โจทย์ปัญหาเซต

💡

เทคนิคการแก้โจทย์ / Solving Techniques

การแก้โจทย์ปัญหาเซตสามารถทำได้ 2 วิธีหลัก:

วิธีที่ 1 — ใช้แผนภาพเวนน์: วาดวงกลมแทนเซต แล้วเติมจำนวนสมาชิกจาก "ส่วนที่ซ้ำกันมากที่สุด" ออกไปด้านนอก
วิธีที่ 2 — ใช้สูตร: แทนค่าลงในสูตร $n(A \cup B)$ หรือ $n(A \cup B \cup C)$

There are two primary methods to solve set problems:

Method 1 — Venn Diagrams: Draw circles and fill in values starting from the "most overlapping" region outwards.
Method 2 — Formulas: Plug values into the Inclusion-Exclusion formulas for 2 or 3 sets.

คำสำคัญในโจทย์ / Key Keywords

อย่างน้อยหนึ่ง (At least one) $n(A \cup B)$

สมาชิกที่อยู่ใน A หรือ B หรือทั้งคู่

ทั้งคู่ / ทั้งหมด (Both / All) $n(A \cap B)$

สมาชิกที่ซ้ำกันในทุกเซตที่ระบุ

ไม่เลย (Neither / None) $n(A \cup B)'$

สมาชิกที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ แต่อู่นอกเซตที่ศึกษา

...เท่านั้น (Only / Exactly A) $n(A) - n(A \cap B)$

สมาชิกที่อยู่ในเซสนั้นๆ โดยไม่ซ้ำกับเซตอื่น

📝 โจทย์ปัญหา 2 เซต / 2-Set Problems

ตัวอย่างโจทย์และการแสดงวิธีทำ

วิชาที่ชอบ / Favorite Subjects

นักเรียน 50 คน พบว่าชอบคณิตศาสตร์ 30 คน ชอบวิทยาศาสตร์ 25 คน และชอบทั้งสองวิชา 10 คน จะมีนักเรียนที่ไม่ชอบทั้งสองวิชากี่คน?

Out of 50 students, 30 like Math, 25 like Science, and 10 like both. How many students like neither subject?

1. กำหนดเซต: ให้ $M$ แทนคณิตศาสตร์, $S$ แทนวิทยาศาสตร์

2. ข้อมูลที่โจทย์ให้: $n(U)=50, n(M)=30, n(S)=25, n(M \cap S)=10$

3. ใช้สูตรหา $n(M \cup S)$: \[n(M \cup S) = n(M) + n(S) - n(M \cap S)\] \[n(M \cup S) = 30 + 25 - 10 = 45\]

4. หาคนที่ไม่ชอบเลย: \[n(M \cup S)' = n(U) - n(M \cup S) = 50 - 45 = 5\]

ตอบ: 5 คน (students)

เครื่องดื่ม / Beverages

คน 100 คน พบว่าดื่มกาแฟ 60 คน ดื่มชา 50 คน ทุกคนต้องดื่มอย่างน้อยหนึ่งอย่าง จงหาจำนวนคนที่ดื่มทั้งกาแฟและชา

In a group of 100 people, 60 drink coffee and 50 drink tea. If everyone drinks at least one of these, find the number of people who drink both.

1. กำหนดเซต: $C$ = Coffee, $T$ = Tea

2. ข้อมูล: $n(C \cup T) = 100$ (เพราะทุกคนดื่มอย่างน้อยหนึ่งอย่าง), $n(C)=60, n(T)=50$

3. แทนค่าในสูตร: \[100 = 60 + 50 - n(C \cap T)\] \[100 = 110 - n(C \cap T)\] \[n(C \cap T) = 110 - 100 = 10\]

ตอบ: 10 คน (people)

พาหนะ / Vehicles

การสำรวจ 200 ครอบครัว พบว่ามีรถยนต์ 120 ครอบครัว มีจักรยาน 90 ครอบครัว และมีทั้งสองอย่าง 40 ครอบครัว จะมีกี่ครอบครัวที่มี "เฉพาะรถยนต์เท่านั้น"

A survey of 200 families shows that 120 own a car, 90 own a bike, and 40 own both. How many families own "only a car"?

1. กำหนดเซต: $C$ = Car, $B$ = Bike

2. สูตรหา "เฉพาะ A": $n(A \text{ only}) = n(A) - n(A \cap B)$

3. คำนวณ: \[n(C \text{ only}) = n(C) - n(C \cap B)\] \[n(C \text{ only}) = 120 - 40 = 80\]

ตอบ: 80 ครอบครัว (families)

ชมรมกีฬา / Sports Club

ชมรมหนึ่งมีคนเล่นฟุตบอล 80 คน เล่นบาสเกตบอล 70 คน เล่นทั้งสองอย่าง 30 คน และมีคนที่ไม่เล่นอะไรเลย 20 คน จงหาจำนวนสมาชิกทั้งหมดของชมรมนี้

In a club, 80 people play football, 70 play basketball, 30 play both, and 20 play neither. Find the total number of members in the club.

1. หา $n(F \cup B)$ ก่อน: \[n(F \cup B) = 80 + 70 - 30 = 120\]

2. จำนวนทั้งหมด $n(U)$ คือคนที่เล่นบวกกับคนไม่เล่น: \[n(U) = n(F \cup B) + n(F \cup B)'\] \[n(U) = 120 + 20 = 140\]

ตอบ: 140 คน (members)

ภาษาต่างประเทศ / Foreign Languages

นักเรียนกลุ่มหนึ่งเรียนภาษาอังกฤษ 150 คน เรียนภาษาฝรั่งเศส 100 คน เรียนทั้งสองภาษา 40 คน และมีคนไม่เรียนทั้งสองภาษา 10 คน จะมีกี่คนที่เรียน "ฝรั่งเศสเพียงอย่างเดียว"

A group of students consists of 150 studying English, 100 studying French, 40 studying both, and 10 studying neither. How many students study "only French"?

1. สูตรฝรั่งเศสอย่างเดียว: $n(F) - n(E \cap F)$

2. คำนวณ: \[n(F \text{ only}) = 100 - 40 = 60\]

หมายเหตุ: ข้อมูลนักเรียนไม่เรียนทั้งสองภาษา (10 คน) โจทย์หลอกให้เราสับสน ไม่ส่งผลต่อคำถาม "ฝรั่งเศสอย่างเดียว" (Notes: The 10 who study neither doesn't affect the 'only French' count).

ตอบ: 60 คน (students)

📝 โจทย์ปัญหา 3 เซต / 3-Set Problems

ความท้าทายที่ซับซ้อนขึ้น พร้อมเครื่องมือแผภาพเวนน์

ผลการสอบ / Exam Results

จากนักเรียน 100 คน: สอบผ่านคณิต 50 คน, ฟิสิกส์ 40 คน, เคมี 30 คน. ผ่านทั้งคณิตและฟิสิกส์ 20 คน, คณิตและเคมี 15 คน, ฟิสิกส์และเคมี 10 คน. และผ่านทั้งสามวิชา 5 คน. มีกี่คนที่ไม่ผ่านวิชาใดเลย?

Out of 100 students: 50 passed Math, 40 Physics, 30 Chemistry. 20 passed M&P, 15 M&C, 10 P&C. 5 passed all three. How many failed all subjects?

1. ใช้สูตร 3 เซตหา $n(M \cup P \cup C)$: \[n(\cup) = (50+40+30) - (20+15+10) + 5\] \[n(\cup) = 120 - 45 + 5 = 80\]

2. หาคนที่ไม่ผ่านเลย: \[100 - 80 = 20\]

ตอบ: 20 คน (students)

เครื่องดนตรี / Musical Instruments

นักเรียน 200 คนศึกษาดนตรี: 80 คนเรียนเปียโน, 70 ไวโอลิน, 60 กีตาร์. มี 30 คนเรียนเปียโนและไวโอลิน, 25 เรียนเปียโนและกีตาร์, 20 ไวโอลินและกีตาร์. มี 10 คนเรียนทั้งสามอย่าง. จะมีกี่คนที่เรียน "เปียโนเพียงอย่างเดียว"

200 students study music: 80 Piano, 70 Violin, 60 Guitar. 30 study P&V, 25 P&G, 20 V&G. 10 study all three. How many study "Piano only"?

1. วิเคราะห์เปียโนอย่างเดียว (Piano Only): คือ $n(P)$ ลบออกด้วยผู้ที่เรียนเครื่องอื่นด้วย: \[n(P \text{ only}) = n(P) - [n(P \cap V) + n(P \cap G) - n(P \cap V \cap G)]\]

2. คำนวณ: \[n(P \text{ only}) = 80 - [30 + 25 - 10]\] \[n(P \text{ only}) = 80 - 45 = 35\]

ตอบ: 35 คน (students)

วารสาร / Reading Magazines

หมู่บ้าน 500 หลัง: 250 หลังอ่านเล่ม A, 200 อ่านเล่ม B, 150 อ่านเล่ม C. 100 หลังอ่าน A&B, 80 อ่าน A&C, 60 อ่าน B&C. 40 หลังอ่านทั้งสามเล่ม. มีกี่หลังที่อ่าน "อย่างน้อย 2 เล่ม"

In a village of 500: 250 read A, 200 read B, 150 read C. 100 read A&B, 80 read A&C, 60 read B&C. 40 read all three. How many read "at least two"?

1. วิเคราะห์คำว่า "อย่างน้อย 2 เล่ม": คือ (A&B เท่านั้น) + (A&C เท่านั้น) + (B&C เท่านั้น) + (ทั้งสามเล่ม)

2. ใช้สูตรลัด: $n(A\cap B) + n(A\cap C) + n(B\cap C) - 2 \cdot n(A\cap B\cap C)$

3. คำนวณ: \[(100 + 80 + 60) - 2(40)\] \[240 - 80 = 160\]

ตอบ: 160 หลัง (houses)

สถานที่เที่ยว / Travel Destinations

คน 150 คน: ชอบทะเล 90, ภูเขา 80, ป่า 70. ชอบทั้ง ทะเล&ภูเขา 50, ทะเล&ป่า 40, ภูเขา&ป่า 35. มีคนชอบทั้งสามอย่าง 20 คน. มีกี่คนที่ชอบ "ภูเขาและป่า แต่ไม่ชอบทะเล"

150 people: 90 like Sea, 80 Mountain, 70 Forest. 50 S&M, 40 S&F, 35 M&F. 20 like all three. How many like "Mountain and Forest but NOT Sea"?

1. โจทย์ถาม $n(M \cap F)$ ที่ไม่รวม $S$: นี้คือส่วน (Mountain & Forest only)

2. คำนวณ: \[n(M \cap F \text{ only}) = n(M \cap F) - n(M \cap F \cap S)\] \[35 - 20 = 15\]

ตอบ: 15 คน (people)

การใช้งานแอป / App Usage

ยูสเซอร์ 200 คน: ใช้ Line 120, Facebook 100, TikTok 80. ใช้ L&F 60, L&T 50, F&T 40. ใช้ทั้งสามแอป 30 คน. มีกี่คนที่ใช้ "แอปเพียงชนิดเดียว"

200 users: 120 use Line, 100 Facebook, 80 TikTok. 60 L&F, 50 L&T, 40 F&T. 30 use all three. How many use "exactly one app"?

1. หาจำนวนคนที่ใช้แอปเดียวของแต่ละอย่างก่อน: - Line เท่านั้น = $120 - (60 + 50 - 30) = 120 - 80 = 40$ - FB เท่านั้น = $100 - (60 + 40 - 30) = 100 - 70 = 30$ - TikTok เท่านั้น = $80 - (50 + 40 - 30) = 80 - 60 = 20$

2. รวมกัน: $40 + 30 + 20 = 90$

ตอบ: 90 คน (users)

🖼️ โจทย์ปัญหา 2 เซต (แผนภาพ) / 2-Set (Diagram Solutions)

การฝึกแก้โจทย์ด้วยการเติมข้อมูลลงในแผนภาพเวนน์

เจ้่าของสัตว์เลี้ยง / Pet Owners

มีคน 60 คน: พบว่าเลี้ยงสุนัข (D) 30 คน, เลี้ยงแมว (C) 25 คน, เลี้ยงทั้งสองอย่าง 10 คน. จะมีคนที่เลี้ยง "สุนัขเพียงอย่างเดียว" กี่คน?

60 people: 30 own dogs (D), 25 own cats (C), 10 own both. How many own "only dogs"?

1. เติมตรงกลาง: $n(D \cap C) = 10$

2. หา "D เท่านั้น": $30 - 10 = 20$

3. หา "C เท่านั้น": $25 - 10 = 15$

ตอบ: 20 คน (only dogs)

ภาษาต่างชาติ / Foreign Languages

นักเรียน 80 คน เรียนภาษาญี่ปุ่น (J) 45 คน, เรียนภาษาเกาหลี (K) 40 คน. ทุกคนต้องเรียนอย่างน้อยหนึ่งอย่าง. จงหาคนที่เรียนทั้งสองอย่าง

80 students: 45 study Japanese (J), 40 study Korean (K). Everyone studies at least one. Find those who study both.

1. รวม J & K: $45 + 40 = 85$

2. ส่วนที่เกิน 80: คือส่วนที่ซ้ำกัน $85 - 80 = 5$

ตอบ: 5 คน (both)

โซเชียลมีเดีย / Social Media

ยูสเซอร์ 150 คน: ใช้ Facebook (F) 90 คน, ใช้ IG (I) 70 คน, ไม่ใช้เลย 20 คน. มีกี่คนที่ใช้ IG เพียงอย่างเดียว?

150 users: 90 use Facebook (F), 70 use IG (I), 20 use neither. How many use "only IG"?

1. หา $n(F \cup I)$: $150 - 20 = 130$

2. หาตัวซ้ำ: $(90 + 70) - 130 = 30$

3. หา "IG เท่านั้น": $70 - 30 = 40$

ตอบ: 40 คน (only IG)

เมนูอาหาร / Food Menu

100 คน: ชอบส้มตำ (S) 70 คน, ชอบไก่ย่าง (G) 60 คน, ชอบทั้งสองอย่าง 40 คน. คนที่ชอบ "อย่างมากหนึ่งอย่าง" มีกี่คน?

100 people: 70 like Somtum (S), 60 like Grill Chicken (G), 40 like both. How many like "at most one"?

1. เติมแผนภาพ: ตรงกลาง 40, S เท่านั้น 30, G เท่านั้น 20. นอกวง $100 - (30+40+20) = 10$

2. "อย่างมากหนึ่งอย่าง": คือ (S เท่านั้น) + (G เท่านั้น) + (ไม่ชอบเลย)

3. คำนวณ: $30 + 20 + 10 = 60$

ตอบ: 60 คน (at most one)

การท่องเที่ยว / Travel

200 คน: ไปภูเก็ต (P) 120 คน, ไปเชียงใหม่ (C) 80 คน, ไปทั้งสองที่ 50 คน. มีกี่คนที่ไม่เคยไปเชียงใหม่?

200 tourists: 120 visit Phuket (P), 80 visit Chiang Mai (C), 50 visit both. How many have NOT visited Chiang Mai?

1. เติมแผนภาพ: P-only = $120-50=70$, Both=50, C-only = $80-50=30$, None = $200-150=50$

2. ไม่ไปเชียงใหม่ (NOT C): คือ (P เท่านั้น) + (ไม่ไปเลย)

3. คำนวณ: $70 + 50 = 120$

ตอบ: 120 คน (NOT C)

🖼️ โจทย์ปัญหา 3 เซต (แผนภาพ) / 3-Set (Diagram Solutions)

ความท้าทายที่ซับซ้อนขึ้น พร้อมเครื่องมือแผภาพเวนน์

การสำรวจความชอบกีฬา / Sports Interest Survey

นักเรียน 100 คน: ชอบฟุตบอล (F) 45 คน, บาสเกตบอล (B) 40 คน, วอลเลย์บอล (V) 35 คน. ชอบ F&B 15 คน, F&V 12 คน, B&V 10 คน. และชอบทั้งสามอย่าง 5 คน.
จงหา: 1) คนที่ชอบฟุตบอลอย่างเดียว 2) คนที่ไม่ชอบกีฬาใดเลย

100 students: 45 like Football (F), 40 Basketball (B), 35 Volleyball (V). 15 like F&B, 12 like F&V, 10 like B&V. 5 like all three.
Find: 1) Only Football 2) Like none

1. เติมจาก "ในสุด": ใส่เลข 5 ในส่วนที่ซ้ำกันทั้ง 3 วง

2. เติมส่วนที่ซ้ำ 2 วง: (ต้องลบส่วนที่ซ้ำ 3 ออก)

F&B เท่านั้น = $15 - 5 = 10$
F&V เท่านั้น = $12 - 5 = 7$
B&V เท่านั้น = $10 - 5 = 5$

3. เติมวงที่เหลือ (เฉพาะอย่างเดียว):

ฟุตบอลอย่างเดียว = $45 - (10+5+7) = 23$
บาสฯ อย่างเดียว = $40 - (10+5+5) = 20$
วอลเลย์ฯ อย่างเดียว = $35 - (7+5+5) = 18$

สรุปผล / Summary:
1. ฟุตบอลอย่างเดียว = 23 คน
2. ไม่ชอบเลย = $100 - (23+20+18+10+7+5+5) = 100 - 88 = $ 12 คน

ชมรมในโรงเรียน / School Clubs

นักเรียน 120 คน: ชมรมดนตรี (M) 50 คน, ศิลปะ (A) 40 คน, กีฬา (S) 45 คน. ซ้ำ M&A 15, M&S 12, A&S 10 และซ้ำทั้งสามชมรม 5 คน. มีกี่คนที่ไม่เข้าชมรมเลย?

120 students: Music (M) 50, Art (A) 40, Sport (S) 45. M&A 15, M&S 12, A&S 10. All three 5. How many join no clubs?

1. เติมจาก "ในสุด" (All 3) = 5

2. เติมส่วนซ้ำ 2 วง: (M&A เท่านั้น = $15-5=10$, M&S เท่านั้น = $12-5=7$, A&S เท่านั้น = $10-5=5$)

3. เติมวงที่เหลือ: (M-only = $50-22=28$, A-only = $40-20=20$, S-only = $45-17=28$)

ตอบ: รวมในวง = 103, ไม่เข้าชมรม = $120 - 103 = $ 17 คน

เครื่องดื่มยอดฮิต / Popular Drinks

คน 150 คน: กาแฟ (C) 80, ชา (T) 70, น้ำผลไม้ (J) 60. ซ้ำ C&T 30, C&J 25, T&J 20. ซ้ำทั้งสามอย่าง 12 คน. มีกี่คนที่ดื่ม "กาแฟเพียงอย่างเดียว"?

150 people: Coffee (C) 80, Tea (T) 70, Juice (J) 60. C&T 30, C&J 25, T&J 20. All three 12. How many drink "Coffee only"?

1. เติมจาก "ในสุด" = 12

2. เติมส่วนซ้ำที่ติดกับ Coffee:

C&T เท่านั้น = $30-12 = 18$
C&J เท่านั้น = $25-12 = 13$

3. คำนวณ Coffee อย่างเดียว: $80 - (18 + 12 + 13) = 37$

ตอบ: 37 คน (Coffee only)

อุปกรณ์ไอที / IT Devices

200 ยูสเซอร์: มือถือ (P) 150, คอมฯ (C) 100, แท็บเล็ต (T) 80. ซ้ำ P&C 60, P&T 50, C&T 40. ซ้ำสามอย่าง 30 คน. มีกี่คนที่ใช้ "คอมพิวเตอร์เพียงอย่างเดียว"?

200 users: Phone (P) 150, PC (C) 100, Tablet (T) 80. P&C 60, P&T 50, C&T 40. All three 30. How many use "PC only"?

คำนวณ PC อย่างเดียว:

PC&Phone เท่านั้น = $60-30 = 30$
PC&Tablet เท่านั้น = $40-30 = 10$
PC อย่างเดียว = $100 - (30 + 30 + 10) = 30$

ตอบ: 30 คน (PC only)

วิชาเรียน / Subjects

100 คน: คณิต (M) 50, วิทย์ (S) 45, อังกฤษ (E) 40. ซ้ำ M&S 20, M&E 15, S&E 12. ทั้งสามวิชา 8 คน. มีกี่คนที่ชอบ "คณิตและวิทย์ แต่ไม่ชอบอังกฤษ"?

100 students: Math (M) 50, Sci (S) 45, Eng (E) 40. M&S 20, M&E 15, S&E 12. All three 8. How many like "Math and Sci but NOT Eng"?

1. วิเคราะห์คำถาม: คือบริเวณ $n(M \cap S)$ ส่วนที่อู่นอก $E$ (เรียกว่า M&S only)

2. คำนวณ: $20 - 8 = 12$

ตอบ: 12 คน

สวัสดิการ / Employee Welfare

300 คน: เงินเดือน (S) 180, โบนัส (B) 150, สวัสดิการ (W) 120. ซ้ำ S&B 80, S&W 70, B&W 60. ซ้ำทั้งสามอย่าง 40 คน. มีคนที่ได้รับสวัสดิการ "อย่างน้อย 2 อย่าง" กี่คน?

300 employees: Salary (S) 180, Bonus (B) 150, Welfare (W) 120. S&B 80, S&W 70, B&W 60. All three 40. How many receive "at least two"?

1. "อย่างน้อย 2 อย่าง": คือพื้นที่ทับซ้อนทั้งหมด (S&B only + S&W only + B&W only + All 3)

2. คำนวณแต่ละส่วน:

S&B เท่านั้น = $80-40 = 40$
S&W เท่านั้น = $70-40 = 30$
B&W เท่านั้น = $60-40 = 20$
รวม = $40 + 30 + 20 + 40 = 130$

ตอบ: 130 คน

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์ (Word)	รากศัพท์ (Root)	ความหมาย (Meaning)
Universal Set	universalis (general)	เอกภพสัมพัทธ์ · ขอบเขตของสมาชิกทั้งหมดที่พิจารณา
Venn Diagram	John Venn (Inventor)	แผนภาพเวนน์ · แผนภาพที่ใช้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างเซต
Union	unio (oneness)	ยูเนียน · การรวมกันของสมาชิกในเซต
Intersection	intersect (cut between)	อินเตอร์เซกชัน · ส่วนที่ซ้ำกันของสมาชิกในเซต
Complement	complere (fill up)	คอมพลีเมนต์ · สมาชิกที่ไม่อยู่ในเซตนั้นแต่อยู่ใน U
Difference	differre (set apart)	ผลต่าง · สมาชิกที่อยู่ในเซตหนึ่งแต่ไม่อยู่ในอีกเซตหนึ่ง
Region	regio (district)	บริเวณ/พื้นที่ · พื้นที่ย่อยในแผนภาพเวนน์