กลับ
คณิตศาสตร์ · Mathematics

โครงสร้างระบบจำนวนจริง
Real Number System

จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ จำนวนเต็ม

TH

ในการศึกษาคณิตศาสตร์ ระบบจำนวนจริง (Real Number System) ถือเป็นรากฐานที่สำคัญที่สุด จำนวนจริงคือจำนวนทุกชนิดที่เราสามารถนำมาใช้วัดปริมาณหรือแสดงบนเส้นจำนวนได้ โครงสร้างของระบบจำนวนจริงประกอบไปด้วยเซตย่อยต่างๆ ที่แบ่งแยกตามคุณสมบัติการเขียนในรูปเศษส่วน

EN

In mathematics, the Real Number System is the most fundamental foundation. Real numbers include all kinds of numbers that can be used to measure quantities or represented on a number line. The structure consists of various subsets categorized by their ability to be expressed as fractions.

1

🗺️ แผนผังโครงสร้าง / Structure Diagram

TH

แผนภาพด้านล่างแสดงความสัมพันธ์ของเซตจำนวนต่างๆ โดย จำนวนจริง ($\mathbb{R}$) ถูกแบ่งออกเป็นสองกลุ่มใหญ่ที่ไม่ซ้อนทับกัน คือ จำนวนตรรกยะ ($\mathbb{Q}$) และ จำนวนอตรรกยะ ($\mathbb{Q}'$)

EN

The diagram below illustrates the relationship of different number sets. Real Numbers ($\mathbb{R}$) are divided into two mutually exclusive main groups: Rational Numbers ($\mathbb{Q}$) and Irrational Numbers ($\mathbb{Q}'$).

จำนวนจริง ( R ) จำนวนตรรกยะ ( Q ) Rational Numbers จำนวนอตรรกยะ ( Q' ) Irrational Numbers จำนวนเต็ม ( Z ) Integers เศษส่วน / ทศนิยมซ้ำ Fractions / Repeating เต็มลบ Z⁻ ศูนย์ 0 เต็มบวก Z⁺ (N)

$\text{สัญลักษณ์ } \mathbb{R}, \mathbb{Q}, \mathbb{Z}, \mathbb{N} \text{ เป็นมาตรฐานที่ใช้ในคณิตศาสตร์สากล}$

2

🟢 จำนวนตรรกยะ ($\mathbb{Q}$) / Rational Numbers

TH

จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ เศษส่วนของจำนวนเต็ม ได้ โดยที่ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์

นิยามทางคณิตศาสตร์: $\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z} \text{ และ } b \neq 0 \right\}$

EN

A Rational Number is any number that can be expressed as a fraction of two integers, where the denominator is not zero.

Mathematical Definition: $\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z} \text{ and } b \neq 0 \right\}$

Example 2.1

จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ เพราะมีส่วนเป็น 1

All integers are rational because their denominator is 1.

$$ \begin{aligned} -7 &= \frac{-7}{1} \\ \text{ดังนั้น } -7 &\in \mathbb{Q} \end{aligned} $$
Example 2.2

ทศนิยมรู้จบ (Terminating Decimal)

Terminating Decimal

$$ \begin{aligned} 0.85 &= \frac{85}{100} \\ &= \frac{17}{20} \\ \text{ดังนั้น } 0.85 &\in \mathbb{Q} \end{aligned} $$
Example 2.3

ทศนิยมซ้ำ (Repeating Decimal)

Repeating Decimal

$$ \begin{aligned} 0.333... &= 0.\dot{3} \\ &= \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \text{ดังนั้น } 0.\dot{3} &\in \mathbb{Q} \end{aligned} $$
Example 2.4

จำนวนคละ (Mixed Number)

Mixed Number

$$ \begin{aligned} 2\frac{3}{4} &= \frac{(2 \times 4) + 3}{4} \\ &= \frac{11}{4} \\ \text{ดังนั้น } 2\frac{3}{4} &\in \mathbb{Q} \end{aligned} $$
Example 2.5

รากที่ถอดค่าได้ลงตัว (Perfect Square Root)

Perfect Square Root

$$ \begin{aligned} \sqrt{144} &= 12 \\ &= \frac{12}{1} \\ \text{ดังนั้น } \sqrt{144} &\in \mathbb{Q} \end{aligned} $$
3

🔵 จำนวนเต็ม ($\mathbb{Z}$) / Integers

TH

จำนวนเต็ม คือ จำนวนที่ไม่มีส่วนเศษหรือทศนิยม แบ่งออกเป็น 3 กลุ่มหลัก คือ จำนวนเต็มบวก ($\mathbb{Z}^+$), ศูนย์ ($0$), และจำนวนเต็มลบ ($\mathbb{Z}^-$) (เป็นสับเซตของจำนวนตรรกยะ)

EN

Integers are numbers without fractional or decimal parts. They are divided into 3 main groups: Positive Integers ($\mathbb{Z}^+$), Zero ($0$), and Negative Integers ($\mathbb{Z}^-$). (They are a subset of rational numbers).

Example 3.1

การบวกลบจำนวนเต็ม (Addition & Subtraction)

Adding and Subtracting Integers

$$ \begin{aligned} -15 + 8 &= -7 \\ -4 - 10 &= -14 \\ 12 - (-5) &= 12 + 5 = 17 \end{aligned} $$
Example 3.2

การคูณและหารจำนวนเต็ม (Multiplication & Division)

Multiplying and Dividing Integers

$$ \begin{aligned} (-6) \times (-4) &= 24 \quad \text{(ลบเจอลบ เป็นบวก)} \\ (-3) \times 7 &= -21 \\ (-36) \div 9 &= -4 \end{aligned} $$
Example 3.3

สมบัติของศูนย์ (Properties of Zero)

Properties of Zero

$$ \begin{aligned} 0 \div (-5) &= 0 \\ -5 \div 0 &\Rightarrow \text{ไม่นิยาม (Undefined)} \\ (-8) \times 0 &= 0 \end{aligned} $$
Example 3.4

ค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value)

ระยะห่างจาก 0 บนเส้นจำนวน (เป็นบวกเสมอ)

Absolute Value

Distance from 0 on the number line (always positive).

$$ \begin{aligned} |-12| &= 12 \\ |7| &= 7 \\ |-3| + |-4| &= 3 + 4 = 7 \end{aligned} $$
Example 3.5

เลขยกกำลังของจำนวนเต็มลบ (Powers of Negative Integers)

Powers of Negative Integers

$$ \begin{aligned} (-2)^3 &= (-2)(-2)(-2) = -8 \quad \text{(เลขชี้กำลังคี่ได้ลบ)} \\ (-2)^4 &= (-2)(-2)(-2)(-2) = 16 \quad \text{(เลขชี้กำลังคู่ได้บวก)} \end{aligned} $$
4

🍰 เศษส่วนและทศนิยม / Fractions & Decimals

TH

เศษส่วนและทศนิยมคือรูปแบบการเขียนของ จำนวนตรรกยะ ที่ไม่ได้มีค่าเป็นจำนวนเต็มท้วนๆ โดยเศษส่วนจะแสดงถึงสัดส่วนย่อยของภาพรวม ส่วนทศนิยมคือเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นฐานสิบ ($10, 100, 1000, ...$)

EN

Fractions and decimals are ways to write Rational Numbers that are not whole integers. Fractions represent parts of a whole, while decimals are fractions with base-ten denominators ($10, 100, 1000, ...$).

Example 4.1

การบวกและลบเศษส่วน (Adding & Subtracting Fractions)

ต้องทำตัวส่วนให้เท่ากันก่อน (หา ค.ร.น.)

Adding & Subtracting Fractions

Must find a common denominator first (LCM).

$$ \begin{aligned} \frac{1}{4} + \frac{2}{3} &= \frac{1(3)}{12} + \frac{2(4)}{12} \\ &= \frac{3}{12} + \frac{8}{12} \\ &= \frac{11}{12} \end{aligned} $$
Example 4.2

การคูณและหารเศษส่วน (Multiplying & Dividing Fractions)

Multiplying & Dividing Fractions

$$ \begin{aligned} \text{คูณ: } \quad \frac{2}{5} \times \frac{3}{7} &= \frac{2 \times 3}{5 \times 7} = \frac{6}{35} \\ \text{หาร: } \quad \frac{4}{9} \div \frac{2}{3} &= \frac{4}{9} \times \frac{3}{2} \\ &= \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \end{aligned} $$
Example 4.3

การแปลงทศนิยมรู้จบเป็นเศษส่วน (Terminating Decimal to Fraction)

Terminating Decimal to Fraction

$$ \begin{aligned} 0.45 &= \frac{45}{100} \\ &= \frac{9}{20} \quad \text{(หารด้วย 5 ทั้งเศษและส่วน)} \end{aligned} $$
Example 4.4

การแปลงทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วน (Repeating Decimal to Fraction)

ตัวซ้ำให้ใช้เลข 9 เป็นตัวส่วนตามจำนวนตำแหน่งที่ซ้ำ

Repeating Decimal to Fraction

Use 9s in the denominator for the repeating parts.

$$ \begin{aligned} 0.\dot{7} &= 0.777... &= \frac{7}{9} \\ 0.\dot{5}\dot{1} &= 0.5151... &= \frac{51}{99} = \frac{17}{33} \end{aligned} $$
Example 4.5

การแปลงทศนิยมซ้ำแบบผสม (Mixed Repeating Decimal)

สูตร: (ทั้งหมด - ตัวไม่ซ้ำ) / (9 ตามจำนวนซ้ำ และ 0 ตามจำนวนไม่ซ้ำ)

Mixed Repeating Decimal

Rule: (Whole part - Non-repeating) / (9s for rep, 0s for non-rep).

$$ \begin{aligned} 0.1\dot{6} &= 0.1666... \\ &= \frac{16 - 1}{90} \\ &= \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \end{aligned} $$
5

🔴 จำนวนอตรรกยะ ($\mathbb{Q}'$) / Irrational Numbers

TH

จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ ไม่สามารถ เขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ หากเขียนเป็นทศนิยม จะเป็นทศนิยมที่ไม่รู้จบและไม่ซ้ำ

EN

An Irrational Number is any real number that cannot be expressed as a fraction of two integers. Their decimal expansions are non-terminating and non-repeating.

Example 5.1

รากที่ถอดไม่ลงตัว (Imperfect Roots)

Imperfect Roots / Surds

$$ \begin{aligned} \sqrt{2} &\approx 1.41421356... \\ \sqrt{5} &\approx 2.23606797... \\ \text{ค่าเหล่านี้ไม่มีทิศทางซ้ำ } &\implies \in \mathbb{Q}' \end{aligned} $$
Example 5.2

ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์: $\pi$ (Pi)

Mathematical Constant: $\pi$ (Pi)

$$ \begin{aligned} \pi &\approx 3.14159265... \\ \text{หมายเหตุ: } \frac{22}{7} &\text{ เป็นเพียงค่าประมาณตรรกยะ} \\ \text{แต่ตัว } \pi \text{ จริงๆ } &\in \mathbb{Q}' \end{aligned} $$
Example 5.3

ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์: $e$ (Euler's Number)

Mathematical Constant: $e$ (Euler's Number)

$$ \begin{aligned} e &\approx 2.718281828... \\ \text{ใช้ในเรื่องลอการิทึม } &\implies \in \mathbb{Q}' \end{aligned} $$
Example 5.4

ทศนิยมที่สร้างให้ไม่ซ้ำ (Constructed Non-repeating)

Constructed Non-repeating Decimals

$$ \begin{aligned} x &= 0.101001000100001... \\ \text{จำนวนเลข 0 เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ} \\ \text{ไม่มีแพทเทิร์นที่ตายตัว } &\implies \in \mathbb{Q}' \end{aligned} $$
Example 5.5

ผลบวกระหว่าง ตรรกยะ กับ อตรรกยะ

Sum of Rational and Irrational

$$ \begin{aligned} \text{กำหนด } y &= 5 + \sqrt{3} \\ &= 5 + 1.73205... \\ &= 6.73205... \\ \text{ผลลัพธ์ยังคงเป็น } &\mathbb{Q}' \end{aligned} $$
6

🗂️ การจัดหมวดหมู่และคุณสมบัติ / Classification & Properties

TH

ในการพิจารณาว่านิพจน์ใดเป็นตรรกยะหรืออตรรกยะ บางครั้งเราไม่สามารถดูจากหน้าตาภายนอกได้ทันที ต้องทำการจัดรูปสมการ หรือคำนวณให้เป็นผลสำเร็จเสียก่อน

EN

To determine whether an expression is rational or irrational, we cannot always rely on its initial appearance. We must simplify the equation or calculate it to its simplest form first.

Example 6.1

การแยกแยะระหว่างค่าจริงและค่าประมาณ

Distinguishing actual vs. approximate values

$$ \begin{aligned} \text{จงพิจารณาค่าของ } &\frac{22}{7} \text{ และ } \pi \\ \frac{22}{7} &\text{ เป็นเศษส่วน } \implies \in \mathbb{Q} \\ \pi &\text{ เป็นทศนิยมไม่รู้จบ } \implies \in \mathbb{Q}' \end{aligned} $$
Example 6.2

การหารกันของจำนวนที่ติดราก

Division of radical expressions

$$ \begin{aligned} \text{จงพิจารณา } &\displaystyle \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} \\ \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} &= \sqrt{\frac{12}{3}} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2 \implies \in \mathbb{Q} \text{ (ตรรกยะ)} \end{aligned} $$
Example 6.3

การคูณกระจาย (ผลต่างกำลังสอง)

Expansion (Difference of Squares)

$$ \begin{aligned} \text{จงพิจารณา } &(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2}) \\ &= (1)^2 - (\sqrt{2})^2 \\ &= 1 - 2 \\ &= -1 \implies \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \end{aligned} $$
Example 6.4

ความสัมพันธ์ของศูนย์ (0) กับจำนวนนับ ($\mathbb{N}$)

Relation of Zero (0) and Natural Numbers ($\mathbb{N}$)

$$ \begin{aligned} \mathbb{N} &= \{1, 2, 3, ...\} \\ 0 &\notin \mathbb{N} \text{ (ไม่ใช่จำนวนนับ)} \\ 0 &\in \mathbb{Z} \text{ (แต่เป็นจำนวนเต็ม)} \end{aligned} $$
Example 6.5

อินเตอร์เซกชันของเซตหลัก

Intersection of main sets

$$ \begin{aligned} \text{จงหา } &\mathbb{Q} \cap \mathbb{Q}' \\ \mathbb{Q} &= \text{ตรรกยะ} \\ \mathbb{Q}' &= \text{อตรรกยะ} \\ \mathbb{Q} \cap \mathbb{Q}' &= \emptyset \text{ (ไม่มีสมาชิกร่วมกันเลย)} \end{aligned} $$
7

⚙️ สมบัติของระบบจำนวนจริง / Properties of Real Numbers

TH

ระบบจำนวนจริงมี สมบัติพื้นฐาน (Fundamental Properties) ภายใต้การดำเนินการบวกและการคูณ ซึ่งเป็นกฎเกณฑ์สำคัญที่ช่วยให้เราแก้สมการและจัดการกับพีชคณิตได้อย่างถูกต้อง กำหนดให้ $a, b, c \in \mathbb{R}$

EN

The real number system has Fundamental Properties under addition and multiplication. These rules are crucial for correctly solving equations and manipulating algebra. Let $a, b, c \in \mathbb{R}$.

Property 7.1

สมบัติการปิด (Closure Property)

ผลลัพธ์ของการบวกหรือคูณจำนวนจริง จะยังคงเป็นจำนวนจริงเสมอ

Closure Property

The sum or product of any real numbers remains a real number.

$$ \begin{aligned} \text{การบวก: } & a + b \in \mathbb{R} \\ \text{การคูณ: } & a \cdot b \in \mathbb{R} \end{aligned} $$
Property 7.2

สมบัติการสลับที่ (Commutative Property)

ลำดับของการบวกหรือคูณไม่มีผลต่อคำตอบ สามารถสลับตำแหน่งซ้ายขวาได้

Commutative Property

The order of addition or multiplication does not change the result.

$$ \begin{aligned} \text{การบวก: } & a + b &= b + a \\ \text{การคูณ: } & a \cdot b &= b \cdot a \end{aligned} $$
Property 7.3

สมบัติการเปลี่ยนหมู่ (Associative Property)

การจัดกลุ่ม(ใส่วงเล็บ) ของการบวกหรือคูณตัวเลข 3 ตัวขึ้นไป สามารถเปลี่ยนกลุ่มได้โดยค่าไม่เปลี่ยน

Associative Property

The grouping of three or more numbers in addition or multiplication does not change the result.

$$ \begin{aligned} \text{การบวก: } & (a + b) + c &= a + (b + c) \\ \text{การคูณ: } & (a \cdot b) \cdot c &= a \cdot (b \cdot c) \end{aligned} $$
Property 7.4

สมบัติการมีเอกลักษณ์ (Identity Property)

มีตัวเลขพิเศษที่กระทำกับจำนวนใดๆ แล้วได้จำนวนเดิมเสมอ (คือ 0 สำหรับการบวก และ 1 สำหรับการคูณ)

Identity Property

There exists a special number that leaves other numbers unchanged when applied (0 for addition, 1 for multiplication).

$$ \begin{aligned} \text{เอกลักษณ์การบวก: } & a + 0 &= 0 + a &= a \\ \text{เอกลักษณ์การคูณ: } & a \cdot 1 &= 1 \cdot a &= a \end{aligned} $$
Property 7.5

สมบัติการมีอินเวอร์ส (Inverse Property)

ทุกจำนวนจะมีตัวผกผัน (อินเวอร์ส) ที่มากระทำแล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับค่า "เอกลักษณ์"

Inverse Property

Every number has an inverse that, when applied, yields the "identity" value.

$$ \begin{aligned} \text{อินเวอร์สการบวกของ } a \text{ คือ } -a: \quad & a + (-a) &= 0 \\ \text{อินเวอร์สการคูณของ } a \text{ คือ } \frac{1}{a} \text{ (เมื่อ } a \neq 0): \quad & a \cdot \left(\frac{1}{a}\right) &= 1 \end{aligned} $$
Property 7.6

สมบัติการแจกแจง (Distributive Property)

สมบัติที่เชื่อมโยงระหว่างการคูณและการบวกเข้าด้วยกัน

Distributive Property

The property that links multiplication and addition together.

$$ \begin{aligned} \text{กระจายการคูณเข้าไปในการบวก: } & a \cdot (b + c) &= (a \cdot b) + (a \cdot c) \end{aligned} $$
8

⚖️ สมบัติการเท่ากันและไม่เท่ากัน / Equality & Inequality

TH

สมบัติการเท่ากัน ($=$) และการไม่เท่ากัน ($<,>, \le, \ge$) เป็นกฎพื้นฐานที่อยู่เบื้องหลังสิ่งที่เราเรียกกันติดปากว่า "การย้ายข้างสมการ" การทำความเข้าใจสมบัติเหล่านี้จะช่วยให้เราแก้สมการและอสมการได้อย่างมีเหตุผลและไม่ผิดพลาด โดยเฉพาะเมื่อต้องเจอกับเครื่องหมายลบ

EN

The properties of equality ($=$) and inequality ($<,>, \le, \ge$) are the foundational rules behind what we colloquially call "moving sides". Understanding these properties ensures logical and error-free solving of equations and inequalities, especially when dealing with negative signs.

Example 8.1

สมบัติการสมมาตรและการถ่ายทอด (Symmetric & Transitive)

Symmetric and Transitive Properties

$$ \begin{aligned} \text{สมมาตร: ถ้า } x &= 5 \text{ แล้ว } 5 = x \\ \text{ถ่ายทอด: ถ้า } x &= y \text{ และ } y = 3 \text{ แล้ว } x = 3 \end{aligned} $$
Example 8.2

พื้นฐานการย้ายข้างสมการ (Addition/Multiplication of Equality)

"การย้ายข้าง" แท้จริงคือการบวกหรือคูณด้วยจำนวนที่เท่ากันทั้งสองข้างของสมการ

Basics of Moving Sides

"Moving sides" is actually adding or multiplying the exact same value to both sides of the equation.

$$ \begin{aligned} \text{สมการเดิม: } x - 4 &= 10 \\ \text{บวก } 4 \text{ ทั้งสองข้าง: } x - 4 + 4 &= 10 + 4 \\ x &= 14 \end{aligned} $$
Example 8.3

การบวกและการคูณอสมการด้วยค่าบวก (Inequality with Positive values)

เมื่อบวก หรือ คูณอสมการด้วย "จำนวนบวก" ทิศทางของเครื่องหมายจะไม่เปลี่ยนแปลง

Inequality with Positive values

When adding or multiplying an inequality by a "positive number", the sign direction remains unchanged.

$$ \begin{aligned} \text{อสมการเดิม: } \frac{x}{3} &> 5 \\ \text{คูณ } 3 \text{ ทั้งสองข้าง: } \left(\frac{x}{3}\right) \cdot 3 &> 5 \cdot 3 \\ x &> 15 \end{aligned} $$
Example 8.4

กฎเหล็กของอสมการ! (Multiplying Inequality by a Negative)

ระวัง! เมื่อคูณหรือหารอสมการด้วย "จำนวนลบ" จะต้อง กลับทิศทางของเครื่องหมายอสมการ เสมอ

The Golden Rule of Inequalities!

Warning! When multiplying or dividing an inequality by a "negative number", you must always flip the direction of the inequality sign.

$$ \begin{aligned} \text{อสมการเดิม: } -2x &\ge 8 \\ \text{หารด้วย } -2 \text{ ทั้งสองข้าง: } \frac{-2x}{-2} &\le \frac{8}{-2} \quad \text{ (สลับเครื่องหมายจาก } \ge \text{ เป็น } \le \text{)} \\ x &\le -4 \end{aligned} $$
Example 8.5

สมบัติไตรวิภาค (Trichotomy Property)

สำหรับจำนวนจริงสองจำนวนใดๆ ความสัมพันธ์ระหว่างสองจำนวนนั้นจะเป็นไปได้เพียง 1 ใน 3 กรณีนี้เท่านั้น

Trichotomy Property

For any two real numbers, exactly one of the following three relations must be true.

$$ \begin{aligned} \text{กำหนดให้ } a, b \in \mathbb{R} \text{ จะต้องตรงกับข้อใดข้อหนึ่งเท่านั้น:} \\ 1.\quad a &< b \\ 2.\quad a &=b \\ 3.\quad a &> b \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์ รากศัพท์ / Root ความหมาย / Meaning
Real Number realis (actual / existing) จำนวนจริง · จำนวนที่มีอยู่จริงในเส้นจำนวน (Number Line) ครอบคลุมทั้งตรรกยะและอตรรกยะ สัญลักษณ์ $\mathbb{R}$
Rational Number ratio (reason / proportion) จำนวนตรรกยะ · จำนวนที่เขียนเป็นสัดส่วนหรือเศษส่วน (Fraction) ของจำนวนเต็มได้ สัญลักษณ์ $\mathbb{Q}$ (Quotient)
Irrational Number ir- (not) + ratio จำนวนอตรรกยะ · จำนวนที่ไม่สามารถเขียนเป็นสัดส่วนของจำนวนเต็มได้ เป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำ สัญลักษณ์ $\mathbb{Q}'$
Integer integer (whole / intact) จำนวนเต็ม · จำนวนที่ไม่มีเศษส่วนหรือทศนิยมประกอบอยู่ สัญลักษณ์ $\mathbb{Z}$ (มาจากภาษาเยอรมัน Zahlen)
Natural Number natura (nature) จำนวนนับ · จำนวนเต็มบวกที่ใช้ในการนับสิ่งของตามธรรมชาติ เริ่มจาก 1, 2, 3... สัญลักษณ์ $\mathbb{N}$
Closure Property claudere (to close) สมบัติการปิด · การนำสมาชิกในเซตมากระทำกันแล้วผลลัพธ์ยังคงอยู่ในเซตนั้นเสมอ
Commutative commutare (to exchange) การสลับที่ · สมบัติที่สามารถสลับตำแหน่งหน้าหลังได้โดยผลลัพธ์ไม่เปลี่ยนแปลง
Associative associare (to join / unite) การเปลี่ยนหมู่ · สมบัติที่สามารถเปลี่ยนการจัดกลุ่มหรือเปลี่ยนวงเล็บได้
Identity identitas (sameness) เอกลักษณ์ · จำนวนที่เมื่อนำไปกระทำกับจำนวนใดแล้วจะได้จำนวนเดิมเสมอ
Inverse invertere (to turn upside down) ตัวผกผัน (อินเวอร์ส) · จำนวนที่เมื่อนำไปกระทำกับจำนวนต้นทางแล้วจะได้ผลลัพธ์เท่ากับตัวเอกลักษณ์
Equality aequalitas (evenness) สมการ / การเท่ากัน · ความสัมพันธ์ที่แสดงว่าสองนิพจน์มีค่าเท่ากันทุกประการ เชื่อมด้วยเครื่องหมาย $=$
Inequality in- (not) + aequalitas อสมการ / การไม่เท่ากัน · ความสัมพันธ์ที่แสดงการเปรียบเทียบค่าที่ไม่เท่ากัน เชื่อมด้วย $<,>, \le, \ge, \neq$
Trichotomy tricha (threefold) + tomia (cutting) ไตรวิภาค · สมบัติการแบ่งเป็น 3 ส่วน คือกฎที่ว่าจำนวนจริงสองตัวเปรียบเทียบกันได้แค่ 3 กรณี: มากกว่า, น้อยกว่า, หรือเท่ากัน
Fraction fractus (broken) เศษส่วน · อัตราส่วนระหว่างเลขสองจำนวน แสดงถึงส่วนแบ่งจากทั้งหมด
Decimal decimus (tenth) ทศนิยม · การเขียนเศษส่วนในรูปฐานสิบ ใช้จุด (.) เป็นตัวแบ่ง
Absolute Value absolutus (unrestricted) ค่าสัมบูรณ์ · ระยะห่างของจำนวนนั้นจากศูนย์บนเส้นจำนวน มีค่าเป็นบวกเสมอ