โครงสร้างของระบบจำนวนจริง

ในการศึกษาคณิตศาสตร์ ระบบจำนวนจริง (Real Number System) ถือเป็นรากฐานที่สำคัญที่สุด จำนวนจริงคือจำนวนทุกชนิดที่เราสามารถนำมาใช้วัดปริมาณหรือแสดงบนเส้นจำนวนได้ โครงสร้างของระบบจำนวนจริงประกอบไปด้วยเซตย่อยต่างๆ ที่แบ่งแยกตามคุณสมบัติการเขียนในรูปเศษส่วน

In mathematics, the Real Number System is the most fundamental foundation. Real numbers include all kinds of numbers that can be used to measure quantities or represented on a number line. The structure consists of various subsets categorized by their ability to be expressed as fractions.

🗺️ แผนผังโครงสร้าง 🗺️ Structure Diagram

แผนภาพด้านล่างแสดงความสัมพันธ์ของเซตจำนวนต่างๆ โดย จำนวนจริง ($\mathbb{R}$) ถูกแบ่งออกเป็นสองกลุ่มใหญ่ที่ไม่ซ้อนทับกัน คือ จำนวนตรรกยะ ($\mathbb{Q}$) และ จำนวนอตรรกยะ ($\mathbb{Q}'$)

The diagram below illustrates the relationship of different number sets. Real Numbers ($\mathbb{R}$) are divided into two mutually exclusive main groups: Rational Numbers ($\mathbb{Q}$) and Irrational Numbers ($\mathbb{Q}'$).

$\text{สัญลักษณ์ } \mathbb{R}, \mathbb{Q}, \mathbb{Z}, \mathbb{N} \text{ เป็นมาตรฐานที่ใช้ในคณิตศาสตร์สากล}$

$\text{The symbols } \mathbb{R}, \mathbb{Q}, \mathbb{Z}, \mathbb{N} \text{ are standard notations used in global mathematics.}$

🟢 จำนวนตรรกยะ ($\mathbb{Q}$) 🟢 Rational Numbers

จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ เศษส่วนของจำนวนเต็ม ได้ โดยที่ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์

นิยามทางคณิตศาสตร์: $\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z} \text{ และ } b \neq 0 \right\}$

Rational Numbers are numbers that can be written as a fraction of integers, where the denominator is not zero.

Mathematical definition: $\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z} \text{ and } b \neq 0 \right\}$

Example 2.1

จำนวนเต็ม (Integers)

$$ \begin{aligned} 5 &= \frac{5}{1} \\ -3 &= \frac{-3}{1} \\ \text{ดังนั้น } 5, -3 &\in \mathbb{Q} \end{aligned} $$

Integers

$$ \begin{aligned} 5 &= \frac{5}{1} \\ -3 &= \frac{-3}{1} \\ \text{Therefore, } 5, -3 &\in \mathbb{Q} \end{aligned} $$

Example 2.2

ทศนิยมรู้จบ (Terminating Decimal)

$$ \begin{aligned} 0.85 &= \frac{85}{100} \\ &= \frac{17}{20} \\ \text{ดังนั้น } 0.85 &\in \mathbb{Q} \end{aligned} $$

Terminating Decimal

$$ \begin{aligned} 0.85 &= \frac{85}{100} \\ &= \frac{17}{20} \\ \text{Therefore, } 0.85 &\in \mathbb{Q} \end{aligned} $$

Example 2.3

ทศนิยมซ้ำ (Repeating Decimal)

$$ \begin{aligned} 0.333... &= 0.\dot{3} \\ &= \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \text{ดังนั้น } 0.\dot{3} &\in \mathbb{Q} \end{aligned} $$

Repeating Decimal

$$ \begin{aligned} 0.333... &= 0.\dot{3} \\ &= \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \text{Therefore, } 0.\dot{3} &\in \mathbb{Q} \end{aligned} $$

Example 2.4

จำนวนคละ (Mixed Number)

$$ \begin{aligned} 2\frac{3}{4} &= \frac{(2 \times 4) + 3}{4} \\ &= \frac{11}{4} \\ \text{ดังนั้น } 2\frac{3}{4} &\in \mathbb{Q} \end{aligned} $$

Mixed Number

$$ \begin{aligned} 2\frac{3}{4} &= \frac{(2 \times 4) + 3}{4} \\ &= \frac{11}{4} \\ \text{Therefore, } 2\frac{3}{4} &\in \mathbb{Q} \end{aligned} $$

Example 2.5

รากที่ถอดค่าได้ลงตัว (Perfect Square Root)

$$ \begin{aligned} \sqrt{144} &= 12 \\ &= \frac{12}{1} \\ \text{ดังนั้น } \sqrt{144} &\in \mathbb{Q} \end{aligned} $$

Perfect Square Root

$$ \begin{aligned} \sqrt{144} &= 12 \\ &= \frac{12}{1} \\ \text{Therefore, } \sqrt{144} &\in \mathbb{Q} \end{aligned} $$

🔵 จำนวนเต็ม ($\mathbb{Z}$) / Integers

จำนวนเต็ม คือ จำนวนที่ไม่มีส่วนเศษหรือทศนิยม แบ่งออกเป็น 3 กลุ่มหลัก คือ จำนวนเต็มบวก ($\mathbb{Z}^+$), ศูนย์ ($0$), และจำนวนเต็มลบ ($\mathbb{Z}^-$) (เป็นสับเซตของจำนวนตรรกยะ)

Integers are numbers without fractional or decimal parts. They are divided into 3 main groups: Positive Integers ($\mathbb{Z}^+$), Zero ($0$), and Negative Integers ($\mathbb{Z}^-$). (They are a subset of rational numbers).

Example 3.1

การบวกลบจำนวนเต็ม (Addition & Subtraction)

$$ \begin{aligned} -15 + 8 &= -7 \\ -4 - 10 &= -14 \\ 12 - (-5) &= 12 + 5 = 17 \end{aligned} $$

Adding and Subtracting Integers

$$ \begin{aligned} -15 + 8 &= -7 \\ -4 - 10 &= -14 \\ 12 - (-5) &= 12 + 5 = 17 \end{aligned} $$

Example 3.2

การคูณและหารจำนวนเต็ม (Multiplication & Division)

$$ \begin{aligned} (-6) \times (-4) &= 24 \quad \text{(ลบเจอลบ เป็นบวก)} \\ (-3) \times 7 &= -21 \\ (-36) \div 9 &= -4 \end{aligned} $$

Multiplying and Dividing Integers

$$ \begin{aligned} (-6) \times (-4) &= 24 \quad \text{(Negative times negative is positive)} \\ (-3) \times 7 &= -21 \\ (-36) \div 9 &= -4 \end{aligned} $$

Example 3.3

สมบัติของศูนย์ (Properties of Zero)

$$ \begin{aligned} 0 \div (-5) &= 0 \\ -5 \div 0 &\Rightarrow \text{ไม่นิยาม (Undefined)} \\ (-8) \times 0 &= 0 \end{aligned} $$

Properties of Zero

$$ \begin{aligned} 0 \div (-5) &= 0 \\ -5 \div 0 &\Rightarrow \text{Undefined} \\ (-8) \times 0 &= 0 \end{aligned} $$

Example 3.4

ค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value)

ระยะห่างจาก 0 บนเส้นจำนวน (เป็นบวกเสมอ)

$$ \begin{aligned} |-12| &= 12 \\ |7| &= 7 \\ |-3| + |-4| &= 3 + 4 = 7 \end{aligned} $$

Absolute Value

Distance from 0 on the number line (always positive).

$$ \begin{aligned} |-12| &= 12 \\ |7| &= 7 \\ |-3| + |-4| &= 3 + 4 = 7 \end{aligned} $$

Example 3.5

เลขยกกำลังของจำนวนเต็มลบ (Powers of Negative Integers)

$$ \begin{aligned} (-2)^3 &= (-2)(-2)(-2) = -8 \quad \text{(เลขชี้กำลังคี่ได้ลบ)} \\ (-2)^4 &= (-2)(-2)(-2)(-2) = 16 \quad \text{(เลขชี้กำลังคู่ได้บวก)} \end{aligned} $$

Powers of Negative Integers

$$ \begin{aligned} (-2)^3 &= (-2)(-2)(-2) = -8 \quad \text{(Odd power yields negative)} \\ (-2)^4 &= (-2)(-2)(-2)(-2) = 16 \quad \text{(Even power yields positive)} \end{aligned} $$

🍰 เศษส่วนและทศนิยม 🍰 Fractions & Decimals

เศษส่วนและทศนิยมคือรูปแบบการเขียนของ จำนวนตรรกยะ ที่ไม่ได้มีค่าเป็นจำนวนเต็มท้วนๆ โดยเศษส่วนจะแสดงถึงสัดส่วนย่อยของภาพรวม ส่วนทศนิยมคือเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นฐานสิบ ($10, 100, 1000, ...$)

Fractions and decimals are ways to write Rational Numbers that are not whole integers. Fractions represent parts of a whole, while decimals are fractions with base-ten denominators ($10, 100, 1000, ...$).

Example 4.1

การบวกและลบเศษส่วน (Adding & Subtracting Fractions)

ต้องทำตัวส่วนให้เท่ากันก่อน (หา ค.ร.น.)

$$ \begin{aligned} \frac{1}{4} + \frac{2}{3} &= \frac{1(3)}{12} + \frac{2(4)}{12} \\ &= \frac{3}{12} + \frac{8}{12} \\ &= \frac{11}{12} \end{aligned} $$

Adding & Subtracting Fractions

Must find a common denominator first (LCM).

$$ \begin{aligned} \frac{1}{4} + \frac{2}{3} &= \frac{1(3)}{12} + \frac{2(4)}{12} \\ &= \frac{3}{12} + \frac{8}{12} \\ &= \frac{11}{12} \end{aligned} $$

Example 4.2

การคูณและหารเศษส่วน (Multiplying & Dividing Fractions)

$$ \begin{aligned} \text{คูณ: } \quad \frac{2}{5} \times \frac{3}{7} &= \frac{2 \times 3}{5 \times 7} = \frac{6}{35} \\ \text{หาร: } \quad \frac{4}{9} \div \frac{2}{3} &= \frac{4}{9} \times \frac{3}{2} \\ &= \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \end{aligned} $$

Multiplying & Dividing Fractions

$$ \begin{aligned} \text{Multiply: } \quad \frac{2}{5} \times \frac{3}{7} &= \frac{2 \times 3}{5 \times 7} = \frac{6}{35} \\ \text{Divide: } \quad \frac{4}{9} \div \frac{2}{3} &= \frac{4}{9} \times \frac{3}{2} \\ &= \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \end{aligned} $$

Example 4.3

การแปลงทศนิยมรู้จบเป็นเศษส่วน (Terminating Decimal to Fraction)

$$ \begin{aligned} 0.45 &= \frac{45}{100} \\ &= \frac{9}{20} \quad \text{(หารด้วย 5 ทั้งเศษและส่วน)} \end{aligned} $$

Terminating Decimal to Fraction

$$ \begin{aligned} 0.45 &= \frac{45}{100} \\ &= \frac{9}{20} \quad \text{(Divide both numerator and denominator by 5)} \end{aligned} $$

Example 4.4

การแปลงทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน (Repeating Decimal to Fraction)

ตัวซ้ำให้ใช้เลข 9 เป็นตัวส่วนตามจำนวนตำแหน่งที่ซ้ำ

$$ \begin{aligned} 0.\dot{7} &= 0.777... = \frac{7}{9} \\ 0.\dot{5}\dot{1} &= 0.5151... = \frac{51}{99} = \frac{17}{33} \end{aligned} $$

Repeating Decimal to Fraction

Use 9s in the denominator for the repeating parts.

$$ \begin{aligned} 0.\dot{7} &= 0.777... = \frac{7}{9} \\ 0.\dot{5}\dot{1} &= 0.5151... = \frac{51}{99} = \frac{17}{33} \end{aligned} $$

Example 4.5

การแปลงทศนิยมซ้ำแบบผสม (Mixed Repeating Decimal)

สูตร: (ทั้งหมด - ตัวไม่ซ้ำ) / (9 ตามจำนวนซ้ำ และ 0 ตามจำนวนไม่ซ้ำ)

$$ \begin{aligned} 0.1\dot{6} &= 0.1666... \\ &= \frac{16 - 1}{90} \\ &= \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \end{aligned} $$

Mixed Repeating Decimal

Rule: (Whole part - Non-repeating) / (9s for rep, 0s for non-rep).

$$ \begin{aligned} 0.1\dot{6} &= 0.1666... \\ &= \frac{16 - 1}{90} \\ &= \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \end{aligned} $$

🔴 จำนวนอตรรกยะ ($\mathbb{Q}'$) 🔴 Irrational Numbers

จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ ไม่สามารถ เขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ หากเขียนเป็นทศนิยม จะเป็นทศนิยมที่ไม่รู้จบและไม่ซ้ำ

An Irrational Number is any real number that cannot be expressed as a fraction of two integers. Their decimal expansions are non-terminating and non-repeating.

Example 5.1

รากที่ถอดไม่ลงตัว (Imperfect Roots)

$$ \begin{aligned} \sqrt{2} &\approx 1.41421356... \\ \sqrt{5} &\approx 2.23606797... \\ \text{ค่าเหล่านี้ไม่มีทิศทางซ้ำ } &\implies \in \mathbb{Q}' \end{aligned} $$

Imperfect Roots / Surds

$$ \begin{aligned} \sqrt{2} &\approx 1.41421356... \\ \sqrt{5} &\approx 2.23606797... \\ \text{These values do not repeat } &\implies \in \mathbb{Q}' \end{aligned} $$

Example 5.2

ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์: $\pi$ (Pi)

$$ \begin{aligned} \pi &\approx 3.14159265... \\ \text{หมายเหตุ: } \frac{22}{7} &\text{ เป็นเพียงค่าประมาณตรรกยะ} \\ \text{แต่ตัว } \pi \text{ จริงๆ } &\in \mathbb{Q}' \end{aligned} $$

Mathematical Constant: $\pi$ (Pi)

$$ \begin{aligned} \pi &\approx 3.14159265... \\ \text{Note: } \frac{22}{7} &\text{ is only a rational approximation} \\ \text{but the actual } \pi &\in \mathbb{Q}' \end{aligned} $$

Example 5.3

ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์: $e$ (Euler's Number)

$$ \begin{aligned} e &\approx 2.718281828... \\ \text{ใช้ในเรื่องลอการิทึม } &\implies \in \mathbb{Q}' \end{aligned} $$

Mathematical Constant: $e$ (Euler's Number)

$$ \begin{aligned} e &\approx 2.718281828... \\ \text{Used in logarithms } &\implies \in \mathbb{Q}' \end{aligned} $$

Example 5.4

ทศนิยมที่สร้างให้ไม่ซ้ำ (Constructed Non-repeating)

$$ \begin{aligned} x &= 0.101001000100001... \\ \text{จำนวนเลข 0 เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ} \\ \text{ไม่มีแพทเทิร์นที่ตายตัว } &\implies \in \mathbb{Q}' \end{aligned} $$

Constructed Non-repeating Decimals

$$ \begin{aligned} x &= 0.101001000100001... \\ \text{The number of zeros keeps increasing} \\ \text{No constant repeating pattern } &\implies \in \mathbb{Q}' \end{aligned} $$

Example 5.5

ผลบวกระหว่าง ตรรกยะ กับ อตรรกยะ

$$ \begin{aligned} \text{กำหนด } y &= 5 + \sqrt{3} \\ &= 5 + 1.73205... \\ &= 6.73205... \\ \text{ผลลัพธ์ยังคงเป็น } &\mathbb{Q}' \end{aligned} $$

Sum of Rational and Irrational

$$ \begin{aligned} \text{Given } y &= 5 + \sqrt{3} \\ &= 5 + 1.73205... \\ &= 6.73205... \\ \text{The result is still } &\mathbb{Q}' \end{aligned} $$

🗂️ การจัดหมวดหมู่และคุณสมบัติ 🗂️ Classification & Properties

ในการพิจารณาว่านิพจน์ใดเป็นตรรกยะหรืออตรรกยะ บางครั้งเราไม่สามารถดูจากหน้าตาภายนอกได้ทันที ต้องทำการจัดรูปสมการ หรือคำนวณให้เป็นผลสำเร็จเสียก่อน

To determine whether an expression is rational or irrational, we cannot always rely on its initial appearance. We must simplify the equation or calculate it to its simplest form first.

Example 6.1

การแยกแยะระหว่างค่าจริงและค่าประมาณ

$$ \begin{aligned} \text{จงพิจารณาค่าของ } &\frac{22}{7} \text{ และ } \pi \\ \frac{22}{7} &\text{ เป็นเศษส่วน } \implies \in \mathbb{Q} \\ \pi &\text{ เป็นทศนิยมไม่รู้จบ } \implies \in \mathbb{Q}' \end{aligned} $$

Distinguishing actual vs. approximate values

$$ \begin{aligned} \text{Consider the values of } &\frac{22}{7} \text{ and } \pi \\ \frac{22}{7} &\text{ is a fraction } \implies \in \mathbb{Q} \\ \pi &\text{ is a non-repeating decimal } \implies \in \mathbb{Q}' \end{aligned} $$

Example 6.2

การหารกันของจำนวนที่ติดราก

$$ \begin{aligned} \text{จงพิจารณา } &\displaystyle \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} \\ \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} &= \sqrt{\frac{12}{3}} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2 \implies \in \mathbb{Q} \text{ (ตรรกยะ)} \end{aligned} $$

Division of radical expressions

$$ \begin{aligned} \text{Consider } &\displaystyle \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} \\ \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} &= \sqrt{\frac{12}{3}} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2 \implies \in \mathbb{Q} \text{ (Rational)} \end{aligned} $$

Example 6.3

การคูณกระจาย (ผลต่างกำลังสอง)

$$ \begin{aligned} \text{จงพิจารณา } &(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2}) \\ &= (1)^2 - (\sqrt{2})^2 \\ &= 1 - 2 \\ &= -1 \implies \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \end{aligned} $$

Expansion (Difference of Squares)

$$ \begin{aligned} \text{Consider } &(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2}) \\ &= (1)^2 - (\sqrt{2})^2 \\ &= 1 - 2 \\ &= -1 \implies \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \end{aligned} $$

Example 6.4

ความสัมพันธ์ของศูนย์ (0) กับจำนวนนับ ($\mathbb{N}$)

$$ \begin{aligned} \mathbb{N} &= \{1, 2, 3, ...\} \\ 0 &\notin \mathbb{N} \text{ (ไม่ใช่จำนวนนับ)} \\ 0 &\in \mathbb{Z} \text{ (แต่เป็นจำนวนเต็ม)} \end{aligned} $$

Relation of Zero (0) and Natural Numbers ($\mathbb{N}$)

$$ \begin{aligned} \mathbb{N} &= \{1, 2, 3, ...\} \\ 0 &\notin \mathbb{N} \text{ (Not a natural number)} \\ 0 &\in \mathbb{Z} \text{ (But is an integer)} \end{aligned} $$

Example 6.5

อินเตอร์เซกชันของเซตหลัก

$$ \begin{aligned} \text{จงหา } &\mathbb{Q} \cap \mathbb{Q}' \\ \mathbb{Q} &= \text{ตรรกยะ} \\ \mathbb{Q}' &= \text{อตรรกยะ} \\ \mathbb{Q} \cap \mathbb{Q}' &= \emptyset \text{ (ไม่มีสมาชิกร่วมกันเลย)} \end{aligned} $$

Intersection of main sets

$$ \begin{aligned} \text{Find } &\mathbb{Q} \cap \mathbb{Q}' \\ \mathbb{Q} &= \text{Rational} \\ \mathbb{Q}' &= \text{Irrational} \\ \mathbb{Q} \cap \mathbb{Q}' &= \emptyset \text{ (No common elements)} \end{aligned} $$

⚙️ สมบัติของระบบจำนวนจริง ⚙️ ⚙ Properties of Real Numbers

ระบบจำนวนจริงมี สมบัติพื้นฐาน (Fundamental Properties) ภายใต้การดำเนินการบวกและการคูณ ซึ่งเป็นกฎเกณฑ์สำคัญที่ช่วยให้เราแก้สมการและจัดการกับพีชคณิตได้อย่างถูกต้อง กำหนดให้ $a, b, c \in \mathbb{R}$

The real number system has Fundamental Properties under addition and multiplication. These rules are crucial for correctly solving equations and manipulating algebra. Let $a, b, c \in \mathbb{R}$.

Property 7.1

สมบัติการปิด (Closure Property)

ผลลัพธ์ของการบวกหรือคูณจำนวนจริง จะยังคงเป็นจำนวนจริงเสมอ

$$ \begin{aligned} \text{การบวก: } & a + b \in \mathbb{R} \\ \text{การคูณ: } & a \cdot b \in \mathbb{R} \end{aligned} $$

Closure Property

The sum or product of any real numbers remains a real number.

$$ \begin{aligned} \text{Addition: } & a + b \in \mathbb{R} \\ \text{Multiplication: } & a \cdot b \in \mathbb{R} \end{aligned} $$

Property 7.2

สมบัติการสลับที่ (Commutative Property)

ลำดับของการบวกหรือคูณไม่มีผลต่อคำตอบ สามารถสลับตำแหน่งซ้ายขวาได้

$$ \begin{aligned} \text{การบวก: } a + b &= b + a \\ \text{การคูณ: } a \cdot b &= b \cdot a \end{aligned} $$

Commutative Property

The order of addition or multiplication does not change the result.

$$ \begin{aligned} \text{Addition: } a + b &= b + a \\ \text{Multiplication: } a \cdot b &= b \cdot a \end{aligned} $$

Property 7.3

สมบัติการเปลี่ยนหมู่ (Associative Property)

การจัดกลุ่ม(ใส่วงเล็บ) ของการบวกหรือคูณตัวเลข 3 ตัวขึ้นไป สามารถเปลี่ยนกลุ่มได้โดยค่าไม่เปลี่ยน

$$ \begin{aligned} \text{การบวก: } (a + b) + c &= a + (b + c) \\ \text{การคูณ: } (a \cdot b) \cdot c &= a \cdot (b \cdot c) \end{aligned} $$

Associative Property

The grouping of three or more numbers in addition or multiplication does not change the result.

$$ \begin{aligned} \text{Addition: } (a + b) + c &= a + (b + c) \\ \text{Multiplication: } (a \cdot b) \cdot c &= a \cdot (b \cdot c) \end{aligned} $$

Property 7.4

สมบัติการมีเอกลักษณ์ (Identity Property)

มีตัวเลขพิเศษที่กระทำกับจำนวนใดๆ แล้วได้จำนวนเดิมเสมอ (คือ 0 สำหรับการบวก และ 1 สำหรับการคูณ)

$$ \begin{aligned} \text{เอกลักษณ์การบวก: } & a + 0 = 0 + a = a \\ \text{เอกลักษณ์การคูณ: } & a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \end{aligned} $$

Identity Property

There exists a special number that leaves other numbers unchanged when applied (0 for addition, 1 for multiplication).

$$ \begin{aligned} \text{Additive Identity: } & a + 0 = 0 + a = a \\ \text{Multiplicative Identity: } & a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \end{aligned} $$

Property 7.5

สมบัติการมีอินเวอร์ส (Inverse Property)

ทุกจำนวนจะมีตัวผกผัน (อินเวอร์ส) ที่มากระทำแล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับค่า "เอกลักษณ์"

$$ \begin{aligned} \text{อินเวอร์สการบวกของ } a \text{ คือ } -a: \quad & a + (-a) &= 0 \\ \text{อินเวอร์สการคูณของ } a \text{ คือ } \frac{1}{a} \text{ (เมื่อ } a \neq 0): \quad & a \cdot \left(\frac{1}{a}\right) &= 1 \end{aligned} $$

Inverse Property

Every number has an inverse that, when applied, yields the "identity" value.

$$ \begin{aligned} \text{Additive Inverse of } a \text{ is } -a: \quad & a + (-a) &= 0 \\ \text{Multiplicative Inverse of } a \text{ is } \frac{1}{a} \text{ (for } a \neq 0): \quad & a \cdot \left(\frac{1}{a}\right) &= 1 \end{aligned} $$

Property 7.6

สมบัติการแจกแจง (Distributive Property)

สมบัติที่เชื่อมโยงระหว่างการคูณและการบวกเข้าด้วยกัน

$$ \begin{aligned} \text{กระจายการคูณเข้าไปในการบวก: } & a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \end{aligned} $$

Distributive Property

The property that links multiplication and addition together.

$$ \begin{aligned} \text{Distribute multiplication over addition: } & a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \end{aligned} $$

⚖️ สมบัติการเท่ากันและไม่เท่ากัน ⚖️ ⚖ Equality & Inequality

สมบัติการเท่ากัน ($=$) และการไม่เท่ากัน ($<,>, \le, \ge$) เป็นกฎพื้นฐานที่อยู่เบื้องหลังสิ่งที่เราเรียกกันติดปากว่า "การย้ายข้างสมการ" การทำความเข้าใจสมบัติเหล่านี้จะช่วยให้เราแก้สมการและอสมการได้อย่างมีเหตุผลและไม่ผิดพลาด โดยเฉพาะเมื่อต้องเจอกับเครื่องหมายลบ

The properties of equality ($=$) and inequality ($<,>, \le, \ge$) are the foundational rules behind what we colloquially call "moving sides". Understanding these properties ensures logical and error-free solving of equations and inequalities, especially when dealing with negative signs.

Example 8.1

สมบัติการสมมาตรและการถ่ายทอด (Symmetric & Transitive)

$$ \begin{aligned} \text{สมมาตร: ถ้า } x &= 5 \text{ แล้ว } 5 = x \\ \text{ถ่ายทอด: ถ้า } x &= y \text{ และ } y = 3 \text{ แล้ว } x = 3 \end{aligned} $$

Symmetric and Transitive Properties

$$ \begin{aligned} \text{Symmetric: If } x &= 5 \text{ then } 5 = x \\ \text{Transitive: If } x &= y \text{ and } y = 3 \text{ then } x = 3 \end{aligned} $$

Example 8.2

พื้นฐานการย้ายข้างสมการ (Addition/Multiplication of Equality)

"การย้ายข้าง" แท้จริงคือการบวกหรือคูณด้วยจำนวนที่เท่ากันทั้งสองข้างของสมการ

$$ \begin{aligned} \text{สมการเดิม: } x - 4 &= 10 \\ \text{บวก } 4 \text{ ทั้งสองข้าง: } x - 4 + 4 &= 10 + 4 \\ x &= 14 \end{aligned} $$

Basics of Moving Sides

"Moving sides" is actually adding or multiplying the exact same value to both sides of the equation.

$$ \begin{aligned} \text{Original equation: } x - 4 &= 10 \\ \text{Add 4 to both sides: } x - 4 + 4 &= 10 + 4 \\ x &= 14 \end{aligned} $$

Example 8.3

การบวกและการคูณอสมการด้วยค่าบวก (Inequality with Positive values)

เมื่อบวก หรือ คูณอสมการด้วย "จำนวนบวก" ทิศทางของเครื่องหมายจะไม่เปลี่ยนแปลง

$$ \begin{aligned} \text{อสมการเดิม: } \frac{x}{3} &> 5 \\ \text{คูณ } 3 \text{ ทั้งสองข้าง: } \left(\frac{x}{3}\right) \cdot 3 &> 5 \cdot 3 \\ x &> 15 \end{aligned} $$

Inequality with Positive values

When adding or multiplying an inequality by a "positive number", the sign direction remains unchanged.

$$ \begin{aligned} \text{Original inequality: } \frac{x}{3} &> 5 \\ \text{Multiply both sides by 3: } \left(\frac{x}{3}\right) \cdot 3 &> 5 \cdot 3 \\ x &> 15 \end{aligned} $$

Example 8.4

กฎเหล็กของอสมการ! (Multiplying Inequality by a Negative)

ระวัง! เมื่อคูณหรือหารอสมการด้วย "จำนวนลบ" จะต้อง กลับทิศทางของเครื่องหมายอสมการ เสมอ

$$ \begin{aligned} \text{อสมการเดิม: } -2x &\ge 8 \\ \text{หารด้วย } -2 \text{ ทั้งสองข้าง: } \frac{-2x}{-2} &\le \frac{8}{-2} \quad \text{ (สลับเครื่องหมายจาก } \ge \text{ เป็น } \le \text{)} \\ x &\le -4 \end{aligned} $$

The Golden Rule of Inequalities!

Warning! When multiplying or dividing an inequality by a "negative number", you must always flip the direction of the inequality sign.

$$ \begin{aligned} \text{Original inequality: } -2x &\ge 8 \\ \text{Divide both sides by -2: } \frac{-2x}{-2} &\le \frac{8}{-2} \quad \text{ (Flip the sign from } \ge \text{ to } \le \text{)} \\ x &\le -4 \end{aligned} $$

Example 8.5

สมบัติไตรวิภาค (Trichotomy Property)

สำหรับจำนวนจริงสองจำนวนใดๆ ความสัมพันธ์ระหว่างสองจำนวนนั้นจะเป็นไปได้เพียง 1 ใน 3 กรณีนี้เท่านั้น

$$ \begin{aligned} &\text{กำหนดให้ } a, b \in \mathbb{R} \text{ จะต้องตรงกับข้อใดข้อหนึ่งเท่านั้น:} \\ &1.\quad a < b \\ &2.\quad a=b \\ &3.\quad a> b \end{aligned} $$

Trichotomy Property

For any two real numbers, exactly one of the following three relations must be true.

$$ \begin{aligned} &\text{Given } a, b \in \mathbb{R} \text{ exactly one of the following must be true:} \\ &1.\quad a < b \\ &2.\quad a=b \\ &3.\quad a> b \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Real Number	realis (actual / existing)	จำนวนจริง · จำนวนที่มีอยู่จริงในเส้นจำนวน (Number Line) ครอบคลุมทั้งตรรกยะและอตรรกยะ สัญลักษณ์ $\mathbb{R}$
Rational Number	ratio (reason / proportion)	จำนวนตรรกยะ · จำนวนที่เขียนเป็นสัดส่วนหรือเศษส่วน (Fraction) ของจำนวนเต็มได้ สัญลักษณ์ $\mathbb{Q}$ (Quotient)
Irrational Number	ir- (not) + ratio	จำนวนอตรรกยะ · จำนวนที่ไม่สามารถเขียนเป็นสัดส่วนของจำนวนเต็มได้ เป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำ สัญลักษณ์ $\mathbb{Q}'$
Integer	integer (whole / intact)	จำนวนเต็ม · จำนวนที่ไม่มีเศษส่วนหรือทศนิยมประกอบอยู่ สัญลักษณ์ $\mathbb{Z}$ (มาจากภาษาเยอรมัน Zahlen)
Natural Number	natura (nature)	จำนวนนับ · จำนวนเต็มบวกที่ใช้ในการนับสิ่งของตามธรรมชาติ เริ่มจาก 1, 2, 3... สัญลักษณ์ $\mathbb{N}$
Closure Property	claudere (to close)	สมบัติการปิด · การนำสมาชิกในเซตมากระทำกันแล้วผลลัพธ์ยังคงอยู่ในเซตนั้นเสมอ
Commutative	commutare (to exchange)	การสลับที่ · สมบัติที่สามารถสลับตำแหน่งหน้าหลังได้โดยผลลัพธ์ไม่เปลี่ยนแปลง
Associative	associare (to join / unite)	การเปลี่ยนหมู่ · สมบัติที่สามารถเปลี่ยนการจัดกลุ่มหรือเปลี่ยนวงเล็บได้
Identity	identitas (sameness)	เอกลักษณ์ · จำนวนที่เมื่อนำไปกระทำกับจำนวนใดแล้วจะได้จำนวนเดิมเสมอ
Inverse	invertere (to turn upside down)	ตัวผกผัน (อินเวอร์ส) · จำนวนที่เมื่อนำไปกระทำกับจำนวนต้นทางแล้วจะได้ผลลัพธ์เท่ากับตัวเอกลักษณ์
Equality	aequalitas (evenness)	สมการ / การเท่ากัน · ความสัมพันธ์ที่แสดงว่าสองนิพจน์มีค่าเท่ากันทุกประการ เชื่อมด้วยเครื่องหมาย $=$
Inequality	in- (not) + aequalitas	อสมการ / การไม่เท่ากัน · ความสัมพันธ์ที่แสดงการเปรียบเทียบค่าที่ไม่เท่ากัน เชื่อมด้วย $<,>, \le, \ge, \neq$
Trichotomy	tricha (threefold) + tomia (cutting)	ไตรวิภาค · สมบัติการแบ่งเป็น 3 ส่วน คือกฎที่ว่าจำนวนจริงสองตัวเปรียบเทียบกันได้แค่ 3 กรณี: มากกว่า, น้อยกว่า, หรือเท่ากัน
Fraction	fractus (broken)	เศษส่วน · อัตราส่วนระหว่างเลขสองจำนวน แสดงถึงส่วนแบ่งจากทั้งหมด
Decimal	decimus (tenth)	ทศนิยม · การเขียนเศษส่วนในรูปฐานสิบ ใช้จุด (.) เป็นตัวแบ่ง
Absolute Value	absolutus (unrestricted)	ค่าสัมบูรณ์ · ระยะห่างของจำนวนนั้นจากศูนย์บนเส้นจำนวน มีค่าเป็นบวกเสมอ