ลำดับเรขาคณิต คือลำดับของจำนวนที่มีอัตราส่วนซึ่งได้จากการนำพจน์ที่ \(n+1\) หารด้วยพจน์ที่ \(n\) มีค่าคงตัวเสมอ ค่าคงตัวนี้เรียกว่า อัตราส่วนร่วม (Common Ratio) แทนด้วยสัญลักษณ์ \(r\)
A Geometric Sequence is a sequence of numbers where each term after the first is found by multiplying the previous term by a fixed, non-zero number called the Common Ratio, denoted by \(r\).
1
📐 พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต / General Term Formula
พจน์ที่ \(n\) ของลำดับเรขาคณิต คือ / The \(n\)-th term is:
\[ a_n = a_1 r^{n-1} \]
\(a_n\) : พจน์ที่ \(n\) / \(n\)-th term
\(a_1\) : พจน์แรก / First term
\(r\) : อัตราส่วนร่วม / Common Ratio
\(n-1\) : เลขยกกำลัง / Exponent
อัตราส่วนร่วม (\(r\)) หาได้จาก: \[ r = \frac{a_{n+1}}{a_n} \]
The common ratio (\(r\)) can be found by: \[ r = \frac{a_{n+1}}{a_n} \]
2
🧭 วิธีการแก้โจทย์ลำดับเรขาคณิต / Problem-Solving Strategy
กระบวนการแก้ปัญหาทีละขั้นตอน
📌 ขั้นตอนการแก้โจทย์ลำดับเรขาคณิต
ขั้นที่ 1 — อ่านและระบุข้อมูล
ระบุ \(a_1\) (พจน์แรก), \(r\) (อัตราส่วนร่วม), \(n\) (ตำแหน่ง) และ \(a_n\) (พจน์เป้าหมาย) ที่โจทย์กำหนดให้
ระบุ \(a_1\) (พจน์แรก), \(r\) (อัตราส่วนร่วม), \(n\) (ตำแหน่ง) และ \(a_n\) (พจน์เป้าหมาย) ที่โจทย์กำหนดให้
ขั้นที่ 2 — หา r ถ้ายังไม่ทราบ
หาอัตราส่วนร่วมจาก \(r = \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\) หรือถ้ารู้ 2 พจน์ที่ไม่ติดกัน ให้ใช้ \(\dfrac{a_m}{a_k} = r^{m-k}\) แล้วถอดรากหา \(r\)
หาอัตราส่วนร่วมจาก \(r = \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\) หรือถ้ารู้ 2 พจน์ที่ไม่ติดกัน ให้ใช้ \(\dfrac{a_m}{a_k} = r^{m-k}\) แล้วถอดรากหา \(r\)
ขั้นที่ 3 — เลือกและแทนค่าสูตร
ใช้สูตร \(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\) แทนค่าที่รู้ทั้งหมดลงในสูตร
ใช้สูตร \(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\) แทนค่าที่รู้ทั้งหมดลงในสูตร
ขั้นที่ 4 — แก้สมการและตรวจสอบ
แก้สมการ ตรวจว่า \(r \neq 0\) และ \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวก ระวังกรณี \(r\) ติดลบที่เครื่องหมายพจน์จะสลับกัน
แก้สมการ ตรวจว่า \(r \neq 0\) และ \(n\) เป็นจำนวนเต็มบวก ระวังกรณี \(r\) ติดลบที่เครื่องหมายพจน์จะสลับกัน
📌 Steps for Solving Geometric Sequence Problems
Step 1 — Read & Identify
Identify \(a_1\) (first term), \(r\) (common ratio), \(n\) (position), and \(a_n\) (target term) from the problem.
Identify \(a_1\) (first term), \(r\) (common ratio), \(n\) (position), and \(a_n\) (target term) from the problem.
Step 2 — Find r if unknown
Use \(r = \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\). If two non-adjacent terms are given, use \(\dfrac{a_m}{a_k} = r^{m-k}\) and extract the root.
Use \(r = \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\). If two non-adjacent terms are given, use \(\dfrac{a_m}{a_k} = r^{m-k}\) and extract the root.
Step 3 — Choose & Substitute
Apply \(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\) and substitute all known values.
Apply \(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\) and substitute all known values.
Step 4 — Solve & Verify
Solve the equation. Ensure \(r \neq 0\) and \(n\) is a positive integer. Beware of sign changes when \(r\) is negative.
Solve the equation. Ensure \(r \neq 0\) and \(n\) is a positive integer. Beware of sign changes when \(r\) is negative.
3
📝 ตัวอย่างการคำนวณ / Solved Examples
โจทย์หลากหลายรูปแบบ พร้อมวิธีทำอย่างละเอียด
1
หาอัตราส่วนร่วม / Finding \(r\)
จงหาอัตราส่วนร่วมของลำดับ 2, 6, 18, 54, ...
Find the common ratio of the sequence 2, 6, 18, 54, ...
ใช้พจน์ติดกันหารกัน: \(r = \frac{6}{2} = 3\) หรือ \(r = \frac{18}{6} = 3\)
ตอบ: 3
ตอบ: 3
Divide consecutive terms: \(r = \frac{6}{2} = 3\) or \(r = \frac{18}{6} = 3\)
Answer: 3
Answer: 3
2
หาพจน์ที่กำหนด / Finding a Specific Term
จงหาพจน์ที่ 6 ของลำดับ 1, 2, 4, 8, ...
Find the 6th term of the sequence 1, 2, 4, 8, ...
จากโจทย์: \(a_1 = 1, r = 2, n = 6\)
ใช้สูตร: \(a_6 = 1 \cdot (2)^{6-1} = 1 \cdot 2^5 = 32\)
ตอบ: 32
ใช้สูตร: \(a_6 = 1 \cdot (2)^{6-1} = 1 \cdot 2^5 = 32\)
ตอบ: 32
Given: \(a_1 = 1, r = 2, n = 6\)
Formula: \(a_6 = 1 \cdot (2)^{6-1} = 1 \cdot 2^5 = 32\)
Answer: 32
Formula: \(a_6 = 1 \cdot (2)^{6-1} = 1 \cdot 2^5 = 32\)
Answer: 32
3
อัตราส่วนร่วมติดลบ / Negative Common Ratio
จงหาพจน์ที่ 7 ของลำดับ 3, -6, 12, -24, ...
Find the 7th term of the sequence 3, -6, 12, -24, ...
จากโจทย์: \(a_1 = 3, r = -6/3 = -2, n = 7\)
ใช้สูตร: \(a_7 = 3 \cdot (-2)^{7-1} = 3 \cdot (-2)^6 = 3 \cdot 64 = 192\)
ตอบ: 192
ใช้สูตร: \(a_7 = 3 \cdot (-2)^{7-1} = 3 \cdot (-2)^6 = 3 \cdot 64 = 192\)
ตอบ: 192
Given: \(a_1 = 3, r = -6/3 = -2, n = 7\)
Formula: \(a_7 = 3 \cdot (-2)^6 = 3 \cdot 64 = 192\)
Answer: 192
Formula: \(a_7 = 3 \cdot (-2)^6 = 3 \cdot 64 = 192\)
Answer: 192
4
พจน์ที่มีค่าลดลง / Fractional Ratio
จงหาพจน์ที่ 8 ของลำดับ 128, 64, 32, ...
Find the 8th term of the sequence 128, 64, 32, ...
จากโจทย์: \(a_1 = 128, r = \frac{1}{2}, n = 8\)
ใช้สูตร: \(a_8 = 128 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 = 128 \cdot \frac{1}{128} = 1\)
ตอบ: 1
ใช้สูตร: \(a_8 = 128 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 = 128 \cdot \frac{1}{128} = 1\)
ตอบ: 1
Given: \(a_1 = 128, r = \frac{1}{2}, n = 8\)
Formula: \(a_8 = 128 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 = 128 \cdot \frac{1}{128} = 1\)
Answer: 1
Formula: \(a_8 = 128 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 = 128 \cdot \frac{1}{128} = 1\)
Answer: 1
5
หาพจน์แรก / Finding \(a_1\)
กำหนดให้ลำดับเรขาคณิตมี \(a_4 = 24\) และ \(r = 2\) จงหา \(a_1\)
In a geometric sequence, \(a_4 = 24\) and \(r = 2\). Find \(a_1\).
จาก \(a_4 = a_1 r^3\)
\(24 = a_1 (2^3) \Rightarrow 24 = a_1 (8)\)
\(a_1 = 3\)
ตอบ: 3
\(24 = a_1 (2^3) \Rightarrow 24 = a_1 (8)\)
\(a_1 = 3\)
ตอบ: 3
Using \(a_4 = a_1 r^3\):
\(24 = a_1 (2^3) \Rightarrow 24 = a_1 \cdot 8\)
\(a_1 = 3\)
Answer: 3
\(24 = a_1 (2^3) \Rightarrow 24 = a_1 \cdot 8\)
\(a_1 = 3\)
Answer: 3
6
หาอัตราส่วนร่วม / Finding \(r\)
ถ้า \(a_1 = 3\) และ \(a_5 = 48\) จงหา \(r\) (เมื่อ \(r > 0\))
If \(a_1 = 3\) and \(a_5 = 48\), find \(r\) given \(r > 0\).
จาก \(a_5 = a_1 r^4\)
\(48 = 3 \cdot r^4 \Rightarrow r^4 = 16\)
\(r = \sqrt[4]{16} = 2\)
ตอบ: 2
\(48 = 3 \cdot r^4 \Rightarrow r^4 = 16\)
\(r = \sqrt[4]{16} = 2\)
ตอบ: 2
Using \(a_5 = a_1 r^4\):
\(48 = 3 \cdot r^4 \Rightarrow r^4 = 16\)
\(r = 2\)
Answer: 2
\(48 = 3 \cdot r^4 \Rightarrow r^4 = 16\)
\(r = 2\)
Answer: 2
7
หาจำนวนพจน์ / Finding \(n\)
ลำดับเรขาคณิต 5, 10, 20, ..., 640 มีทั้งหมดกี่พจน์?
How many terms are in the sequence 5, 10, 20, ..., 640?
\(a_1 = 5, r = 2, a_n = 640\)
\(640 = 5 \cdot (2^{n-1}) \Rightarrow 128 = 2^{n-1}\)
\(2^7 = 2^{n-1} \Rightarrow n-1 = 7 \Rightarrow n = 8\)
ตอบ: 8 พจน์
\(640 = 5 \cdot (2^{n-1}) \Rightarrow 128 = 2^{n-1}\)
\(2^7 = 2^{n-1} \Rightarrow n-1 = 7 \Rightarrow n = 8\)
ตอบ: 8 พจน์
\(640 = 5 \cdot 2^{n-1} \Rightarrow 128 = 2^{n-1}\)
Since \(2^7 = 128\), then \(n-1 = 7\).
\(n = 8\)
Answer: 8 terms
Since \(2^7 = 128\), then \(n-1 = 7\).
\(n = 8\)
Answer: 8 terms
8
ลำดับตัวแปร / Variable Sequence
จงหาพจน์ที่ 5 ของลำดับ \(x, x^2, x^3, \dots\)
Find the 5th term of the sequence \(x, x^2, x^3, \dots\)
\(a_1 = x, r = x^2/x = x\)
\(a_5 = x \cdot (x)^{4} = x^5\)
ตอบ: \(x^5\)
\(a_5 = x \cdot (x)^{4} = x^5\)
ตอบ: \(x^5\)
\(a_1 = x, r = x\)
\(a_5 = x \cdot x^4 = x^5\)
Answer: \(x^5\)
\(a_5 = x \cdot x^4 = x^5\)
Answer: \(x^5\)
9
การประยุกต์ / Application
แบคทีเรียชนิดหนึ่งแบ่งตัวจาก 1 เป็น 2 ทุกๆ ชั่วโมง ถ้าเริ่มต้นมี 100 ตัว
เมื่อผ่านไป 5 ชั่วโมงจะมีกี่ตัว?
Bacteria double every hour. If starting with 100, how many after 5 hours?
\(a_1 = 100\), ชั่วโมงที่ 1 (\(a_2\)), ... ชั่วโมงที่ 5 คือพจน์ที่ 6 (\(n=6\))
\(a_6 = 100 \cdot (2^{5}) = 100 \cdot 32 = 3,200\)
ตอบ: 3,200 ตัว
\(a_6 = 100 \cdot (2^{5}) = 100 \cdot 32 = 3,200\)
ตอบ: 3,200 ตัว
\(a_1 = 100, r = 2\). End of hour 5 is the 6th term (\(n=6\)).
\(a_6 = 100 \cdot 2^5 = 100 \cdot 32 = 3,200\)
Answer: 3,200
\(a_6 = 100 \cdot 2^5 = 100 \cdot 32 = 3,200\)
Answer: 3,200
10
พจน์ที่ 4 ของลำดับเศษส่วน / 4th term of Fraction Sequence
จงหาพจน์ที่ 4 ของลำดับ \( \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \dots \)
Find the 4th term of the sequence \( \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27},
\dots \)
จากโจทย์: \(a_1 = \frac{1}{3}, r = \frac{1}{3}\)
\(a_4 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{27} = \frac{1}{81}\)
ตอบ: \(\frac{1}{81}\)
\(a_4 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{27} = \frac{1}{81}\)
ตอบ: \(\frac{1}{81}\)
Given: \(a_1 = \frac{1}{3}, r = \frac{1}{3}\)
\(a_4 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{27} = \frac{1}{81}\)
Answer: \(\frac{1}{81}\)
\(a_4 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{27} = \frac{1}{81}\)
Answer: \(\frac{1}{81}\)
11
เศษส่วนซ้อน / Complex Fractions
จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับ \( \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \dots \)
Find the general term of the sequence \( \frac{2}{3}, \frac{4}{9},
\frac{8}{27}, \dots \)
พจน์แรก \(a_1 = \frac{2}{3}\)
อัตราส่วนร่วม \(r = \frac{4/9}{2/3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2}{3}\)
พจน์ทั่วไป \(a_n = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^n\)
ตอบ: \(a_n = \left(\frac{2}{3}\right)^n\)
อัตราส่วนร่วม \(r = \frac{4/9}{2/3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2}{3}\)
พจน์ทั่วไป \(a_n = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^n\)
ตอบ: \(a_n = \left(\frac{2}{3}\right)^n\)
First term \(a_1 = \frac{2}{3}\)
Common Ratio \(r = \frac{4/9}{2/3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2}{3}\)
Formula \(a_n = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^n\)
Answer: \(a_n = \left(\frac{2}{3}\right)^n\)
Common Ratio \(r = \frac{4/9}{2/3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2}{3}\)
Formula \(a_n = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^n\)
Answer: \(a_n = \left(\frac{2}{3}\right)^n\)
4
✏️ โจทย์ฝึกทำ / Practice Problems
ฝึกแก้โจทย์ด้วยตัวเองก่อนดูเฉลย · Try solving before checking the answer
P1
หาพจน์ที่ 7
จงหาพจน์ที่ 7 ของลำดับเรขาคณิต 5, 10, 20, ...
Find the 7th term of the geometric sequence 5, 10, 20, ...
ข้อมูล: \(a_1 = 5,\ r = 2,\ n = 7\)
แทนสูตร: \(a_7 = 5 \cdot 2^{6} = 5 \cdot 64 = 320\)
ตอบ: 320
แทนสูตร: \(a_7 = 5 \cdot 2^{6} = 5 \cdot 64 = 320\)
ตอบ: 320
Given: \(a_1 = 5,\ r = 2,\ n = 7\)
\(a_7 = 5 \cdot 2^6 = 5 \cdot 64 = 320\)
Answer: 320
\(a_7 = 5 \cdot 2^6 = 5 \cdot 64 = 320\)
Answer: 320
P2
หาอัตราส่วนร่วม
ถ้า \(a_2 = 6\) และ \(a_5 = 162\) จงหาอัตราส่วนร่วม \(r\) (กรณี \(r > 0\))
If \(a_2 = 6\) and \(a_5 = 162\), find \(r\) (given \(r > 0\)).
\(\dfrac{a_5}{a_2} = r^{5-2} = r^3\)
\(\dfrac{162}{6} = r^3 \Rightarrow 27 = r^3 \Rightarrow r = 3\)
ตอบ: \(r = 3\)
\(\dfrac{162}{6} = r^3 \Rightarrow 27 = r^3 \Rightarrow r = 3\)
ตอบ: \(r = 3\)
\(\dfrac{a_5}{a_2} = r^3 \Rightarrow \dfrac{162}{6} = r^3 \Rightarrow r^3 = 27 \Rightarrow r =
3\)
Answer: \(r = 3\)
Answer: \(r = 3\)
P3
หาพจน์แรก
ถ้า \(a_3 = 20\) และ \(r = \dfrac{1}{2}\) จงหา \(a_1\)
If \(a_3 = 20\) and \(r = \dfrac{1}{2}\), find \(a_1\).
จาก \(a_3 = a_1 r^2\)
\(20 = a_1 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = a_1 \cdot \dfrac{1}{4}\)
\(a_1 = 80\)
ตอบ: 80
\(20 = a_1 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = a_1 \cdot \dfrac{1}{4}\)
\(a_1 = 80\)
ตอบ: 80
\(20 = a_1 \cdot (1/2)^2 = a_1/4 \Rightarrow a_1 = 80\)
Answer: 80
Answer: 80
P4
หาจำนวนพจน์
ลำดับ 2, 6, 18, ..., 1458 มีทั้งหมดกี่พจน์?
How many terms are in the sequence 2, 6, 18, ..., 1458?
\(a_1 = 2,\ r = 3,\ a_n = 1458\)
\(1458 = 2 \cdot 3^{n-1} \Rightarrow 729 = 3^{n-1}\)
\(3^6 = 729 \Rightarrow n-1 = 6 \Rightarrow n = 7\)
ตอบ: 7 พจน์
\(1458 = 2 \cdot 3^{n-1} \Rightarrow 729 = 3^{n-1}\)
\(3^6 = 729 \Rightarrow n-1 = 6 \Rightarrow n = 7\)
ตอบ: 7 พจน์
\(1458 = 2 \cdot 3^{n-1} \Rightarrow 3^{n-1} = 729 = 3^6\)
\(n - 1 = 6 \Rightarrow n = 7\)
Answer: 7 terms
\(n - 1 = 6 \Rightarrow n = 7\)
Answer: 7 terms
P5
โจทย์ประยุกต์ — ประชากร
หมู่บ้านแห่งหนึ่งมีประชากร 1,000 คน และเพิ่มขึ้น 10% ต่อปี
จะมีประชากรกี่คนในปีที่ 5?
A village has 1,000 people and grows by 10% per year. What is the population
in year 5?
\(a_1 = 1000,\ r = 1.1,\ n = 5\)
\(a_5 = 1000 \cdot (1.1)^4 = 1000 \cdot 1.4641 = 1,464.1\)
ตอบ: ประมาณ 1,464 คน
\(a_5 = 1000 \cdot (1.1)^4 = 1000 \cdot 1.4641 = 1,464.1\)
ตอบ: ประมาณ 1,464 คน
\(a_1 = 1000,\ r = 1.1,\ n = 5\)
\(a_5 = 1000 \cdot (1.1)^4 = 1000 \cdot 1.4641 \approx 1,464\)
Answer: approximately 1,464 people
\(a_5 = 1000 \cdot (1.1)^4 = 1000 \cdot 1.4641 \approx 1,464\)
Answer: approximately 1,464 people
🧮 เครื่องคำนวณลำดับเรขาคณิต / Geometric Calc
ระบุพจน์แรก (\(a_1\)), อัตราส่วนร่วม (\(r\)) และ ลำดับที่ (\(n\)) เพื่อหาค่า \(a_n\)
คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary
คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์
| คำศัพท์ | รากศัพท์ / Root | ความหมาย / Meaning |
|---|---|---|
| Geometric | ge (earth) + metron (measure) | เรขาคณิต · เกี่ยวกับสัดส่วนและรูปร่าง |
| Common Ratio | ratio (reckoning/proportion) | อัตราส่วนร่วม · ค่าคงตัวที่เกิดจากพจน์หารกัน |
| Exponent | ex (out) + ponere (to place) | เลขยกกำลัง · นิพจน์ที่บอกจำนวนครั้งของการคูณ |
| Multiplication | multus (many) + plicare (to fold) | การคูณ · การเพิ่มทวีคูณ |