จำนวนสมาชิกของเซต

ในการแก้โจทย์ปัญหาเรื่องเซต (Sets) เราสามารถหาจำนวนสมาชิกในบริเวณต่างๆ ได้ 2 วิธีหลักๆ คือ การวาดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ (Venn-Euler Diagram) หรือ การใช้สูตรคำนวณ โดยการใช้สูตรจะช่วยให้เราแก้สมการหาค่าตัวแปรที่ซ่อนอยู่ได้อย่างรวดเร็วและแม่นยำมากยิ่งขึ้น โดยเฉพาะเมื่อจำนวนสมาชิกมีปริมาณมาก

In solving Set theory problems, we can find the number of elements in various regions using two main methods: drawing Venn-Euler Diagrams or using calculation formulas. Using formulas allows us to solve for unknown variables more quickly and accurately, especially when dealing with large numbers.

สูตรสำหรับ 2 เซต Formula for 2 Sets

ถ้า $A$ และ $B$ เป็นเซตจำกัดใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ $U$ เราสามารถหาจำนวนสมาชิกของเซตยูเนียน $n(A \cup B)$ ได้โดยการนำสมาชิกของ $A$ มารวมกับ $B$ และ หักส่วนที่ซ้ำซ้อนกันออกไป 1 ครั้ง (ส่วนอินเตอร์เซกชัน)

$$ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) $$

If $A$ and $B$ are any finite sets in a universal set $U$, we can find the number of elements in the union $n(A \cup B)$ by adding the elements of $A$ and $B$, and then subtracting the overlapping part once (the intersection).

$$ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) $$

Example 1.1

กำหนดให้ $n(A) = 25$, $n(B) = 18$ และ $n(A \cap B) = 7$ จงหาค่าของ $n(A \cup B)$

$$ \begin{aligned} n(A \cup B) &= n(A) + n(B) - n(A \cap B) \\ &= 25 + 18 - 7 \\ &= 43 - 7 \\ &= 36 \end{aligned} $$

Given $n(A) = 25$, $n(B) = 18$, and $n(A \cap B) = 7$. Find the value of $n(A \cup B)$.

$$ \begin{aligned} n(A \cup B) &= n(A) + n(B) - n(A \cap B) \\ &= 25 + 18 - 7 \\ &= 43 - 7 \\ &= 36 \end{aligned} $$

Example 1.2

กำหนดให้ $n(A \cup B) = 50$, $n(A) = 30$ และ $n(B) = 35$ จงหาค่าของ $n(A \cap B)$

$$ \begin{aligned} n(A \cup B) &= n(A) + n(B) - n(A \cap B) \\ 50 &= 30 + 35 - n(A \cap B) \\ 50 &= 65 - n(A \cap B) \\ n(A \cap B) &= 65 - 50 \\ &= 15 \end{aligned} $$

Given $n(A \cup B) = 50$, $n(A) = 30$, and $n(B) = 35$. Find the value of $n(A \cap B)$.

$$ \begin{aligned} n(A \cup B) &= n(A) + n(B) - n(A \cap B) \\ 50 &= 30 + 35 - n(A \cap B) \\ 50 &= 65 - n(A \cap B) \\ n(A \cap B) &= 65 - 50 \\ &= 15 \end{aligned} $$

Example 1.3

จากการสอบถามนักเรียน 100 คน พบว่าชอบวิชาคณิตศาสตร์ 60 คน ชอบวิชาภาษาอังกฤษ 50 คน และชอบทั้งสองวิชา 20 คน จงหาว่ามีนักเรียนที่ชอบอย่างน้อย 1 วิชาจำนวนกี่คน?

คำว่า "อย่างน้อย 1 วิชา" หมายถึง การหาค่าของยูเนียน $n(A \cup B)$

$$ \begin{aligned} n(A \cup B) &= n(A) + n(B) - n(A \cap B) \\ &= 60 + 50 - 20 \\ &= 110 - 20 \\ &= 90 \text{ คน} \end{aligned} $$

In a survey of 100 students, 60 like Math, 50 like English, and 20 like both. How many students like at least one of these subjects?

"At least one subject" means finding the union $n(A \cup B)$.

$$ \begin{aligned} n(A \cup B) &= n(A) + n(B) - n(A \cap B) \\ &= 60 + 50 - 20 \\ &= 110 - 20 \\ &= 90 \text{ students} \end{aligned} $$

Example 1.4

จากการสำรวจผู้ใหญ่ 80 คน พบว่าชอบดูหนังแอ็กชัน 45 คน ชอบดูหนังตลก 40 คน และชอบทั้งสองแนว 15 คน จงหาว่ามีกี่คนที่ไม่ชอบดูหนังทั้งสองแนวนี้เลย?

ต้องหา $n(A \cup B)'$ โดยใช้สูตร $n(U) - n(A \cup B)$

$$ \begin{aligned} n(A \cup B) &= 45 + 40 - 15 = 70 \\ n(A \cup B)' &= n(U) - n(A \cup B) \\ &= 80 - 70 \\ &= 10 \text{ คน} \end{aligned} $$

In a survey of 80 adults, 45 like action movies, 40 like comedy movies, and 15 like both. How many adults do not like either of these two genres?

We need to find $n(A \cup B)'$ using the formula $n(U) - n(A \cup B)$.

$$ \begin{aligned} n(A \cup B) &= 45 + 40 - 15 = 70 \\ n(A \cup B)' &= n(U) - n(A \cup B) \\ &= 80 - 70 \\ &= 10 \text{ adults} \end{aligned} $$

Example 1.5

ในห้องเรียนมีนักเรียน 50 คน เล่นฟุตบอล 30 คน และเล่นบาสเกตบอล 25 คน หากมีนักเรียนเล่นทั้งสองกีฬา 10 คน จงหาว่ามีนักเรียนที่เล่นฟุตบอล เพียงกีฬาเดียวเท่านั้น จำนวนกี่คน?

หาจำนวนที่อยู่ในเซต $A$ แต่ไม่อยู่ในส่วนที่ซ้อนทับกับ $B$ นั่นคือ $n(A) - n(A \cap B)$

$$ \begin{aligned} \text{เล่นฟุตบอลเท่านั้น} &= n(A) - n(A \cap B) \\ &= 30 - 10 \\ &= 20 \text{ คน} \end{aligned} $$

In a class of 50 students, 30 play football and 25 play basketball. If 10 students play both sports, how many students play only football?

Find the number in set $A$ excluding the overlap with $B$. That is $n(A) - n(A \cap B)$.

$$ \begin{aligned} \text{Football only} &= n(A) - n(A \cap B) \\ &= 30 - 10 \\ &= 20 \text{ students} \end{aligned} $$

Example 1.6

กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ $U$ มีสมาชิก 100 ตัว ($n(U) = 100$), $n(A) = 50$, $n(B) = 40$ และมีสมาชิกที่ไม่อยู่ในทั้งสองเซตเลย $n(A \cup B)' = 20$ ตัว จงหาจำนวนสมาชิกของ $n(A \cap B)$

หาค่า $n(A \cup B)$ จากการนำ $n(U)$ หักลบส่วนที่ไม่เอาเลย $n(A \cup B)'$ ก่อน

$$ \begin{aligned} n(A \cup B) &= 100 - 20 = 80 \\ n(A \cup B) &= n(A) + n(B) - n(A \cap B) \\ 80 &= 50 + 40 - n(A \cap B) \\ n(A \cap B) &= 90 - 80 = 10 \end{aligned} $$

Given universal set $U$ has 100 elements ($n(U) = 100$), $n(A) = 50$, $n(B) = 40$, and the number of elements in neither set is $n(A \cup B)' = 20$. Find $n(A \cap B)$.

First find $n(A \cup B)$ by subtracting the neither part $n(A \cup B)'$ from $n(U)$.

$$ \begin{aligned} n(A \cup B) &= 100 - 20 = 80 \\ n(A \cup B) &= n(A) + n(B) - n(A \cap B) \\ 80 &= 50 + 40 - n(A \cap B) \\ n(A \cap B) &= 90 - 80 = 10 \end{aligned} $$

Example 1.7

จากการสำรวจประชากร พบว่าชอบดื่มชา 60% และชอบดื่มกาแฟ 50% หากมีผู้ที่ชอบดื่มทั้งสองอย่าง 30% จงหาว่ามีประชากรกี่เปอร์เซ็นต์ที่ไม่ชอบดื่มทั้งสองอย่างเลย?

ให้ $n(U) = 100\%$ การคำนวณทั้งหมดจะใช้หน่วยเปอร์เซ็นต์

$$ \begin{aligned} n(A \cup B) &= 60\% + 50\% - 30\% \\ &= 80\% \\ \text{ไม่ชอบเลย} &= 100\% - 80\% \\ &= 20\% \end{aligned} $$

In a population survey, 60% like tea and 50% like coffee. If 30% like both, what percentage of the population likes neither?

Let $n(U) = 100\%$. All calculations will be in percentages.

$$ \begin{aligned} n(A \cup B) &= 60\% + 50\% - 30\% \\ &= 80\% \\ \text{Like neither} &= 100\% - 80\% \\ &= 20\% \end{aligned} $$

Example 1.8

หากทราบว่าสมาชิกที่อยู่ในเซต $A$ เพียงอย่างเดียว ($n(A - B) = 30$), สมาชิกที่อยู่ในเซต $B$ เพียงอย่างเดียว ($n(B - A) = 20$) และส่วนที่ซ้อนทับกัน $n(A \cap B) = 15$ จงหาค่าของ $n(A \cup B)$

$n(A \cup B)$ เกิดจากการนำพื้นที่ 3 ส่วน (เฉพาะ A + ตรงกลาง + เฉพาะ B) มารวมกันได้เลย

$$ \begin{aligned} n(A \cup B) &= (\text{เฉพาะ } A) + (A \cap B) + (\text{เฉพาะ } B) \\ &= 30 + 15 + 20 \\ &= 65 \end{aligned} $$

If elements in only $A$ ($n(A - B) = 30$), elements in only $B$ ($n(B - A) = 20$), and the intersection $n(A \cap B) = 15$. Find $n(A \cup B)$.

$n(A \cup B)$ is the sum of 3 distinct regions (Only A + Intersection + Only B).

$$ \begin{aligned} n(A \cup B) &= (\text{Only } A) + (A \cap B) + (\text{Only } B) \\ &= 30 + 15 + 20 \\ &= 65 \end{aligned} $$

Example 1.9

กำหนดให้ $n(A \cup B) = 120$ และ $n(A) = 80$ จงหาจำนวนสมาชิกที่อยู่ใน $B$ เพียงอย่างเดียว $n(B - A)$

เนื่องจาก $n(A \cup B)$ คือการนำเซต $A$ ทั้งวงไปรวมกับส่วนที่เป็น "เฉพาะ $B$"

$$ \begin{aligned} n(A \cup B) &= n(A) + (\text{เฉพาะ } B) \\ 120 &= 80 + (\text{เฉพาะ } B) \\ \text{เฉพาะ } B &= 120 - 80 \\ &= 40 \end{aligned} $$

Given $n(A \cup B) = 120$ and $n(A) = 80$, find the number of elements that are in $B$ only, $n(B - A)$.

Since $n(A \cup B)$ is the entire set $A$ combined with "Only $B$".

$$ \begin{aligned} n(A \cup B) &= n(A) + (\text{Only } B) \\ 120 &= 80 + (\text{Only } B) \\ \text{Only } B &= 120 - 80 \\ &= 40 \end{aligned} $$

Example 1.10

ในบริษัทแห่งหนึ่งมีพนักงาน 100 คน มีผู้มีใบขับขี่รถยนต์ 70 คน และรถจักรยานยนต์ 80 คน จงหาว่าต้องมีพนักงานที่มีใบขับขี่ทั้งสองประเภท อย่างน้อยที่สุด กี่คน?

ค่าต่ำสุดของส่วนซ้อนทับจะเกิดเมื่อยูเนียนมีขนาดใหญ่ที่สุด นั่นคือ $n(A \cup B) = 100$

$$ \begin{aligned} n(A \cup B) &\le 100 \\ n(A) + n(B) - n(A \cap B) &\le 100 \\ 70 + 80 - n(A \cap B) &\le 100 \\ 150 - 100 &\le n(A \cap B) \\ n(A \cap B) &\ge 50 \text{ คน} \end{aligned} $$

In a company of 100 employees, 70 have a car license and 80 have a motorcycle license. What is the minimum number of employees who must hold both licenses?

The minimum overlap occurs when the union is maximized, i.e., $n(A \cup B) = 100$.

$$ \begin{aligned} n(A \cup B) &\le 100 \\ n(A) + n(B) - n(A \cap B) &\le 100 \\ 70 + 80 - n(A \cap B) &\le 100 \\ 150 - 100 &\le n(A \cap B) \\ n(A \cap B) &\ge 50 \text{ employees} \end{aligned} $$

สูตรสำหรับ 3 เซต Formula for 3 Sets

เมื่อเพิ่มเงื่อนไขเป็น 3 เซต ($A, B, C$) การรวมกันจะมีความซับซ้อนขึ้น หลักการจำคือ:
บวกเซตเดี่ยวทั้งหมด $\rightarrow$ ลบส่วนที่ซ้อนทับ 2 เซต $\rightarrow$ บวกส่วนที่ซ้อนทับทั้ง 3 เซตกลับเข้ามา

$$ \begin{aligned} n(A \cup B \cup C) &= n(A) + n(B) + n(C) \\ &\quad - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(A \cap C) \\ &\quad + n(A \cap B \cap C) \end{aligned} $$

When dealing with 3 sets ($A, B, C$), the union becomes more complex. The memory rule is:
Add all single sets $\rightarrow$ Subtract the 2-set overlaps $\rightarrow$ Add back the 3-set overlap.

$$ \begin{aligned} n(A \cup B \cup C) &= n(A) + n(B) + n(C) \\ &\quad - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(A \cap C) \\ &\quad + n(A \cap B \cap C) \end{aligned} $$

Example 2.1

กำหนดข้อมูลดังนี้: $n(A)=20$, $n(B)=25$, $n(C)=30$, $n(A \cap B)=10$, $n(B \cap C)=12$, $n(A \cap C)=8$, และ $n(A \cap B \cap C)=5$
จงหาค่าของ $n(A \cup B \cup C)$

$$ \begin{aligned} n(A \cup B \cup C) &= 20 + 25 + 30 - 10 - 12 - 8 + 5 \\ &= 75 - 30 + 5 \\ &= 50 \end{aligned} $$

Given the data: $n(A)=20$, $n(B)=25$, $n(C)=30$, $n(A \cap B)=10$, $n(B \cap C)=12$, $n(A \cap C)=8$, and $n(A \cap B \cap C)=5$.
Find the value of $n(A \cup B \cup C)$.

$$ \begin{aligned} n(A \cup B \cup C) &= 20 + 25 + 30 - 10 - 12 - 8 + 5 \\ &= 75 - 30 + 5 \\ &= 50 \end{aligned} $$

Example 2.2

ให้ $n(A \cup B \cup C) = 100$, $n(A)=50$, $n(B)=60$, $n(C)=40$, $n(A \cap B)=20$, $n(A \cap C)=15$, $n(B \cap C)=25$ จงหา $n(A \cap B \cap C)$

$$ \begin{aligned} 100 &= 50 + 60 + 40 - 20 - 15 - 25 + n(A \cap B \cap C) \\ 100 &= 150 - 60 + n(A \cap B \cap C) \\ 100 &= 90 + n(A \cap B \cap C) \\ n(A \cap B \cap C) &= 100 - 90 \\ &= 10 \end{aligned} $$

Let $n(A \cup B \cup C) = 100$, $n(A)=50$, $n(B)=60$, $n(C)=40$, $n(A \cap B)=20$, $n(A \cap C)=15$, $n(B \cap C)=25$. Find $n(A \cap B \cap C)$.

Example 2.3

จากการสำรวจความชื่นชอบเครื่องดื่มของพนักงานบริษัทจำนวน 120 คน พบข้อมูลดังนี้:
• ชอบดื่มชา 50 คน, กาแฟ 60 คน และนม 40 คน
• ชอบดื่มทั้งชาและกาแฟ 20 คน, ชาและนม 15 คน, กาแฟและนม 10 คน
• ชอบดื่มทั้งสามชนิด 5 คน
จงหาว่ามีพนักงานกี่คนที่ชอบดื่มเครื่องดื่มเหล่านี้อย่างน้อย 1 ชนิด?

แทนค่าเพื่อหา $n(C \cup K \cup N)$

$$ \begin{aligned} n(C \cup K \cup N) &= 50 + 60 + 40 - 20 - 15 - 10 + 5 \\ &= 150 - 45 + 5 \\ &= 110 \text{ คน} \end{aligned} $$

A survey of 120 employees regarding their beverage preferences revealed the following:
• 50 drink tea, 60 drink coffee, and 40 drink milk.
• 20 drink both tea and coffee, 15 drink tea and milk, and 10 drink coffee and milk.
• 5 drink all three beverages.
How many employees drink at least one of these beverages?

Substitute values to find $n(T \cup C \cup M)$.

$$ \begin{aligned} n(T \cup C \cup M) &= 50 + 60 + 40 - 20 - 15 - 10 + 5 \\ &= 150 - 45 + 5 \\ &= 110 \text{ employees} \end{aligned} $$

Example 2.4

จากการสอบถามนักท่องเที่ยว 150 คน ถึงสถานที่ที่เคยไปเยือน พบข้อมูลดังนี้:
• เคยไปทะเล 60 คน, พิพิธภัณฑ์ 70 คน และตลาดกลางคืน 50 คน
• เคยไปทั้งทะเลและพิพิธภัณฑ์ 20 คน, ทะเลและตลาดกลางคืน 15 คน, พิพิธภัณฑ์และตลาดกลางคืน 25 คน
• เคยไปทั้งสามสถานที่ 10 คน
จงหาว่ามีนักท่องเที่ยวกี่คนที่ไม่เคยไปสถานที่ทั้งสามแห่งนี้เลย?

หาจำนวนผู้ที่เคยไปอย่างน้อย 1 ที่ก่อน แล้วนำจำนวนทั้งหมด $n(U)$ ลบออก

$$ \begin{aligned} n(\text{อย่างน้อย 1 ที่}) &= 60 + 70 + 50 - 20 - 15 - 25 + 10 \\ &= 180 - 60 + 10 = 130 \\ \text{คนที่ไม่ไปเลย} &= 150 - 130 \\ &= 20 \text{ คน} \end{aligned} $$

A survey of 150 tourists regarding places they have visited revealed the following:
• 60 visited the beach, 70 visited the museum, and 50 visited the night market.
• 20 visited both the beach and museum, 15 the beach and night market, and 25 the museum and night market.
• 10 visited all three places.
How many tourists did not visit any of these three places?

Find the number of tourists who visited at least one place, then subtract from the total $n(U)$.

$$ \begin{aligned} n(\text{At least 1 place}) &= 60 + 70 + 50 - 20 - 15 - 25 + 10 \\ &= 180 - 60 + 10 = 130 \\ \text{Visited none} &= 150 - 130 \\ &= 20 \text{ tourists} \end{aligned} $$

Example 2.5

ชมรมดนตรีมีสมาชิก 100 คน เล่นกีตาร์ 45 คน, เปียโน 40 คน, กลอง 35 คน
เล่นกีตาร์และเปียโน 15 คน, เล่นกีตาร์และกลอง 10 คน, เล่นเปียโนและกลอง 12 คน
เล่นเครื่องดนตรีทั้งสามชนิด 5 คน
จงหาว่ามีสมาชิกกี่คนที่เล่นกีตาร์ เพียงอย่างเดียวเท่านั้น?

สูตร: กีตาร์อย่างเดียว = $n(G) - n(G \cap P) - n(G \cap D) + n(G \cap P \cap D)$

$$ \begin{aligned} \text{กีตาร์อย่างเดียว} &= 45 - 15 - 10 + 5 \\ &= 30 - 10 + 5 \\ &= 25 \text{ คน} \end{aligned} $$

In a music club of 100 members, 45 play guitar, 40 play piano, and 35 play drums.
15 play guitar and piano, 10 play guitar and drums, and 12 play piano and drums.
5 play all three instruments.
How many members play only guitar?

Formula: Only Guitar = $n(G) - n(G \cap P) - n(G \cap D) + n(G \cap P \cap D)$

$$ \begin{aligned} \text{Only Guitar} &= 45 - 15 - 10 + 5 \\ &= 30 - 10 + 5 \\ &= 25 \text{ members} \end{aligned} $$

Example 2.6

กำหนดให้ $n(A \cup B \cup C) = 100$, $n(B)=40$, $n(C)=50$, $n(A \cap B)=10$, $n(A \cap C)=15$, $n(B \cap C)=20$ และ $n(A \cap B \cap C)=5$
จงหาจำนวนสมาชิกของเซต $A$

$$ \begin{aligned} 100 &= n(A) + 40 + 50 - 10 - 15 - 20 + 5 \\ 100 &= n(A) + 90 - 45 + 5 \\ 100 &= n(A) + 50 \\ n(A) &= 100 - 50 \\ &= 50 \end{aligned} $$

Given $n(A \cup B \cup C) = 100$, $n(B)=40$, $n(C)=50$, $n(A \cap B)=10$, $n(A \cap C)=15$, $n(B \cap C)=20$, and $n(A \cap B \cap C)=5$.
Find the number of elements in set $A$.

$$ \begin{aligned} 100 &= n(A) + 40 + 50 - 10 - 15 - 20 + 5 \\ 100 &= n(A) + 90 - 45 + 5 \\ 100 &= n(A) + 50 \\ n(A) &= 100 - 50 \\ &= 50 \end{aligned} $$

Example 2.7

ให้ผลรวม $n(A \cup B \cup C) = 150$, $n(A)=70$, $n(B)=80$, $n(C)=60$, $n(A \cap C)=20$, $n(B \cap C)=25$, และส่วนที่ซ้อนทับกันทั้งหมด $10$ จงหาค่าของ $n(A \cap B)$

$$ \begin{aligned} 150 &= 70 + 80 + 60 - n(A \cap B) - 20 - 25 + 10 \\ 150 &= 210 - 45 + 10 - n(A \cap B) \\ 150 &= 175 - n(A \cap B) \\ n(A \cap B) &= 175 - 150 \\ &= 25 \end{aligned} $$

Let the union $n(A \cup B \cup C) = 150$, $n(A)=70$, $n(B)=80$, $n(C)=60$, $n(A \cap C)=20$, $n(B \cap C)=25$, and the intersection of all three is $10$. Find $n(A \cap B)$.

$$ \begin{aligned} 150 &= 70 + 80 + 60 - n(A \cap B) - 20 - 25 + 10 \\ 150 &= 210 - 45 + 10 - n(A \cap B) \\ 150 &= 175 - n(A \cap B) \\ n(A \cap B) &= 175 - 150 \\ &= 25 \end{aligned} $$

Example 2.8

กำหนดข้อมูล $n(A \cap B)=15$, $n(A \cap C)=20$, $n(B \cap C)=25$ และ $n(A \cap B \cap C)=5$ จงหาจำนวนสมาชิกที่อยู่ ใน 2 เซตอย่างพอดีเป๊ะ

ต้องนำส่วนที่ซ้อนทับกัน 2 เซตทั้งหมด หักลบจุดตรงกลางสุด (3 เซต) ออกจากทุกคู่

$$ \begin{aligned} \text{อยู่ 2 เซตพอดี} &= [n(A \cap B) - 5] + [n(A \cap C) - 5] + [n(B \cap C) - 5] \\ &= (15 - 5) + (20 - 5) + (25 - 5) \\ &= 10 + 15 + 20 \\ &= 45 \end{aligned} $$

Given $n(A \cap B)=15$, $n(A \cap C)=20$, $n(B \cap C)=25$ and $n(A \cap B \cap C)=5$. Find the number of elements in exactly 2 sets.

Subtract the innermost intersection (3 sets) from each of the pairwise intersections.

$$ \begin{aligned} \text{Exactly 2 sets} &= [n(A \cap B) - 5] + [n(A \cap C) - 5] + [n(B \cap C) - 5] \\ &= (15 - 5) + (20 - 5) + (25 - 5) \\ &= 10 + 15 + 20 \\ &= 45 \end{aligned} $$

Example 2.9

จากตัวอย่างที่ 2.8 หากเพิ่มข้อมูล $n(A)=40, n(B)=50, n(C)=60$ จงหาจำนวนสมาชิกที่อยู่ ใน 1 เซตอย่างพอดีเป๊ะ

นำจำนวนวงเต็ม หักลบพื้นที่ทับซ้อนทั้งหมดที่เกี่ยวข้องทีละวง (คำนวณคล้าย Example 2.5)

$$ \begin{aligned} \text{เฉพาะ } A &= 40 - 15 - 20 + 5 \\ &= 10 \\ \text{เฉพาะ } B &= 50 - 15 - 25 + 5 \\ &= 15 \\ \text{เฉพาะ } C &= 60 - 20 - 25 + 5 \\ &= 20 \\ \text{อยู่ใน 1 เซตพอดี} &= 10 + 15 + 20 \\ &= 45 \end{aligned} $$

From Example 2.8, if $n(A)=40, n(B)=50, n(C)=60$, find the number of elements in exactly 1 set.

Take full circle counts and subtract all related overlapping areas (similar to Ex 2.5).

$$ \begin{aligned} \text{Only } A &= 40 - 15 - 20 + 5 \\ &= 10 \\ \text{Only } B &= 50 - 15 - 25 + 5 \\ &= 15 \\ \text{Only } C &= 60 - 20 - 25 + 5 \\ &= 20 \\ \text{Exactly 1 set} &= 10 + 15 + 20 \\ &= 45 \end{aligned} $$

Example 2.10

ข้อมูลความสนใจวิชาเลือก: วิทย์ 45%, ศิลปะ 55%, กีฬา 40%
วิทย์+ศิลปะ 20%, วิทย์+กีฬา 15%, ศิลปะ+กีฬา 25%
สนใจทั้ง 3 วิชา 10% จงหาเปอร์เซ็นต์นักเรียนที่ไม่สนใจวิชาใดเลย

$$ \begin{aligned} \text{สนใจอย่างน้อย 1 วิชา} &= 45\% + 55\% + 40\% - 20\% - 15\% - 25\% + 10\% \\ &= 140\% - 60\% + 10\% \\ &= 90\% \\ \text{ไม่สนใจเลย} &= 100\% - 90\% \\ &= 10\% \end{aligned} $$

Elective subject interests: Sci 45%, Art 55%, Sports 40%.
Sci+Art 20%, Sci+Sports 15%, Art+Sports 25%.
All three subjects 10%. Find the percentage of students interested in none.

$$ \begin{aligned} \text{At least 1 subject} &= 45\% + 55\% + 40\% - 20\% - 15\% - 25\% + 10\% \\ &= 140\% - 60\% + 10\% \\ &= 90\% \\ \text{None} &= 100\% - 90\% \\ &= 10\% \end{aligned} $$

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ Venn-Euler Diagrams

การใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ช่วยให้เห็นภาพรวมของโจทย์ที่มีความซับซ้อนได้อย่างชัดเจน หลักการสำคัญในการทำโจทย์ด้วยวิธีนี้คือ:
"ให้เริ่มเติมจำนวนสมาชิกจากบริเวณที่ซ้อนทับกันมากที่สุด (ส่วนอินเตอร์เซกชันตรงกลาง) ก่อนเสมอ" จากนั้นค่อยๆ นำไปลบออกจากจำนวนของเซตใหญ่ เพื่อหาพื้นที่ส่วนที่เหลือรอบนอก

Using Venn-Euler diagrams helps visualize complex problems clearly. The key principle in solving problems with this method is:
"Always start filling the number of elements from the most overlapping region (the innermost intersection) first," then gradually subtract it from the total of each set to find the remaining outer areas.

Example 3.1

กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์มีสมาชิก $50$ ตัว, $n(A) = 25$, $n(B) = 20$ และมีสมาชิกร่วมกัน $n(A \cap B) = 8$ จงหาจำนวนสมาชิกที่อยู่ ด้านนอกวงกลมทั้งสอง $(A \cup B)'$

$$ \begin{aligned} \text{ ตรงกลาง } (A \cap B) &= 8 \\ \text{ เฉพาะ } A \text{ อย่างเดียว} &= 25 - 8 \\ &= 17 \\ \text{ เฉพาะ } B \text{ อย่างเดียว} &= 20 - 8 \\ &= 12 \\ \text{ รวมในวงกลม } (A \cup B) &= 17 + 8 + 12 \\ &= 37 \\ \text{ ด้านนอกวงกลม } (A \cup B)' &= 50 - 37 \\ &= 13 \end{aligned} $$

Given a universal set with $50$ elements, $n(A) = 25$, $n(B) = 20$, and shared elements $n(A \cap B) = 8$. Find the number of elements outside both circles $(A \cup B)'$.

$$ \begin{aligned} \text{ Center } (A \cap B) &= 8 \\ \text{ Only } A &= 25 - 8 \\&= 17 \\ \text{ Only } B &= 20 - 8 \\&= 12 \\ \text{ Total in circles } (A \cup B) &= 17 + 8 + 12 \\&= 37 \\ \text{ Outside circles } (A \cup B)' &= 50 - 37 \\&= 13 \end{aligned} $$

Example 3.2

จากการสำรวจคน 100 คน พบว่าชอบกินไก่ 40 คน, หมู 50 คน, ปลา 45 คน
ชอบไก่และหมู 15 คน, ไก่และปลา 20 คน, หมูและปลา 25 คน และชอบทั้งสามอย่าง 10 คน
จงหาว่ามีกี่คนที่ ชอบกินไก่เพียงอย่างเดียว?

เริ่มเติมจากตรงกลางสุด (10 คน) แล้วหาพื้นที่ทับซ้อน 2 เซตที่เกี่ยวกับไก่

$$ \begin{aligned} \text{ชอบ 3 อย่าง (ตรงกลางสุด)} &= 10 \\ \text{เฉพาะไก่และหมู} &= 15 - 10 \\&= 5 \\ \text{เฉพาะไก่และปลา} &= 20 - 10 \\&= 10 \\ \text{เฉพาะไก่เพียงอย่างเดียว} &= n(\text{ไก่}) - (\text{พื้นที่ทับซ้อนในวงไก่}) \\ &= 40 - (5 + 10 + 10) \\ &= 40 - 25 \\ &= 15 \text{ คน} \end{aligned} $$

In a survey of 100 people, 40 like chicken, 50 like pork, and 45 like fish.
15 like chicken and pork, 20 like chicken and fish, 25 like pork and fish, and 10 like all three.
How many people like only chicken?

Start from the very center (10 people) and find the 2-set overlaps related to chicken.

$$ \begin{aligned} \text{All 3 (Center)} &= 10 \\ \text{Only chicken and pork} &= 15 - 10 \\&= 5 \\ \text{Only chicken and fish} &= 20 - 10 \\&= 10 \\ \text{Only chicken} &= n(\text{Chicken}) - (\text{Overlaps in chicken circle}) \\ &= 40 - (5 + 10 + 10) \\ &= 40 - 25 \\ &= 15 \text{ people} \end{aligned} $$

Example 3.3

นักเรียนกลุ่มหนึ่งมี 60 คน เล่นเกม A จำนวน 30 คน, เล่นเกม B จำนวน 35 คน และไม่เล่นเกมใดเลย 5 คน จงหาว่ามีนักเรียนกี่คนที่เล่นทั้งสองเกม?

โจทย์ไม่ได้บอกส่วนที่ซ้อนทับกันมา ให้สมมติพื้นที่ตรงกลางเป็นตัวแปร $x$ และสร้างสมการ

$$ \begin{aligned} \text{สมมติ เล่นทั้ง 2 เกม} &= x \\ n(U) &= (\text{เฉพาะ } A) + x + (\text{เฉพาะ } B) + \text{ด้านนอก} \\ 60 &= (30 - x) + x + (35 - x) + 5 \\ 60 &= 70 - x \\ x &= 70 - 60 \\ x &= 10 \text{ คน} \end{aligned} $$

In a group of 60 students, 30 play game A, 35 play game B, and 5 do not play any game. How many students play both games?

The overlap is unknown. Let the center region be variable $x$ and set up an equation.

$$ \begin{aligned} \text{Let Both games} &= x \\ n(U) &= (\text{Only } A) + x + (\text{Only } B) + \text{Outside} \\ 60 &= (30 - x) + x + (35 - x) + 5 \\ 60 &= 70 - x \\ x &= 70 - 60 \\ x &= 10 \text{ students} \end{aligned} $$

Example 3.4

เอกภพสัมพัทธ์ $n(U) = 120$ ตัว, $n(A)=60, n(B)=70$ สมาชิกด้านนอกวงกลมคือ $n(A \cup B)' = 10$ ตัว จงหาสมาชิกจุดศูนย์กลาง $n(A \cap B)$ ผ่านการมองแผนภาพ

ถ้าด้านนอกมี 10 แสดงว่าในวงกลมทั้งคู่รวมกันต้องมี 110

$$ \begin{aligned} \text{วงกลมรวมกัน } n(A \cup B) &= 120 - 10 = 110 \\ \text{จุดศูนย์กลาง } n(A \cap B) &= n(A) + n(B) - n(A \cup B) \\ &= 60 + 70 - 110 \\ &= 130 - 110 \\&= 20 \end{aligned} $$

Universal set is $n(U) = 120$, $n(A)=60, n(B)=70$. Elements outside circles is $n(A \cup B)' = 10$. Find the center $n(A \cap B)$ visually.

If outside is 10, the total inside the circles must be 110.

$$ \begin{aligned} \text{Circles combined } n(A \cup B) &= 120 - 10 = 110 \\ \text{Center } n(A \cap B) &= n(A) + n(B) - n(A \cup B) \\ &= 60 + 70 - 110 \\ &= 130 - 110 \\ &= 20 \end{aligned} $$

Example 3.5

สัดส่วนประชากรเซต $n(A):n(B)$ คือ $1:2$ หากมีสมาชิกร่วมกัน $n(A \cap B) = 10$ ตัวและยอดรวม $n(A \cup B) = 50$ จงหาจำนวนสมาชิกเซต $A$

แทน $n(A) = x$ และ $n(B) = 2x$ แล้วลบจุดตรงกลางเพื่อใส่ในแผนภาพ

$$ \begin{aligned} (x - 10) + 10 + (2x - 10) &= 50 \\ 3x - 10 &= 50 \\ 3x &= 60 \\ x &= 20 \\ n(A) &= 20 \end{aligned} $$

The ratio of set $n(A):n(B)$ is $1:2$. If they share $n(A \cap B) = 10$ elements and total $n(A \cup B) = 50$, find $n(A)$.

Let $n(A) = x$ and $n(B) = 2x$, then subtract the center to fill the diagram.

$$ \begin{aligned} (x - 10) + 10 + (2x - 10) &= 50 \\ 3x - 10 &= 50 \\ 3x &= 60 \\ x &= 20 \\ n(A) &= 20 \end{aligned} $$

Example 3.6

กำหนด $A$ และ $C$ เป็นเซตที่ไม่มีสมาชิกร่วมกันเลย ($A \cap C = \emptyset$) หาก $n(A)=30, n(B)=40, n(C)=30$, $n(A \cap B) = 10, n(B \cap C) = 15$ จงหายูเนียนทั้งหมด $n(A \cup B \cup C)$

วาด 3 วงตามปกติ แต่จุดที่ $A$ และ $C$ เกี่ยวข้องกันจะเป็น $0$ เสมอ

$$ \begin{aligned} n(A \cup B \cup C) &= 20 + 10 + 15 + 15 + 15 \\ &= 75 \end{aligned} $$

Sets $A$ and $C$ are mutually exclusive ($A \cap C = \emptyset$). If $n(A)=30, n(B)=40, n(C)=30$, $n(A \cap B) = 10, n(B \cap C) = 15$. Find total union $n(A \cup B \cup C)$.

Draw 3 circles normally, but any intersection involving A and C is always $0$.

$$ \begin{aligned} n(A \cup B \cup C) &= 20 + 10 + 15 + 15 + 15 \\ &= 75 \end{aligned} $$

Example 3.7

กำหนดให้ $n(A \cup B \cup C) = 90$, $n(A)=40$, $n(B)=50$, $n(C)=60$ และมีส่วนซ้อนทับสองเซตคือ $n(A \cap B)=20$, $n(A \cap C)=15$, $n(B \cap C)=30$ จงหาจำนวนสมาชิกของจุดศูนย์กลาง $n(A \cap B \cap C)$ (สมมติให้เป็น $x$)

สามารถสมมติตัวแปรกลางแผนภาพ หรือใช้สูตร 3 เซตโดยตรงเพื่อความรวดเร็ว

$$ \begin{aligned} 90 &= 40 + 50 + 60 - 20 - 15 - 30 + x \\ 90 &= 150 - 65 + x \\ 90 &= 85 + x \\ x &= 90 - 85 \\ &= 5 \end{aligned} $$

Given $n(A \cup B \cup C) = 90$, $n(A)=40$, $n(B)=50$, $n(C)=60$, and pairwise overlaps $n(A \cap B)=20$, $n(A \cap C)=15$, $n(B \cap C)=30$. Find the center $n(A \cap B \cap C)$ (let it be $x$).

You can use variables in the diagram, or apply the 3-set formula directly for speed.

$$ \begin{aligned} 90 &= 40 + 50 + 60 - 20 - 15 - 30 + x \\ 90 &= 150 - 65 + x \\ 90 &= 85 + x \\ x &= 90 - 85 \\ &= 5 \end{aligned} $$

Example 3.8

กำหนดให้พื้นที่แต่ละส่วนย่อยในแผนภาพเวนน์เป็นดังนี้: สมาชิกในเซตเดียวเท่านั้น $n(A \cap B' \cap C') = 15$, $n(A' \cap B \cap C') = 20$, $n(A' \cap B' \cap C) = 25$ สมาชิกในสองเซตพอดีรวมกันได้ 30 และสมาชิกในทั้งสามเซตคือ $n(A \cap B \cap C) = 10$ จงหาจำนวนสมาชิกทั้งหมดของยูเนียน $n(A \cup B \cup C)$

แผนภาพเวนน์แบ่งออกเป็น 3 หมวดหมู่หลักแบบไม่ซ้อนทับกัน สามารถนำทุกก้อนมารวมกันได้เลย

$$ \begin{aligned} n(A \cup B \cup C) &= \Sigma(\text{เฉพาะ } 1) + \Sigma(\text{เฉพาะ } 2) + \Sigma(\text{ทั้ง } 3) \\ &= (15 + 20 + 25) + 30 + 10 \\ &= 60 + 30 + 10 \\ &= 100 \end{aligned} $$

Given the elements of disjoint regions in a Venn diagram: only one set elements are $n(A \cap B' \cap C') = 15$, $n(A' \cap B \cap C') = 20$, and $n(A' \cap B' \cap C) = 25$. The elements in exactly two sets sum to 30, and the elements in all three sets is $n(A \cap B \cap C) = 10$. Find the total union $n(A \cup B \cup C)$.

Venn diagram splits into 3 main disjoint categories. Just sum up all these pieces.

$$ \begin{aligned} n(A \cup B \cup C) &= \Sigma(\text{Exactly } 1) + \Sigma(\text{Exactly } 2) + \Sigma(\text{All } 3) \\ &= (15 + 20 + 25) + 30 + 10 \\ &= 60 + 30 + 10 \\ &= 100 \end{aligned} $$

Example 3.9

ถ้าเอกภพสัมพัทธ์มี 100 คน ($n(U) = 100$), $n(A) = 30$ และ $n(B) = 40$ จงหายูเนียนที่ มากที่สุด ที่เป็นไปได้

ยูเนียนจะมากที่สุดเมื่อ 2 วงกลมผลักแยกออกจากกันจนไม่ทับซ้อนเลย ($A \cap B = \emptyset$)

$$ \begin{aligned} \text{Max } n(A \cup B) &= 30 + 40 \\ &= 70 \quad (\text{ซึ่งไม่เกิน } 100 \text{ จึงเป็นไปได้}) \end{aligned} $$

If universal set has 100 people ($n(U) = 100$), $n(A) = 30$ and $n(B) = 40$. Find the maximum possible union.

Union is maximized when the 2 circles push apart and don't overlap at all ($A \cap B = \emptyset$).

$$ \begin{aligned} \text{Max } n(A \cup B) &= 30 + 40 \\ &= 70 \quad (\text{Valid, since } \le 100) \end{aligned} $$

Example 3.10

กำหนดให้ $A \subset B$ (สมาชิกทั้งหมดของ A เป็นของ B ด้วย) $n(A)=20$, $n(B)=50$ จงหา $n(A \cap B)$ และ $n(A \cup B)$

แผนภาพจะถูกวาดโดยที่วง $A$ อยู่ข้างในวง $B$ ทั้งใบ

$$ \begin{aligned} \text{ส่วนซ้อนทับ } n(A \cap B) &= n(A) \\&= 20 \\ \text{รวมกัน } n(A \cup B) &= n(B) \\ &= 50 \end{aligned} $$

Given $A \subset B$ (All elements of A are in B), $n(A)=20$, $n(B)=50$. Find $n(A \cap B)$ and $n(A \cup B)$.

The diagram shows circle $A$ completely inside circle $B$.

$$ \begin{aligned} \text{Overlap } n(A \cap B) &= n(A) \\&= 20 \\ \text{Union } n(A \cup B) &= n(B) \\&= 50 \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Set	secta (a sequence, a following)	เซต · กลุ่มของสิ่งต่างๆ ที่เราสามารถระบุได้อย่างชัดเจนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่มนั้นบ้าง
Element	elementum (first principle)	สมาชิก · สิ่งที่บรรจุอยู่ภายในเซต
Finite Set	finis (end, limit)	เซตจำกัด · เซตที่เราสามารถนับจำนวนสมาชิกได้ครบถ้วน (บอกจำนวนเป็นตัวเลขได้)
Union	unio (oneness)	ยูเนียน ($\cup$) · การนำสมาชิกของเซตตั้งแต่สองเซตขึ้นไปมารวมกันทั้งหมด
Intersection	inter- (between) + secare (to cut)	อินเตอร์เซกชัน ($\cap$) · บริเวณหรือส่วนที่สมาชิกของสองเซตมีซ้ำกัน
Universal Set	universus (whole, entire)	เอกภพสัมพัทธ์ ($U$) · ขอบเขตของเซตใหญ่ที่สุดที่เรากำลังพิจารณาในโจทย์ปัญหานั้นๆ