ลำดับ | Sequences

ลำดับ (Sequence) คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก หรือสับเซตของจำนวนเต็มบวกในรูป {1, 2, 3, ..., n} โดยเรามักจะเขียนเรียงค่าของฟังก์ชันเพื่อให้เห็นแบบแผนหรือทิศทางของการเปลี่ยนแปลง

A Sequence is a function whose domain is the set of positive integers or a subset of positive integers of the form {1, 2, 3, ..., n}. We usually list the values of the function in a specific order to observe a pattern.

📖 ความหมายของลำดับ / Meaning of Sequence

นิยามและส่วนประกอบสำคัญของลำดับ

ภาษาไทย

ในทางคณิตศาสตร์ ลำดับ หมายถึง ฟังก์ชัน f ซึ่งมีโดเมน (Domain) เป็นเซต {1, 2, 3, ..., n} หรือ {1, 2, 3, ...} และมีเรนจ์ (Range) เป็นเซตของจำนวนจริง

ส่วนประกอบของลำดับ:

พจน์ที่ \(n\) (\(n\)-th term): เราจะใช้ \(a_1, a_2, a_3, ..., a_n\) แทนพจน์ต่างๆ ของลำดับ
\(a_1\) คือ พจน์แรก (First term)
\(a_n\) คือ พจน์ทั่วไป (General term) ของลำดับ

English

In mathematics, a sequence is defined as a function \(f\) whose domain is \(\{1, 2, 3, ..., n\}\) or \(\{1, 2, 3, ...\}\) and whose range is a set of real numbers.

Components of a sequence:

\(n\)-th term: We use \(a_1, a_2, a_3, ..., a_n\) to represent the terms of the sequence.
\(a_1\) is the First term.
\(a_n\) is the General term of the sequence.

การเขียนแสดงลำดับ / Notations for Sequences

แบบแจกแจงพจน์
Listing Terms

\( 2, 4, 6, 8, 10, ... \)

เขียนเรียงพจน์แต่ละพจน์ของลำดับไปเรื่อยๆ คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคถ้าเป็นลำดับอนันต์ให้ใช้จุด 3 จุด (...) Write each term in order, separated by commas. Use an ellipsis (...) to indicate that the pattern continues indefinitely.

แบบพจน์ทั่วไป
General Term Form

\( a_n = 2n \)

เขียนสูตรความสัมพันธ์ของลำดับ ซึ่งสามารถนำไปแทนค่า n เพื่อหาพจน์ต่างๆ ได้ Give a formula for the general term \(a_n\) which can be used to generate any term in the sequence by substituting for n.

🔍 คำนวณพจน์ / Term Calculator

ลำดับ \(a_n = 2n + 1\) — ลองใส่ตัวเลข n เพื่อหาค่า \(a_n\) Sequence \(a_n = 2n + 1\) — Enter a value for n to find \(a_n\).

🗂️ ประเภทของลำดับ / Types of Sequences

ลำดับจำกัด และ ลำดับอนันต์

{n}

ลำดับจำกัด Finite Sequence

ภาษาไทย

ลำดับจำกัด คือ ลำดับที่มีจำนวนพจน์แน่นอน หรือก็คือ ลำดับซึ่งมีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n ตัวแรก {1, 2, 3, ..., n}

ตัวอย่าง:

2, 4, 6, 8, 10 (มี 5 พจน์)
1, 3, 5, ..., 99 (มีจุดสิ้นสุดที่พจน์ 99)
\(a_n = 5n\) เมื่อ \(n \in \{1, 2, 3, ..., 10\}\)

English

A finite sequence is a sequence with a specific, countable number of terms. Its domain is the set of the first n positive integers {1, 2, 3, ..., n}.

Examples:

2, 4, 6, 8, 10 (has 5 terms)
1, 3, 5, ..., 99 (ends at term 99)
\(a_n = 5n\) for \(n \in \{1, 2, 3, ..., 10\}\)

∞

ลำดับอนันต์ Infinite Sequence

ภาษาไทย

ลำดับอนันต์ คือ ลำดับที่มีจำนวนพจน์มากมายไม่สิ้นสุด หรือก็คือ ลำดับซึ่งมีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, ...}

ตัวอย่าง:

1, 2, 3, 4, ... (ต่อไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด)
1, 1/2, 1/4, 1/8, ...
\(a_n = n^2\)

English

An infinite sequence is a sequence that continues endlessly. Its domain is the set of all positive integers {1, 2, 3, ...}.

Examples:

1, 2, 3, 4, ... (continues forever)
1, 1/2, 1/4, 1/8, ...
\(a_n = n^2\)

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Sequence	sequi (to follow)	ลำดับ · A list of numbers in a specific order
Term	terminus (end/limit)	พจน์ · An individual member of a sequence
General Term	generalis (of a kind)	พจน์ทั่วไป · The formula representing the n-th term
Finite	finitus (limited)	จำกัด · Having a specific number of terms
Infinite	in- (not) + finitus	อนันต์ · Continuing without end
Domain	dominus (lord/master)	โดเมน · The set of input values (often {1, 2, 3, ...})