 5) \\ &= 2^1 \times 3^1 \times 5^1 \end{aligned} $$

Example 2.3 : การใช้อำนาจเลขยกกำลัง ($n=72$)

จงเขียน $72$ ในรูปการแยกตัวประกอบเฉพาะ

$$ \begin{aligned} 72 &= 8 \times 9 \\ &= (2 \times 2 \times 2) \times (3 \times 3) \\ &= 2^3 \times 3^2 \end{aligned} $$

Find the prime factorization of $72$.

$$ \begin{aligned} 72 &= 8 \times 9 \\ &= (2 \times 2 \times 2) \times (3 \times 3) \\ &= 2^3 \times 3^2 \end{aligned} $$

Example 2.4 : จำนวนเต็มหลักร้อย ($n=100$)

จงเขียน $100$ ในรูปการแยกตัวประกอบเฉพาะ

$$ \begin{aligned} 100 &= 10 \times 10 \\ &= (2 \times 5) \times (2 \times 5) \\ &= 2^2 \times 5^2 \end{aligned} $$

Find the prime factorization of $100$.

$$ \begin{aligned} 100 &= 10 \times 10 \\ &= (2 \times 5) \times (2 \times 5) \\ &= 2^2 \times 5^2 \end{aligned} $$

Example 2.5 : ปรากฏจำนวนเฉพาะหลายตัว ($n=210$)

จงเขียน $210$ ในรูปการแยกตัวประกอบเฉพาะ

$$ \begin{aligned} 210 &= 21 \times 10 \\ &= (3 \times 7) \times (2 \times 5) \\ &= 2 \times 3 \times 5 \times 7 \end{aligned} $$

Find the prime factorization of $210$.

$$ \begin{aligned} 210 &= 21 \times 10 \\ &= (3 \times 7) \times (2 \times 5) \\ &= 2 \times 3 \times 5 \times 7 \end{aligned} $$

Example 2.6 : จำนวนเฉพาะฐานเดียว ($n=1024$)

จงเขียน $1024$ ในรูปการแยกตัวประกอบเฉพาะ

$$ \begin{aligned} 1024 &= 32 \times 32 \\ &= (2^5) \times (2^5) \\ &= 2^{10} \end{aligned} $$

รูปแบบนี้มีจำนวนเฉพาะที่เป็นฐานเพียงตัวเดียวคือ $2$

Find the prime factorization of $1024$.

$$ \begin{aligned} 1024 &= 32 \times 32 \\ &= (2^5) \times (2^5) \\ &= 2^{10} \end{aligned} $$

This form has only one prime base, which is $2$.

Example 2.7 : จำนวนผสมขนาดใหญ่ ($n=3600$)

จงเขียน $3600$ ในรูปการแยกตัวประกอบเฉพาะ

$$ \begin{aligned} 3600 &= 36 \times 100 \\ &= (4 \times 9) \times (4 \times 25) \\ &= (2^2 \times 3^2) \times (2^2 \times 5^2) \\ &= 2^4 \times 3^2 \times 5^2 \end{aligned} $$

จัดรูปกลุ่มเลขฐานเดียวกัน โดยการนำเลขชี้กำลังมาบวกกัน (เช่น $2^2 \times 2^2 = 2^4$)

Find the prime factorization of $3600$.

$$ \begin{aligned} 3600 &= 36 \times 100 \\ &= (4 \times 9) \times (4 \times 25) \\ &= (2^2 \times 3^2) \times (2^2 \times 5^2) \\ &= 2^4 \times 3^2 \times 5^2 \end{aligned} $$

Group the same bases by adding their exponents (e.g., $2^2 \times 2^2 = 2^4$).

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Prime	primus (first, chief)	จำนวนเฉพาะ · จำนวนที่เปรียบเสมือนสิ่งพื้นฐานแรกสุดในการสร้างจำนวนอื่นๆ (มีแค่ 1 และตัวมันเองหารลงตัว)
Composite	com- (together) + ponere (put)	จำนวนประกอบ · จำนวนที่ถูกนำมาประกอบหรือสร้างขึ้นจากการคูณกันของจำนวนเฉพาะ
Factorization	factor (doer, maker)	การแยกตัวประกอบ · กระบวนการเขียนจำนวนเต็มให้อยู่ในรูปผลคูณของตัวประกอบ (Factors)
Divisor	dividere (to divide)	ตัวหาร · จำนวนที่สามารถหารจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่งได้ลงตัวพอดี
Fundamental	fundamentum (foundation)	หลักมูล, พื้นฐาน · กฎหรือทฤษฎีที่เป็นรากฐานสำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์สาขานั้นๆ