อนุกรมอนันต์ (Infinite Series) คือผลรวมที่เกิดจากการนำพจน์ของลำดับอนันต์มาบวกกันไปเรื่อยๆ ไม่สิ้นสุด เขียนแทนด้วย
\(\displaystyle S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 +
a_2 + a_3 + \dots\)
คำถามสำคัญคือ ผลรวมนี้ มีค่าที่แน่นอน (ลู่เข้า) หรือ ไม่มีค่าจำกัด (ลู่ออก)?
An Infinite Series is the sum formed by adding all terms of an infinite sequence one after another, represented as:
\(\displaystyle S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 +
a_2 + a_3 + \dots\)
The fundamental question is: does this sum approach a finite value (converge), or does it grow without bound (diverge)?
1
📏 ความลู่เข้าและลู่ออก / Convergence & Divergence
พิจารณา ผลบวกย่อย (Partial Sum) \(S_n\) ซึ่งเป็นผลรวมของ \(n\) พจน์แรก คือ \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\)
- ลู่เข้า (Convergent): ถ้า \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n = L\) (เป็นจำนวนจริงจำกัด) อนุกรมนั้นลู่เข้าหาค่า \(L\)
- ลู่ออก (Divergent): ถ้า \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n\) ไม่มีค่าจำกัด อนุกรมนั้นลู่ออก
Consider the Partial Sum \(S_n\), which is the sum of the first \(n\) terms: \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\).
- Convergent: If \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n = L\) (a finite real number), the series converges to \(L\).
- Divergent: If \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n\) has no finite value, the series diverges.
🔑 เงื่อนไขจำเป็น (Necessary Condition) — Divergence Test
ถ้า \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0\) อนุกรม \(\sum a_n\)
ลู่ออกแน่นอน
(ข้อกลับไม่จริงเสมอไป: ถ้า \(\lim a_n = 0\) ยังสรุปไม่ได้ว่าลู่เข้า เช่น Harmonic Series)
(ข้อกลับไม่จริงเสมอไป: ถ้า \(\lim a_n = 0\) ยังสรุปไม่ได้ว่าลู่เข้า เช่น Harmonic Series)
If \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0\), then \(\sum a_n\) definitely
diverges.
(The converse is NOT always true: if \(\lim a_n = 0\), the series may still diverge. E.g., the Harmonic Series.)
(The converse is NOT always true: if \(\lim a_n = 0\), the series may still diverge. E.g., the Harmonic Series.)
2
📐 อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ / Infinite Geometric Series
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_1 r^{n-1} = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \dots\) มีเงื่อนไขการลู่เข้าชัดเจน:
The infinite geometric series \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_1 r^{n-1} = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \dots\) has a clear convergence condition:
ลู่เข้า เมื่อ \(|r| < 1\):
\[ S_\infty = \frac{a_1}{1 - r} \]
เช่น \(r = \frac{1}{2}\), \(r =
-\frac{1}{3}\)
ลู่ออก เมื่อ \(|r| \geq 1\):
\[ S_\infty = \text{ไม่มีค่า / Does not exist} \]
เช่น \(r = 2\), \(r = -1\)
3
📝 ตัวอย่างโจทย์ / Solved Examples
โจทย์หลากหลายรูปแบบ พร้อมวิธีทำอย่างละเอียด
1
หาผลบวกอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ / Sum of Infinite Geometric Series
จงหาผลบวกของอนุกรม \(\displaystyle 8 + 4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} + \dots\)
Find the sum of the series \(\displaystyle 8 + 4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} +
\dots\)
จากอนุกรม \(a_1 = 8\) และ \(r = \displaystyle\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
เนื่องจาก \(\displaystyle |r| = \frac{1}{2} < 1\) ดังนั้นอนุกรมลู่เข้า
ใช้สูตร: \(\displaystyle S_\infty = \frac{a_1}{1 - r}\)
\(\displaystyle S_\infty = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16\)
ตอบ: 16
เนื่องจาก \(\displaystyle |r| = \frac{1}{2} < 1\) ดังนั้นอนุกรมลู่เข้า
ใช้สูตร: \(\displaystyle S_\infty = \frac{a_1}{1 - r}\)
\(\displaystyle S_\infty = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16\)
ตอบ: 16
From the series: \(a_1 = 8\) and \(r = \displaystyle\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\).
Since \(\displaystyle |r| = \frac{1}{2} < 1\), the series converges.
Apply formula: \(\displaystyle S_\infty = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16\)
Answer: 16
Since \(\displaystyle |r| = \frac{1}{2} < 1\), the series converges.
Apply formula: \(\displaystyle S_\infty = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16\)
Answer: 16
2
อนุกรมเรขาคณิตสลับเครื่องหมาย / Alternating Geometric Series
จงพิจารณาการลู่เข้าและหาผลบวกของ \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}
\frac{(-1)^{n-1}}{3^{n-1}}\)
Determine convergence and find the sum of \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}
\frac{(-1)^{n-1}}{3^{n-1}}\)
เขียนกระจายพจน์แรกๆ: \(\displaystyle 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \dots\)
นี่คืออนุกรมเรขาคณิตโดยมี \(a_1 = 1\) และ \(r = -\frac{1}{3}\)
เนื่องจาก \(\displaystyle |r| = \frac{1}{3} < 1\) อนุกรมลู่เข้า
\(\displaystyle S_\infty = \frac{1}{1-(-\frac{1}{3})} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}\)
ตอบ: \(\displaystyle \frac{3}{4}\)
นี่คืออนุกรมเรขาคณิตโดยมี \(a_1 = 1\) และ \(r = -\frac{1}{3}\)
เนื่องจาก \(\displaystyle |r| = \frac{1}{3} < 1\) อนุกรมลู่เข้า
\(\displaystyle S_\infty = \frac{1}{1-(-\frac{1}{3})} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}\)
ตอบ: \(\displaystyle \frac{3}{4}\)
Expanding terms: \(\displaystyle 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \dots\)
This is a geometric series with \(a_1 = 1\) and \(r = -\frac{1}{3}\).
Since \(\displaystyle |r| = \frac{1}{3} < 1\), the series converges.
\(\displaystyle S_\infty = \frac{1}{1+\frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}\)
Answer: \(\displaystyle \frac{3}{4}\)
This is a geometric series with \(a_1 = 1\) and \(r = -\frac{1}{3}\).
Since \(\displaystyle |r| = \frac{1}{3} < 1\), the series converges.
\(\displaystyle S_\infty = \frac{1}{1+\frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}\)
Answer: \(\displaystyle \frac{3}{4}\)
3
พิสูจน์การลู่ออก / Proving Divergence
จงพิสูจน์ว่าอนุกรม \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}\) ลู่ออก
Prove that the series \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}\)
diverges.
ตรวจสอบด้วย Divergence Test: หาค่าลิมิตของพจน์ทั่วไป
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}\)
หารตลอดด้วย \(n\): \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{1+0} = 1\)
เนื่องจาก \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 1 \neq 0\)
ตอบ: อนุกรมลู่ออก (โดย Divergence Test)
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}\)
หารตลอดด้วย \(n\): \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{1+0} = 1\)
เนื่องจาก \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 1 \neq 0\)
ตอบ: อนุกรมลู่ออก (โดย Divergence Test)
Apply the Divergence Test: compute the limit of the general term.
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = 1\)
Since \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 1 \neq 0\)
Answer: The series diverges (by the Divergence Test).
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = 1\)
Since \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 1 \neq 0\)
Answer: The series diverges (by the Divergence Test).
4
หา \(a_1\) จากข้อมูลที่กำหนด / Finding \(a_1\) from given data
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์มีอัตราส่วนร่วม \(r = \frac{2}{5}\) และผลบวกรวมเท่ากับ 25
จงหาพจน์แรก
An infinite geometric series has a common ratio \(r = \frac{2}{5}\) and a sum
of 25. Find the first term.
กำหนดให้ \(S_\infty = 25\), \(r = \frac{2}{5}\)
จากสูตร: \(\displaystyle S_\infty = \frac{a_1}{1-r}\)
\(\displaystyle 25 = \frac{a_1}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{a_1}{\frac{3}{5}}\)
\(\displaystyle a_1 = 25 \times \frac{3}{5} = 15\)
ตอบ: \(a_1 = 15\)
จากสูตร: \(\displaystyle S_\infty = \frac{a_1}{1-r}\)
\(\displaystyle 25 = \frac{a_1}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{a_1}{\frac{3}{5}}\)
\(\displaystyle a_1 = 25 \times \frac{3}{5} = 15\)
ตอบ: \(a_1 = 15\)
Given \(S_\infty = 25\), \(r = \frac{2}{5}\). Apply formula:
\(\displaystyle 25 = \frac{a_1}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{a_1}{\frac{3}{5}}\)
\(\displaystyle a_1 = 25 \times \frac{3}{5} = 15\)
Answer: \(a_1 = 15\)
\(\displaystyle 25 = \frac{a_1}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{a_1}{\frac{3}{5}}\)
\(\displaystyle a_1 = 25 \times \frac{3}{5} = 15\)
Answer: \(a_1 = 15\)
5
ทศนิยมซ้ำสู่เศษส่วน / Repeating Decimal to Fraction
จงแสดงว่า \(0.\overline{36} = 0.363636\dots\) สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้อะไร
โดยใช้อนุกรมเรขาคณิตอนันต์
Express \(0.\overline{36} = 0.363636\dots\) as a fraction using infinite
geometric series.
เขียน \(0.363636\dots = 0.36 + 0.0036 + 0.000036 + \dots\)
นี่คืออนุกรมเรขาคณิตโดยมี \(a_1 = 0.36 = \frac{36}{100}\) และ \(r = \frac{1}{100}\)
เนื่องจาก \(|r| = \frac{1}{100} < 1\) ลู่เข้า
\(\displaystyle S_\infty = \frac{\frac{36}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{\frac{36}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}\)
ตอบ: \(\displaystyle \frac{4}{11}\)
นี่คืออนุกรมเรขาคณิตโดยมี \(a_1 = 0.36 = \frac{36}{100}\) และ \(r = \frac{1}{100}\)
เนื่องจาก \(|r| = \frac{1}{100} < 1\) ลู่เข้า
\(\displaystyle S_\infty = \frac{\frac{36}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{\frac{36}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}\)
ตอบ: \(\displaystyle \frac{4}{11}\)
Write \(0.363636\dots = 0.36 + 0.0036 + 0.000036 + \dots\)
This is a geometric series with \(a_1 = \frac{36}{100}\) and \(r = \frac{1}{100}\).
Since \(|r| < 1\), it converges.
\(\displaystyle S_\infty = \frac{\frac{36}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}\)
Answer: \(\displaystyle \frac{4}{11}\)
This is a geometric series with \(a_1 = \frac{36}{100}\) and \(r = \frac{1}{100}\).
Since \(|r| < 1\), it converges.
\(\displaystyle S_\infty = \frac{\frac{36}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}\)
Answer: \(\displaystyle \frac{4}{11}\)
🧮 เครื่องตรวจสอบอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ / Infinite Geometric Series Checker
ตรวจสอบว่าอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก และคำนวณผลบวนรวมถ้าลู่เข้าในรูปแบบ \(\displaystyle S_\infty = \frac{a_1}{1-r}\)
คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary
คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์
| คำศัพท์ | รากศัพท์ / Root | ความหมาย / Meaning |
|---|---|---|
| Convergent | convergere (to come together) | อนุกรมที่มีผลบวกรวมเป็นค่าจำกัด |
| Divergent | divergere (to go apart) | อนุกรมที่ผลบวกรวมไม่มีค่าจำกัด |
| Partial Sum | pars (part) + summa (total) | ผลบวกย่อยของ \(n\) พจน์แรก (\(S_n\)) |
| Common Ratio | rationem (reason/rate) | อัตราส่วนคงตัวระหว่างพจน์ (\(r\)) |