ลำดับเลขคณิต คือลำดับของจำนวนที่มีผลต่างซึ่งได้จากการนำพจน์ที่ \(n+1\) ลบด้วยพจน์ที่ \(n\) มีค่าคงตัวเสมอ ค่าคงตัวนี้เรียกว่า ผลต่างร่วม (Common Difference) แทนด้วยสัญลักษณ์ \(d\)
An Arithmetic Sequence is a sequence of numbers in which the difference between any two consecutive terms is constant. This constant is called the Common Difference, denoted by \(d\).
1
📐 พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต / General Term Formula
พจน์ที่ \(n\) ของลำดับเลขคณิต คือ / The \(n\)-th term is:
\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]
\(a_n\) : พจน์ที่ \(n\) / \(n\)-th term
\(a_1\) : พจน์แรก / First term
\(n\) : ตำแหน่งของพจน์ / Position
\(d\) : ผลต่างร่วม / Common Difference
ผลต่างร่วม (\(d\)) หาได้จาก: \[ d = a_{n+1} - a_n \]
นั่นคือ พจน์ขวาลบพจน์ซ้ายที่ติดกันต้องเท่ากันเสมอ
The common difference (\(d\)) can be found by: \[ d = a_{n+1} - a_n \]
That is, the difference between any term and its preceding term is always the same.
2
🧭 วิธีการแก้โจทย์ลำดับเลขคณิต / Problem-Solving Strategy
กระบวนการแก้ปัญหาทีละขั้นตอน
📌 ขั้นตอนการแก้โจทย์ลำดับเลขคณิต
ขั้นที่ 1 — อ่านและระบุข้อมูล
ระบุ \(a_1\) (พจน์แรก), \(d\) (ผลต่างร่วม), \(n\) (จำนวนพจน์ หรือตำแหน่ง) และ \(a_n\) (พจน์ที่ต้องการ) ที่โจทย์กำหนดให้
ระบุ \(a_1\) (พจน์แรก), \(d\) (ผลต่างร่วม), \(n\) (จำนวนพจน์ หรือตำแหน่ง) และ \(a_n\) (พจน์ที่ต้องการ) ที่โจทย์กำหนดให้
ขั้นที่ 2 — หา d หรือ \(a_1\) ถ้ายังไม่ทราบ
ถ้ายังไม่รู้ผลต่างร่วม ให้หาจาก \(d = a_{n+1} - a_n\) หรือตั้งสมการจาก 2 เงื่อนไขแล้วแก้สมการพร้อมกัน
ถ้ายังไม่รู้ผลต่างร่วม ให้หาจาก \(d = a_{n+1} - a_n\) หรือตั้งสมการจาก 2 เงื่อนไขแล้วแก้สมการพร้อมกัน
ขั้นที่ 3 — เลือกและแทนค่าสูตร
ใช้สูตร \(a_n = a_1 + (n-1)d\) แล้วแทนค่าที่ทราบทั้งหมด
ใช้สูตร \(a_n = a_1 + (n-1)d\) แล้วแทนค่าที่ทราบทั้งหมด
ขั้นที่ 4 — แก้สมการและตรวจสอบคำตอบ
แก้สมการหาค่าที่ต้องการ แล้วตรวจสอบว่า \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวกเสมอ
แก้สมการหาค่าที่ต้องการ แล้วตรวจสอบว่า \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวกเสมอ
📌 Steps for Solving Arithmetic Sequence Problems
Step 1 — Read & Identify
Identify \(a_1\) (first term), \(d\) (common difference), \(n\) (position/count), and \(a_n\) (target term) from the problem.
Identify \(a_1\) (first term), \(d\) (common difference), \(n\) (position/count), and \(a_n\) (target term) from the problem.
Step 2 — Find d or \(a_1\) if missing
If the common difference is unknown, use \(d = a_{n+1} - a_n\), or set up simultaneous equations from two given conditions.
If the common difference is unknown, use \(d = a_{n+1} - a_n\), or set up simultaneous equations from two given conditions.
Step 3 — Choose & Substitute Formula
Apply \(a_n = a_1 + (n-1)d\) and substitute all known values.
Apply \(a_n = a_1 + (n-1)d\) and substitute all known values.
Step 4 — Solve & Verify
Solve the equation and always verify that \(n\) is a positive integer.
Solve the equation and always verify that \(n\) is a positive integer.
3
📝 ตัวอย่างการคำนวณ / Solved Examples
โจทย์หลากหลายรูปแบบ พร้อมวิธีทำอย่างละเอียด
3
พจน์ที่มีค่าลดลง / Decreasing Terms
จงหาพจน์ที่ 8 ของลำดับเลขคณิต 10, 7, 4, ...
Find the 8th term of the arithmetic sequence 10, 7, 4, ...
จากโจทย์: \(a_1 = 10, d = 7 - 10 = -3, n = 8\)
ใช้สูตร: \(a_8 = 10 + (8-1)(-3) = 10 + (7)(-3) = 10 - 21 = -11\)
ตอบ: -11
ใช้สูตร: \(a_8 = 10 + (8-1)(-3) = 10 + (7)(-3) = 10 - 21 = -11\)
ตอบ: -11
Given: \(a_1 = 10, d = 7 - 10 = -3, n = 8\)
Formula: \(a_8 = 10 + (8-1)(-3) = 10 + (7)(-3) = 10 - 21 = -11\)
Answer: -11
Formula: \(a_8 = 10 + (8-1)(-3) = 10 + (7)(-3) = 10 - 21 = -11\)
Answer: -11
4
หาจำนวนพจน์ / Finding Number of Terms (\(n\))
ลำดับเลขคณิต 3, 7, 11, ..., 103 มีทั้งหมดกี่พจน์?
How many terms are in the sequence 3, 7, 11, ..., 103?
จากโจทย์: \(a_1 = 3, d = 4, a_n = 103\)
จาก \(103 = 3 + (n-1)4\)
\(100 = (n-1)4 \Rightarrow n-1 = 25 \Rightarrow n = 26\)
ตอบ: มีทั้งหมด 26 พจน์
จาก \(103 = 3 + (n-1)4\)
\(100 = (n-1)4 \Rightarrow n-1 = 25 \Rightarrow n = 26\)
ตอบ: มีทั้งหมด 26 พจน์
Given: \(a_1 = 3, d = 4, a_n = 103\)
Equation: \(103 = 3 + (n-1)4\)
\(100 = (n-1)4 \Rightarrow n-1 = 25 \Rightarrow n = 26\)
Answer: 26 terms
Equation: \(103 = 3 + (n-1)4\)
\(100 = (n-1)4 \Rightarrow n-1 = 25 \Rightarrow n = 26\)
Answer: 26 terms
5
หาพจน์แรก / Finding the First Term (\(a_1\))
กำหนด \(a_{12} = 56\) และ \(d = 5\) จงหา \(a_1\)
Given \(a_{12} = 56\) and \(d = 5\), find \(a_1\).
จาก \(a_{12} = a_1 + 11d\)
\(56 = a_1 + 11(5) \Rightarrow 56 = a_1 + 55\)
\(a_1 = 1\)
ตอบ: 1
\(56 = a_1 + 11(5) \Rightarrow 56 = a_1 + 55\)
\(a_1 = 1\)
ตอบ: 1
Using \(a_{12} = a_1 + 11d\):
\(56 = a_1 + 11(5) \Rightarrow 56 = a_1 + 55\)
\(a_1 = 1\)
Answer: 1
\(56 = a_1 + 11(5) \Rightarrow 56 = a_1 + 55\)
\(a_1 = 1\)
Answer: 1
6
หาผลต่างร่วม / Finding common difference (\(d\))
ถ้า \(a_1 = 5\) และ \(a_{15} = 47\) จงหา \(d\)
If \(a_1 = 5\) and \(a_{15} = 47\), find \(d\).
จาก \(a_{15} = a_1 + 14d\)
\(47 = 5 + 14d \Rightarrow 42 = 14d\)
\(d = 3\)
ตอบ: 3
\(47 = 5 + 14d \Rightarrow 42 = 14d\)
\(d = 3\)
ตอบ: 3
Using \(a_{15} = a_1 + 14d\):
\(47 = 5 + 14d \Rightarrow 42 = 14d\)
\(d = 3\)
Answer: 3
\(47 = 5 + 14d \Rightarrow 42 = 14d\)
\(d = 3\)
Answer: 3
7
ทศนิยม / Decimal Sequence
จงหาพจน์ที่ 10 ของลำดับ 1.2, 1.5, 1.8, ...
Find the 10th term of the sequence 1.2, 1.5, 1.8, ...
จากโจทย์: \(a_1 = 1.2, d = 0.3, n = 10\)
\(a_{10} = 1.2 + (9)(0.3) = 1.2 + 2.7 = 3.9\)
ตอบ: 3.9
\(a_{10} = 1.2 + (9)(0.3) = 1.2 + 2.7 = 3.9\)
ตอบ: 3.9
Given: \(a_1 = 1.2, d = 0.3, n = 10\)
\(a_{10} = 1.2 + (9)(0.3) = 1.2 + 2.7 = 3.9\)
Answer: 3.9
\(a_{10} = 1.2 + (9)(0.3) = 1.2 + 2.7 = 3.9\)
Answer: 3.9
8
ตรวจสอบค่า / Checking a term
จำนวน 101 เป็นพจน์ในลำดับ 2, 5, 8, ... หรือไม่?
Is 101 a term in the sequence 2, 5, 8, ...?
ถ้า 101 เป็นพจน์ จะต้องมี \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวก
\(101 = 2 + (n-1)3 \Rightarrow 99 = (n-1)3\)
\(33 = n-1 \Rightarrow n = 34\)
ตอบ: เป็นพจน์ที่ 34 ของลำดับ
\(101 = 2 + (n-1)3 \Rightarrow 99 = (n-1)3\)
\(33 = n-1 \Rightarrow n = 34\)
ตอบ: เป็นพจน์ที่ 34 ของลำดับ
For 101 to be a term, \(n\) must be a positive integer.
\(101 = 2 + (n-1)3 \Rightarrow 99 = (n-1)3\)
\(33 = n-1 \Rightarrow n = 34\)
Answer: Yes, it is the 34th term.
\(101 = 2 + (n-1)3 \Rightarrow 99 = (n-1)3\)
\(33 = n-1 \Rightarrow n = 34\)
Answer: Yes, it is the 34th term.
9
หาพจน์ทั่วไปจาก 2 เงื่อนไข / Finding formula from 2 terms
ถ้า \(a_3 = 10\) และ \(a_7 = 22\) จงหาพจน์ทั่วไป (\(a_n\))
If \(a_3 = 10\) and \(a_7 = 22\), find the general term (\(a_n\)).
\(a_7 - a_3 = (7-3)d = 4d\)
\(22 - 10 = 4d \Rightarrow 12 = 4d \Rightarrow d = 3\)
หา \(a_1\) จาก \(10 = a_1 + 2(3) \Rightarrow a_1 = 4\)
ดังนั้น \(a_n = 4 + (n-1)3 = 3n + 1\)
ตอบ: \(a_n = 3n + 1\)
\(22 - 10 = 4d \Rightarrow 12 = 4d \Rightarrow d = 3\)
หา \(a_1\) จาก \(10 = a_1 + 2(3) \Rightarrow a_1 = 4\)
ดังนั้น \(a_n = 4 + (n-1)3 = 3n + 1\)
ตอบ: \(a_n = 3n + 1\)
Difference: \(a_7 - a_3 = 4d\)
\(22 - 10 = 4d \Rightarrow 12 = 4d \Rightarrow d = 3\)
Find \(a_1\): \(10 = a_1 + 2(3) \Rightarrow a_1 = 4\)
Formula: \(a_n = 4 + (n-1)3 = 3n + 1\)
Answer: \(a_n = 3n + 1\)
\(22 - 10 = 4d \Rightarrow 12 = 4d \Rightarrow d = 3\)
Find \(a_1\): \(10 = a_1 + 2(3) \Rightarrow a_1 = 4\)
Formula: \(a_n = 4 + (n-1)3 = 3n + 1\)
Answer: \(a_n = 3n + 1\)
10
สถานการณ์จริง / Application
สมชายออมเงินวันแรก 50 บาท วันต่อๆ ไปออมเพิ่มวันละ 5 บาท วันที่ 20
เขาจะออมเงินกี่บาท?
Somchai saves 50 baht on day 1, and increases it by 5 baht daily. How much
will he save on day 20?
\(a_1 = 50, d = 5, n = 20\)
\(a_{20} = 50 + (19)(5) = 50 + 95 = 145\)
ตอบ: 145 บาท
\(a_{20} = 50 + (19)(5) = 50 + 95 = 145\)
ตอบ: 145 บาท
\(a_1 = 50, d = 5, n = 20\)
\(a_{20} = 50 + (19)(5) = 50 + 95 = 145\)
Answer: 145 baht
\(a_{20} = 50 + (19)(5) = 50 + 95 = 145\)
Answer: 145 baht
11
ตัวแปร / Variable Sequence
จงหา \(d\) ของลำดับ \(x+1, x+3, x+5, \dots\)
Find \(d\) for the sequence \(x+1, x+3, x+5, \dots\)
\(d = a_2 - a_1 = (x+3) - (x+1) = 2\)
ตอบ: 2
ตอบ: 2
\(d = a_2 - a_1 = (x+3) - (x+1) = 2\)
Answer: 2
Answer: 2
12
พจน์ลบพจน์แรก / First Negative Term
พจน์แรกที่มีค่าน้อยกว่า 0 ของลำดับ 100, 94, 88, ... คือพจน์ที่เท่าไหร่?
Which term is the first negative term in the sequence 100, 94, 88, ...?
\(100 + (n-1)(-6) < 0\)
\(100 - 6n + 6 < 0 \Rightarrow 106 < 6n\)
\(n > 106/6 \approx 17.66\)
ดังนั้น \(n = 18\)
ตอบ: พจน์ที่ 18
\(100 - 6n + 6 < 0 \Rightarrow 106 < 6n\)
\(n > 106/6 \approx 17.66\)
ดังนั้น \(n = 18\)
ตอบ: พจน์ที่ 18
\(100 + (n-1)(-6) < 0\)
\(106 < 6n \Rightarrow n> 17.66\)
So \(n = 18\).
Answer: 18th term
\(106 < 6n \Rightarrow n> 17.66\)
So \(n = 18\).
Answer: 18th term
4
✏️ โจทย์ฝึกทำ / Practice Problems
ฝึกแก้โจทย์ด้วยตัวเองก่อนดูเฉลย · Try solving before checking the answer
P1
หาพจน์ที่ 15
ลำดับเลขคณิต 4, 9, 14, ... จงหาพจน์ที่ 15
In the arithmetic sequence 4, 9, 14, ..., find the 15th term.
ข้อมูล: \(a_1 = 4,\ d = 9 - 4 = 5,\ n = 15\)
แทนสูตร: \(a_{15} = 4 + (15-1)(5) = 4 + 70 = 74\)
ตอบ: 74
แทนสูตร: \(a_{15} = 4 + (15-1)(5) = 4 + 70 = 74\)
ตอบ: 74
Given: \(a_1 = 4,\ d = 5,\ n = 15\)
Formula: \(a_{15} = 4 + (14)(5) = 4 + 70 = 74\)
Answer: 74
Formula: \(a_{15} = 4 + (14)(5) = 4 + 70 = 74\)
Answer: 74
P2
หาผลต่างร่วม
ถ้า \(a_1 = 8\) และ \(a_{11} = 48\) จงหาผลต่างร่วม \(d\)
If \(a_1 = 8\) and \(a_{11} = 48\), find the common difference \(d\).
จาก \(a_{11} = a_1 + 10d\)
\(48 = 8 + 10d \Rightarrow 40 = 10d\)
\(d = 4\)
ตอบ: \(d = 4\)
\(48 = 8 + 10d \Rightarrow 40 = 10d\)
\(d = 4\)
ตอบ: \(d = 4\)
From \(a_{11} = a_1 + 10d\):
\(48 = 8 + 10d \Rightarrow d = 4\)
Answer: \(d = 4\)
\(48 = 8 + 10d \Rightarrow d = 4\)
Answer: \(d = 4\)
P3
หาจำนวนพจน์ทั้งหมด
ลำดับ 5, 8, 11, ..., 80 มีทั้งหมดกี่พจน์?
How many terms are in the sequence 5, 8, 11, ..., 80?
\(a_1 = 5,\ d = 3,\ a_n = 80\)
\(80 = 5 + (n-1)3 \Rightarrow 75 = 3(n-1) \Rightarrow n-1 = 25\)
\(n = 26\)
ตอบ: 26 พจน์
\(80 = 5 + (n-1)3 \Rightarrow 75 = 3(n-1) \Rightarrow n-1 = 25\)
\(n = 26\)
ตอบ: 26 พจน์
\(a_1 = 5,\ d = 3,\ a_n = 80\)
\(80 = 5 + (n-1)3 \Rightarrow n = 26\)
Answer: 26 terms
\(80 = 5 + (n-1)3 \Rightarrow n = 26\)
Answer: 26 terms
P4
หาพจน์ทั่วไปจาก 2 พจน์ที่กำหนด
ถ้า \(a_4 = 18\) และ \(a_{10} = 42\) จงหาสูตรพจน์ทั่วไป \(a_n\)
If \(a_4 = 18\) and \(a_{10} = 42\), find the general term formula \(a_n\).
\(a_{10} - a_4 = 6d\)
\(42 - 18 = 6d \Rightarrow 24 = 6d \Rightarrow d = 4\)
หา \(a_1\): \(18 = a_1 + 3(4) \Rightarrow a_1 = 6\)
\(a_n = 6 + (n-1)4 = 4n + 2\)
ตอบ: \(a_n = 4n + 2\)
\(42 - 18 = 6d \Rightarrow 24 = 6d \Rightarrow d = 4\)
หา \(a_1\): \(18 = a_1 + 3(4) \Rightarrow a_1 = 6\)
\(a_n = 6 + (n-1)4 = 4n + 2\)
ตอบ: \(a_n = 4n + 2\)
\(a_{10} - a_4 = 6d \Rightarrow 24 = 6d \Rightarrow d = 4\)
Find \(a_1\): \(18 = a_1 + 12 \Rightarrow a_1 = 6\)
\(a_n = 4n + 2\)
Answer: \(a_n = 4n + 2\)
Find \(a_1\): \(18 = a_1 + 12 \Rightarrow a_1 = 6\)
\(a_n = 4n + 2\)
Answer: \(a_n = 4n + 2\)
P5
โจทย์ประยุกต์ชีวิตจริง
นักวิ่งวิ่งได้ 2 กม. ในวันแรก และเพิ่มขึ้นวันละ 0.5 กม. ในวันที่ 14
เขาจะวิ่งได้กี่กิโลเมตร?
A runner runs 2 km on day 1 and increases by 0.5 km each day. How far will he
run on day 14?
\(a_1 = 2,\ d = 0.5,\ n = 14\)
\(a_{14} = 2 + (13)(0.5) = 2 + 6.5 = 8.5\)
ตอบ: 8.5 กิโลเมตร
\(a_{14} = 2 + (13)(0.5) = 2 + 6.5 = 8.5\)
ตอบ: 8.5 กิโลเมตร
\(a_1 = 2,\ d = 0.5,\ n = 14\)
\(a_{14} = 2 + (13)(0.5) = 8.5\)
Answer: 8.5 km
\(a_{14} = 2 + (13)(0.5) = 8.5\)
Answer: 8.5 km
🧮 เครื่องคำนวณลำดับเลขคณิต / Arithmetic Calc
ระบุพจน์แรก (\(a_1\)), ผลต่างร่วม (\(d\)) และ ลำดับที่ (\(n\)) เพื่อหาค่า \(a_n\)
คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary
คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์
| คำศัพท์ | รากศัพท์ / Root | ความหมาย / Meaning |
|---|---|---|
| Arithmetic | arithmos (number) | เลขคณิต · Relating to calculations with numbers |
| Common Difference | differentia (diversity) | ผลต่างร่วม · Constant value from subtracting adjacent terms |
| First Term | primus (first) | พจน์แรก · The starting value of a sequence (\(a_1\)) |
| General Term | generalis (of a kind) | พจน์ทั่วไป · The formula representing the \(n\)-th term |
| Constant | con- + stare (stand) | ค่าคงตัว · A value that does not change |
| Progression | pro (forward) + gradi | การรุดหน้า · A continuous list of numbers |
| Consecutive | con- + sequi (follow) | เรียงติดกัน · Following each other in order |