อนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Series) คือ ผลบวกของสมาชิกลำดับเลขคณิต (ลำดับที่มีผลต่างร่วมคงที่) ถ้าให้ \(a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\) เป็นลำดับเลขคณิต ผลบวกของ \(n\) พจน์แรก เรียกว่า \(S_n\)
An Arithmetic Series is the sum of the terms of an arithmetic sequence (a sequence with a constant difference). If \(a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\) forms an arithmetic sequence, the sum of its first \(n\) terms is denoted as \(S_n\).
1
📏 สูตรอนุกรมเลขคณิต / Summation Formulas
สูตรการหาผลบวก \(n\) พจน์แรก (\(S_n\)) / Formulas for sum of first \(n\) terms:
รู้พจน์สุดท้าย / Knowing Last Term:
เมื่อทราบพจน์แรก (\(a_1\)) และพจน์สุดท้าย (\(a_n\)) \[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]
เมื่อทราบพจน์แรก (\(a_1\)) และพจน์สุดท้าย (\(a_n\)) \[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]
รู้ผลต่างร่วม / Knowing Common Diff:
เมื่อทราบพจน์แรก (\(a_1\)) และผลต่างร่วม (\(d\)) \[ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] \]
เมื่อทราบพจน์แรก (\(a_1\)) และผลต่างร่วม (\(d\)) \[ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] \]
2
🧭 วิธีการแก้โจทย์ / Problem-Solving Strategy
กระบวนการแก้ปัญหาทีละขั้นตอน
📌 ขั้นตอนการแก้โจทย์อนุกรมเลขคณิต
ขั้นที่ 1 — ระบุสิ่งที่ทราบ: \(a_1\), \(d\), \(n\),
\(a_n\), \(S_n\)
ขั้นที่ 2 — เลือกสูตร: ถ้ารู้ \(a_n\) ใช้ \(S_n =
\frac{n}{2}(a_1+a_n)\); ถ้าไม่รู้ \(a_n\) ใช้ \(S_n = \frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]\)
ขั้นที่ 3 — หา \(n\) หรือ \(a_n\) ก่อนถ้ายังไม่ทราบ
โดยใช้ \(a_n = a_1 + (n-1)d\)
ขั้นที่ 4 — แทนค่าและคำนวณผลบวก ตรวจสอบหน่วยของคำตอบ
📌 Steps for Solving Arithmetic Series
Step 1 — Identify: \(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\),
\(S_n\)
Step 2 — Choose formula: if \(a_n\) is known use
\(S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\); otherwise use \(S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]\)
Step 3 — Find \(n\) or \(a_n\) first if needed using
\(a_n = a_1+(n-1)d\)
Step 4 — Substitute & compute. Check units and
sign of the answer.
3
📝 ตัวอย่างโจทย์ / Solved Examples
โจทย์หลากหลายรูปแบบ พร้อมวิธีทำอย่างละเอียด
1
หาผลบวกจากลำดับ (เมื่อทราบพจน์สุดท้าย)
จงหาผลบวกของอนุกรม: \(3 + 7 + 11 + \dots + 39\)
Find the sum of the series: \(3 + 7 + 11 + \dots + 39\).
จากอนุกรม \(a_1 = 3\), \(d = 4\), \(a_n = 39\)
ก่อนอื่นหาจำนวนพจน์ (\(n\)) จากสูตรลำดับเลขคณิต: \(a_n = a_1 + (n-1)d\)
\(39 = 3 + (n-1)4 \Rightarrow 36 = 4(n-1) \Rightarrow n-1 = 9 \Rightarrow n = 10\)
จากนั้นใช้สูตรผลบวก: \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)
\(S_{10} = \frac{10}{2}(3 + 39) = 5(42) = 210\)
ตอบ: 210
ก่อนอื่นหาจำนวนพจน์ (\(n\)) จากสูตรลำดับเลขคณิต: \(a_n = a_1 + (n-1)d\)
\(39 = 3 + (n-1)4 \Rightarrow 36 = 4(n-1) \Rightarrow n-1 = 9 \Rightarrow n = 10\)
จากนั้นใช้สูตรผลบวก: \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)
\(S_{10} = \frac{10}{2}(3 + 39) = 5(42) = 210\)
ตอบ: 210
Given \(a_1 = 3\), \(d = 4\), \(a_n = 39\)
First, find the number of terms (\(n\)) using: \(a_n = a_1 + (n-1)d\)
\(39 = 3 + (n-1)4 \Rightarrow n = 10\)
Then apply the sum formula: \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)
\(S_{10} = \frac{10}{2}(3 + 39) = 5(42) = 210\)
Answer: 210
First, find the number of terms (\(n\)) using: \(a_n = a_1 + (n-1)d\)
\(39 = 3 + (n-1)4 \Rightarrow n = 10\)
Then apply the sum formula: \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)
\(S_{10} = \frac{10}{2}(3 + 39) = 5(42) = 210\)
Answer: 210
2
หาผลรวมพจน์ที่ระบุจำนวณ (ใช้สูตรหาจาก d)
จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรมลดลง: \(50 + 45 + 40 + 35 + \dots\)
Find the sum of the first 20 terms of the decreasing series: \(50 + 45 + 40 +
35 + \dots\)
จากลำดับ มี \(a_1 = 50\), ค่าผลต่างร่วม \(d = -5\) และ \(n = 20\)
เนื่องจากไม่ทราบพจน์สุดท้าย จึงใช้สูตร \(S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]\)
\(S_{20} = \frac{20}{2}[2(50) + (20-1)(-5)]\)
\(S_{20} = 10[100 + 19(-5)]\)
\(S_{20} = 10[100 - 95] = 10[5] = 50\)
ตอบ: 50
เนื่องจากไม่ทราบพจน์สุดท้าย จึงใช้สูตร \(S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]\)
\(S_{20} = \frac{20}{2}[2(50) + (20-1)(-5)]\)
\(S_{20} = 10[100 + 19(-5)]\)
\(S_{20} = 10[100 - 95] = 10[5] = 50\)
ตอบ: 50
Given \(a_1 = 50\), common difference \(d = -5\), and \(n = 20\)
Since the last term is unknown, use \(S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]\)
\(S_{20} = \frac{20}{2}[2(50) + (19)(-5)]\)
\(S_{20} = 10[100 - 95] = 10[5] = 50\)
Answer: 50
Since the last term is unknown, use \(S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]\)
\(S_{20} = \frac{20}{2}[2(50) + (19)(-5)]\)
\(S_{20} = 10[100 - 95] = 10[5] = 50\)
Answer: 50
3
พหุนามและเครื่องหมาย Sigma
จงประเมินค่าของ \(\displaystyle \sum_{i=1}^{50} (4i - 3)\)
Evaluate \(\displaystyle \sum_{i=1}^{50} (4i - 3)\).
พจน์ทั่วไปคือลำดับเลขคณิต (\(a_n = 4n - 3\))
หา \(a_1 = 4(1) - 3 = 1\)
หา \(a_{50} = 4(50) - 3 = 197\)
ใช้สูตรรู้พจน์ท้าย \(S_{50} = \frac{50}{2}(a_1 + a_{50})\)
\(S_{50} = 25(1 + 197) = 25(198) = 4950\)
ตอบ: 4950
หา \(a_1 = 4(1) - 3 = 1\)
หา \(a_{50} = 4(50) - 3 = 197\)
ใช้สูตรรู้พจน์ท้าย \(S_{50} = \frac{50}{2}(a_1 + a_{50})\)
\(S_{50} = 25(1 + 197) = 25(198) = 4950\)
ตอบ: 4950
The terms form an arithmetic sequence with \(a_n = 4n - 3\).
\(a_1 = 1\) and \(a_{50} = 197\).
Using the summation formula: \(S_{50} = \frac{50}{2}(1 + 197)\)
\(S_{50} = 25(198) = 4950\)
Answer: 4950
\(a_1 = 1\) and \(a_{50} = 197\).
Using the summation formula: \(S_{50} = \frac{50}{2}(1 + 197)\)
\(S_{50} = 25(198) = 4950\)
Answer: 4950
4
การหาตัวแปรจากผลรวม (Finding variables from total sum)
ผลบวกของอนุกรมเลขคณิตชุดหนึ่งที่มี 12 พจน์ มีผลบวกเท่ากับ 168
ถ้าพจน์สุดท้ายคือ 23 จงหาพจน์แรก
The sum of a 12-term arithmetic series is 168. If the last term is 23, find
the first term.
กำหนดให้ \(n = 12\), \(S_{12} = 168\), และ \(a_{12} = 23\)
ใช้สูตร: \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)
\(168 = \frac{12}{2}(a_1 + 23)\)
\(168 = 6(a_1 + 23) \Rightarrow \frac{168}{6} = a_1 + 23\)
\(28 = a_1 + 23 \Rightarrow a_1 = 5\)
ตอบ: 5
ใช้สูตร: \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)
\(168 = \frac{12}{2}(a_1 + 23)\)
\(168 = 6(a_1 + 23) \Rightarrow \frac{168}{6} = a_1 + 23\)
\(28 = a_1 + 23 \Rightarrow a_1 = 5\)
ตอบ: 5
Given: \(n = 12\), \(S_{12} = 168\), and \(a_{12} = 23\)
Apply formula: \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)
\(168 = 6(a_1 + 23) \Rightarrow 28 = a_1 + 23\)
\(a_1 = 5\)
Answer: 5
Apply formula: \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)
\(168 = 6(a_1 + 23) \Rightarrow 28 = a_1 + 23\)
\(a_1 = 5\)
Answer: 5
4
✏️ โจทย์ฝึกทำ / Practice Problems
ฝึกแก้โจทย์ด้วยตัวเองก่อนดูเฉลย · Try solving before checking the answer
P1
หาผลบวกจากสูตร d
จงหาผลบวก 15 พจน์แรกของอนุกรม: \(2 + 5 + 8 + 11 + \dots\)
Find the sum of the first 15 terms: \(2 + 5 + 8 + 11 + \dots\)
\(a_1 = 2,\ d = 3,\ n = 15\)
\(S_{15} = \dfrac{15}{2}[2(2) + 14(3)] = \dfrac{15}{2}[4+42] = \dfrac{15 \times 46}{2} = 345\)
ตอบ: 345
\(S_{15} = \dfrac{15}{2}[2(2) + 14(3)] = \dfrac{15}{2}[4+42] = \dfrac{15 \times 46}{2} = 345\)
ตอบ: 345
\(S_{15} = \dfrac{15}{2}[4+42] = 345\)
Answer: 345
Answer: 345
P2
หาผลบวกเมื่อรู้พจน์แรกและพจน์สุดท้าย
จงหาผลบวกของอนุกรม: \(5 + 9 + 13 + \dots + 61\)
Find the sum: \(5 + 9 + 13 + \dots + 61\)
หา \(n\): \(61 = 5 + (n-1)4 \Rightarrow n = 15\)
\(S_{15} = \dfrac{15}{2}(5+61) = \dfrac{15 \times 66}{2} = 495\)
ตอบ: 495
\(S_{15} = \dfrac{15}{2}(5+61) = \dfrac{15 \times 66}{2} = 495\)
ตอบ: 495
Find \(n=15\), then \(S_{15} = \dfrac{15}{2}(5+61) = 495\)
Answer: 495
Answer: 495
P3
หา n จากผลบวกที่กำหนด
อนุกรมเลขคณิตมี \(a_1 = 6\), \(d = 2\) ถ้าผลบวก \(n\) พจน์แรกเท่ากับ 120 จงหา
\(n\)
An arithmetic series has \(a_1 = 6\), \(d = 2\). If \(S_n = 120\), find
\(n\).
\(120 = \dfrac{n}{2}[12 + 2n - 2] = n(n+5)\)
\(n^2 + 5n - 120 = 0 \Rightarrow (n-8)(n+15) = 0\)
\(n = 8\)
ตอบ: \(n = 8\)
\(n^2 + 5n - 120 = 0 \Rightarrow (n-8)(n+15) = 0\)
\(n = 8\)
ตอบ: \(n = 8\)
\(n^2 + 5n - 120 = 0 \Rightarrow n = 8\)
Answer: \(n = 8\)
Answer: \(n = 8\)
P4
ผลบวก Sigma
จงประเมินค่าของ \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(3k + 1)\)
Evaluate \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(3k + 1)\)
\(a_1 = 4,\ a_{20} = 61,\ n = 20\)
\(S_{20} = \dfrac{20}{2}(4 + 61) = 10 \times 65 = 650\)
ตอบ: 650
\(S_{20} = \dfrac{20}{2}(4 + 61) = 10 \times 65 = 650\)
ตอบ: 650
\(a_1 = 4,\ a_{20} = 61\)
\(S_{20} = 10(65) = 650\)
Answer: 650
\(S_{20} = 10(65) = 650\)
Answer: 650
P5
โจทย์ประยุกต์ — การออมทรัพย์
นักเรียนออมเงินวันแรก 20 บาท และเพิ่มขึ้นวันละ 5 บาท ใน 30 วันแรก
เขาจะออมเงินเป็นเงินทั้งหมดกี่บาท?
A student saves 20 baht on day 1, and increases by 5 baht each day. How much
will he save in total over the first 30 days?
\(a_1 = 20,\ d = 5,\ n = 30\)
\(S_{30} = \dfrac{30}{2}[2(20) + 29(5)] = 15[40+145] = 15 \times 185 = 2{,}775\)
ตอบ: 2,775 บาท
\(S_{30} = \dfrac{30}{2}[2(20) + 29(5)] = 15[40+145] = 15 \times 185 = 2{,}775\)
ตอบ: 2,775 บาท
\(S_{30} = 15[40+145] = 15 \times 185 = 2{,}775\)
Answer: 2,775 baht
Answer: 2,775 baht
🧮 เครื่องคำนวณอนุกรมเลขคณิต / Arithmetic Series Evaluator
คำนวณหาผลรวมของอนุกรม ตั้งแต่พจน์แรกถึงพจน์ที่ระบุ
คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary
คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์
| คำศัพท์ | รากศัพท์ / Root | ความหมาย / Meaning |
|---|---|---|
| Arithmetic | arithmētikē (art of counting) | เลขคณิต · เกี่ยวข้องกับการบวก ลบ คูณ หาร |
| Series | serere (to join/link) | อนุกรม · ผลบวกของสมาชิกลำดับที่เรียงต่อกัน |
| Common Difference | differentia (distinction) | ผลต่างร่วม · จำนวนคงที่ที่เพิ่ม/ลดในแต่ละพจน์ (\(d\)) |
| Partial Sum | pars (part) + summa | ผลบวกย่อย · ผลรวมของ \(n\) พจน์แรก (\(S_n\)) |