จำนวนสมาชิกของเซต

เมื่อต้องการนับจำนวนสมาชิกของยูเนียน \(A\cup B\) เราไม่สามารถนำ \(n(A)+n(B)\) มารวมกันโดยตรงได้ เพราะสมาชิกที่อยู่ในทั้งสองเซต \(A\cap B\) จะถูกนับซ้ำสองครั้ง จึงต้องใช้ หลักการรวมกัน-ลบซ้ำ (Inclusion-Exclusion)

When counting elements of a union \(A\cup B\), we cannot simply add \(n(A)+n(B)\) because elements in both sets \(A\cap B\) would be counted twice. We must apply the Inclusion-Exclusion Principle.

∪ สูตร \(n(A\cup B)\) / Formula for \(n(A\cup B)\)

หลักการรวม-ลบซ้ำสำหรับสองเซต

\[n(A\cup B) = n(A) + n(B) - n(A\cap B)\]

ภาษาไทย

จำนวนสมาชิกของยูเนียน \(A\cup B\) เท่ากับ จำนวนสมาชิกของ A บวก จำนวนสมาชิกของ B ลบ จำนวนสมาชิกของอินเตอร์เซกชัน \(A\cap B\) (เพื่อตัดส่วนที่นับซ้ำออก)

\(n(A)\) = จำนวนสมาชิกทั้งหมดของเซต A
\(n(B)\) = จำนวนสมาชิกทั้งหมดของเซต B
\(n(A\cap B)\) = จำนวนสมาชิกที่อยู่ในทั้ง A และ B

English

The number of elements in \(A\cup B\) equals \(n(A)\) plus \(n(B)\) minus \(n(A\cap B)\) (to remove the double-counted intersection).

\(n(A)\) = total elements in set A
\(n(B)\) = total elements in set B
\(n(A\cap B)\) = elements in both A and B

เฉพาะ A เท่านั้น

\(n(A) - n(A\cap B)\)

ส่วนที่ซ้ำกัน \(A\cap B\)

ส่วนที่ต้องลบออก 1 ครั้ง

เฉพาะ B เท่านั้น

\(n(B) - n(A\cap B)\)

\(A\cup B\) ทั้งหมด

\(n(A) + n(B) - n(A\cap B)\)

📌

ตัวอย่าง: ถ้า \(n(A)=30,\ n(B)=25,\ n(A\cap B)=10\)
แล้ว \(n(A\cup B) = 30 + 25 - 10 = 45\)

Example: If \(n(A)=30,\ n(B)=25,\ n(A\cap B)=10\)
then \(n(A\cup B) = 30+25-10 = 45\)

กรณีพิเศษ / Special Cases

กรณีที่ 1

\(A\cap B = \emptyset\)

ถ้า A และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน (Disjoint) → \(n(A\cup B) = n(A) + n(B)\)

If A and B are disjoint → \(n(A\cup B) = n(A) + n(B)\)

กรณีที่ 2

\(A \subseteq B\)

ถ้า A เป็นสับเซตของ B → \(n(A\cup B) = n(B)\)

If A is a subset of B → \(n(A\cup B) = n(B)\)

∪ สูตร \(n(A\cup B\cup C)\) / Formula for \(n(A\cup B\cup C)\)

หลักการรวม-ลบซ้ำสำหรับสามเซต

\[n(A\cup B\cup C) = n(A)+n(B)+n(C)\] \[-\,n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(A\cap C)\] \[+\,n(A\cap B\cap C)\]

ภาษาไทย

วิธีจำ (3 ขั้นตอน):

บวก จำนวนสมาชิกของแต่ละเซต: \(n(A)+n(B)+n(C)\)
ลบ ส่วนที่ถูกนับซ้ำสองครั้ง: \(-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(A\cap C)\)
บวกคืน ส่วนกลางที่ถูกลบเกิน: \(+n(A\cap B\cap C)\)

English

Remember it in 3 steps:

Add all individual sets: \(n(A)+n(B)+n(C)\)
Subtract pairwise intersections: \(-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(A\cap C)\)
Add back the triple intersection: \(+n(A\cap B\cap C)\)

8 ส่วนย่อยในแผนภาพ 3 เซต / The 8 Regions

I ← เฉพาะ A

อยู่ใน A เท่านั้น

II ← เฉพาะ B

อยู่ใน B เท่านั้น

III ← เฉพาะ C

อยู่ใน C เท่านั้น

IV ← \(A\cap B\) เท่านั้น

ไม่รวม C

V ← \(B\cap C\) เท่านั้น

ไม่รวม A

VI ← \(A\cap C\) เท่านั้น

ไม่รวม B

VII ← \(A\cap B\cap C\)

อยู่ในทั้งสามเซต

VIII ← นอกทุกเซต

อยู่เฉพาะใน U

ขั้น 1: \(n(A)+n(B)+n(C)\)

บวกทั้งสามเซต — ส่วนซ้ำถูกนับเกิน

ขั้น 2: ลบ \(n(A\cap B)+n(B\cap C)+n(A\cap C)\)

ลบส่วนรูปใบไม้ทั้งสามคู่ออก

ขั้น 3: บวกคืน \(n(A\cap B\cap C)\)

ส่วนกลางถูกลบมากเกินไป จึงต้องบวกกลับ

ผลลัพธ์: \(A\cup B\cup C\)

พื้นที่ภายในวงกลมทั้งสามรวมกัน

📌

ตัวอย่าง: \(n(A)=40,\ n(B)=30,\ n(C)=25,\ n(A\cap B)=10,\ n(B\cap C)=8,\ n(A\cap C)=6,\ n(A\cap B\cap C)=3\)
\(n(A\cup B\cup C) = 40+30+25-10-8-6+3 =74\)

Example: \(n(A)=40,\ n(B)=30,\ n(C)=25,\ n(A\cap B)=10,\ n(B\cap C)=8,\ n(A\cap C)=6,\ n(A\cap B\cap C)=3\)
\(n(A\cup B\cup C) = 40+30+25-10-8-6+3 =74\)

🧮 เครื่องคำนวณ \(n(A\cup B)\) / \(n(A\cup B)\) Calculator

กรอกค่าเพื่อคำนวณและดูขั้นตอน

\(n(A)\) = จำนวนสมาชิกของ A

\(n(B)\) = จำนวนสมาชิกของ B

\(n(A\cap B)\) = จำนวนสมาชิกร่วม

🧮 เครื่องคำนวณ \(n(A\cup B\cup C)\) / \(n(A\cup B\cup C)\) Calculator

กรอกค่าทั้ง 7 ช่องเพื่อคำนวณ

\(n(A)\)

\(n(B)\)

\(n(C)\)

\(n(A\cap B)\)

\(n(B\cap C)\)

\(n(A\cap C)\)

\(n(A\cap B\cap C)\)

💪 พร้อมฝึกทำโจทย์หรือยัง?

ไปที่หน้า โจทย์ปัญหาเซต เพื่อดูตัวอย่างโจทย์และการแสดงวิธีทำอย่างละเอียด 10 ข้อ

ไปที่หน้าโจทย์ปัญหา →

💪 Ready to Practice?

Go to Set Word Problems to see 10 detailed solved examples and techniques.

Go to Word Problems →

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
inclusion	includere (to enclose)	การรวมเข้า · Adding all elements in
exclusion	excludere (to shut out)	การตัดออก · Removing the double-counted
cardinality	cardinalis (principal)	จำนวนสมาชิกของเซต · Size of a set
union	unio (oneness)	ยูเนียน · Combined elements of sets
intersection	inter (between) + secare (cut)	อินเตอร์เซกชัน · Elements common to sets
disjoint	dis (apart) + jungere (join)	ไม่มีสมาชิกร่วมกัน · No common elements