ค่าสัมบูรณ์

ค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value) ของจำนวนจริงใดๆ คือระยะทางจากจุด 0 ถึงจำนวนนั้นบนเส้นจำนวน เนื่องจากระยะทางไม่สามารถติดลบได้ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนใดๆ จึงเป็น บวกหรือศูนย์เสมอ สัญลักษณ์ที่ใช้เขียนแทนค่าสัมบูรณ์ของ $x$ คือ $|x|$

The Absolute Value of a real number is its distance from 0 on the number line. Since distance cannot be negative, the absolute value of any number is always positive or zero. It is denoted by $|x|$.

📖 บทนิยาม / Definition

บทนิยามทางคณิตศาสตร์ของค่าสัมบูรณ์ แบ่งการพิจารณาออกเป็นเงื่อนไขตามเครื่องหมายของตัวเลขข้างใน:

$$ |x| = \begin{cases} x & \text{ถ้า } x \ge 0 \\ -x & \text{ถ้า } x < 0 \end{cases} $$

The mathematical definition of absolute value is a piecewise function based on the sign of the inner value:

$$ |x| = \begin{cases} x & \text{if } x \ge 0 \\ -x & \text{if } x < 0 \end{cases} $$

Example 1.1 : ตัวเลขพื้นฐาน

หาค่าสัมบูรณ์ของจำนวนบวกและจำนวนลบ

$$ \begin{aligned} |5| &= 5 \quad \text{(เพราะ } 5 \ge 0 \text{)} \\ |-5| &= -(-5) = 5 \quad \text{(เพราะ } -5 < 0 \text{)} \end{aligned} $$

Find the absolute value of positive and negative numbers.

$$ \begin{aligned} |5| &= 5 \quad \text{(since } 5 \ge 0 \text{)} \\ |-5| &= -(-5) = 5 \quad \text{(since } -5 < 0 \text{)} \end{aligned} $$

Example 1.2 : ระยะทางบนเส้นจำนวน

ระยะทางจาก $3$ และ $-3$ ถึง $0$ มีค่าเท่ากันคือ $3$ หน่วย

The distance from $3$ and $-3$ to $0$ is equal, which is $3$ units.

Example 1.3 : การถอดค่าสัมบูรณ์ติดตัวแปร

จงหาค่าของ $|x - 3|$ เมื่อกำหนดให้ $x < 3$

$$ \begin{aligned} \text{เนื่องจาก } x < 3 \text{ จะได้ว่า } x - 3 &< 0 \\ \text{ดังนั้น } |x - 3| &=-(x - 3) \\ &=-x + 3 \\ &=3 - x \end{aligned} $$

Evaluate $|x - 3|$ given that $x < 3$.

$$ \begin{aligned} \text{Since } x < 3 \text{, we get } x - 3 &< 0 \\ \text{Thus, } |x - 3| &=-(x - 3) \\ &=-x + 3 \\ &=3 - x \end{aligned} $$

Example 1.4 : ค่าสัมบูรณ์ของค่าคงที่อตรรกยะ

จงหาค่าของ $|\pi - 4|$

$$ \begin{aligned} \text{เรารู้ว่า } \pi &\approx 3.14 \\ \text{ดังนั้น } \pi - 4 &< 0 \text{ (ติดลบ)} \\ \text{ถอดค่าสัมบูรณ์จะได้ } |\pi - 4| &=-(\pi - 4) \\ &=4 - \pi \end{aligned} $$

Evaluate $|\pi - 4|$.

$$ \begin{aligned} \text{We know } \pi &\approx 3.14 \\ \text{Thus, } \pi - 4 &< 0 \text{ (negative)} \\ \text{Evaluating gives } |\pi - 4| &=-(\pi - 4) \\ &=4 - \pi \end{aligned} $$

Example 1.5 : ค่าสัมบูรณ์ซ้อนกัน

จงหาค่าของ $||-2| - 5|$

$$ \begin{aligned} ||-2| - 5| &= |2 - 5| \quad \text{(ทำด้านในก่อน)} \\ &= |-3| \\ &= 3 \end{aligned} $$

Evaluate $||-2| - 5|$.

$$ \begin{aligned} ||-2| - 5| &= |2 - 5| \quad \text{(inner first)} \\ &= |-3| \\ &= 3 \end{aligned} $$

⚖️ การแก้สมการค่าสัมบูรณ์ / Absolute Value Equations

หลักการสำคัญในการแก้สมการที่อยู่ในรูป $|x| = a$ เมื่อ $a \ge 0$ คือ การแยกออกเป็น 2 กรณี เพราะตัวเลขข้างในอาจเป็นบวกหรือลบก็ได้:

$|x| = a \implies x = a \text{ หรือ } x = -a$

The core principle for solving equations of the form $|x| = a$ (where $a \ge 0$) is splitting it into 2 cases, since the inside could be positive or negative:

$|x| = a \implies x = a \text{ or } x = -a$

Example 2.1 : สมการพื้นฐาน

จงแก้สมการ $|x| = 7$

$$ \begin{aligned} |x| &= 7 \\ x &= 7 \quad \text{หรือ} \quad x = -7 \end{aligned} $$

$\text{เซตคำตอบคือ } \{-7, 7\}$

Solve the equation $|x| = 7$.

$$ \begin{aligned} |x| &= 7 \\ x &= 7 \quad \text{or} \quad x = -7 \end{aligned} $$

$\text{Solution set is } \{-7, 7\}$

Example 2.2 : สมการเชิงเส้นในค่าสัมบูรณ์

จงแก้สมการ $|2x - 1| = 5$

$$ \begin{aligned} \text{กรณีที่ 1: } 2x - 1 &= 5 \\ 2x &= 6 \\ x &= 3 \\ \\ \text{กรณีที่ 2: } 2x - 1 &= -5 \\ 2x &= -4 \\ x &= -2 \end{aligned} $$

$\text{เซตคำตอบคือ } \{-2, 3\}$

Solve the equation $|2x - 1| = 5$.

$$ \begin{aligned} \text{Case 1: } 2x - 1 &= 5 \\ 2x &= 6 \\ x &= 3 \\ \\ \text{Case 2: } 2x - 1 &= -5 \\ 2x &= -4 \\ x &= -2 \end{aligned} $$

$\text{Solution set is } \{-2, 3\}$

Example 2.3 : มีตัวแปรอยู่นอกค่าสัมบูรณ์ (ต้องตรวจคำตอบ!)

จงแก้สมการ $|x - 2| = 2x - 1$

$$ \begin{aligned} x - 2 &= 2x - 1 & \text{หรือ} \quad x - 2 &= -(2x - 1) \\ -1 &= x & x - 2 &= -2x + 1 \\ x &= -1 & 3x &= 3 \implies x = 1 \end{aligned} $$

** ตรวจคำตอบ (สำคัญมากเพราะอีกฝั่งมีตัวแปร ต้อง $\ge 0$ เสมอ) **

แทน $x = -1$: ได้ $|-1-2| = 2(-1)-1 \implies |-3| = -3$ (เท็จ)

แทน $x = 1$: ได้ $|1-2| = 2(1)-1 \implies |-1| = 1$ (จริง)

$\text{เซตคำตอบคือ } \{1\}$

Solve the equation $|x - 2| = 2x - 1$ (Must verify answers!).

$$ \begin{aligned} x - 2 &= 2x - 1 & \text{or} \quad x - 2 &= -(2x - 1) \\ -1 &= x & x - 2 &= -2x + 1 \\ x &= -1 & 3x &= 3 \implies x = 1 \end{aligned} $$

** Verification (crucial because the RHS has a variable and must be $\ge 0$) **

Substitute $x = -1$: $|-1-2| = 2(-1)-1 \implies |-3| = -3$ (False)

Substitute $x = 1$: $|1-2| = 2(1)-1 \implies |-1| = 1$ (True)

$\text{Solution set is } \{1\}$

Example 2.4 : ค่าสัมบูรณ์ทั้งสองข้าง (วิธียกกำลังสอง)

จงแก้สมการ $|x + 1| = |2x - 3|$

สามารถทำได้โดยจับ $x+1 = \pm(2x-3)$ หรือใช้วิธียกกำลังสองทั้งสองข้าง (เพราะค่าบวกกำลังสองย่อมเท่ากัน)

$$ \begin{aligned} |x + 1|^2 &= |2x - 3|^2 \\ (x + 1)^2 &= (2x - 3)^2 \\ x^2 + 2x + 1 &= 4x^2 - 12x + 9 \\ 0 &= 3x^2 - 14x + 8 \\ 0 &= (3x - 2)(x - 4) \\ \text{จะได้ } x &= \frac{2}{3}, 4 \end{aligned} $$

$\text{เซตคำตอบคือ } \{\frac{2}{3}, 4\}$

Solve the equation $|x + 1| = |2x - 3|$

Can be solved by $x+1 = \pm(2x-3)$ or by squaring both sides.

$$ \begin{aligned} |x + 1|^2 &= |2x - 3|^2 \\ (x + 1)^2 &= (2x - 3)^2 \\ x^2 + 2x + 1 &= 4x^2 - 12x + 9 \\ 0 &= 3x^2 - 14x + 8 \\ 0 &= (3x - 2)(x - 4) \\ \text{we get } x &= \frac{2}{3}, 4 \end{aligned} $$

$\text{Solution set is } \{\frac{2}{3}, 4\}$

Example 2.5 : สมการพหุนามดีกรีสองในค่าสัมบูรณ์

จงแก้สมการ $|x^2 - 5| = 4$

$$ \begin{aligned} \text{กรณีที่ 1:} \quad x^2 - 5 &= 4 \\ x^2 &= 9 \\ x &= 3, -3 \\ \\ \text{กรณีที่ 2:} \quad x^2 - 5 &= -4 \\ x^2 &= 1 \\ x &= 1, -1 \end{aligned} $$

$\text{เซตคำตอบคือ } \{-3, -1, 1, 3\}$

Solve the equation $|x^2 - 5| = 4$.

$$ \begin{aligned} \text{Case 1:} \quad x^2 - 5 &= 4 \\ x^2 &= 9 \\ x &= 3, -3 \\ \\ \text{Case 2:} \quad x^2 - 5 &= -4 \\ x^2 &= 1 \\ x &= 1, -1 \end{aligned} $$

$\text{Solution set is } \{-3, -1, 1, 3\}$

📏 การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ / Absolute Value Inequalities

การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ อาศัยการตีความหมายของ "ระยะทาง" เป็นหลัก โดยแบ่งเป็น 2 รูปแบบ ($a > 0$):

รูปแบบน้อยกว่า: $|x| < a$ หมายถึง ระยะทางจาก $x$ ถึง $0$ น้อยกว่า $a$
$\implies -a < x < a$
รูปแบบมากกว่า: $|x| > a$ หมายถึง ระยะทางจาก $x$ ถึง $0$ มากกว่า $a$
$\implies x < -a \text{ หรือ } x> a$

Solving absolute value inequalities relies on interpreting "distance", categorized into 2 forms ($a > 0$):

Less than: $|x| < a$ means distance from $x$ to $0$ is less than $a$
$\implies -a < x < a$
Greater than: $|x| > a$ means distance from $x$ to $0$ is greater than $a$
$\implies x < -a \text{ or } x> a$

Example 3.1 : อสมการน้อยกว่า (พื้นฐาน)

จงหาช่วงคำตอบของ $|x| < 4$

$$ -4 < x < 4 $$

$\text{ช่วงคำตอบคือ } (-4, 4)$

Find the interval solution for $|x| < 4$.

$$ -4 < x < 4 $$

$\text{Interval solution is } (-4, 4)$

Example 3.2 : อสมการมากกว่า (พื้นฐาน)

จงหาช่วงคำตอบของ $|x| \ge 3$

$$ x \le -3 \quad \text{หรือ} \quad x \ge 3 $$

$\text{ช่วงคำตอบคือ } (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$

Find the interval solution for $|x| \ge 3$.

$$ x \le -3 \quad \text{or} \quad x \ge 3 $$

$\text{Interval solution is } (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$

Example 3.3 : อสมการน้อยกว่า (เชิงเส้น)

จงแก้อสมการ $|2x + 1| \le 7$

$$ \begin{aligned} -7 &\le 2x + 1 \le 7 \\ -8 &\le 2x \le 6 \quad \text{(นำ 1 ไปลบตลอด)} \\ -4 &\le x \le 3 \quad \text{(นำ 2 ไปหารตลอด)} \end{aligned} $$

$\text{ช่วงคำตอบคือ } [-4, 3]$

Solve the inequality $|2x + 1| \le 7$.

$$ \begin{aligned} -7 &\le 2x + 1 \le 7 \\ -8 &\le 2x \le 6 \quad \text{(subtract 1)} \\ -4 &\le x \le 3 \quad \text{(divide by 2)} \end{aligned} $$

$\text{Interval solution is } [-4, 3]$

Example 3.4 : อสมการมากกว่า (เชิงเส้น)

จงแก้อสมการ $|3x - 2| > 10$

$$ \begin{aligned} 3x - 2 &< -10 & \text{หรือ} \quad 3x - 2 &> 10 \\ 3x &< -8 & 3x &> 12 \\ x &< -\frac{8}{3} & x &> 4 \end{aligned} $$

$\text{ช่วงคำตอบคือ } \left(-\infty, -\frac{8}{3}\right) \cup (4, \infty)$

Solve the inequality $|3x - 2| > 10$.

$$ \begin{aligned} 3x - 2 &< -10 & \text{or} \quad 3x - 2 &> 10 \\ 3x &< -8 & 3x &> 12 \\ x &< -\frac{8}{3} & x &> 4 \end{aligned} $$

$\text{Interval solution is } \left(-\infty, -\frac{8}{3}\right) \cup (4, \infty)$

Example 3.5 : ค่าสัมบูรณ์ทั้งสองข้าง (อสมการ)

จงแก้อสมการ $|x - 2| < |x + 4|$

ใช้วิธียกกำลังสองทั้งสองข้าง (เพราะค่าบวกทั้งคู่ ทิศทางอสมการไม่เปลี่ยน)

$$ \begin{aligned} (x - 2)^2 &< (x + 4)^2 \\ x^2 - 4x + 4 &< x^2 + 8x + 16 \\ -4x - 8x &< 16 - 4 \\ -12x &< 12 \\ x &> -1 \quad \text{(ระวัง! หารด้วยค่าลบ เครื่องหมายอสมการเปลี่ยน)} \end{aligned} $$

$\text{ช่วงคำตอบคือ } (-1, \infty)$

Solve the inequality $|x - 2| < |x + 4|$

Square both sides (since both are non-negative, the inequality sign is preserved).

$$ \begin{aligned} (x - 2)^2 &< (x + 4)^2 \\ x^2 - 4x + 4 &< x^2 + 8x + 16 \\ -4x - 8x &< 16 - 4 \\ -12x &< 12 \\ x &> -1 \quad \text{(Careful! Dividing by negative flips the inequality)} \end{aligned} $$

$\text{Interval solution is } (-1, \infty)$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Absolute	absolutus (freed, detached)	ค่าสัมบูรณ์ · ระยะทางของจำนวนใดๆ จากศูนย์บนเส้นจำนวน (หลุดพ้นจากทิศทาง หรือมีค่าไม่ติดลบเสมอ)
Equation	aequare (make equal)	สมการ · ประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงความเท่ากัน (มีเครื่องหมาย =)
Inequality	in- (not) + aequalis (equal)	อสมการ · ประโยคสัญลักษณ์ที่แสดงถึงความไม่เท่ากัน (เช่น <, >, ≤, ≥)
Distance	distantia (standing apart)	ระยะทาง · ขนาดของความห่างระหว่างจุดสองจุด ในทางคณิตศาสตร์มีค่าไม่ติดลบ
Number Line	numerus (number) + linea (line)	เส้นจำนวน · เส้นตรงทางเรขาคณิตที่ใช้แสดงจำนวนจริงตามลำดับจากน้อยไปมาก