พหุนาม (Polynomial) คือ นิพจน์ที่สร้างจากตัวแปรและค่าคงตัว โดยใช้การบวก การลบ และการคูณ รวมกัน โดยเลขชี้กำลังของตัวแปรต้องเป็น จำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ เท่านั้น การศึกษาโครงสร้างของพหุนาม นำไปสู่การแก้สมการและการหาคำตอบ (ราก) ของสมการนั้น
A Polynomial is an expression consisting of variables and coefficients, that involves only the operations of addition, subtraction, and multiplication. The exponents of the variables must be non-negative integers. Studying polynomial structures leads to solving equations and finding their roots.
นิยามและส่วนประกอบ Definition & Components
รูปทั่วไปของพหุนามตัวแปรเดียว $x$ ดีกรี $n$ เขียนได้ดังนี้:
The general form of a single variable polynomial in $x$ of degree $n$ is written as:
โดยที่ $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ เป็นจำนวนจริง (เรียกว่า สัมประสิทธิ์) และ $a_n \neq 0$
- ดีกรี (Degree): เลขชี้กำลังสูงสุดของตัวแปรในพหุนาม (คือ $n$)
- สัมประสิทธิ์นำ (Leading Coefficient): สัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีดีกรีสูงสุด (คือ $a_n$)
- พจน์คงตัว (Constant Term): พจน์ที่ไม่มีตัวแปรปรากฏอยู่ (คือ $a_0$)
Where $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ are real numbers (called coefficients) and $a_n \neq 0$
- Degree: The highest exponent of the variable in the polynomial ($n$).
- Leading Coefficient: The coefficient of the term with the highest degree ($a_n$).
- Constant Term: The term without a variable ($a_0$).
พิจารณาพหุนาม: $P(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5x - 7$
Consider the polynomial: $P(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5x - 7$
พหุนามที่ไม่ได้เรียงดีกรี: $Q(x) = 8 - x^5 + 3x^2$
Unordered polynomial: $Q(x) = 8 - x^5 + 3x^2$
เอกนาม (พจน์เดียว): $R(x) = 15x^4$
Monomial (Single term): $R(x) = 15x^4$
พหุนามคงตัว: $S(x) = -12$
Constant polynomial: $S(x) = -12$
นิพจน์ที่ ไม่เป็นพหุนาม
เพราะเลขชี้กำลังเป็นลบ ($-2$) และเป็นเศษส่วน ($\frac{1}{2}$) ตามลำดับ
Expressions that are NOT polynomials
because the exponents are negative ($-2$) and fractional ($\frac{1}{2}$) respectively
การบวก ลบ และคูณ Polynomial Operations
การดำเนินการของพหุนามอาศัยสมบัติพื้นฐานของจำนวนจริง:
- การบวก/ลบ: นำสัมประสิทธิ์ของ พจน์ที่คล้ายกัน (ตัวแปรและดีกรีเหมือนกัน) มาบวกหรือลบกัน
- การคูณ: ใช้สมบัติการแจกแจง (Distribution) นำทุกพจน์ของพหุนามแรกคูณกับทุกพจน์ของพหุนามหลัง แล้วนำเลขชี้กำลังมาบวกกัน
Polynomial operations rely on basic real number properties:
- Addition/Subtraction: Add or subtract the coefficients of like terms (same variable and exponent).
- Multiplication: Use the distributive property to multiply each term, adding the exponents.
จงหาผลบวกของ $(3x^2 + 5x - 2)$ และ $(x^2 - 4x + 6)$
Find the sum of $(3x^2 + 5x - 2)$ and $(x^2 - 4x + 6)$
จงหาผลลบ $(5x^3 - 2x^2 + 4) - (2x^3 + 3x^2 - x)$
Find the difference $(5x^3 - 2x^2 + 4) - (2x^3 + 3x^2 - x)$
กระจายค่าคงตัว: $-3(2x^2 - 4x + 1)$
Scalar distribution: $-3(2x^2 - 4x + 1)$
จงหาผลคูณ $(x + 3)(2x - 5)$
Find the product $(x + 3)(2x - 5)$
จงหาผลคูณ $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$
Find the product $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$
การหารพหุนาม Polynomial Division
การหารยาวพหุนาม (Polynomial Long Division) มีขั้นตอนวิธีคล้ายกับการหารยาวของตัวเลข โดยตั้งตัวตั้ง $P(x)$ ไว้ด้านใน และตัวหาร $D(x)$ ไว้ด้านนอก อาศัยขั้นตอนวิธีการหาร (Division Algorithm):
$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$
โดยที่ $Q(x)$ คือ ผลหาร (Quotient) และ $R(x)$ คือ เศษเหลือ (Remainder)
* จะหยุดหารเมื่อดีกรีของเศษ $R(x)$ น้อยกว่าดีกรีของตัวหาร $D(x)$ เสมอ หรือเมื่อ $R(x) = 0$ (หารลงตัว)
Polynomial Long Division is similar to the long division of numbers. We place the dividend $P(x)$ inside and the divisor $D(x)$ outside, using the Division Algorithm:
$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$
Where $Q(x)$ is the Quotient, and $R(x)$ is the Remainder.
* The division stops when the degree of $R(x)$ is less than the degree of $D(x)$, or $R(x) = 0$ (divides evenly).
จงหาร $x^2 + 5x + 6$ ด้วย $x + 2$ โดยใช้วิธีการหารยาว
Divide $x^2 + 5x + 6$ by $x + 2$ using long division.
จงหาร $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ ด้วย $x - 1$
Divide $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ by $x - 1$.
จงหาผลหารและเศษเมื่อหาร $x^3 - 8$ ด้วย $x - 2$
* ต้องเติมพจน์ที่หายไปด้วยสัมประสิทธิ์ 0 ($0x^2$ และ $0x$)
Find the quotient and remainder when $x^3 - 8$ is divided by $x - 2$.
* Insert missing terms with 0 coefficients ($0x^2, 0x$).
จงหาร $x^3 + 3x^2 - 2x + 5$ ด้วยพหุนามดีกรีสอง $x^2 + x - 1$
Divide $x^3 + 3x^2 - 2x + 5$ by a degree-2 polynomial $x^2 + x - 1$.
จงตรวจสอบว่า $2x + 3$ หาร $2x^3 + 5x^2 - x - 6$ ลงตัวหรือไม่
(หากหารลงตัว เศษเหลือจะเป็น 0)
หารได้ลงตัวพอดี (เศษเหลือเป็น 0)
Verify if $2x^3 + 5x^2 - x - 6$ is exactly divisible by $2x + 3$.
(If divisible, the remainder will be 0.)
Exactly divisible (Remainder is 0)
ทฤษฎีบทเศษเหลือ Remainder Theorem
ทฤษฎีบทเศษเหลือ กล่าวว่า: ถ้าหารพหุนาม $P(x)$ ด้วยพหุนามเชิงเส้น $x - c$ แล้ว เศษของการหารจะเท่ากับ $P(c)$
* หมายความว่า เราไม่จำเป็นต้องตั้งหารยาวเพื่อหาเศษ แค่แทนค่า $x = c$ ลงในพหุนามก็จะได้เศษทันที!
The Remainder Theorem states: If a polynomial $P(x)$ is divided by a linear polynomial $x - c$, then the remainder is $P(c)$.
* This means we don't need to do long division to find the remainder. Just substitute $x = c$ into the polynomial!
จงหาเศษเมื่อหาร $P(x) = x^2 - 5x + 8$ ด้วย $x - 3$
Find the remainder when $P(x) = x^2 - 5x + 8$ is divided by $x - 3$
จงหาเศษเมื่อหาร $P(x) = 2x^3 - x^2 - x + 4$ ด้วย $x + 2$
Find the remainder when $P(x) = 2x^3 - x^2 - x + 4$ is divided by $x + 2$
จงหาเศษเมื่อหาร $x^4 - 16$ ด้วย $x - 2$
* เศษเป็น 0 แสดงว่า $x-2$ หารลงตัว (เป็นตัวประกอบ)
Find the remainder when $x^4 - 16$ is divided by $x - 2$
* Since the remainder is 0, $x-2$ is a factor (divisible)
ถ้าหาร $P(x) = x^3 + kx^2 - 5x + 6$ ด้วย $x - 1$ แล้วเหลือเศษ $4$ จงหาค่า $k$
If $P(x) = x^3 + kx^2 - 5x + 6$ divided by $x - 1$ leaves a remainder of $4$, find $k$.
ถ้าตัวหารอยู่ในรูป $ax - b$ จะได้ $c = \displaystyle \frac{b}{a}$
จงหาเศษเมื่อหาร $3x^2 + 5x - 2$ ด้วย $3x - 1$
If the divisor is $ax - b$, then $c = \displaystyle \frac{b}{a}$
Find the remainder when $3x^2 + 5x - 2$ is divided by $3x - 1$
การหารสังเคราะห์ Synthetic Division
การหารสังเคราะห์ เป็นวิธีลัดในการหารพหุนามด้วย $x - c$ โดยใช้เฉพาะสัมประสิทธิ์มาคำนวณ ช่วยให้หา ผลหาร และ เศษ ได้รวดเร็วกว่าการตั้งหารยาวมาก
* หากตัวตั้งมีพจน์ของดีกรีใดหายไป ต้องเติมสัมประสิทธิ์เป็น 0 ในตำแหน่งนั้นเสมอ!
Synthetic Division is a shortcut method for dividing a polynomial by $x - c$ using only the coefficients. It helps find the quotient and remainder much faster than long division.
* If a degree term is missing in the dividend, you must insert a 0 for its coefficient!
จงหาร $x^2 - 5x + 6$ ด้วย $x - 2$ โดยใช้การหารสังเคราะห์
Divide $x^2 - 5x + 6$ by $x - 2$ using synthetic division.
จงหาร $x^3 - 7x + 6$ ด้วย $x + 3$
* พจน์ $x^2$ หายไป ต้องใส่สัมประสิทธิ์เป็น 0 และตัวหารคือ $x - (-3) \implies c = -3$
Divide $x^3 - 7x + 6$ by $x + 3$.
* The $x^2$ term is missing, so we must insert a coefficient of 0. The divisor is $x - (-3) \implies c = -3$
จงหาร $2x^3 - x^2 + 3$ ด้วย $x - 1$
Divide $2x^3 - x^2 + 3$ by $x - 1$.
ให้ $P(x) = x^4 - 2x^3 - 5x + 1$ จงหา $P(2)$ โดยใช้การหารสังเคราะห์
* ตัวสุดท้ายคือเศษ ซึ่งสอดคล้องกับทฤษฎีบทเศษเหลือ ดังนั้น $P(2) = -9$
Let $P(x) = x^4 - 2x^3 - 5x + 1$. Find $P(2)$ using synthetic division.
* The last term is the remainder, which corresponds to the Remainder Theorem. Therefore, $P(2) = -9$
จงหาร $2x^2 + 5x - 3$ ด้วย $2x - 1$
* เมื่อหารด้วย $ax - b$ ต้องนำผลหารที่ได้ในบรรทัดสุดท้ายไปหารด้วย $a$ เสมอ!
Divide $2x^2 + 5x - 3$ by $2x - 1$.
* When dividing by $ax - b$, you must always divide the coefficients in the last line by $a$!
ทฤษฎีบทตัวประกอบ Factor Theorem
ทฤษฎีบทตัวประกอบ ต่อเนื่องมาจากทฤษฎีบทเศษเหลือ โดยกล่าวว่า:
พหุนาม $x - c$ เป็น ตัวประกอบ (Factor) ของพหุนาม $P(x)$
ก็ต่อเมื่อ $P(c) = 0$
* หากเราหา $c$ ที่ทำให้เศษเป็น $0$ ได้ แสดงว่าเราเจอตัวประกอบ 1 วงเล็บของพหุนามนั้นแล้ว ซึ่งมีประโยชน์มากในการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงๆ
The Factor Theorem follows from the remainder theorem, stating:
A polynomial $x - c$ is a factor of the polynomial $P(x)$
if and only if $P(c) = 0$.
* Finding a $c$ that yields a remainder of $0$ means we've found one factor bracket, which is highly useful for factoring high-degree polynomials.
จงตรวจสอบว่า $x - 2$ เป็นตัวประกอบของ $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ หรือไม่
$\text{เนื่องจาก } P(2) = 0 \text{ ดังนั้น } x - 2 \text{ เป็นตัวประกอบ}$
Verify if $x - 2$ is a factor of $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.
$\text{Since } P(2) = 0\text{, therefore } x - 2 \text{ is a factor.}$
จงตรวจสอบว่า $x + 1$ เป็นตัวประกอบของ $P(x) = x^3 + 2x^2 - x + 5$ หรือไม่
$\text{เนื่องจาก } P(-1) \neq 0 \text{ ดังนั้น } x + 1 \text{ ไม่เป็นตัวประกอบ}$
Verify if $x + 1$ is a factor of $P(x) = x^3 + 2x^2 - x + 5$.
$\text{Since } P(-1) \neq 0\text{, therefore } x + 1 \text{ is not a factor.}$
กำหนดให้ $x - 3$ เป็นตัวประกอบของ $x^3 - kx^2 + 2x - 3$ จงหาค่า $k$
Given that $x - 3$ is a factor of $x^3 - kx^2 + 2x - 3$, find the value of $k$.
กำหนดให้ $x - 1$ เป็นตัวประกอบของ $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ จงแยกตัวประกอบ $P(x)$ ให้สมบูรณ์
$\text{1. นำ } x - 1 \text{ ไปหารสังเคราะห์เพื่อหาผลหาร}$
Given that $x - 1$ is a factor of $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$, factor $P(x)$ completely.
$\text{1. Divide } P(x) \text{ by } x - 1 \text{ using synthetic division to find the quotient.}$
ถ้า $x-1$ และ $x+2$ ต่างก็เป็นตัวประกอบของ $x^3 + ax^2 + bx - 4$ จงหา $a$ และ $b$
If both $x-1$ and $x+2$ are factors of $x^3 + ax^2 + bx - 4$, find $a$ and $b$.
คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary
คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์
| คำศัพท์ | รากศัพท์ / Root | ความหมาย / Meaning |
|---|---|---|
| Polynomial | poly- (many) + nomen (name/term) | พหุนาม · นิพจน์ที่เกิดจากการบวก ลบ คูณ ของตัวแปรและค่าคงตัว โดยมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ |
| Variable | variabilis (changeable) | ตัวแปร · สัญลักษณ์ที่ใช้แทนจำนวนที่เปลี่ยนค่าได้หรือไม่ทราบค่า มักใช้อักษรภาษาอังกฤษ |
| Coefficient | co- (together) + efficere (accomplish) | สัมประสิทธิ์ · ค่าคงตัว (ตัวเลข) ที่คูณอยู่กับตัวแปรในแต่ละพจน์ของพหุนาม |
| Degree | degre (step, rank) | ดีกรี · เลขชี้กำลังที่สูงที่สุดของตัวแปรที่ปรากฏในพหุนามนั้นๆ |
| Quotient | quotiens (how many times) | ผลหาร · พหุนามผลลัพธ์ที่ได้จากการกระทำการหาร |
| Remainder | remanere (to stay behind) | เศษเหลือ · ส่วนที่เหลืออยู่จากการหารพหุนาม ซึ่งจะมีดีกรีน้อยกว่าตัวหารเสมอ |
| Factor | factor (maker, doer) | ตัวประกอบ · พหุนามย่อยที่นำไปหารพหุนามตั้งต้นได้ลงตัวพอดี (เศษเป็นศูนย์) |