ความสัมพันธ์ระหว่างเซต

เซตแต่ละเซตไม่ได้อยู่โดดเดี่ยว แต่สามารถมีความสัมพันธ์ต่อกันได้ในหลายรูปแบบ ไม่ว่าจะเป็นการเป็นเซตเดียวกันทุกประการ การเป็นส่วนหนึ่งของอีกเซต หรือการสร้างเซตใหม่จากสับเซตที่มีอยู่ การทำความเข้าใจความสัมพันธ์เหล่านี้เป็นรากฐานสำคัญของตรรกศาสตร์และความน่าจะเป็น

Sets do not exist in isolation; they can relate to one another in various ways. They can be perfectly identical, form a part of another set, or generate new sets from their subsets. Understanding these relationships is a fundamental pillar for logic and probability.

เซตที่เท่ากัน Equal Sets

บทนิยาม: เซต $A$ และเซต $B$ จะเป็น เซตที่เท่ากัน (Equal Sets) ก็ต่อเมื่อทั้งสองเซตมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $A = B$

** หมายเหตุ: ลำดับของการเขียนสมาชิก และการเขียนสมาชิกซ้ำกัน ไม่มีผลต่อความเท่ากันของเซต **

Definition: Set $A$ and set $B$ are Equal Sets if and only if they contain exactly the same elements. This is denoted by $A = B$.

** Note: The order of elements and repetitions do not affect the equality of sets. **

Example 1.1

พิจารณาเซต $A = \{1, 2, 3\}$ และ $B = \{3, 1, 2\}$

$$ \begin{aligned} &\text{เนื่องจากสมาชิกของ } A \text{ และ } B \text{ คือ } 1, 2, 3 \text{ เหมือนกันทุกตัว} \\ &\text{ดังนั้น } A = B \end{aligned} $$

Consider sets $A = \{1, 2, 3\}$ and $B = \{3, 1, 2\}$

$$ \begin{aligned} &\text{Since the elements of } A \text{ and } B \text{ are exactly } 1, 2, 3 \\ &\text{Therefore, } A = B \end{aligned} $$

Example 1.2

พิจารณาเซต $X = \{a, b, c\}$ และ $Y = \{a, a, b, c, c\}$

$$ \begin{aligned} &\text{การเขียนซ้ำไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์ } Y \text{ จะถูกยุบเหลือ } \{a, b, c\} \\ &\text{ดังนั้น } X = Y \end{aligned} $$

Consider sets $X = \{a, b, c\}$ and $Y = \{a, a, b, c, c\}$

$$ \begin{aligned} &\text{Repetitions are ignored in sets, so } Y \text{ simplifies to } \{a, b, c\} \\ &\text{Therefore, } X = Y \end{aligned} $$

Example 1.3

ให้ $C = \{x \mid x \text{ เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า } 4\}$ และ $D = \{1, 2, 3\}$

$$ \begin{aligned} &\text{แจกแจงสมาชิกของ } C \text{ จะได้ } \{1, 2, 3\} \\ &\text{ดังนั้น } C = D \end{aligned} $$

Let $C = \{x \mid x \text{ is a positive integer less than } 4\}$ and $D = \{1, 2, 3\}$

$$ \begin{aligned} &\text{Listing elements of } C \text{ gives } \{1, 2, 3\} \\ &\text{Therefore, } C = D \end{aligned} $$

Example 1.4

พิจารณาเซต $A = \{x \mid x^2 - 9 = 0\}$ และ $B = \{-3, 3\}$

$$ \begin{aligned} &\text{แก้สมการ } x^2 - 9 = 0 \text{ จะได้ } (x - 3)(x + 3) = 0 \text{ นั่นคือ } x = 3, -3 \\ &\text{ดังนั้น } A = \{-3, 3\} \text{ ซึ่งมีสมาชิกเหมือนกับ } B \\ &\text{ดังนั้น } A = B \end{aligned} $$

Consider sets $A = \{x \mid x^2 - 9 = 0\}$ and $B = \{-3, 3\}$

$$ \begin{aligned} &\text{Solving } x^2 - 9 = 0 \text{ gives } (x - 3)(x + 3) = 0 \text{ which means } x = 3, -3 \\ &\text{So, } A = \{-3, 3\} \text{ which has the exact same elements as } B \\ &\text{Therefore, } A = B \end{aligned} $$

Example 1.5

พิจารณาเซต $E = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 + 1 = 0\}$ และ $F = \emptyset$

$$ \begin{aligned} &\text{เนื่องจากไม่มีจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วบวก 1 ได้เท่ากับ 0 ดังนั้น } E = \emptyset \\ &\text{ทำให้ } E \text{ และ } F \text{ ต่างก็ไม่มีสมาชิกเหมือนกัน (เป็นเซตว่างเหมือนกัน)} \\ &\text{ดังนั้น } E = F \end{aligned} $$

Consider sets $E = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 + 1 = 0\}$ and $F = \emptyset$

$$ \begin{aligned} &\text{Since no real number satisfies } x^2 + 1 = 0 \text{, we have } E = \emptyset \\ &\text{This means both } E \text{ and } F \text{ contain no elements (both are empty)} \\ &\text{Therefore, } E = F \end{aligned} $$

สับเซต Subsets

บทนิยาม: เซต $A$ เป็น สับเซต (Subset) ของเซต $B$ ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ $A$ เป็นสมาชิกของ $B$ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $A \subset B$

ข้อควรรู้ที่สำคัญ (Properties of Subsets):

เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต ($\emptyset \subset A$)
ทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง ($A \subset A$)

Definition: Set $A$ is a Subset of set $B$ if and only if every element of $A$ is also an element of $B$. This is denoted by $A \subset B$.

Important Properties:

The empty set is a subset of every set ($\emptyset \subset A$).
Every set is a subset of itself ($A \subset A$).

Example 2.1

กำหนดให้ $A = \{1, 2\}$ และ $B = \{1, 2, 3, 4\}$

$$ \begin{aligned} &\text{เนื่องจาก } 1 \in B \text{ และ } 2 \in B \text{ (สมาชิกทุกตัวของ } A \text{ อยู่ใน } B\text{)} \\ &\text{ดังนั้น } A \subset B \end{aligned} $$

Given $A = \{1, 2\}$ and $B = \{1, 2, 3, 4\}$

$$ \begin{aligned} &\text{Since } 1 \in B \text{ and } 2 \in B \text{ (every element of } A \text{ is in } B\text{)} \\ &\text{Therefore, } A \subset B \end{aligned} $$

Example 2.2

จงหาสับเซตทั้งหมดของ $C = \{x, y\}$

$$ \begin{aligned} \text{สับเซตที่มีสมาชิก 0 ตัว} &= \emptyset \\ \text{สับเซตที่มีสมาชิก 1 ตัว} &= \{x\}, \{y\} \\ \text{สับเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว} &= \{x, y\} \\ \text{สับเซตทั้งหมดคือ } &\emptyset, \{x\}, \{y\}, \{x, y\} \end{aligned} $$

Find all subsets of $C = \{x, y\}$

$$ \begin{aligned} \text{Subsets with 0 elements} &= \emptyset \\ \text{Subsets with 1 element} &= \{x\}, \{y\} \\ \text{Subsets with 2 elements} &= \{x, y\} \\ \text{All subsets are } &\emptyset, \{x\}, \{y\}, \{x, y\} \end{aligned} $$

Example 2.3

กำหนดให้ $D = \{1, \{2\}, 3\}$ ข้อความใดต่อไปนี้เป็นจริง?

$$ \begin{aligned} &1 \in D \quad &\text{(จริง เพราะ 1 เป็นสมาชิกของ D)} \\ &\{2\} \in D \quad &\text{(จริง เพราะ } \{2\} \text{ เป็นสมาชิกรวมก้อนของ D)} \\ &\{1\} \subset D \quad &\text{(จริง เพราะสมาชิก } 1 \text{ อยู่ใน D)} \\ &2 \subset D \quad &\textbf{\color{#c62828}(เท็จ)} \text{ สับเซตต้องมีปีกกาครอบเสมอ} \end{aligned} $$

Given $D = \{1, \{2\}, 3\}$, which statements are true?

$$ \begin{aligned} &1 \in D \quad &\text{(True, 1 is an element of D)} \\ &\{2\} \in D \quad &\text{(True, } \{2\} \text{ as a whole is an element of D)} \\ &\{1\} \subset D \quad &\text{(True, element } 1 \text{ is in D)} \\ &2 \subset D \quad &\textbf{\color{#c62828}(False)} \text{ Subsets must be enclosed in braces} \end{aligned} $$

Example 2.4

พิจารณาเซต $A = \{1, 2\}$ และ $B = \{1, 2, 3\}$

$$ \begin{aligned} &\text{สับเซตแท้ (Proper Subset) คือ สับเซตทั้งหมดที่ไม่ใช่ตัวมันเอง} \\ &\text{เนื่องจาก } A \subset B \text{ และ } A \neq B \text{ ดังนั้น } A \text{ เป็นสับเซตแท้ของ } B \\ &\text{แต่สำหรับ } B \text{ เอง, } B \subset B \text{ แต่ } B \text{ ไม่เป็นสับเซตแท้ของ } B \end{aligned} $$

Consider sets $A = \{1, 2\}$ and $B = \{1, 2, 3\}$

$$ \begin{aligned} &\text{A proper subset is any subset of a set that is not equal to the set itself.} \\ &\text{Since } A \subset B \text{ and } A \neq B\text{, } A \text{ is a proper subset of } B. \\ &\text{However, for } B\text{, } B \subset B \text{ but } B \text{ is not a proper subset of } B. \end{aligned} $$

Example 2.5

บทพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ระบุว่า $A = B$ ก็ต่อเมื่อ $A \subset B$ และ $B \subset A$

$$ \begin{aligned} &\text{พิจารณา } X = \{2k \mid k \in \mathbb{Z}\} \text{ (เซตของจำนวนคู่) และ } Y = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \text{ หารด้วย 2 ลงตัว}\} \\ &\text{1) สมาชิกทุกตัวของ } X \text{ หารด้วย 2 ลงตัว } \Rightarrow X \subset Y \\ &\text{2) สมาชิกทุกตัวของ } Y \text{ สามารถเขียนในรูป } 2k \text{ ได้ } \Rightarrow Y \subset X \\ &\text{เนื่องจาก } X \subset Y \text{ และ } Y \subset X \text{ จะได้ว่า } X = Y \end{aligned} $$

Mathematical proof states that $A = B$ if and only if $A \subset B$ and $B \subset A$.

$$ \begin{aligned} &\text{Consider } X = \{2k \mid k \in \mathbb{Z}\} \text{ (even integers) and } Y = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \text{ is divisible by 2}\}. \\ &\text{1) Every element of } X \text{ is divisible by 2 } \Rightarrow X \subset Y. \\ &\text{2) Every element of } Y \text{ can be written in the form } 2k \Rightarrow Y \subset X. \\ &\text{Since } X \subset Y \text{ and } Y \subset X\text{, we conclude } X = Y. \end{aligned} $$

Example 2.6

กำหนดให้ $A = \{\emptyset\}$ ข้อความใดต่อไปนี้เป็นจริง?

$$ \begin{aligned} &\emptyset \in A \quad &\text{(จริง เพราะเซตว่างถูกระบุเป็นสมาชิกข้างใน A)} \\ &\emptyset \subset A \quad &\text{(จริง เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซตเสมอ)} \\ &\{\emptyset\} \subset A \quad &\text{(จริง เพราะนำสมาชิก } \emptyset \text{ มาใส่ปีกกาครอบ)} \\ &\{\emptyset\} \in A \quad &\textbf{\color{#c62828}(เท็จ)} \text{ ไม่มีก้อน } \{\emptyset\} \text{ อยู่ในปีกกาชั้นนอกสุดของ A} \end{aligned} $$

Given $A = \{\emptyset\}$, which statements are true?

$$ \begin{aligned} &\emptyset \in A \quad &\text{(True, the empty set is listed as an element of A)} \\ &\emptyset \subset A \quad &\text{(True, the empty set is always a subset of any set)} \\ &\{\emptyset\} \subset A \quad &\text{(True, since the element } \emptyset \text{ is in A)} \\ &\{\emptyset\} \in A \quad &\textbf{\color{#c62828}(False)} \text{ The element } \{\emptyset\} \text{ is not inside A} \end{aligned} $$

Example 2.7

กำหนดให้ $B = \{1, \{2, 3\}\}$ ข้อความใดต่อไปนี้เป็นจริง?

$$ \begin{aligned} &\{2, 3\} \in B \quad &\text{(จริง เพราะก้อน } \{2, 3\} \text{ เป็นสมาชิกหนึ่งตัวของ B)} \\ &\{2, 3\} \subset B \quad &\textbf{\color{#c62828}(เท็จ)} \text{ ตัวเลข 2 และ 3 ไม่ใช่สมาชิกของ B โดยตรง (มันซ่อนอยู่ข้างใน)} \\ &\{\{2, 3\}\} \subset B \quad &\text{(จริง เพราะก้อนสมาชิก } \{2, 3\} \text{ ถูกนำมาใส่ปีกกาครอบเป็นสับเซต)} \end{aligned} $$

Given $B = \{1, \{2, 3\}\}$, which statements are true?

$$ \begin{aligned} &\{2, 3\} \in B \quad &\text{(True, the group } \{2, 3\} \text{ is a single element of B)} \\ &\{2, 3\} \subset B \quad &\textbf{\color{#c62828}(False)} \text{ The numbers 2 and 3 are not direct elements of B} \\ &\{\{2, 3\}\} \subset B \quad &\text{(True, the element } \{2, 3\} \text{ is wrapped in braces to form a subset)} \end{aligned} $$

Example 2.8

กำหนดให้ $C = \{1, 2, \{1, 2\}\}$ ข้อความต่อไปนี้ถูกต้องทั้งหมด:

$$ \begin{aligned} &1 \in C \text{ และ } 2 \in C \quad &\Rightarrow \{1, 2\} \subset C \text{ (จริง เพราะสมาชิกทั้งสองอยู่ใน C)} \\ &\{1, 2\} \in C \quad &\Rightarrow \text{จริง (เพราะมีก้อน } \{1, 2\} \text{ เป็นสมาชิกรวมก้อนของ C)} \\ &\{1, 2\} \in C \quad &\Rightarrow \{\{1, 2\}\} \subset C \text{ (จริง)} \\ \end{aligned} $$

Given $C = \{1, 2, \{1, 2\}\}$, the following statements are all true:

$$ \begin{aligned} &1 \in C \text{ and } 2 \in C \quad &\Rightarrow \{1, 2\} \subset C \text{ (True, elements 1 and 2 are in C)} \\ &\{1, 2\} \in C \quad &\Rightarrow \text{True (since the group } \{1, 2\} \text{ is an element of C)} \\ &\{1, 2\} \in C \quad &\Rightarrow \{\{1, 2\}\} \subset C \text{ (True)} \\ \end{aligned} $$

Example 2.9

กำหนดให้ $A = \{1, 2, 3\}$ (มีสมาชิกทั้งหมด 3 ตัว) จงแจกแจงสับเซตทั้งหมด

$$ \begin{aligned} \text{สับเซตที่มีสมาชิก 0 ตัว} &= \emptyset \quad &(1 \text{ เซต}) \\ \text{สับเซตที่มีสมาชิก 1 ตัว} &= \{1\}, \{2\}, \{3\} \quad &(3 \text{ เซต}) \\ \text{สับเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว} &= \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\} \quad &(3 \text{ เซต}) \\ \text{สับเซตที่มีสมาชิก 3 ตัว} &= \{1, 2, 3\} \quad &(1 \text{ เซต}) \\ \text{รวมจำนวนสับเซตทั้งหมด} &= 1 + 3 + 3 + 1 = 8 \text{ เซต} \quad &(= 2^3) \end{aligned} $$

Given $A = \{1, 2, 3\}$ (3 elements in total), list all of its subsets.

$$ \begin{aligned} \text{Subsets with 0 elements} &= \emptyset \quad &(1 \text{ set}) \\ \text{Subsets with 1 element} &= \{1\}, \{2\}, \{3\} \quad &(3 \text{ sets}) \\ \text{Subsets with 2 elements} &= \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\} \quad &(3 \text{ sets}) \\ \text{Subsets with 3 elements} &= \{1, 2, 3\} \quad &(1 \text{ set}) \\ \text{Total number of subsets} &= 1 + 3 + 3 + 1 = 8 \text{ sets} \quad &(= 2^3) \end{aligned} $$

Example 2.10

กำหนดให้ $B = \{x, y, \{z\}\}$ (มีสมาชิกทั้งหมด 3 ตัว) จงแจกแจงสับเซตทั้งหมด

$$ \begin{aligned} \text{สับเซตที่มีสมาชิก 0 ตัว} &= \emptyset \\ \text{สับเซตที่มีสมาชิก 1 ตัว} &= \{x\}, \{y\}, \{\{z\}\} \\ \text{สับเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว} &= \{x, y\}, \{x, \{z\}\}, \{y, \{z\}\} \\ \text{สับเซตที่มีสมาชิก 3 ตัว} &= \{x, y, \{z\}\} \\ \end{aligned} $$

** สังเกตว่าสมาชิก $\{z\}$ ถูกปฏิบัติเหมือนเป็นก้อนเดียว ไม่แตกต่างจากตัวแปรเดี่ยวๆ **

Given $B = \{x, y, \{z\}\}$ (3 elements in total), list all of its subsets.

$$ \begin{aligned} \text{Subsets with 0 elements} &= \emptyset \\ \text{Subsets with 1 element} &= \{x\}, \{y\}, \{\{z\}\} \\ \text{Subsets with 2 elements} &= \{x, y\}, \{x, \{z\}\}, \{y, \{z\}\} \\ \text{Subsets with 3 elements} &= \{x, y, \{z\}\} \\ \end{aligned} $$

** Note that the element $\{z\}$ is treated as a single entity, just like a single variable. **

เพาเวอร์เซต Power Set

บทนิยาม: เพาเวอร์เซต (Power Set) ของเซต $A$ คือเซตที่ประกอบไปด้วย "สับเซตทั้งหมดของ $A$" เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $P(A)$

** ข้อควรรู้: ถ้าเซต $A$ มีสมาชิก $n$ ตัว เพาเวอร์เซต $P(A)$ จะมีจำนวนสมาชิกเท่ากับ $2^n$ ตัว **

Definition: The Power Set of a set $A$ is the set containing "all subsets of $A$". It is denoted by $P(A)$.

** Note: If set $A$ has $n$ elements, the power set $P(A)$ will have $2^n$ elements. **

Example 3.1

กำหนดให้ $A = \{1, 2\}$ จงหา $P(A)$

$$ \begin{aligned} \text{สับเซตทั้งหมดของ } A \text{ คือ } &\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \\ \text{นำมาใส่ในเซตใหญ่ จะได้ } P(A) &= \big\{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \big\} \end{aligned} $$

Given $A = \{1, 2\}$, find $P(A)$

$$ \begin{aligned} \text{All subsets of } A \text{ are } &\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \\ \text{Enclosing them in a set gives } P(A) &= \big\{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \big\} \end{aligned} $$

Example 3.2

จงหา $P(\emptyset)$

$$ \begin{aligned} \text{สับเซตของ } \emptyset \text{ มีเพียงตัวเดียวคือ } &\emptyset \\ \text{ดังนั้น } P(\emptyset) &= \{\emptyset\} \\ \text{(สังเกตว่า } P(\emptyset) \text{ ไม่ใช่เซตว่าง มีสมาชิก 1 ตัว)} \end{aligned} $$

Find $P(\emptyset)$

$$ \begin{aligned} \text{The only subset of } \emptyset \text{ is } &\emptyset \\ \text{Therefore, } P(\emptyset) &= \{\emptyset\} \\ \text{(Note: } P(\emptyset) \text{ is not empty, it has 1 element)} \end{aligned} $$

Example 3.3

ถ้าเซต $B$ มีสมาชิก 5 ตัว $P(B)$ จะมีสมาชิกกี่ตัว?

$$ \begin{aligned} n(B) &= 5 \\ n(P(B)) &= 2^n \\ &= 2^5 \\ &= 32 \text{ ตัว} \end{aligned} $$

If set $B$ has 5 elements, how many elements are in $P(B)$?

$$ \begin{aligned} n(B) &= 5 \\ n(P(B)) &= 2^n \\ &= 2^5 \\ &= 32 \text{ elements} \end{aligned} $$

Example 3.4

กำหนดให้ $C = \{a, b, c\}$ จงหา $P(C)$

$$ \begin{aligned} \text{สมาชิก 0 ตัว: } &\emptyset \\ \text{สมาชิก 1 ตัว: } &\{a\}, \{b\}, \{c\} \\ \text{สมาชิก 2 ตัว: } &\{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\} \\ \text{สมาชิก 3 ตัว: } &\{a, b, c\} \\[4pt] \text{ดังนั้น } P(C) &= \big\{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\} \big\} \end{aligned} $$

Given $C = \{a, b, c\}$, find $P(C)$

$$ \begin{aligned} \text{0 elements: } &\emptyset \\ \text{1 element: } &\{a\}, \{b\}, \{c\} \\ \text{2 elements: } &\{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\} \\ \text{3 elements: } &\{a, b, c\} \\[4pt] \text{Therefore, } P(C) &= \big\{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\} \big\} \end{aligned} $$

Example 3.5

กำหนดให้ $D = \{\emptyset, 1\}$ จงหา $P(D)$

$$ \begin{aligned} \text{สับเซตทั้งหมดของ } D \text{ คือ } &\emptyset, \{\emptyset\}, \{1\}, \{\emptyset, 1\} \\ \text{ดังนั้น } P(D) &= \big\{ \emptyset, \{\emptyset\}, \{1\}, \{\emptyset, 1\} \big\} \end{aligned} $$

Given $D = \{\emptyset, 1\}$, find $P(D)$

$$ \begin{aligned} \text{All subsets of } D \text{ are } &\emptyset, \{\emptyset\}, \{1\}, \{\emptyset, 1\} \\ \text{Therefore, } P(D) &= \big\{ \emptyset, \{\emptyset\}, \{1\}, \{\emptyset, 1\} \big\} \end{aligned} $$

การคำนวณจำนวนสับเซตโดยใช้การจัดหมู่ Calculating Subsets using Combinations

เมื่อเซตมีขนาดใหญ่ การหาสับเซตด้วยการนั่งนับทีละตัวจะใช้เวลานานมาก เราจึงนำ สูตรการจัดหมู่ (Combinations) มาใช้คำนวณหาจำนวนสับเซตที่มีเงื่อนไขหรือขนาดตามที่ต้องการได้ทันที

$$ \binom{n}{r} = C(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!r!} $$

โดย $n$ คือจำนวนสมาชิกทั้งหมด และ $r$ คือจำนวนสมาชิกของสับเซตที่เราต้องการ

For large sets, manually listing subsets is impractical. We use the Combinations Formula to quickly calculate the number of subsets of a specific size or with specific conditions.

$$ \binom{n}{r} = C(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!r!} $$

Where $n$ is total elements and $r$ is the size of the desired subset.

Example 4.1

กำหนดให้เซต $C$ เป็นเซตของสีรุ้งทั้ง 7 สี จงหาว่าเซต $C$ มีสับเซตที่มีสมาชิก 3 สี อยู่กี่เซต?

$$ \begin{aligned} \text{จำนวนสับเซต} &= \binom{7}{3} \\ &= \frac{7!}{(7-3)!3!} \\ &= \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times (3 \times 2 \times 1)} \\ &= 35 \text{ เซต} \end{aligned} $$

Let $C$ be the set of the 7 colors of the rainbow. How many subsets of size 3 colors does set $C$ have?

$$ \begin{aligned} \text{Number of subsets} &= \binom{7}{3} \\ &= \frac{7!}{(7-3)!3!} \\ &= \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times (3 \times 2 \times 1)} \\ &= 35 \text{ sets} \end{aligned} $$

Example 4.2

ให้ $A = \{w, x, y, z\}$ จงหาจำนวนสับเซตของ $A$ ที่มีสมาชิก อย่างน้อย 3 ตัว

แปลความหมาย: ต้องหาผลรวมของสับเซตขนาด 3 ตัว และ 4 ตัว

$$ \begin{aligned} \text{จำนวนสับเซต} &= \binom{4}{3} + \binom{4}{4} \\ &= 4 + 1 \\ &= 5 \text{ เซต} \end{aligned} $$

Let $A = \{w, x, y, z\}$. Find the number of subsets of $A$ with at least 3 elements.

Meaning: Sum the subsets of size 3 and size 4

$$ \begin{aligned} \text{Number of subsets} &= \binom{4}{3} + \binom{4}{4} \\ &= 4 + 1 \\ &= 5 \text{ sets} \end{aligned} $$

Example 4.3

กำหนดเซต $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ จงหาจำนวนสับเซตที่มีสมาชิก อย่างมาก 2 ตัว

แปลความหมาย: เอาขนาด 0 ตัว, 1 ตัว และ 2 ตัว

$$ \begin{aligned} \text{จำนวนสับเซต} &= \binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} \\ &= 1 + 5 + 10 \\ &= 16 \text{ เซต} \end{aligned} $$

Given set $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, find the number of subsets with at most 2 elements.

Meaning: Include sizes 0, 1, and 2

$$ \begin{aligned} \text{Number of subsets} &= \binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} \\ &= 1 + 5 + 10 \\ &= 16 \text{ sets} \end{aligned} $$

Example 4.4

ชมรมคณิตศาสตร์มีนักเรียน 6 คน ต้องการเลือกกลุ่มตัวแทน (สับเซต) ขนาด 4 คน โดย ต้องมีหัวหน้าชมรม อยู่ในกลุ่มนั้นเสมอ ทำได้กี่วิธี?

วิธีคิด: หยิบหัวหน้าใส่กลุ่มไว้ก่อนเลย 1 คน จึงเหลือพื้นที่ให้เลือกอีก 3 คน จากสมาชิกที่เหลือ 5 คน

$$ \begin{aligned} \text{จำนวนสับเซต} &= \binom{5}{3} \\ &= 10 \text{ กลุ่ม (เซต)} \end{aligned} $$

A math club has 6 students. How many ways can you form a representative group (subset) of size 4 that must include the club president?

Approach: Place the president in the group first (1 spot taken), leaving 3 spots to fill from the remaining 5 students.

$$ \begin{aligned} \text{Number of subsets} &= \binom{5}{3} \\ &= 10 \text{ groups (sets)} \end{aligned} $$

Example 4.5

ร้านค้านำเสนอผลไม้ 5 ชนิดให้เลือกจัดตะกร้า หากคุณ ไม่ต้องการ "ทุเรียน" เลย จะมีวิธีจัดตะกร้าผลไม้กี่รูปแบบ? (ตะกร้า 1 ใบคือ 1 สับเซต สามารถมีขนาดใดก็ได้รวมถึงตะกร้าเปล่า)

วิธีคิด: โยนทุเรียนทิ้งไปเลย ทำให้เหลือผลไม้ให้เลือกเพียง 4 ชนิด

$$ \begin{aligned} \text{จำนวนสับเซตทั้งหมด} &= 2^4 \\ &= 16 \text{ รูปแบบ} \end{aligned} $$

A shop offers 5 types of fruits. If you strictly do not want "Durian", how many ways can you form a fruit basket? (A basket is a subset of any size, including empty).

Approach: Discard Durian completely, leaving only 4 fruits to choose from.

$$ \begin{aligned} \text{Total number of subsets} &= 2^4 \\ &= 16 \text{ ways} \end{aligned} $$

Example 4.6

กำหนดเซตของตัวเลข $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ จงหาจำนวนสับเซตขนาด 4 ตัว ที่ มีเลข '1' แต่ห้ามมีเลข '8'

วิธีคิด: ล็อคหยิบ '1' มาใส่ (ต้องการอีก 3 ตัว) และโยน '8' ทิ้งไป (เหลือเลขให้เลือก: 2, 3, 4, 5, 6, 7 → 6 ตัว)

$$ \begin{aligned} \text{จำนวนสับเซต} &= \binom{6}{3} \\ &= 20 \text{ เซต} \end{aligned} $$

Given the set of numbers $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Find the number of subsets of size 4 that contain '1' but do not contain '8'.

Approach: Lock '1' in (need 3 more elements) and discard '8' (remaining pool: 2, 3, 4, 5, 6, 7 → 6 elements).

$$ \begin{aligned} \text{Number of subsets} &= \binom{6}{3} \\ &= 20 \text{ sets} \end{aligned} $$

Example 4.7

ถ้า $E$ เป็นเซตของตัวอักษรภาษาอังกฤษ 26 ตัว จงหาจำนวนสับเซตของ $E$ ที่ประกอบไปด้วย สระเท่านั้น (Vowels Only) แบบไม่จำกัดขนาด

วิธีคิด: สนใจแค่เซตของสระซึ่งมี 5 ตัว คือ (a, e, i, o, u)

$$ \begin{aligned} \text{จำนวนสับเซตทั้งหมด} &= 2^5 \\ &= 32 \text{ เซต} \end{aligned} $$

If $E$ is the set of the 26 English alphabet letters, find the number of subsets of $E$ of any size consisting only of vowels.

Approach: We only care about the vowel set, which has 5 elements (a, e, i, o, u).

$$ \begin{aligned} \text{Total number of subsets} &= 2^5 \\ &= 32 \text{ sets} \end{aligned} $$

Example 4.8

กำหนดให้ $N = \{2, 4, 6, 7, 9\}$ จงหาจำนวนสับเซตขนาด 3 ตัว ที่ประกอบไปด้วย จำนวนคู่ล้วนๆ

วิธีคิด: คัดแยกเฉพาะเลขคู่ในเซต ซึ่งมี 3 ตัว คือ {2, 4, 6} และเราต้องการสับเซตขนาด 3 ตัวพอดี

$$ \begin{aligned} \text{จำนวนสับเซต} &= \binom{3}{3} \\ &= 1 \text{ เซต} \quad (คือ \{2, 4, 6\}) \end{aligned} $$

Given $N = \{2, 4, 6, 7, 9\}$, find the number of subsets of size 3 consisting entirely of even numbers.

Approach: Filter only even numbers in the set, which are 3 elements: {2, 4, 6}, and we specifically need subsets of size 3.

$$ \begin{aligned} \text{Number of subsets} &= \binom{3}{3} \\ &= 1 \text{ set} \quad (which is \{2, 4, 6\}) \end{aligned} $$

Example 4.9

เซต $K$ มีสมาชิก 8 ตัว การเลือกสับเซต ขนาด 2 ตัว จะมีจำนวนเท่ากับการเลือกสับเซต ขนาด 6 ตัว หรือไม่?

$$ \begin{aligned} \text{เลือก 2 ตัว} &= \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \\ \text{เลือก 6 ตัว} &= \binom{8}{6} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \\ &\textbf{เท่ากัน} \text{ เพราะมีสมบัติ } \binom{n}{r} = \binom{n}{n-r} \end{aligned} $$

Set $K$ has 8 elements. Is the number of ways to choose a subset of size 2 equal to choosing a subset of size 6?

$$ \begin{aligned} \text{Choosing 2} &= \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \\ \text{Choosing 6} &= \binom{8}{6} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \\ &\textbf{Equal} \text{ due to the property } \binom{n}{r} = \binom{n}{n-r} \end{aligned} $$

Example 4.10

ร้านพิซซ่ามีท็อปปิ้งให้เลือก 6 ชนิด ลูกค้าสามารถสั่งพิซซ่าแบบใส่กี่ท็อปปิ้งก็ได้ (รวมถึงไม่ใส่เลย) จะมีหน้าพิซซ่าที่แตกต่างกันกี่แบบ?

การเลือกท็อปปิ้งก็คือการหาสับเซตของท็อปปิ้งทั้งหมดนั่นเอง

$$ \begin{aligned} \text{จำนวนหน้าพิซซ่าทั้งหมด} &= \sum_{r=0}^{6} \binom{6}{r} \\ &= \binom{6}{0} + \binom{6}{1} + \dots + \binom{6}{6} \\ &= 2^6 \\ &= 64 \text{ แบบ} \end{aligned} $$

A pizzeria offers 6 toppings. Customers can order a pizza with any number of toppings (including none). How many different pizza variations are possible?

Choosing toppings is mathematically equivalent to finding subsets of all available toppings.

$$ \begin{aligned} \text{Total pizza variations} &= \sum_{r=0}^{6} \binom{6}{r} \\ &= \binom{6}{0} + \binom{6}{1} + \dots + \binom{6}{6} \\ &= 2^6 \\ &= 64 \text{ variations} \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Set	secta (following, group)	เซต · กลุ่มของสิ่งของที่ระบุได้อย่างชัดเจน
Equal Sets	aequalis (uniform, identical)	เซตที่เท่ากัน · เซตสองเซตที่มีสมาชิกเหมือนกันทุกประการ
Subset	sub- (under) + set	สับเซต · เซตย่อยที่สมาชิกทุกตัวเป็นส่วนหนึ่งของเซตหลัก
Power Set	posse (to be able / capacity)	เพาเวอร์เซต · เซตของสับเซตทั้งหมดที่สามารถสร้างได้
Element	elementum (first principle)	สมาชิกของเซต · สิ่งที่บรรจุอยู่ภายในเซต
Combination	com- (together) + bini (two by two)	การจัดหมู่ · การเลือกกลุ่มย่อยโดยไม่คำนึงถึงลำดับ