สมการพหุนามตัวแปรเดียว

สมการพหุนามตัวแปรเดียว (Polynomial Equation) คือสมการที่สามารถเขียนอยู่ในรูป $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ โดยที่ $a_n \neq 0$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก ในการหาคำตอบ (รากของสมการ) เราจะใช้สมบัติของจำนวนจริงที่ว่า "ถ้า $A \times B = 0$ แล้ว $A = 0$ หรือ $B = 0$" เป็นหลักการสำคัญ

A Polynomial Equation with one variable is an equation of the form $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ where $a_n \neq 0$ and $n$ is a non-negative integer. To find the roots, we heavily rely on the Zero Product Property: "If $A \times B = 0$, then $A = 0$ or $B = 0$."

🧩 การใช้การแยกตัวประกอบ 🧩 Factoring Methods

เทคนิคแรกในการแก้สมการคือ การจัดรูปฝั่งหนึ่งให้เป็นศูนย์ แล้วทำการแยกตัวประกอบ (Factoring) พหุนามนั้น โดยใช้รูปแบบต่างๆ เช่น การดึงตัวร่วม, ผลต่างกำลังสอง, หรือผลบวก/ผลต่างกำลังสาม

The first technique to solve these equations is setting one side to zero and factoring the polynomial using methods like factoring out common terms, difference of squares, or sum/difference of cubes.

Example 1.1

จงหาคำตอบของสมการ $x^2 - 3x = 0$

\begin{aligned} x^2 - 3x &= 0 \\ x(x - 3) &= 0 \\ x &= 0 \quad \text{หรือ} \quad x - 3 = 0 \\ x &= 0, 3 \end{aligned}

Solve the equation $x^2 - 3x = 0$

\begin{aligned} x^2 - 3x &= 0 \\ x(x - 3) &= 0 \\ x &= 0 \quad \text{or} \quad x - 3 = 0 \\ x &= 0, 3 \end{aligned}

Example 1.2

จงหาคำตอบของสมการ $4x^2 - 25 = 0$
สูตร: $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$

\begin{aligned} (2x)^2 - 5^2 &= 0 \\ (2x - 5)(2x + 5) &= 0 \\ 2x - 5 = 0 \quad &\text{หรือ} \quad 2x + 5 = 0 \\ x &= \frac{5}{2}, -\frac{5}{2} \end{aligned}

Solve the equation $4x^2 - 25 = 0$
Formula: $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$

\begin{aligned} (2x)^2 - 5^2 &= 0 \\ (2x - 5)(2x + 5) &= 0 \\ 2x - 5 = 0 \quad &\text{or} \quad 2x + 5 = 0 \\ x &= \frac{5}{2}, -\frac{5}{2} \end{aligned}

Example 1.3

จงหาคำตอบของสมการ $x^3 + 8 = 0$ บนระบบจำนวนจริง
สูตร: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$

\begin{aligned} x^3 + 2^3 &= 0 \\ (x + 2)(x^2 - 2x + 4) &= 0 \end{aligned}

เนื่องจาก $x^2 - 2x + 4 = 0$ ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง คำตอบเดียวคือ $x = -2$

Solve $x^3 + 8 = 0$ in the real number system.
Formula: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$

\begin{aligned} x^3 + 2^3 &= 0 \\ (x + 2)(x^2 - 2x + 4) &= 0 \end{aligned}

Since $x^2 - 2x + 4 = 0$ has no real roots, the only real solution is $x = -2$.

Example 1.4

จงหาคำตอบของสมการ $8x^3 - 27 = 0$
สูตร: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$

\begin{aligned} (2x)^3 - 3^3 &= 0 \\ (2x - 3)\left((2x)^2 + (2x)(3) + 3^2\right) &= 0 \\ (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) &= 0 \end{aligned}

$x = \displaystyle \frac{3}{2}$

Solve the equation $8x^3 - 27 = 0$
Formula: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$

\begin{aligned} (2x)^3 - 3^3 &= 0 \\ (2x - 3)\left((2x)^2 + (2x)(3) + 3^2\right) &= 0 \\ (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) &= 0 \end{aligned}

$x = \displaystyle \frac{3}{2}$

Example 1.5

จงหาคำตอบของสมการ $x^3 - 2x^2 - 4x + 8 = 0$

\begin{aligned} (x^3 - 2x^2) - (4x - 8) &= 0 \\ x^2(x - 2) - 4(x - 2) &= 0 \\ (x^2 - 4)(x - 2) &= 0 \\ (x - 2)(x + 2)(x - 2) &= 0 \end{aligned}

$x = 2, -2$

Solve the equation $x^3 - 2x^2 - 4x + 8 = 0$

\begin{aligned} (x^3 - 2x^2) - (4x - 8) &= 0 \\ x^2(x - 2) - 4(x - 2) &= 0 \\ (x^2 - 4)(x - 2) &= 0 \\ (x - 2)(x + 2)(x - 2) &= 0 \end{aligned}

$x = 2, -2$

🚀 สูตรสมการกำลังสอง 🚀 Quadratic Formula

สำหรับสมการพหุนามดีกรีสองในรูป $ax^2 + bx + c = 0$ (เมื่อ $a \neq 0$) หากแยกตัวประกอบได้ยาก เราสามารถใช้สูตรได้เสมอ:

For a degree 2 polynomial in the form $ax^2 + bx + c = 0$ (where $a \neq 0$), if it's hard to factor, we can always use the quadratic formula:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

ตัวกำหนด (Discriminant) $\Delta = b^2 - 4ac$ จะเป็นตัวบอกลักษณะคำตอบ The discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ determines the nature of the roots.

Example 2.1

จงแก้สมการ $x^2 - 5x + 6 = 0$ โดยใช้สูตร ($a=1, b=-5, c=6$)

\begin{aligned} x &= \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} \\ x &= \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\ x &= \frac{5 \pm 1}{2} \\ x &= \frac{6}{2}, \frac{4}{2} \\ x &= 3, 2 \end{aligned}

Solve $x^2 - 5x + 6 = 0$ using the formula ($a=1, b=-5, c=6$)

\begin{aligned} x &= \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} \\ x &= \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\ x &= \frac{5 \pm 1}{2} \\ x &= \frac{6}{2}, \frac{4}{2} \\ x &= 3, 2 \end{aligned}

Example 2.2

จงแก้สมการ $x^2 - 4x + 4 = 0$

\begin{aligned} x &= \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} \\ x &= \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} \\ x &= \frac{4 \pm 0}{2} \\ x &= 2 \end{aligned}

Solve the equation $x^2 - 4x + 4 = 0$

\begin{aligned} x &= \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} \\ x &= \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} \\ x &= \frac{4 \pm 0}{2} \\ x &= 2 \end{aligned}

Example 2.3

จงแก้สมการ $x^2 + x + 1 = 0$

\begin{aligned} x &= \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} \\ x &= \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} \end{aligned}

ไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริง

Solve the equation $x^2 + x + 1 = 0$

\begin{aligned} x &= \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} \\ x &= \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} \end{aligned}

No real solutions

Example 2.4

จงแก้สมการ $2x^2 - 3x - 1 = 0$

\begin{aligned} x &= \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} \\ x &= \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} \\ x &= \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4} \end{aligned}

Solve the equation $2x^2 - 3x - 1 = 0$

\begin{aligned} x &= \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} \\ x &= \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} \\ x &= \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4} \end{aligned}

Example 2.5

จงแก้สมการ $3x^2 - 7x - 6 = 0$

\begin{aligned} x &= \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(3)(-6)}}{2(3)} \\ x &= \frac{7 \pm \sqrt{49 + 72}}{6} \\ x &= \frac{7 \pm \sqrt{121}}{6} \\ x &= \frac{7 \pm 11}{6} \\ x &= \frac{18}{6}, \frac{-4}{6} \\ x &= 3, -\frac{2}{3} \end{aligned}

Solve the equation $3x^2 - 7x - 6 = 0$

\begin{aligned} x &= \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(3)(-6)}}{2(3)} \\ x &= \frac{7 \pm \sqrt{49 + 72}}{6} \\ x &= \frac{7 \pm \sqrt{121}}{6} \\ x &= \frac{7 \pm 11}{6} \\ x &= \frac{18}{6}, \frac{-4}{6} \\ x &= 3, -\frac{2}{3} \end{aligned}

📈 ดีกรีสูงกว่า 2 📈 Higher Degree Polynomials

สำหรับสมการตั้งแต่ดีกรี 3 ขึ้นไป เครื่องมือที่ทรงพลังคือ ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ (Rational Root Theorem) ร่วมกับ การหารสังเคราะห์ (Synthetic Division) เพื่อลดดีกรีของสมการลงทีละขั้นจนเหลือดีกรีสองที่ใช้สูตรได้

ถ้า $x = c$ ทำให้ $P(c) = 0$ แล้ว $(x - c)$ จะเป็นตัวประกอบของ $P(x)$

For polynomials of degree 3 or higher, powerful tools are the Rational Root Theorem combined with Synthetic Division to reduce the polynomial's degree step-by-step until it becomes a quadratic equation.

If $x = c$ yields $P(c) = 0$, then $(x - c)$ is a factor of $P(x)$.

Example 3.1

จงแก้สมการ $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

ทดลองแทนค่า $x = 1$ จะได้ $1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ดังนั้น $x=1$ เป็นคำตอบ ทำการหารสังเคราะห์ด้วย $1$:

\begin{array}{c|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array}

\begin{aligned} (x - 1)(x^2 - 5x + 6) &= 0 \\ (x - 1)(x - 2)(x - 3) &= 0 \end{aligned}

$x = 1, 2, 3$

Solve $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

Substitute $x = 1$, we get $1 - 6 + 11 - 6 = 0$. Thus $x=1$ is a root. Use synthetic division with $1$:

\begin{array}{c|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array}

\begin{aligned} (x - 1)(x^2 - 5x + 6) &= 0 \\ (x - 1)(x - 2)(x - 3) &= 0 \end{aligned}

$x = 1, 2, 3$

Example 3.2

จงแก้สมการ $2x^3 + x^2 - 13x + 6 = 0$

ทดลองแทนค่า $x = 2$ จะได้ $16 + 4 - 26 + 6 = 0$ แสดงว่า $(x - 2)$ เป็นตัวประกอบ

\begin{array}{c|rrrr} 2 & 2 & 1 & -13 & 6 \\ & & 4 & 10 & -6 \\ \hline & 2 & 5 & -3 & 0 \end{array}

\begin{aligned} (x - 2)(2x^2 + 5x - 3) &= 0 \\ (x - 2)(2x - 1)(x + 3) &= 0 \end{aligned}

$x = 2, \displaystyle\frac{1}{2}, -3$

Solve $2x^3 + x^2 - 13x + 6 = 0$

Testing $x = 2$ gives $16 + 4 - 26 + 6 = 0$. So $(x - 2)$ is a factor.

\begin{array}{c|rrrr} 2 & 2 & 1 & -13 & 6 \\ & & 4 & 10 & -6 \\ \hline & 2 & 5 & -3 & 0 \end{array}

\begin{aligned} (x - 2)(2x^2 + 5x - 3) &= 0 \\ (x - 2)(2x - 1)(x + 3) &= 0 \end{aligned}

$x = 2, \displaystyle\frac{1}{2}, -3$

Example 3.3

จงแก้สมการ $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$
เทคนิค: กำหนดให้ $u = x^2$

\begin{aligned} u^2 - 5u + 4 &= 0 \\ (u - 4)(u - 1) &= 0 \\ u &= 4, 1 \end{aligned}

\begin{aligned} x^2 = 4 \quad &\implies \quad x = 2, -2 \\ x^2 = 1 \quad &\implies \quad x = 1, -1 \end{aligned}

$x = 2, -2, 1, -1$

Solve $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$
Trick: Let $u = x^2$

\begin{aligned} u^2 - 5u + 4 &= 0 \\ (u - 4)(u - 1) &= 0 \\ u &= 4, 1 \end{aligned}

\begin{aligned} x^2 = 4 \quad &\implies \quad x = 2, -2 \\ x^2 = 1 \quad &\implies \quad x = 1, -1 \end{aligned}

$x = 2, -2, 1, -1$

Example 3.4

จงแก้สมการ $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$

แทนค่า $x = -1$ ทำให้สมการเป็นจริง $(-1 - 4 - 1 + 6 = 0)$

\begin{array}{c|rrrr} -1 & 1 & -4 & 1 & 6 \\ & & -1 & 5 & -6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array}

\begin{aligned} (x + 1)(x^2 - 5x + 6) &= 0 \\ (x + 1)(x - 2)(x - 3) &= 0 \end{aligned}

$x = -1, 2, 3$

Solve $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$

Substitute $x = -1$, the equation holds true $(-1 - 4 - 1 + 6 = 0)$

\begin{array}{c|rrrr} -1 & 1 & -4 & 1 & 6 \\ & & -1 & 5 & -6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array}

\begin{aligned} (x + 1)(x^2 - 5x + 6) &= 0 \\ (x + 1)(x - 2)(x - 3) &= 0 \end{aligned}

$x = -1, 2, 3$

Example 3.5

จงแก้สมการ $x^3 - x^2 + 4x - 4 = 0$

\begin{aligned} x^2(x - 1) + 4(x - 1) &= 0 \\ (x - 1)(x^2 + 4) &= 0 \end{aligned}

คำตอบที่เป็นจำนวนจริงมีเพียงค่าเดียว เนื่องจาก $x^2 + 4 = 0$ ไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริง

$x = 1$

Solve $x^3 - x^2 + 4x - 4 = 0$

\begin{aligned} x^2(x - 1) + 4(x - 1) &= 0 \\ (x - 1)(x^2 + 4) &= 0 \end{aligned}

There is only one real solution since $x^2 + 4 = 0$ has no real roots.

$x = 1$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Polynomial	poly- (many) + nomen (name)	พหุนาม · นิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวแปรและสัมประสิทธิ์ นำมาบวก ลบ และคูณกัน
Equation	aequare (make equal)	สมการ · ประโยคสัญลักษณ์ที่แสดงความเท่ากันของสองนิพจน์ โดยใช้เครื่องหมายเท่ากับ (=)
Coefficient	co- (together) + efficere (accomplish)	สัมประสิทธิ์ · ค่าคงตัวที่คูณอยู่กับตัวแปร (เช่น $5$ ใน $5x^2$)
Root / Solution	rōt (source/origin)	รากของสมการ · ค่าของตัวแปรที่เมื่อนำไปแทนค่าในสมการแล้ว ทำให้สมการนั้นเป็นจริง
Synthetic Division	sunthetikos (put together)	การหารสังเคราะห์ · วิธีลัดสำหรับการหารพหุนามด้วยตัวประกอบเชิงเส้นรูปแบบ $(x - c)$
Discriminant	discriminare (to separate)	ตัวกำหนด · ค่า $\Delta = b^2 - 4ac$ ในสูตรสมการกำลังสอง ใช้บอกจำนวนคำตอบ