อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series) คือ ผลบวกของสมาชิกลำดับเรขาคณิต (ลำดับที่มีอัตราส่วนร่วมคงตัว) เมื่อนำมาบวกกันในจำนวนพจน์จำกัดจะได้เป็นอนุกรมเรขาคณิตจำกัด
A Geometric Series is the summation of terms from a geometric sequence (which has a common ratio). When added over a finite number of terms, it forms a finite geometric series.
1
📏 สูตรอนุกรมเรขาคณิตจำกัด / Finite Summation Formulas
สูตรการหาผลบวก \(n\) พจน์แรก (\(S_n\)) / Formula for sum of first \(n\) terms:
รู้พจน์แรกและอัตราส่วน / When \(r \neq 1\):
\[ S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} \] (สามารถใช้แบบ \(\displaystyle \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}\) ได้เช่นกัน)
\[ S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} \] (สามารถใช้แบบ \(\displaystyle \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}\) ได้เช่นกัน)
ผลบวกกรณีอัตราส่วนเป็น 1 / When \(r = 1\):
\[ S_n = n \cdot a_1 \] (ทุกพจน์มีค่าเท่ากับพจน์แรก)
\[ S_n = n \cdot a_1 \] (ทุกพจน์มีค่าเท่ากับพจน์แรก)
2
🧭 วิธีการแก้โจทย์ / Problem-Solving Strategy
กระบวนการแก้ปัญหาทีละขั้นตอน
📌 ขั้นตอนการแก้โจทย์อนุกรมเรขาคณิต
ขั้นที่ 1 — ระบุ: \(a_1\), \(r\), \(n\), \(S_n\)
ที่โจทย์กำหนดให้
ขั้นที่ 2 — ตรวจสอบว่า \(r \neq 1\)
เพื่อเลือกสูตรที่ถูกต้อง: \(r\neq 1\) ใช้ \(S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}\); \(r=1\) ใช้
\(S_n = n \cdot a_1\)
ขั้นที่ 3 — หา \(r\) หรือ \(n\) ก่อนถ้ายังไม่รู้
โดยใช้ \(r = a_{n+1}/a_n\) หรือแกสมการลอกการันต์
ขั้นที่ 4 — แทนค่าลงสูตรและคำนวณ
ระวังเครื่องหมายของผลลัพธ์เมื่อ \(r < 0\)
📌 Steps for Solving Geometric Series
Step 1 — Identify: \(a_1\), \(r\), \(n\),
\(S_n\)
Step 2 — Check if \(r \neq 1\): use \(S_n =
\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}\); if \(r = 1\): use \(S_n = n \cdot a_1\)
Step 3 — Find \(r\) or \(n\) first if needed
(use \(r = a_{n+1}/a_n\) or solve exponential equations)
Step 4 — Substitute into the formula. Watch the
sign of terms when \(r < 0\).
3
📝 ตัวอย่างโจทย์ / Solved Examples
โจทย์หลากหลายรูปแบบ พร้อมวิธีทำอย่างละเอียด
1
หาผลบวกจากลำดับตรง (Finding sum from sequence)
จงหาผลบวก 6 พจน์แรกของอนุกรม: \(3 + 6 + 12 + 24 + \dots\)
Find the sum of the first 6 terms of the series: \(3 + 6 + 12 + 24 +
\dots\)
จากอนุกรม \(a_1 = 3\), หาอัตราส่วนร่วม \(r = \frac{6}{3} = 2\)
ต้องการหาผลบวก 6 พจน์ นำไปแทนในสูตร: \(S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}\)
\(S_6 = \frac{3(2^6 - 1)}{2 - 1}\)
\(S_6 = \frac{3(64 - 1)}{1} = 3(63)\)
\(S_6 = 189\)
ตอบ: 189
ต้องการหาผลบวก 6 พจน์ นำไปแทนในสูตร: \(S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}\)
\(S_6 = \frac{3(2^6 - 1)}{2 - 1}\)
\(S_6 = \frac{3(64 - 1)}{1} = 3(63)\)
\(S_6 = 189\)
ตอบ: 189
Given \(a_1 = 3\), finding the common ratio \(r = \frac{6}{3} = 2\).
To find the sum of the first 6 terms, use: \(S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}\)
\(S_6 = \frac{3(2^6 - 1)}{2 - 1}\)
\(S_6 = \frac{3(64 - 1)}{1} = 3(63) = 189\)
Answer: 189
To find the sum of the first 6 terms, use: \(S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}\)
\(S_6 = \frac{3(2^6 - 1)}{2 - 1}\)
\(S_6 = \frac{3(64 - 1)}{1} = 3(63) = 189\)
Answer: 189
2
อนุกรมสลับเครื่องหมาย (Alternating Series)
จงหาผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรม: \(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} -
\frac{1}{8} + \dots\)
Find the sum of the first 5 terms for: \(1 - \frac{1}{2} +
\frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \dots\)
จากลำดับ มี \(a_1 = 1\) และอัตราส่วนร่วม \(r = -\frac{1}{2}\)
แทน \(n = 5\) ในสูตร \(S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_5 = \frac{1(1 - (-\frac{1}{2})^5)}{1 - (-\frac{1}{2})}\)
\(S_5 = \frac{1 - (-\frac{1}{32})}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1 + \frac{1}{32}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{33}{32}}{\frac{3}{2}}\)
\(S_5 = \frac{33}{32} \times \frac{2}{3} = \frac{11}{16}\)
ตอบ: \(\frac{11}{16}\)
แทน \(n = 5\) ในสูตร \(S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_5 = \frac{1(1 - (-\frac{1}{2})^5)}{1 - (-\frac{1}{2})}\)
\(S_5 = \frac{1 - (-\frac{1}{32})}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1 + \frac{1}{32}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{33}{32}}{\frac{3}{2}}\)
\(S_5 = \frac{33}{32} \times \frac{2}{3} = \frac{11}{16}\)
ตอบ: \(\frac{11}{16}\)
Given \(a_1 = 1\) and common ratio \(r = -\frac{1}{2}\)
Substitute \(n = 5\) into \(S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_5 = \frac{1(1 - (-1/2)^5)}{1 - (-1/2)}\)
\(S_5 = \frac{1 + 1/32}{3/2} = \frac{33/32}{3/2} = \frac{11}{16}\)
Answer: \(\frac{11}{16}\)
Substitute \(n = 5\) into \(S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_5 = \frac{1(1 - (-1/2)^5)}{1 - (-1/2)}\)
\(S_5 = \frac{1 + 1/32}{3/2} = \frac{33/32}{3/2} = \frac{11}{16}\)
Answer: \(\frac{11}{16}\)
3
หาจำนวนพจน์ (Finding the count of terms)
อนุกรมเรขาคณิต \(1 + 3 + 9 + \dots = 1093\) จะต้องบวกกันกี่พจน์?
How many terms are needed for the sequence \(1 + 3 + 9 + \dots\) to
sum to 1093?
อนุกรมมี \(a_1 = 1\), \(r = 3\) และเรารู้ว่า \(S_n = 1093\)
ใช้สูตร: \(S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}\)
\(1093 = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1}\)
\(1093 = \frac{3^n - 1}{2}\)
\(2186 = 3^n - 1 \Rightarrow 3^n = 2187\)
สามารถจัดรูป \(2187 = 3^7\) ดังนั้น \(n = 7\)
ตอบ: 7 พจน์
ใช้สูตร: \(S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}\)
\(1093 = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1}\)
\(1093 = \frac{3^n - 1}{2}\)
\(2186 = 3^n - 1 \Rightarrow 3^n = 2187\)
สามารถจัดรูป \(2187 = 3^7\) ดังนั้น \(n = 7\)
ตอบ: 7 พจน์
The series has \(a_1 = 1\), \(r = 3\), and \(S_n = 1093\).
Using formula: \(1093 = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1}\)
\(1093 \cdot 2 = 3^n - 1 \Rightarrow 2186 = 3^n - 1\)
\(3^n = 2187 \Rightarrow 3^n = 3^7 \Rightarrow n = 7\)
Answer: 7 terms
Using formula: \(1093 = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1}\)
\(1093 \cdot 2 = 3^n - 1 \Rightarrow 2186 = 3^n - 1\)
\(3^n = 2187 \Rightarrow 3^n = 3^7 \Rightarrow n = 7\)
Answer: 7 terms
4
✏️ โจทย์ฝึกทำ / Practice Problems
ฝึกแก้โจทย์ด้วยตัวเองก่อนดูเฉลย · Try solving before checking the answer
P1
หาผลบวก n พจน์แรก
จงหาผลบวก 6 พจน์แรกของ: \(1 + 4 + 16 + 64 + \dots\)
Find the sum of the first 6 terms: \(1 + 4 + 16 + 64 + \dots\)
\(a_1 = 1,\ r = 4,\ n = 6\)
\(S_6 = \dfrac{1(4^6-1)}{4-1} = \dfrac{4096-1}{3} = \dfrac{4095}{3} = 1365\)
ตอบ: 1,365
\(S_6 = \dfrac{1(4^6-1)}{4-1} = \dfrac{4096-1}{3} = \dfrac{4095}{3} = 1365\)
ตอบ: 1,365
\(S_6 = \dfrac{1(4^6-1)}{3} = \dfrac{4095}{3} = 1365\)
Answer: 1,365
Answer: 1,365
P2
อนุกรมสลับเครื่องหมาย
จงหาผลบวก 4 พจน์แรกของ: \(5 - 10 + 20 - 40 + \dots\)
Find the sum of the first 4 terms: \(5 - 10 + 20 - 40 + \dots\)
\(a_1 = 5,\ r = -2,\ n = 4\)
\(S_4 = \dfrac{5(1-(-2)^4)}{1-(-2)} = \dfrac{5(1-16)}{3} = \dfrac{5(-15)}{3} = -25\)
ตอบ: -25
\(S_4 = \dfrac{5(1-(-2)^4)}{1-(-2)} = \dfrac{5(1-16)}{3} = \dfrac{5(-15)}{3} = -25\)
ตอบ: -25
\(S_4 = \dfrac{5(1-16)}{3} = \dfrac{-75}{3} = -25\)
Answer: -25
Answer: -25
P3
หา n จากผลบวกที่กำหนด
อนุกรม \(2 + 6 + 18 + \dots = 242\) ต้องบวกกันกี่พจน์?
How many terms are needed for \(2 + 6 + 18 + \dots\) to sum to 242?
\(a_1 = 2,\ r = 3,\ S_n = 242\)
\(242 = \dfrac{2(3^n-1)}{3-1} = 3^n - 1\)
\(3^n = 243 = 3^5 \Rightarrow n = 5\)
ตอบ: 5 พจน์
\(242 = \dfrac{2(3^n-1)}{3-1} = 3^n - 1\)
\(3^n = 243 = 3^5 \Rightarrow n = 5\)
ตอบ: 5 พจน์
\(242 = 3^n - 1 \Rightarrow 3^n = 243 = 3^5 \Rightarrow n = 5\)
Answer: 5 terms
Answer: 5 terms
P4
อนุกรมเศษส่วน
จงหาผลบวก 5 พจน์แรกของ: \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8}
+ \dots\)
Find the sum of the first 5 terms: \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} +
\dfrac{1}{8} + \dots\)
\(a_1 = \dfrac{1}{2},\ r = \dfrac{1}{2},\ n = 5\)
\(S_5 = \dfrac{\frac{1}{2}\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^5\right)}{1 - \frac{1}{2}} = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot \frac{31}{32}}{\frac{1}{2}} = \dfrac{31}{32}\)
ตอบ: \(\dfrac{31}{32}\)
\(S_5 = \dfrac{\frac{1}{2}\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^5\right)}{1 - \frac{1}{2}} = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot \frac{31}{32}}{\frac{1}{2}} = \dfrac{31}{32}\)
ตอบ: \(\dfrac{31}{32}\)
\(S_5 = \dfrac{\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{32})}{\frac{1}{2}} = \dfrac{31}{32}\)
Answer: \(\dfrac{31}{32}\)
Answer: \(\dfrac{31}{32}\)
P5
โจทย์ประยุกต์ — การลงทุน
ลงทุน 10,000 บาทในปีแรก ผลตอบแทนเพิ่มขึ้น 20% ต่อปี
จะได้คืนทั้งหมดใน5 ปีเป็นอะไร?
Invest 10,000 baht in year 1 with 20% annual return. What is the
total return over 5 years?
\(a_1 = 10000,\ r = 1.2,\ n = 5\)
\(S_5 = \dfrac{10000(1.2^5-1)}{1.2-1} = \dfrac{10000(2.48832-1)}{0.2}\)
\(= \dfrac{10000 \times 1.48832}{0.2} = 74{,}416 \text{ บาท}\)
ตอบ: ประมาณ 74,416 บาท
\(S_5 = \dfrac{10000(1.2^5-1)}{1.2-1} = \dfrac{10000(2.48832-1)}{0.2}\)
\(= \dfrac{10000 \times 1.48832}{0.2} = 74{,}416 \text{ บาท}\)
ตอบ: ประมาณ 74,416 บาท
\(S_5 = \dfrac{10000(1.48832)}{0.2} = 74{,}416\)
Answer: approximately 74,416 baht
Answer: approximately 74,416 baht
🧮 เครื่องคำนวณอนุกรมเรขาคณิตจำกัด / Geometric Series Evaluator
คำนวณและประเมินผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตแบบจำกัดจำนวนพจน์
คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary
คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์
| คำศัพท์ | รากศัพท์ / Root | ความหมาย / Meaning |
|---|---|---|
| Geometric | geometria (earth measurement) | เรขาคณิต · เกี่ยวกับรูปทรงและการแบ่งสเกลขาคณิต |
| Common Ratio | rationem (relation/reason) | อัตราส่วนร่วม · ตัวคูณคงที่ทำให้ลำดับเพิ่ม/ลด (\(r\)) |
| Series | serere (to join/link) | อนุกรม · ผลบวกของสมาชิกลำดับที่เรียงต่อกัน |
| Exponential | exponere (to put out/express) | เลขชี้กำลัง · การเติบโตแบบทวีคูณตามไปเรื่อย · โดย \(r^n\) |