ลิมิตของลำดับอนันต์ คือค่าที่พจน์ของลำดับมีแนวโน้มเข้าใกล้ เมื่อ \(n\) มีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด (\(n \to \infty\)) โดยแบ่งลำดับออกเป็น 2 ประเภทหลัก ได้แก่:
- ลำดับลู่เข้า (Convergent Sequence): ลำดับที่มีลิมิตเป็นจำนวนจริงค่าใดค่าหนึ่ง
- ลำดับลู่ออก (Divergent Sequence): ลำดับที่ไม่มีลิมิต หรือหาค่าไม่ได้ (เช่น ค่าแกว่งไปมา หรือมีค่าเพิ่มขึ้น/ลดลงอย่างไร้ขีดจำกัด)
The Limit of an Infinite Sequence is the value that the terms of a sequence tend to approach as \(n\) becomes infinitely large (\(n \to \infty\)). Sequences are classified into two main types:
- Convergent Sequence: A sequence that has a real number as its limit.
- Divergent Sequence: A sequence that does not have a limit (e.g., oscillating values, or growing/decreasing without bound).
1
📏 ทฤษฎีบทของลิมิตที่สำคัญ / Important Limit Theorems
ให้ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = A\) และ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = B\) และ \(c\) เป็นค่าคงตัว / Let the limits be \(A\) and \(B\), and \(c\) be a constant:
ค่าคงตัว / Constant: \[ \lim_{n \to \infty} c = c \]
ดึงตัวร่วม / Scalar Multiple: \[ \lim_{n \to \infty} c
\cdot a_n = c \cdot A \]
บวก/ลบ / Sum/Difference: \[ \lim_{n \to \infty} (a_n \pm
b_n) = A \pm B \]
คูณ / Product: \[ \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = A
\cdot B \]
หาร / Quotient: \[ \lim_{n \to \infty}
\left(\frac{a_n}{b_n}\right) = \frac{A}{B} \]
(เมื่อ \(B \neq 0\))
ยกกำลัง / Power: \[ \lim_{n \to \infty} (a_n)^k = A^k \]
กฎสำคัญสำหรับฟังก์ชันตรรกยะ (พหุนามหารกัน): เมื่อหาลิมิตของ \(\displaystyle \frac{P(n)}{Q(n)} \) ให้พิจารณากำลังที่มีค่ามากที่สุดของ \(n\):
- กำลังสูงสุดของเศษ << /strong> กำลังสูงสุดของส่วน : ลิมิตคือ 0
- กำลังสูงสุดของเศษ = กำลังสูงสุดของส่วน : ลิมิตคือ สัมประสิทธิ์ตัวหน้าหารกัน
- กำลังสูงสุดของเศษ > กำลังสูงสุดของส่วน : ลิมิตคือ หาค่าไม่ได้ (ลู่ออก)
Important Rule for Rational Functions: When finding the limit of \(\displaystyle \frac{P(n)}{Q(n)} \), consider the highest power of \(n\):
- Highest power of numerator << /strong> denominator: Limit is 0
- Highest power of numerator = denominator: Limit is the ratio of leading coefficients
- Highest power of numerator > denominator: Limit does not exist (divergent)
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p} = 0
\quad (เมื่อ\ p > 0) \]
2
📝 ตัวอย่างการคำนวณ / Solved Examples
โจทย์หลากหลายรูปแบบ พร้อมวิธีทำอย่างละเอียด
1
พจน์ส่วนที่มีกำลังมากกว่า / Denominator with Higher Power
จงหาค่าของ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2}\)
เป็นลำดับลู่เข้าหรือลู่ออก?
Find the value of \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2}\). Is it
convergent or divergent?
จากทฤษฎีบท: \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p} = 0\)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 5 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 5 \cdot 0 = 0\)
ตอบ: 0 (ลำดับลู่เข้า)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 5 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 5 \cdot 0 = 0\)
ตอบ: 0 (ลำดับลู่เข้า)
From the theorem: \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p} = 0\)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 5 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 5 \cdot 0 = 0\)
Answer: 0 (Convergent Sequence)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 5 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 5 \cdot 0 = 0\)
Answer: 0 (Convergent Sequence)
2
กำลังสูงสุดเท่ากัน / Equal Highest Powers
จงหาลิมิตของลำดับ \(\displaystyle a_n = \frac{3n^2 - 4n + 1}{5n^2 + 7}\)
Find the limit of the sequence \(\displaystyle a_n = \frac{3n^2 - 4n +
1}{5n^2 + 7}\)
กำลังสูงสุดของ \(n\) ทั้งเศษและส่วนคือ \(n^2\) เท่ากัน
นำสัมประสิทธิ์ของ \(n^2\) มาตอบได้เลย นั่นคือ \(\displaystyle \frac{3}{5}\)
ตอบ: \(\displaystyle \frac{3}{5}\) (ลำดับลู่เข้า)
นำสัมประสิทธิ์ของ \(n^2\) มาตอบได้เลย นั่นคือ \(\displaystyle \frac{3}{5}\)
ตอบ: \(\displaystyle \frac{3}{5}\) (ลำดับลู่เข้า)
The highest power of \(n\) in both numerator and denominator is \(n^2\) (equal).
The limit is the ratio of their leading coefficients: \(\displaystyle \frac{3}{5}\).
Answer: \(\displaystyle \frac{3}{5}\) (Convergent Sequence)
The limit is the ratio of their leading coefficients: \(\displaystyle \frac{3}{5}\).
Answer: \(\displaystyle \frac{3}{5}\) (Convergent Sequence)
3
กำลังสูงสุดของเศษมากกว่า / Numerator with Higher Power
จงพิจารณาลิมิต \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n^3 - 1}{n^2 +
5n}\)
Evaluate the limit \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n^3 - 1}{n^2 +
5n}\)
กำลังของเศษ (\(n^3\)) มากกว่ากำลังของส่วน (\(n^2\))
ค่าของลำดับจะเพิ่มขึ้นอย่างไร้ขีดจำกัด จึงหาลิมิตไม่ได้
ตอบ: ลำดับลู่ออก (Divergent) หาค่าไม่ได้
ค่าของลำดับจะเพิ่มขึ้นอย่างไร้ขีดจำกัด จึงหาลิมิตไม่ได้
ตอบ: ลำดับลู่ออก (Divergent) หาค่าไม่ได้
The power of the numerator (\(n^3\)) is greater than the denominator (\(n^2\)).
The sequence grows without bound, so the limit does not exist.
Answer: Divergent Sequence (Does not exist)
The sequence grows without bound, so the limit does not exist.
Answer: Divergent Sequence (Does not exist)
4
ลำดับเรขาคณิต (Exponential) / Geometric Sequence terms
จงหาค่าของ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1} + 2^n}{3^n -
5}\)
Find the value of \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1} +
2^n}{3^n - 5}\)
จัดรูป \(3^{n+1} = 3 \cdot 3^n\)
ฐานที่มากที่สุดคือ \(3\) นำ \(3^n\) หารทั้งเศษและส่วน:
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3 + (2/3)^n}{1 - 5/(3^n)}\)
เนื่องจาก \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (2/3)^n = 0\) และ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} 1/3^n = 0\)
จะได้ \(\displaystyle \frac{3 + 0}{1 - 0} = 3\)
ตอบ: 3 (ลำดับลู่เข้า)
ฐานที่มากที่สุดคือ \(3\) นำ \(3^n\) หารทั้งเศษและส่วน:
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3 + (2/3)^n}{1 - 5/(3^n)}\)
เนื่องจาก \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (2/3)^n = 0\) และ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} 1/3^n = 0\)
จะได้ \(\displaystyle \frac{3 + 0}{1 - 0} = 3\)
ตอบ: 3 (ลำดับลู่เข้า)
Rewrite \(3^{n+1} = 3 \cdot 3^n\). The dominant base is 3.
Divide numerator and denominator by \(3^n\):
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3 + (2/3)^n}{1 - 5/(3^n)}\)
Since terms like \((2/3)^n\) and \(1/3^n\) approach 0 as \(n \to \infty\):
The limit evaluates to \(\displaystyle \frac{3 + 0}{1 - 0} = 3\)
Answer: 3 (Convergent Sequence)
Divide numerator and denominator by \(3^n\):
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3 + (2/3)^n}{1 - 5/(3^n)}\)
Since terms like \((2/3)^n\) and \(1/3^n\) approach 0 as \(n \to \infty\):
The limit evaluates to \(\displaystyle \frac{3 + 0}{1 - 0} = 3\)
Answer: 3 (Convergent Sequence)
5
สัมประสิทธิ์ลบ (Negative Coefficients)
จงหาลิมิตของลำดับ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{-4n^2 + 5n}{2n^2 -
1}\)
Find the limit of \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{-4n^2 + 5n}{2n^2 -
1}\)
กำลังสูงสุดคือ \(n^2\) ทั้งเศษและส่วน
สัมประสิทธิ์ตัวหน้าคือ \(-4\) และ \(2\)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{-4n^2 + \dots}{2n^2 + \dots} = \frac{-4}{2} = -2\)
ตอบ: -2 (ลำดับลู่เข้า)
สัมประสิทธิ์ตัวหน้าคือ \(-4\) และ \(2\)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{-4n^2 + \dots}{2n^2 + \dots} = \frac{-4}{2} = -2\)
ตอบ: -2 (ลำดับลู่เข้า)
Highest power is \(n^2\) for both. Leading coefficients are \(-4\) and \(2\).
\(\displaystyle \lim = \frac{-4}{2} = -2\)
Answer: -2 (Convergent Sequence)
\(\displaystyle \lim = \frac{-4}{2} = -2\)
Answer: -2 (Convergent Sequence)
6
พหุนามที่ต้องคูณกระจาย (Expanding Polynomials)
จงหาลิมิตของลำดับ \(\displaystyle a_n = \frac{(2n-1)(n+3)}{n^2+n}\)
Find the limit of \(\displaystyle a_n = \frac{(2n-1)(n+3)}{n^2+n}\)
คูณกระจายเศษ: \((2n-1)(n+3) = 2n^2 + 6n - n - 3 = 2n^2 + 5n - 3\)
พิจารณา \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 5n - 3}{n^2 + n}\)
กำลังสูงสุดคือ \(n^2\), ลิมิตคือ \(\displaystyle \frac{2}{1} = 2\)
ตอบ: 2
พิจารณา \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 5n - 3}{n^2 + n}\)
กำลังสูงสุดคือ \(n^2\), ลิมิตคือ \(\displaystyle \frac{2}{1} = 2\)
ตอบ: 2
Expand numerator: \((2n-1)(n+3) = 2n^2 + 5n - 3\)
Consider \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 5n - 3}{n^2 + n}\).
Limit is the ratio of \(n^2\) coefficients: \(\displaystyle \frac{2}{1} = 2\).
Answer: 2
Consider \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 5n - 3}{n^2 + n}\).
Limit is the ratio of \(n^2\) coefficients: \(\displaystyle \frac{2}{1} = 2\).
Answer: 2
7
ลำดับสลับเครื่องหมายลู่เข้าศูนย์ (Alternating & Converging)
จงหาค่าของ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n}\)
Find the value of \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n}\)
เนื่องจาก \(-1 \le (-1)^n \le 1\) นำ \(n\) ไปหารตลอด จะได้ \(\displaystyle -\frac{1}{n} \le
\frac{(-1)^n}{n} \le \frac{1}{n}\)
จากทฤษฎีบทการประกบ (Squeeze Theorem) ลิมิตของขอบเขตทั้งสองคือ 0
ตอบ: 0 (ลำดับลู่เข้า)
จากทฤษฎีบทการประกบ (Squeeze Theorem) ลิมิตของขอบเขตทั้งสองคือ 0
ตอบ: 0 (ลำดับลู่เข้า)
Since \(-1 \le (-1)^n \le 1\), dividing by \(n\) gives \(\displaystyle -\frac{1}{n} \le
\frac{(-1)^n}{n} \le \frac{1}{n}\).
By the Squeeze Theorem, both boundaries approach 0.
Answer: 0 (Convergent)
By the Squeeze Theorem, both boundaries approach 0.
Answer: 0 (Convergent)
8
ลำดับแกว่งกวัด (Oscillating Sequence)
จงหาค่าของ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n n^2}{n+1}\)
Find the value of \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n n^2}{n+1}\)
พิจารณาเฉพาะขนาดของมัน \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n+1} = \infty\)
(กำลังเศษมากกว่าส่วน)
และ \((-1)^n\) ทำให้ค่าสลับไปมาระหว่างบวกและลบอย่างไร้ขอบเขต
ตอบ: ลำดับลู่ออก (Divergent) หาค่าไม่ได้
และ \((-1)^n\) ทำให้ค่าสลับไปมาระหว่างบวกและลบอย่างไร้ขอบเขต
ตอบ: ลำดับลู่ออก (Divergent) หาค่าไม่ได้
The magnitude \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n+1} = \infty\).
With \((-1)^n\), the terms oscillate between large positive and negative values.
Answer: Divergent (Oscillates infinitely)
With \((-1)^n\), the terms oscillate between large positive and negative values.
Answer: Divergent (Oscillates infinitely)
9
รากที่สองในตัวส่วน (Radical in Denominator)
จงหาค่าของ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{n^2 + 1}}\)
Find the value of \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{n^2 + 1}}\)
กำลังสูงสุดของส่วนคือ \(\sqrt{n^2}\) ซึ่งเทียบเท่ากับ \(n^1\) (กำลังเดียวกับเศษ)
ดึง \(n^2\) ออกจากกรณฑ์: \(\displaystyle \sqrt{n^2(1 + \frac{1}{n^2})} = n\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}\)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{n\sqrt{1 + 0}} = \frac{2}{1} = 2\)
ตอบ: 2
ดึง \(n^2\) ออกจากกรณฑ์: \(\displaystyle \sqrt{n^2(1 + \frac{1}{n^2})} = n\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}\)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{n\sqrt{1 + 0}} = \frac{2}{1} = 2\)
ตอบ: 2
The dominant term in the denominator is \(\sqrt{n^2}\), which behaves like \(n\).
Factor out \(n\): \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{n\sqrt{1 + 1/n^2}} = \frac{2}{1} = 2\).
Answer: 2
Factor out \(n\): \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{n\sqrt{1 + 1/n^2}} = \frac{2}{1} = 2\).
Answer: 2
10
รากที่สองบนเศษและส่วน (Radicals in Both)
จงจำแนกและหาค่าของ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{9n^4 +
3n}}{5n^2 - 2}\)
Evaluate \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{9n^4 + 3n}}{5n^2 - 2}\)
ดูเฉพาะกำลังสูงสุด: เศษคือ \(\sqrt{n^4} = n^2\), ส่วนคือ \(n^2\)
สัมประสิทธิ์ตัวหน้าของเศษคือ \(\sqrt{9} = 3\), ของส่วนคือ \(5\)
ดังนั้นลิมิตคือ \(\displaystyle \frac{3}{5}\)
ตอบ: \(\displaystyle \frac{3}{5}\)
สัมประสิทธิ์ตัวหน้าของเศษคือ \(\sqrt{9} = 3\), ของส่วนคือ \(5\)
ดังนั้นลิมิตคือ \(\displaystyle \frac{3}{5}\)
ตอบ: \(\displaystyle \frac{3}{5}\)
Highest powers: Numerator behaves like \(\sqrt{n^4} = n^2\), Denominator is \(n^2\).
Leading coefficients: Numerator \(\sqrt{9} = 3\), Denominator \(5\).
Answer: \(\displaystyle \frac{3}{5}\)
Leading coefficients: Numerator \(\sqrt{9} = 3\), Denominator \(5\).
Answer: \(\displaystyle \frac{3}{5}\)
11
ผลต่างของรากที่สอง (Difference of Radicals)
จงหาลิมิตของลำดับ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+5} - \sqrt{n})\)
Find the limit of \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+5} - \sqrt{n})\)
คูณด้วยสังยุค (Conjugate): \(\displaystyle \frac{\sqrt{n+5} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+5} + \sqrt{n}}\)
จะได้ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(n+5) - n}{\sqrt{n+5} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{\sqrt{n+5} + \sqrt{n}}\)
เนื่องจากตัวส่วนมีกำลัง \(n\) มากกว่าตัวเศษ ลิมิตคือ 0
ตอบ: 0
จะได้ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(n+5) - n}{\sqrt{n+5} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{\sqrt{n+5} + \sqrt{n}}\)
เนื่องจากตัวส่วนมีกำลัง \(n\) มากกว่าตัวเศษ ลิมิตคือ 0
ตอบ: 0
Multiply by conjugate \(\displaystyle \frac{\sqrt{n+5} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+5} + \sqrt{n}}\).
Result is \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{5}{\sqrt{n+5} + \sqrt{n}}\). Limits to 0.
Answer: 0
Result is \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{5}{\sqrt{n+5} + \sqrt{n}}\). Limits to 0.
Answer: 0
12
การสังยุคแบบซับซ้อน (Complex Conjugation)
จงหาค่าของ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 3n} - n)\)
Find the value of \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 3n} - n)\)
คูณสังยุค \(\displaystyle \frac{\sqrt{n^2+3n} + n}{\sqrt{n^2+3n} + n}\)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2+3n) - n^2}{\sqrt{n^2+3n} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n}{\sqrt{n^2+3n} + n}\)
หารด้วย \(n\) ทั้งเศษและส่วน: \(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{1} + 1} = \frac{3}{2}\)
ตอบ: \(\displaystyle \frac{3}{2}\)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2+3n) - n^2}{\sqrt{n^2+3n} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n}{\sqrt{n^2+3n} + n}\)
หารด้วย \(n\) ทั้งเศษและส่วน: \(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{1} + 1} = \frac{3}{2}\)
ตอบ: \(\displaystyle \frac{3}{2}\)
Multiply by conjugate. Result: \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3n}{\sqrt{n^2+3n} +
n}\).
Divide by \(n\): \(\displaystyle \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2}\).
Answer: \(\displaystyle \frac{3}{2}\)
Divide by \(n\): \(\displaystyle \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2}\).
Answer: \(\displaystyle \frac{3}{2}\)
13
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Trigonometric Term)
จงประเมิน \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sin(n)}{n}\)
Evaluate \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sin(n)}{n}\)
เนื่องจากเรนจ์ของไซน์คือ \(-1 \le \sin(n) \le 1\)
ดังนั้น \(\displaystyle -\frac{1}{n} \le \frac{\sin(n)}{n} \le \frac{1}{n}\)
เมื่อ \(n \to \infty\) ขอบเขตทั้งสองเข้าใกล้ 0 ตามทฤษฎีบทการประกบ (Squeeze theorem) ลิมิตจะเป็น 0
ตอบ: 0
ดังนั้น \(\displaystyle -\frac{1}{n} \le \frac{\sin(n)}{n} \le \frac{1}{n}\)
เมื่อ \(n \to \infty\) ขอบเขตทั้งสองเข้าใกล้ 0 ตามทฤษฎีบทการประกบ (Squeeze theorem) ลิมิตจะเป็น 0
ตอบ: 0
Since \(-1 \le \sin(n) \le 1\), then \(\displaystyle -\frac{1}{n} \le \frac{\sin(n)}{n} \le
\frac{1}{n}\).
Both outer limits are 0 as \(n \to \infty\). By Squeeze Theorem, the limit is 0.
Answer: 0
Both outer limits are 0 as \(n \to \infty\). By Squeeze Theorem, the limit is 0.
Answer: 0
14
พจน์แฟกทอเรียล (Factorial Sequences)
จงหาค่าของ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)! - n!}{(n+1)! + n!}\)
Find the value of \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)! - n!}{(n+1)! +
n!}\)
ใช้สมบัติ \( (n+1)! = (n+1)n! \) แล้วดึง \(n!\) ออกมาตัดกัน
\(\displaystyle \frac{n!((n+1) - 1)}{n!((n+1) + 1)} = \frac{n}{n+2}\)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+2} = 1\)
ตอบ: 1
\(\displaystyle \frac{n!((n+1) - 1)}{n!((n+1) + 1)} = \frac{n}{n+2}\)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+2} = 1\)
ตอบ: 1
Expand \((n+1)! = (n+1)n!\) and cancel \(n!\).
\(\displaystyle \frac{(n+1)-1}{(n+1)+1} = \frac{n}{n+2}\).
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+2} = 1\).
Answer: 1
\(\displaystyle \frac{(n+1)-1}{(n+1)+1} = \frac{n}{n+2}\).
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+2} = 1\).
Answer: 1
🧮 เครื่องประเมินลิมิต / Limit Evaluator (Rational Function)
ประเมินลิมิตของลำดับฟังก์ชันตรรกยะในรูปแบบ \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{an^p + ...}{bn^q +
...}\)
ให้ระบุสัมประสิทธิ์นำ (\(a, b\)) และเลขชี้กำลังสูงสุด (\(p, q\)) ของทั้งเศษและส่วน
\[ a_n = \frac{a \cdot n^p +
\dots}{b \cdot n^q + \dots} \]
คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary
คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์
| คำศัพท์ | รากศัพท์ / Root | ความหมาย / Meaning |
|---|---|---|
| Limit | limes (boundary/frontier) | ลิมิต · ค่าขอบเขตที่ฟังก์ชันหรือลำดับเข้าใกล้ |
| Infinity | in (not) + finis (end/boundary) | อนันต์ · ไม่มีที่สิ้นสุด ไม่มีขอบเขต |
| Convergent | con (together) + vergere (to bend/turn) | ลู่เข้า · เคลื่อนที่เข้าหาจุดศูนย์กลางหรือค่าเดียว |
| Divergent | dis (apart) + vergere (to bend) | ลู่ออก · เคลื่อนที่แยกออกจากกัน ไม่จำกัดขอบเขต |