ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเซต

ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า "เซต" (Set) ถูกนำมาใช้เพื่อกล่าวถึง กลุ่มของสิ่งต่างๆ โดยมีเงื่อนไขสำคัญคือ เมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแล้ว จะต้องสามารถระบุได้อย่างชัดเจนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม และสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่มนั้น (Well-defined)

In mathematics, the term "Set" is used to describe a collection of objects. The most important condition is that a set must be well-defined; meaning we can clearly determine whether a specific object belongs to the collection or not.

ความหมายและสมาชิกของเซต Meaning and Elements of a Set

สิ่งต่างๆ ที่อยู่ในเซต เราเรียกว่า "สมาชิก" (Element หรือ Member) ของเซตนั้น

ใช้สัญลักษณ์ $\in$ แทนคำว่า "เป็นสมาชิกของ" หรือ "อยู่ใน"
ใช้สัญลักษณ์ $\notin$ แทนคำว่า "ไม่เป็นสมาชิกของ" หรือ "ไม่อยู่ใน"

นิยมตั้งชื่อเซตด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษพิมพ์ใหญ่ เช่น $A, B, C, \dots$ และใช้ตัวพิมพ์เล็กแทนสมาชิก เช่น $a, b, c, \dots$

The objects contained within a set are called its "Elements" or "Members".

The symbol $\in$ is used to denote "is an element of" or "belongs to".
The symbol $\notin$ is used to denote "is not an element of" or "does not belong to".

Sets are usually denoted by uppercase letters (e.g., $A, B, C$) and elements by lowercase letters (e.g., $a, b, c$).

Example 1.1

ให้ $V$ เป็นเซตของสระในภาษาอังกฤษ

$$ \begin{aligned} &\text{จะได้ว่า } a, e, i, o, u \text{ เป็นสมาชิกของเซต } V \\ &a \in V \quad \text{($a$ เป็นสมาชิกของ $V$)} \\ &b \notin V \quad \text{($b$ ไม่เป็นสมาชิกของ $V$)} \end{aligned} $$

Let $V$ be the set of vowels in the English alphabet.

$$ \begin{aligned} &\text{We know that } a, e, i, o, u \text{ are elements of } V. \\ &a \in V \quad \text{($a$ is an element of $V$)} \\ &b \notin V \quad \text{($b$ is not an element of $V$)} \end{aligned} $$

Example 1.2

ให้ $\mathbb{I}^+$ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

$$ \begin{aligned} &5 \in \mathbb{I}^+ \quad \text{(5 เป็นจำนวนเต็มบวก)} \\ &0 \notin \mathbb{I}^+ \quad \text{(0 ไม่ใช่จำนวนเต็มบวก)} \\ &-3 \notin \mathbb{I}^+ \quad \text{(-3 ไม่ใช่จำนวนเต็มบวก)} \end{aligned} $$

Let $\mathbb{I}^+$ be the set of positive integers.

$$ \begin{aligned} &5 \in \mathbb{I}^+ \quad \text{(5 is a positive integer)} \\ &0 \notin \mathbb{I}^+ \quad \text{(0 is not a positive integer)} \\ &-3 \notin \mathbb{I}^+ \quad \text{(-3 is not a positive integer)} \end{aligned} $$

Example 1.3

ให้ $D$ เป็นเซตของวันในหนึ่งสัปดาห์

$$ \begin{aligned} &\text{วันจันทร์ } \in D \\ &\text{มกราคม } \notin D \quad \text{(มกราคมเป็นเดือน ไม่ใช่วัน)} \end{aligned} $$

Let $D$ be the set of days in a week.

$$ \begin{aligned} &\text{Monday } \in D \\ &\text{January } \notin D \quad \text{(January is a month, not a day)} \end{aligned} $$

Example 1.4

ให้ $P$ เป็นเซตของจำนวนเฉพาะ (Prime numbers)

$$ \begin{aligned} &2 \in P \quad \text{(2 เป็นจำนวนเฉพาะ)} \\ &7 \in P \quad \text{(7 เป็นจำนวนเฉพาะ)} \\ &9 \notin P \quad \text{(9 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะ 3 หารลงตัว)} \end{aligned} $$

Let $P$ be the set of prime numbers.

$$ \begin{aligned} &2 \in P \quad \text{(2 is a prime number)} \\ &7 \in P \quad \text{(7 is a prime number)} \\ &9 \notin P \quad \text{(9 is not a prime, divisible by 3)} \end{aligned} $$

Example 1.5

ให้ $A$ เป็นเซตคำตอบของสมการ $x^2 - 16 = 0$

$$ \begin{aligned} &\text{เนื่องจาก } x^2 = 16 \text{ จะได้ } x = 4, -4 \\ &4 \in A \\ &-4 \in A \\ &0 \notin A \end{aligned} $$

Let $A$ be the solution set of the equation $x^2 - 16 = 0$.

$$ \begin{aligned} &\text{Since } x^2 = 16 \text{, we have } x = 4, -4. \\ &4 \in A \\ &-4 \in A \\ &0 \notin A \end{aligned} $$

Example 1.6

พิจารณากลุ่มต่อไปนี้: "กลุ่มของคนสวยในประเทศไทย"

$$ \begin{aligned} &\text{กลุ่มนี้ } \textbf{\color{#c62828}ไม่จัดเป็นเซต} \text{ ในทางคณิตศาสตร์} \\ &\text{เพราะความสวยเป็นเรื่องนามธรรม ไม่สามารถระบุได้แน่นอน} \\ &\text{ว่าใครเป็นหรือไม่เป็นสมาชิก} \end{aligned} $$

Consider the collection: "The collection of beautiful people in Thailand".

$$ \begin{aligned} &\text{This is } \textbf{\color{#c62828}NOT a set} \text{ in mathematics.} \\ &\text{Because beauty is subjective, it is not well-defined.} \\ &\text{We cannot definitively say who is or isn't a member.} \end{aligned} $$

Example 1.7

ให้ $T$ เป็นเซตของจังหวัดในประเทศไทย

$$ \begin{aligned} &\text{เชียงใหม่ } \in T \\ &\text{โตเกียว } \notin T \quad \text{(โตเกียวอยู่ในญี่ปุ่น)} \end{aligned} $$

Let $T$ be the set of provinces in Thailand.

$$ \begin{aligned} &\text{Chiang Mai } \in T \\ &\text{Tokyo } \notin T \quad \text{(Tokyo is in Japan)} \end{aligned} $$

Example 1.8

ให้ $E$ เป็นเซตของจำนวนเต็มคู่

$$ \begin{aligned} &12 \in E \\ &0 \in E \quad \text{(0 เป็นจำนวนคู่)} \\ &3.5 \notin E \quad \text{(ทศนิยมไม่ใช่จำนวนเต็ม)} \end{aligned} $$

Let $E$ be the set of even integers.

$$ \begin{aligned} &12 \in E \\ &0 \in E \quad \text{(0 is an even integer)} \\ &3.5 \notin E \quad \text{(Decimals are not integers)} \end{aligned} $$

Example 1.9

ให้ $\mathbb{R}$ เป็นเซตของจำนวนจริง

$$ \begin{aligned} &\frac{1}{2} \in \mathbb{R} \\ &\pi \in \mathbb{R} \\ &\sqrt{-1} \notin \mathbb{R} \quad \text{(เป็นจำนวนเชิงซ้อน)} \end{aligned} $$

Let $\mathbb{R}$ be the set of real numbers.

$$ \begin{aligned} &\frac{1}{2} \in \mathbb{R} \\ &\pi \in \mathbb{R} \\ &\sqrt{-1} \notin \mathbb{R} \quad \text{(It is a complex number)} \end{aligned} $$

Example 1.10

ให้ $\emptyset$ แทนเซตที่ไม่มีสมาชิกเลย (เซตว่าง)

$$ \begin{aligned} &\text{เนื่องจากเซตว่างไม่มีสมาชิกใดๆ เลย ดังนั้น} \\ &0 \notin \emptyset \\ &x \notin \emptyset \quad \text{(สำหรับทุกๆ สิ่ง } x \text{)} \end{aligned} $$

Let $\emptyset$ represent the set with no elements (Empty set).

$$ \begin{aligned} &\text{Since the empty set contains absolutely nothing:} \\ &0 \notin \emptyset \\ &x \notin \emptyset \quad \text{(for any object } x \text{)} \end{aligned} $$

การเขียนเซต Methods of Writing Sets

การเขียนอธิบายเซตในทางคณิตศาสตร์ สามารถแบ่งออกได้เป็น 2 รูปแบบหลักๆ คือ:

แบบแจกแจงสมาชิก (Tabular form / Roster method):
เขียนสมาชิกทุกตัวลงในวงเล็บปีกกา $\{$ $\}$ และคั่นสมาชิกแต่ละตัวด้วยเครื่องหมายจุลภาค ( , ) หากมีสมาชิกจำนวนมากอย่างมีแบบแผน จะใช้จุดสามจุด $\dots$ ละไว้ในฐานที่เข้าใจ
แบบบอกเงื่อนไข (Builder form / Set-builder notation):
ใช้ตัวแปร (เช่น $x$) แทนสมาชิก แล้วกำหนดเงื่อนไขของตัวแปรนั้น คั่นด้วยเครื่องหมาย $|$ (อ่านว่า "โดยที่") รูปแบบคือ $\{x \mid \text{เงื่อนไขของ } x \}$

In mathematics, there are two primary ways to describe a set:

Tabular form (or Roster method):
List all elements inside curly braces $\{$ $\}$ separated by commas. If the pattern is clear and the set is large, use an ellipsis $\dots$ to indicate continuation.
Builder form (or Set-builder notation):
Use a variable (e.g., $x$) to represent an element, followed by a vertical bar $|$ (read as "such that"), and state the condition(s). Format: $\{x \mid \text{condition for } x \}$.

Example 2.1

จงเขียนเซต $A$ ซึ่งเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง 5

$$ \begin{aligned} &\text{แบบแจกแจงสมาชิก: } &&A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \\ &\text{แบบบอกเงื่อนไข: } &&A = \{x \mid x \in \mathbb{I}^+ \text{ และ } x \le 5\} \end{aligned} $$

Write set $A$, the set of the first 5 positive integers.

$$ \begin{aligned} &\text{Tabular form: } &&A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \\ &\text{Builder form: } &&A = \{x \mid x \in \mathbb{I}^+ \text{ and } x \le 5\} \end{aligned} $$

Example 2.2

จงเขียนเซต $B$ ซึ่งเป็นเซตของสระในภาษาอังกฤษ

$$ \begin{aligned} &\text{แบบแจกแจงสมาชิก: } &&B = \{a, e, i, o, u\} \\ &\text{แบบบอกเงื่อนไข: } &&B = \{x \mid x \text{ เป็นสระในภาษาอังกฤษ}\} \end{aligned} $$

Write set $B$, the set of vowels in English.

$$ \begin{aligned} &\text{Tabular form: } &&B = \{a, e, i, o, u\} \\ &\text{Builder form: } &&B = \{x \mid x \text{ is a vowel in English}\} \end{aligned} $$

Example 2.3

จงเขียนเซต $C$ ซึ่งเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกคู่

$$ \begin{aligned} &\text{แบบแจกแจงสมาชิก: } &&C = \{2, 4, 6, 8, \dots\} \\ &\text{แบบบอกเงื่อนไข: } &&C = \{x \mid x \text{ เป็นจำนวนเต็มบวกคู่}\} \\ &\text{หรือเขียนได้อีกแบบ: } &&C = \{x \mid x = 2n \text{ เมื่อ } n \in \mathbb{I}^+\} \end{aligned} $$

Write set $C$, the set of positive even integers.

$$ \begin{aligned} &\text{Tabular form: } &&C = \{2, 4, 6, 8, \dots\} \\ &\text{Builder form: } &&C = \{x \mid x \text{ is a positive even integer}\} \\ &\text{Or mathematically: } &&C = \{x \mid x = 2n \text{ where } n \in \mathbb{I}^+\} \end{aligned} $$

Example 2.4

กำหนด $D = \{x \mid x \in \mathbb{I} \text{ และ } -2 < x < 3\}$ จงเขียนแบบแจกแจงสมาชิก

$$ \begin{aligned} &\text{เงื่อนไขคือ } x \text{ เป็นจำนวนเต็ม ระหว่าง -2 ถึง 3 (ไม่รวม -2 และ 3)} \\ &D = \{-1, 0, 1, 2\} \end{aligned} $$

Given $D = \{x \mid x \in \mathbb{I} \text{ and } -2 < x < 3\}$, write in tabular form.

$$ \begin{aligned} &\text{Condition: } x \text{ is an integer strictly between -2 and 3.} \\ &D = \{-1, 0, 1, 2\} \end{aligned} $$

Example 2.5

กำหนด $E = \{x \mid x \text{ เป็นจำนวนจริง และ } x^2 = 25\}$ จงเขียนแบบแจกแจงสมาชิก

$$ \begin{aligned} &\text{แก้สมการ } x^2 = 25 \implies x = 5 \text{ หรือ } x = -5 \\ &E = \{-5, 5\} \end{aligned} $$

Given $E = \{x \mid x \in \mathbb{R} \text{ and } x^2 = 25\}$, write in tabular form.

$$ \begin{aligned} &\text{Solve } x^2 = 25 \implies x = 5 \text{ or } x = -5 \\ &E = \{-5, 5\} \end{aligned} $$

Example 2.6

ให้ $F$ เป็นเซตของพยัญชนะในคำว่า "BANANA" จงเขียนแบบแจกแจงสมาชิก

** กฎของเซต: สมาชิกที่ซ้ำกัน ให้เขียนเพียงตัวเดียวเท่านั้น **

$$ \begin{aligned} &\text{ตัวอักษรทั้งหมดคือ B, A, N, A, N, A} \\ &F = \{B, A, N\} \end{aligned} $$

Let $F$ be the set of letters in the word "BANANA". Write in tabular form.

** Set Rule: Repeated elements are listed only once. **

$$ \begin{aligned} &\text{Letters are B, A, N, A, N, A} \\ &F = \{B, A, N\} \end{aligned} $$

Example 2.7

จงเขียนเซต $G$ ของเดือนที่มี 30 วัน

$$ \begin{aligned} &\text{แจกแจงสมาชิก: } &&G = \{\text{เม.ย., มิ.ย., ก.ย., พ.ย.}\} \\ &\text{บอกเงื่อนไข: } &&G = \{x \mid x \text{ เป็นเดือนในหนึ่งปีที่มี } 30 \text{ วัน}\} \end{aligned} $$

Write set $G$, the set of months with exactly 30 days.

$$ \begin{aligned} &\text{Tabular: } &&G = \{\text{Apr, Jun, Sep, Nov}\} \\ &\text{Builder: } &&G = \{x \mid x \text{ is a month with exactly 30 days}\} \end{aligned} $$

Example 2.8

กำหนด $H = \{x \mid x \in \mathbb{I} \text{ และ } 3 \le x \le 7\}$

$$ \begin{aligned} &\text{อ่านว่า: } H \text{ เป็นเซตของ } x \text{ โดยที่ } x \text{ เป็นจำนวนเต็ม} \\ &\text{และ } x \text{ มีค่าตั้งแต่ } 3 \text{ ถึง } 7 \\ &\text{แจกแจงสมาชิก: } H = \{3, 4, 5, 6, 7\} \end{aligned} $$

Given $H = \{x \mid x \in \mathbb{I} \text{ and } 3 \le x \le 7\}$

$$ \begin{aligned} &\text{Read as: } H \text{ is the set of all } x \text{ such that } x \text{ is an integer,} \\ &\text{and } x \text{ is between } 3 \text{ and } 7 \text{ inclusive.} \\ &\text{Tabular: } H = \{3, 4, 5, 6, 7\} \end{aligned} $$

Example 2.9

กำหนด $K = \{x \mid x \text{ เป็นจำนวนเต็ม และ } 1 < x < 2\}$

$$ \begin{aligned} &\text{เนื่องจากไม่มีจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1 กับ 2} \\ &\text{ดังนั้น } K \text{ ไม่มีสมาชิก} \\ &K = \{\} \quad \text{หรือ} \quad K = \emptyset \end{aligned} $$

Given $K = \{x \mid x \text{ is an integer and } 1 < x < 2\}$

$$ \begin{aligned} &\text{Since there are no integers strictly between 1 and 2,} \\ &\text{thus } K \text{ has no elements.} \\ &K = \{\} \quad \text{or} \quad K = \emptyset \end{aligned} $$

Example 2.10

จงเขียนเซต $M = \{5, 10, 15, 20, \dots\}$ แบบบอกเงื่อนไข

$$ \begin{aligned} &\text{สังเกตว่าสมาชิกคือ } 5\times1, 5\times2, 5\times3, \dots \\ &\text{สามารถเขียนแบบบอกเงื่อนไขได้เป็น:} \\ &M = \{x \mid x = 5n \text{ เมื่อ } n \text{ เป็นจำนวนเต็มบวก}\} \end{aligned} $$

Write $M = \{5, 10, 15, 20, \dots\}$ in set-builder form.

$$ \begin{aligned} &\text{Notice the elements are } 5\times1, 5\times2, 5\times3, \dots \\ &\text{We can write this as:} \\ &M = \{x \mid x = 5n \text{ where } n \text{ is a positive integer}\} \end{aligned} $$

ชนิดของเซต Types of Sets

เราสามารถแบ่งชนิดของเซตตามปริมาณของสมาชิกได้เป็น 2 ชนิดหลัก ได้แก่:

เซตจำกัด (Finite Set): คือเซตที่เราสามารถระบุจำนวนสมาชิกได้แน่นอน ว่ามีกี่ตัว (จำนวนสมาชิกเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์)
**หมายเหตุ: เซตว่างถือเป็นเซตจำกัด เพราะมีสมาชิก 0 ตัว**
เซตอนันต์ (Infinite Set): คือเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกที่สิ้นสุดได้ เพราะมีสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน

Sets can be classified into two main types based on the number of elements:

Finite Set: A set containing a specific, countable number of elements (the number of elements is a whole number).
**Note: An empty set is a finite set because it has 0 elements.**
Infinite Set: A set that is not finite. The number of elements cannot be completely counted as it continues indefinitely.

Example 3.1

ให้ $A$ เป็นเซตของวันในหนึ่งสัปดาห์

$$ \begin{aligned} &A = \{\text{จ., อ., พ., พฤ., ศ., ส., อา.}\} \\ &\text{มีสมาชิก } 7 \text{ ตัว} \\ &\text{ดังนั้น } A \text{ เป็น} \textbf{เซตจำกัด} \end{aligned} $$

Let $A$ be the set of days in a week.

$$ \begin{aligned} &A = \{\text{Mon, Tue, Wed, Thu, Fri, Sat, Sun}\} \\ &\text{It has exactly } 7 \text{ elements.} \\ &\text{Therefore, } A \text{ is a } \textbf{finite set}. \end{aligned} $$

Example 3.2

ให้ $B$ เป็นเซตของเดือนในหนึ่งปี

$$ \begin{aligned} &\text{มีสมาชิกทั้งหมด } 12 \text{ ตัว} \\ &\text{ดังนั้น } B \text{ เป็น} \textbf{เซตจำกัด} \end{aligned} $$

Let $B$ be the set of months in a year.

$$ \begin{aligned} &\text{It has exactly } 12 \text{ elements.} \\ &\text{Therefore, } B \text{ is a } \textbf{finite set}. \end{aligned} $$

Example 3.3

ให้ $C = \emptyset$ (เซตว่าง)

$$ \begin{aligned} &\text{จำนวนสมาชิกของ } C \text{ คือ } 0 \text{ ตัว} \\ &\text{ดังนั้น } C \text{ เป็น} \textbf{เซตจำกัด} \end{aligned} $$

Let $C = \emptyset$ (Empty set)

$$ \begin{aligned} &\text{The number of elements in } C \text{ is } 0. \\ &\text{Therefore, } C \text{ is a } \textbf{finite set}. \end{aligned} $$

Example 3.4

ให้ $D = \{1, 2, 3, \dots, 100\}$

$$ \begin{aligned} &\text{เราทราบว่าตัวสุดท้ายคือ } 100 \text{ (มีสมาชิก } 100 \text{ ตัว)} \\ &\text{ดังนั้น } D \text{ เป็น} \textbf{เซตจำกัด} \end{aligned} $$

Let $D = \{1, 2, 3, \dots, 100\}$

$$ \begin{aligned} &\text{We know the last element is } 100 \text{ (it has } 100 \text{ elements).} \\ &\text{Therefore, } D \text{ is a } \textbf{finite set}. \end{aligned} $$

Example 3.5

ให้ $E = \{1, 2, 3, \dots\}$

$$ \begin{aligned} &\text{ไม่มีตัวสุดท้าย ไม่สามารถระบุจำนวนสมาชิกได้} \\ &\text{ดังนั้น } E \text{ เป็น} \textbf{เซตอนันต์} \end{aligned} $$

Let $E = \{1, 2, 3, \dots\}$

$$ \begin{aligned} &\text{There is no last element; cannot be counted.} \\ &\text{Therefore, } E \text{ is an } \textbf{infinite set}. \end{aligned} $$

Example 3.6

ให้ $F = \{\dots, -3, -1, 1, 3, \dots\}$

$$ \begin{aligned} &\text{มีสมาชิกยาวไปทั้งฝั่งบวกและลบอย่างไม่สิ้นสุด} \\ &\text{ดังนั้น } F \text{ เป็น} \textbf{เซตอนันต์} \end{aligned} $$

Let $F = \{\dots, -3, -1, 1, 3, \dots\}$

$$ \begin{aligned} &\text{It extends infinitely in both positive and negative directions.} \\ &\text{Therefore, } F \text{ is an } \textbf{infinite set}. \end{aligned} $$

Example 3.7

ให้ $G = \{x \mid x \in \mathbb{I} \text{ และ } 1 < x < 5\}$

$$ \begin{aligned} &G = \{2, 3, 4\} \\ &\text{มีสมาชิก } 3 \text{ ตัว ดังนั้น } G \text{ เป็น} \textbf{เซตจำกัด} \end{aligned} $$

Let $G = \{x \mid x \in \mathbb{I} \text{ and } 1 < x < 5\}$

$$ \begin{aligned} &G = \{2, 3, 4\} \\ &\text{It has } 3 \text{ elements. Thus, } G \text{ is a } \textbf{finite set}. \end{aligned} $$

Example 3.8

ให้ $H = \{x \mid x \in \mathbb{R} \text{ และ } 1 < x < 5\}$

$$ \begin{aligned} &\text{ระหว่าง 1 ถึง 5 มีจุดทศนิยมมากมายนับไม่ถ้วน (เช่น 1.1, 1.11, \dots)} \\ &\text{ดังนั้น } H \text{ เป็น} \textbf{เซตอนันต์} \end{aligned} $$

Let $H = \{x \mid x \in \mathbb{R} \text{ and } 1 < x < 5\}$

$$ \begin{aligned} &\text{There are infinitely many decimals between 1 and 5 (e.g., 1.1, 1.11, \dots)} \\ &\text{Therefore, } H \text{ is an } \textbf{infinite set}. \end{aligned} $$

Example 3.9

ให้ $J = \{x \mid x \text{ เป็นพหุคูณบวกของ } 5\}$

$$ \begin{aligned} &J = \{5, 10, 15, 20, \dots\} \\ &\text{ดังนั้น } J \text{ เป็น} \textbf{เซตอนันต์} \end{aligned} $$

Let $J = \{x \mid x \text{ is a positive multiple of } 5\}$

$$ \begin{aligned} &J = \{5, 10, 15, 20, \dots\} \\ &\text{Therefore, } J \text{ is an } \textbf{infinite set}. \end{aligned} $$

Example 3.10

ให้ $K = \{\frac{a}{b} \mid 0 \lt \frac{a}{b} \lt 1 \text{ โดยที่ } a,b \in \mathbb{I}^+\}$

$$ \begin{aligned} &\text{เราสามารถสร้างเศษส่วนได้ไม่สิ้นสุด (เช่น } \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots \text{)} \\ &\text{ดังนั้น } K \text{ เป็น} \textbf{เซตอนันต์} \end{aligned} $$

Let $K = \{\frac{a}{b} \mid 0 \lt \frac{a}{b} \lt 1 \text{ where } a,b \in \mathbb{I}^+\}$

$$ \begin{aligned} &\text{We can form infinitely many fractions (e.g., } \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots \text{)} \\ &\text{Therefore, } K \text{ is an } \textbf{infinite set}. \end{aligned} $$

เอกภพสัมพัทธ์ Universal Set

ในการศึกษาเรื่องเซต เรามักจะต้องกำหนดขอบเขตของสมาชิกทั้งหมดที่เรากำลังสนใจ เพื่อไม่ให้เกิดความสับสน ขอบเขตนี้เรียกว่า "เอกภพสัมพัทธ์" (Universal Set)

นิยมใช้สัญลักษณ์ $\mathcal{U}$ (หรือ $U$) แทนเอกภพสัมพัทธ์
มีข้อตกลงว่า เราจะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นใดที่อยู่นอกเหนือจากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ $\mathcal{U}$ เด็ดขาด
หากโจทย์คณิตศาสตร์ไม่ได้ระบุเอกภพสัมพัทธ์มาให้ โดยทั่วไปจะถือว่า $\mathcal{U} = \mathbb{R}$ (เซตของจำนวนจริง)

When studying sets, it is necessary to establish the boundaries of the elements we are considering to avoid confusion. This boundary is called the "Universal Set".

It is usually denoted by the symbol $\mathcal{U}$ (or $U$).
The rule is that we absolutely will not consider any objects outside of the elements in $\mathcal{U}$.
In mathematics, if $\mathcal{U}$ is not explicitly specified, it is generally assumed that $\mathcal{U} = \mathbb{R}$ (the set of real numbers).

Example 4.1

กำหนด $\mathcal{U} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

จงเขียนเซต $A = \{x \mid x \text{ เป็นจำนวนคู่}\}$

$$ \begin{aligned} &\text{แม้ว่าจำนวนคู่จะมีมากมาย (เช่น 12, 14, ...)} \\ &\text{แต่เราจะพิจารณาเฉพาะสมาชิกที่อยู่ใน } \mathcal{U} \text{ เท่านั้น} \\ &A = \{2, 4, 6, 8, 10\} \end{aligned} $$

Given $\mathcal{U} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

Write $A = \{x \mid x \text{ is an even number}\}$

$$ \begin{aligned} &\text{Although there are many even numbers (e.g., 12, 14, ...)} \\ &\text{we only consider elements within } \mathcal{U}. \\ &A = \{2, 4, 6, 8, 10\} \end{aligned} $$

Example 4.2

กำหนด $B = \{x \mid x^2 = 9\}$ และ $\mathcal{U} = \mathbb{I}^+$ (จำนวนเต็มบวก)

$$ \begin{aligned} &\text{แก้สมการ } x^2 = 9 \text{ จะได้ } x = 3, -3 \\ &\text{แต่ } -3 \notin \mathcal{U} \text{ (ไม่อยู่ในขอบเขตที่กำหนด)} \\ &\text{ดังนั้น } B = \{3\} \end{aligned} $$

Given $B = \{x \mid x^2 = 9\}$ and $\mathcal{U} = \mathbb{I}^+$ (Positive integers)

$$ \begin{aligned} &\text{Solving } x^2 = 9 \text{ gives } x = 3, -3 \\ &\text{However, } -3 \notin \mathcal{U} \text{ (not in the specified boundary).} \\ &\text{Therefore, } B = \{3\} \end{aligned} $$

Example 4.3

กำหนด $C = \{x \mid x^2 = 9\}$ และ $\mathcal{U} = \mathbb{I}$ (จำนวนเต็ม)

$$ \begin{aligned} &\text{แก้สมการ } x^2 = 9 \text{ จะได้ } x = 3, -3 \\ &\text{ทั้ง 3 และ -3 ล้วนเป็นจำนวนเต็ม (อยู่ใน } \mathcal{U} \text{)} \\ &\text{ดังนั้น } C = \{3, -3\} \end{aligned} $$

Given $C = \{x \mid x^2 = 9\}$ and $\mathcal{U} = \mathbb{I}$ (Integers)

$$ \begin{aligned} &\text{Solving } x^2 = 9 \text{ gives } x = 3, -3 \\ &\text{Both 3 and -3 are integers (they are in } \mathcal{U} \text{).} \\ &\text{Therefore, } C = \{3, -3\} \end{aligned} $$

Example 4.4

กำหนด $D = \{x \mid 2x + 1 = 0\}$ และ $\mathcal{U} = \mathbb{I}$ (จำนวนเต็ม)

$$ \begin{aligned} &\text{แก้สมการ } 2x = -1 \implies x = -0.5 \\ &\text{พบว่า } -0.5 \text{ ไม่ใช่จำนวนเต็ม (ไม่อยู่ใน } \mathcal{U} \text{)} \\ &\text{ดังนั้น } D = \emptyset \end{aligned} $$

Given $D = \{x \mid 2x + 1 = 0\}$ and $\mathcal{U} = \mathbb{I}$ (Integers)

$$ \begin{aligned} &\text{Solve } 2x = -1 \implies x = -0.5 \\ &\text{Since } -0.5 \text{ is not an integer (not in } \mathcal{U} \text{),} \\ &\text{Therefore, } D = \emptyset \end{aligned} $$

Example 4.5

กำหนด $E = \{x \mid 2x + 1 = 0\}$ และ $\mathcal{U} = \mathbb{R}$ (จำนวนจริง)

$$ \begin{aligned} &\text{แก้สมการ } x = -0.5 \\ &\text{พบว่า } -0.5 \text{ เป็นจำนวนจริง (อยู่ใน } \mathcal{U} \text{)} \\ &\text{ดังนั้น } E = \{-0.5\} \end{aligned} $$

Given $E = \{x \mid 2x + 1 = 0\}$ and $\mathcal{U} = \mathbb{R}$ (Real numbers)

$$ \begin{aligned} &\text{Solve } x = -0.5 \\ &\text{Since } -0.5 \text{ is a real number (in } \mathcal{U} \text{),} \\ &\text{Therefore, } E = \{-0.5\} \end{aligned} $$

Example 4.6

กำหนด $\mathcal{U} =$ เซตของตัวอักษรในภาษาอังกฤษ

และ $F = \{x \mid x \text{ เป็นสระ}\}$

$$ \begin{aligned} &\text{ขอบเขตคือ a ถึง z เท่านั้น} \\ &F = \{a, e, i, o, u\} \end{aligned} $$

Given $\mathcal{U} =$ Set of English alphabets

And $F = \{x \mid x \text{ is a vowel}\}$

$$ \begin{aligned} &\text{The boundary is only 'a' through 'z'.} \\ &F = \{a, e, i, o, u\} \end{aligned} $$

Example 4.7

กำหนด $G = \{x \mid x < 3\}$ และ $\mathcal{U}=\mathbb{N}$ (จำนวนนับ)

$$ \begin{aligned} &\text{จำนวนนับที่น้อยกว่า 3 คือ 1 และ 2} \\ &\text{ดังนั้น } G = \{1, 2\} \end{aligned} $$

Given $G = \{x \mid x < 3\}$ and $\mathcal{U}=\mathbb{N}$ (Natural numbers)

$$ \begin{aligned} &\text{Natural numbers less than 3 are 1 and 2.} \\ &\text{Therefore, } G = \{1, 2\} \end{aligned} $$

Example 4.8

กำหนด $H = \{x \mid x < 3\}$ และ $\mathcal{U}=\mathbb{I}$ (จำนวนเต็ม)

$$ \begin{aligned} &\text{จำนวนเต็มที่น้อยกว่า 3 มีอยู่มากมายไม่สิ้นสุด} \\ &\text{ดังนั้น } H = \{\dots, -1, 0, 1, 2\} \text{ (เซตอนันต์)} \end{aligned} $$

Given $H = \{x \mid x < 3\}$ and $\mathcal{U}=\mathbb{I}$ (Integers)

$$ \begin{aligned} &\text{There are infinitely many integers less than 3.} \\ &\text{Therefore, } H = \{\dots, -1, 0, 1, 2\} \text{ (Infinite set)} \end{aligned} $$

Example 4.9

กำหนด $J = \{x \mid 2x = 3\}$ (โจทย์ไม่ระบุ $\mathcal{U}$)

$$ \begin{aligned} &\text{เมื่อไม่ระบุ ถือว่า } \mathcal{U} = \mathbb{R} \text{ อัตโนมัติ} \\ &\text{แก้สมการ } x = 1.5 \text{ (เป็นจำนวนจริง)} \\ &\text{ดังนั้น } J = \{1.5\} \end{aligned} $$

Given $J = \{x \mid 2x = 3\}$ (No $\mathcal{U}$ specified)

$$ \begin{aligned} &\text{When not specified, it is assumed } \mathcal{U} = \mathbb{R}. \\ &\text{Solving gives } x = 1.5 \text{ (which is a real number).} \\ &\text{Therefore, } J = \{1.5\} \end{aligned} $$

Example 4.10

กำหนด $K = \{x \mid x^2 < 0\}$ และ $\mathcal{U}=\mathbb{R}$

$$ \begin{aligned} &\text{ไม่มีจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าติดลบ} \\ &\text{ดังนั้น } K = \emptyset \end{aligned} $$

Given $K = \{x \mid x^2 < 0\}$ and $\mathcal{U}=\mathbb{R}$

$$ \begin{aligned} &\text{There is no real number whose square is negative.} \\ &\text{Therefore, } K = \emptyset \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Set	secta (following, faction)	เซต · กลุ่มของสิ่งต่างๆ ที่สามารถระบุสมาชิกได้อย่างชัดเจน
Element / Member	elementum (first principle)	สมาชิก · สิ่งที่บรรจุอยู่ภายในเซต (ใช้สัญลักษณ์ $\in$)
Tabular form (Roster method)	tabula (board, list)	การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก · การเขียนสมาชิกทุกตัวลงใน $\{ \}$
Builder form	build (construct)	การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข · ใช้ตัวแปรแทนสมาชิกแล้วอธิบายเงื่อนไขกำกับ
Well-defined	well + definire (to bound, limit)	แจ่มชัด / ระบุได้แน่นอน · คุณสมบัติสำคัญของเซตที่ต้องบอกได้แน่ชัดว่าอะไรอยู่หรือไม่อยู่ในกลุ่ม
Empty set	aemti (at leisure, empty)	เซตว่าง · เซตที่ไม่มีสมาชิกเลย ใช้สัญลักษณ์ $\emptyset$ หรือ $\{ \}$ ถือเป็นเซตจำกัด
Finite set	finis (end, limit)	เซตจำกัด · เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกได้แน่นอนเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์
Infinite set	in- (not) + finis (limit)	เซตอนันต์ · เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด มีสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน
Universal set	universus (whole, entire)	เอกภพสัมพัทธ์ · เซตที่ใช้กำหนดขอบเขตของสมาชิกทั้งหมดที่เรากำลังศึกษา ใช้สัญลักษณ์ $\mathcal{U}$