อนุกรมและสัญลักษณ์แทนการบวก

อนุกรม (Series) เกิดจากการนำสมาชิกทุกพจน์ของลำดับมาบวกกัน ถ้ากำหนดให้ \(a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\) เป็นลำดับจำกัด อนุกรมที่ได้คือ \(a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n\) เรียกว่าอนุกรมจำกัด โดยแสดงผลบวกด้วย สัญลักษณ์แทนการบวก (Sigma Notation) คือ

\(\displaystyle S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n\)

A Series is created by adding the terms of a sequence together. Given a finite sequence \(a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\), the resulting series is \(a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n\), called a finite series. It is often represented using Sigma Notation:

\(\displaystyle S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n\)

📏 สมบัติและสูตรของซิกม่า / Properties and Summation Formulas

สมบัติที่สำคัญของการแจกแจง \(\sum\) / Key properties of Sigma:

ค่าคงตัว / Constant: \[ \sum_{i=1}^{n} c = nc \]

ดึงตัวร่วม / Scalar Multiple: \[ \sum_{i=1}^{n} c a_i = c \sum_{i=1}^{n} a_i \]

กระจายบวก/ลบ / Sum/Difference: \[ \sum_{i=1}^{n} (a_i \pm b_i) = \sum_{i=1}^{n} a_i \pm \sum_{i=1}^{n} b_i \]

สูตรผลบวกพหุนามที่พบบ่อย (Summation Formulas):

Common Polynomial Summation Formulas:

กำลังหนึ่ง / Power of 1: \[ \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} \]

กำลังสอง / Power of 2: \[ \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

กำลังสาม / Power of 3: \[ \sum_{i=1}^{n} i^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 \]

📝 ตัวอย่างการคำนวณ / Solved Examples

โจทย์หลากหลายรูปแบบ พร้อมวิธีทำอย่างละเอียด

การกระจายซิกม่า / Expanding Sigma Notation

จงเขียนการกระจายของ \(\displaystyle \sum_{i=1}^{4} (2i + 1)\) พร้อมหาผลบวก

Expand the notation \(\displaystyle \sum_{i=1}^{4} (2i + 1)\) and find the sum.

แทนค่า \(i\) ตั้งแต่ \(1\) ถึง \(4\):
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{4} (2i + 1) = (2(1)+1) + (2(2)+1) + (2(3)+1) + (2(4)+1)\)
\(\displaystyle = 3 + 5 + 7 + 9\)
\(\displaystyle = 24\)
ตอบ: 24

Substitute \(i\) from \(1\) to \(4\):
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{4} (2i + 1) = (2(1)+1) + (2(2)+1) + (2(3)+1) + (2(4)+1)\)
\(\displaystyle = 3 + 5 + 7 + 9\)
\(\displaystyle = 24\)
Answer: 24

การใช้สมบัติของซิกม่า / Using Sigma Properties

กำหนดให้ \(\displaystyle \sum_{i=1}^{10} x_i = 15\) จงหาค่าของ \(\displaystyle \sum_{i=1}^{10} (3x_i - 2)\)

Given that \(\displaystyle \sum_{i=1}^{10} x_i = 15\), find the value of \(\displaystyle \sum_{i=1}^{10} (3x_i - 2)\).

กระจายซิกม่าด้วยคุณสมบัติ:
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{10} (3x_i - 2) = \sum_{i=1}^{10} 3x_i - \sum_{i=1}^{10} 2\)
\(\displaystyle = 3 \sum_{i=1}^{10} x_i - 10(2)\)
แทนค่า \(\displaystyle \sum_{i=1}^{10} x_i = 15\) ลงไป
\(\displaystyle = 3(15) - 20 = 45 - 20 = 25\)
ตอบ: 25

Distribute the sigma using properties:
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{10} (3x_i - 2) = \sum_{i=1}^{10} 3x_i - \sum_{i=1}^{10} 2\)
\(\displaystyle = 3 \sum_{i=1}^{10} x_i - 10(2)\)
Substitute \(\displaystyle \sum_{i=1}^{10} x_i = 15\):
\(\displaystyle = 3(15) - 20 = 45 - 20 = 25\)
Answer: 25

การใช้สูตรผลบวก / Applying Sum Formulas

จงหาค่าของ \(\displaystyle \sum_{i=1}^{20} (i^2 + 2i)\)

Evaluate \(\displaystyle \sum_{i=1}^{20} (i^2 + 2i)\).

แยกพจน์: \(\displaystyle \sum_{i=1}^{20} (i^2 + 2i) = \sum_{i=1}^{20} i^2 + 2\sum_{i=1}^{20} i\)
ใช้สูตรแทนค่า \(n = 20\):
สำหรับ \(i^2\): \(\displaystyle \frac{20(21)(41)}{6} = 2870\)
สำหรับ \(i\): \(\displaystyle 2\left[\frac{20(21)}{2}\right] = 2(210) = 420\)
ผลรวม = \(\displaystyle 2870 + 420 = 3290\)
ตอบ: 3290

Split the terms: \(\displaystyle \sum_{i=1}^{20} (i^2 + 2i) = \sum_{i=1}^{20} i^2 + 2\sum_{i=1}^{20} i\)
Apply formula with \(n = 20\):
For \(i^2\): \(\displaystyle \frac{20(21)(41)}{6} = 2870\)
For \(i\): \(\displaystyle 2\left[\frac{20(21)}{2}\right] = 2(210) = 420\)
Total Sum = \(\displaystyle 2870 + 420 = 3290\)
Answer: 3290

เริ่มบวกพจน์อื่นที่ไม่ใช่ 1 / Non-1 Start Index

จงหาค่าของ \(\displaystyle \sum_{i=10}^{20} i\)

Evaluate \(\displaystyle \sum_{i=10}^{20} i\).

เพื่อใช้สูตร เราจะนำผลบวกจากพจน์ที่ 1-20 ลบด้วยผลบวกจากพจน์ที่ 1-9:
\(\displaystyle \sum_{i=10}^{20} i = \sum_{i=1}^{20} i - \sum_{i=1}^{9} i\)
\(\displaystyle = \frac{20(21)}{2} - \frac{9(10)}{2}\)
\(\displaystyle = 210 - 45 = 165\)
ตอบ: 165

To use formulas, take the sum from 1 to 20 and subtract the sum from 1 to 9:
\(\displaystyle \sum_{i=10}^{20} i = \sum_{i=1}^{20} i - \sum_{i=1}^{9} i\)
\(\displaystyle = \frac{20(21)}{2} - \frac{9(10)}{2}\)
\(\displaystyle = 210 - 45 = 165\)
Answer: 165

🧮 เครื่องคำนวณผลบวกซิกม่า / Sigma Calculator

คำนวณหาผลบวก \(\sum\) ในรูปแบบ \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} (Ai^2 + Bi + C)\)
ให้ระบุสัมประสิทธิ์นำ และค่า \(n\) (พจน์สุดท้าย)

A (หน้า \(i^2\))

B (หน้า \(i\))

C (ค่าคงตัว)

พจน์สิ้นสุด (\(n\))

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Series	serere (to join/link)	อนุกรม · ผลบวกของสมาชิกลำดับที่เรียงต่อกัน
Summation	summa (highest/total)	การหาผลรวม · การคำนวณค่ารวมของชุดตัวเลข
Sigma (\(\sum\))	Greek letter (Σ)	ซิกม่า · อักษรกรีกที่ถูกใช้เป็นสัญลักษณ์แทนผลบวก
Partial Sum	pars (part) + summa	ผลบวกย่อย · ผลบวกของพจน์จากที่กำหนดถึงเทอมที่ n