การวัดมุมและหน่วยของมุม

ในการศึกษาคณิตศาสตร์เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Trigonometric Functions) ในระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย พื้นฐานที่สำคัญที่สุดคือความเข้าใจในเรื่องของ "การวัดมุม" ซึ่งโดยทั่วไปจะถูกแบ่งออกเป็น 2 ระบบหลัก ได้แก่ ระบบองศา (Degree) ที่ใช้กันมาแต่ดั้งเดิม และ ระบบเรเดียน (Radian) ซึ่งเป็นหน่วยมาตรฐานในทางคณิตศาสตร์วิเคราะห์

In the study of Trigonometric Functions at the high school level, the most fundamental concept is understanding "Angle Measurement." Generally, angles are measured in two main systems: the traditional Degree system, and the Radian system, which is the standard unit in mathematical analysis.

📐 ระบบองศา 📐 Degree System

ระบบองศา เป็นการวัดมุมแบบดั้งเดิมที่แบ่งวงกลมออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน โดยกำหนดให้:

การหมุนครบ 1 รอบวงกลม (Full circle) มีขนาดเท่ากับ $360^\circ$ (องศา)
$\mathbf{1^\circ}$ (องศา) แบ่งออกเป็น $60'$ (ลิปดา หรือ นาที)
$\mathbf{1'}$ (ลิปดา) แบ่งออกเป็น $60''$ (ฟิลิปดา หรือ วินาที)

The Degree system is a traditional measurement that divides a circle into equal parts. It is defined as:

1 full rotation (circle) is equal to $360^\circ$ (degrees).
$\mathbf{1^\circ}$ (degree) is divided into $60'$ (minutes).
$\mathbf{1'}$ (minute) is divided into $60''$ (seconds).

Example 1.1

จงแปลงมุม $45^\circ 30'$ (45 องศา 30 ลิปดา) ให้เป็นหน่วยองศาในรูปทศนิยม

วิธีทำ: เนื่องจาก $1' = \left(\frac{1}{60}\right)^\circ$ ดังนั้น $30' = \left(\frac{30}{60}\right)^\circ = 0.5^\circ$

$$ \begin{aligned} 45^\circ 30' &= 45^\circ + 0.5^\circ \\ &= 45.5^\circ \end{aligned} $$

Convert $45^\circ 30'$ (45 degrees 30 minutes) into decimal degrees.

Solution: Since $1' = \left(\frac{1}{60}\right)^\circ$, we have $30' = \left(\frac{30}{60}\right)^\circ = 0.5^\circ$

$$ \begin{aligned} 45^\circ 30' &= 45^\circ + 0.5^\circ \\ &= 45.5^\circ \end{aligned} $$

Example 1.2

จงแปลงมุม $12.42^\circ$ ให้อยู่ในรูปองศา ลิปดา และฟิลิปดา ($^\circ\ '\ ''$)

วิธีทำ: แยกส่วนทศนิยม $0.42^\circ \times 60 = 25.2'$ แล้วแยก $0.2' \times 60 = 12''$

$$ \begin{aligned} 12.42^\circ &= 12^\circ + 0.42^\circ \\ &= 12^\circ + (0.42 \times 60)' \\ &= 12^\circ + 25.2' \\ &= 12^\circ + 25' + (0.2 \times 60)'' \\ &= 12^\circ 25' 12'' \end{aligned} $$

Convert $12.42^\circ$ into degrees, minutes, and seconds ($^\circ\ '\ ''$).

Solution: Separate decimal $0.42^\circ \times 60 = 25.2'$, then $0.2' \times 60 = 12''$

$$ \begin{aligned} 12.42^\circ &= 12^\circ + 0.42^\circ \\ &= 12^\circ + (0.42 \times 60)' \\ &= 12^\circ + 25.2' \\ &= 12^\circ + 25' + (0.2 \times 60)'' \\ &= 12^\circ 25' 12'' \end{aligned} $$

Example 1.3

จงแปลงมุม $20^\circ 15' 36''$ ให้เป็นองศาทศนิยม

วิธีทำ: แปลง $15' = \frac{15}{60} = 0.25^\circ$ และ $36'' = \frac{36}{3600} = 0.01^\circ$

$$ \begin{aligned} 20^\circ 15' 36'' &= 20^\circ + \left(\frac{15}{60}\right)^\circ + \left(\frac{36}{3600}\right)^\circ \\ &= 20^\circ + 0.25^\circ + 0.01^\circ \\ &= 20.26^\circ \end{aligned} $$

Convert $20^\circ 15' 36''$ into decimal degrees.

Solution: Convert $15' = \frac{15}{60} = 0.25^\circ$ and $36'' = \frac{36}{3600} = 0.01^\circ$

$$ \begin{aligned} 20^\circ 15' 36'' &= 20^\circ + \left(\frac{15}{60}\right)^\circ + \left(\frac{36}{3600}\right)^\circ \\ &= 20^\circ + 0.25^\circ + 0.01^\circ \\ &= 20.26^\circ \end{aligned} $$

Example 1.4

จงคำนวณผลลบ $90^\circ - 32^\circ 40'$

วิธีทำ: ยืม $1^\circ$ จาก $90^\circ$ เปลี่ยนเป็น $60'$ จะได้ $89^\circ 60'$

$$ \begin{aligned} 90^\circ - 32^\circ 40' &= 89^\circ 60' - 32^\circ 40' \\ &= (89^\circ - 32^\circ) + (60' - 40') \\ &= 57^\circ 20' \end{aligned} $$

Calculate $90^\circ - 32^\circ 40'$.

Solution: Borrow $1^\circ$ from $90^\circ$ as $60'$, giving $89^\circ 60'$

$$ \begin{aligned} 90^\circ - 32^\circ 40' &= 89^\circ 60' - 32^\circ 40' \\ &= (89^\circ - 32^\circ) + (60' - 40') \\ &= 57^\circ 20' \end{aligned} $$

Example 1.5

เข็มยาวของนาฬิกาหมุนไปเป็นเวลา $20$ นาที จะกวาดเป็นมุมกี่องศา

วิธีทำ: เข็มยาวหมุน 60 นาที $= 360^\circ$ ดังนั้น 1 นาที $= 6^\circ$

$$ \begin{aligned} \text{มุม} &= 20 \times 6^\circ \\ &= 120^\circ \end{aligned} $$

The minute hand of a clock moves for $20$ minutes. How many degrees does it sweep?

Solution: 60 minutes $= 360^\circ$, so 1 minute $= 6^\circ$

$$ \begin{aligned} \text{Angle} &= 20 \times 6^\circ \\ &= 120^\circ \end{aligned} $$

⭕ ระบบเรเดียน ⭕ Radian System

ระบบเรเดียน คือการวัดมุมโดยอาศัยความสัมพันธ์ของส่วนโค้งและรัศมีวงกลม นิยามว่า "มุม 1 เรเดียน คือมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ที่รองรับด้วยส่วนโค้งที่มีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลมนั้น"

$$ \theta = \frac{a}{r} $$

โดยที่ $\theta$ คือขนาดของมุมในหน่วยเรเดียน, $a$ คือความยาวส่วนโค้ง และ $r$ คือความยาวรัศมีวงกลม ดังนั้น การหมุนครบ 1 รอบวงกลม (เส้นรอบวง $= 2\pi r$) จะมีขนาดมุมเท่ากับ $2\pi$ เรเดียน

The Radian system measures angles based on the relationship between arc length and the radius. "One radian is the angle subtended at the center of a circle by an arc that is equal in length to the radius of the circle."

$$ \theta = \frac{a}{r} $$

Where $\theta$ is the angle in radians, $a$ is the arc length, and $r$ is the radius. Thus, 1 full rotation (circumference $= 2\pi r$) equals an angle of $2\pi$ radians.

Example 2.1

วงกลมที่มีรัศมี $6 \text{ ซม.}$ มีส่วนโค้งยาว $9 \text{ ซม.}$ รองรับมุมที่จุดศูนย์กลาง จงหามุม $\theta$ ในหน่วยเรเดียน

วิธีทำ: จากสูตร $\theta = \frac{a}{r}$

$$ \begin{aligned} \theta &= \frac{a}{r} \\ &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5 \text{ rad} \end{aligned} $$

A circle with radius $6 \text{ cm}$ has an arc length of $9 \text{ cm}$ subtending an angle at the center. Find angle $\theta$ in radians.

Solution: Using the formula $\theta = \frac{a}{r}$

$$ \begin{aligned} \theta &= \frac{a}{r} \\ &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5 \text{ rad} \end{aligned} $$

Example 2.2

วงกลมที่มีรัศมี $10 \text{ ซม.}$ มีมุมที่จุดศูนย์กลางเท่ากับ $\frac{2\pi}{5} \text{ rad}$ จงหาความยาวของส่วนโค้งที่รองรับมุมนี้

วิธีทำ: จากสูตร $a = r\theta$

$$ \begin{aligned} a &= r \times \theta \\ &= 10 \times \frac{2\pi}{5} \\ &= 4\pi \text{ ซม.} \\ &\approx 12.57 \text{ ซม.} \end{aligned} $$

A circle with radius $10 \text{ cm}$ has a central angle of $\frac{2\pi}{5} \text{ rad}$. Find the arc length subtending this angle.

Solution: Using the formula $a = r\theta$

$$ \begin{aligned} a &= r \times \theta \\ &= 10 \times \frac{2\pi}{5} \\ &= 4\pi \text{ cm} \\ &\approx 12.57 \text{ cm} \end{aligned} $$

Example 2.3

มุมที่จุดศูนย์กลางขนาด $2.5 \text{ rad}$ รองรับส่วนโค้งยาว $20 \text{ ซม.}$ จงหารัศมีของวงกลมนี้

วิธีทำ: จากสูตร $r = \frac{a}{\theta}$

$$ \begin{aligned} r &= \frac{a}{\theta} \\ &= \frac{20}{2.5} \\ &= 8 \text{ ซม.} \end{aligned} $$

A central angle of $2.5 \text{ rad}$ subtends an arc length of $20 \text{ cm}$. Find the radius of this circle.

Solution: Using the formula $r = \frac{a}{\theta}$

$$ \begin{aligned} r &= \frac{a}{\theta} \\ &= \frac{20}{2.5} \\ &= 8 \text{ cm} \end{aligned} $$

Example 2.4

ล้อรถจักรยานรัศมี $35 \text{ ซม.}$ หมุนไปได้ $3$ รอบ จงหาระยะทางที่ล้อเคลื่อนที่ไปได้และมุมรวมในหน่วยเรเดียน

วิธีทำ: 1 รอบ $= 2\pi \text{ rad}$ ดังนั้น 3 รอบ $\theta = 3 \times 2\pi = 6\pi \text{ rad}$

$$ \begin{aligned} \text{ระยะทาง } a &= r \times \theta \\ &= 35 \times 6\pi \\ &= 210\pi \text{ ซม.} \\ &\approx 659.73 \text{ ซม.} \end{aligned} $$

A bicycle wheel with a radius of $35 \text{ cm}$ rotates $3$ full revolutions. Find the distance traveled and total angle in radians.

Solution: 1 revolution $= 2\pi \text{ rad}$, so 3 revolutions $\theta = 3 \times 2\pi = 6\pi \text{ rad}$

$$ \begin{aligned} \text{Distance } a &= r \times \theta \\ &= 35 \times 6\pi \\ &= 210\pi \text{ cm} \\ &\approx 659.73 \text{ cm} \end{aligned} $$

Example 2.5

วงกลมรัศมี $r$ มีส่วนโค้งยาวเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลาง ($2r$) จงหามุมที่จุดศูนย์กลางในหน่วยเรเดียน

วิธีทำ: ส่วนโค้ง $a = 2r$ แทนในสูตร $\theta = \frac{a}{r}$

$$ \begin{aligned} \theta &= \frac{2r}{r} \\ &= 2 \text{ rad} \end{aligned} $$

In a circle of radius $r$, the arc length equals the diameter ($2r$). Find the central angle in radians.

Solution: Arc length $a = 2r$, substitute into $\theta = \frac{a}{r}$

$$ \begin{aligned} \theta &= \frac{2r}{r} \\ &= 2 \text{ rad} \end{aligned} $$

🔄 การแปลงหน่วยมุม 🔄 Angle Conversion

เนื่องจากวงกลม 1 รอบมีค่าเท่ากับ $360^\circ$ และ $2\pi$ เรเดียน เราจึงได้ความสัมพันธ์หลักคือ $180^\circ = \pi \text{ เรเดียน}$ ซึ่งสามารถนำมาสร้างตัวคูณในการแปลงหน่วยได้ดังนี้:

แปลง องศา เป็น เรเดียน: ให้นำมุมไปคูณด้วย $\displaystyle \frac{\pi}{180^\circ}$

แปลง เรเดียน เป็น องศา: ให้นำมุมไปคูณด้วย $\displaystyle \frac{180^\circ}{\pi}$

Since 1 full rotation is $360^\circ$ and $2\pi$ radians, we establish the core relationship: $180^\circ = \pi \text{ radians}$. We use this to create conversion multipliers:

Degrees to Radians: Multiply the angle by $\displaystyle \frac{\pi}{180^\circ}$

Radians to Degrees: Multiply the angle by $\displaystyle \frac{180^\circ}{\pi}$

Example 3.1

จงแปลงมุม $30^\circ$ ให้เป็นหน่วยเรเดียน

$$ \begin{aligned} \text{เรเดียน} &= 30^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \\ &= \frac{30\pi}{180} \\ &= \frac{\pi}{6} \text{ rad} \end{aligned} $$

Convert $30^\circ$ to radians.

$$ \begin{aligned} \text{Radian} &= 30^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \\ &= \frac{30\pi}{180} \\ &= \frac{\pi}{6} \text{ rad} \end{aligned} $$

Example 3.2

จงแปลงมุม $135^\circ$ ให้เป็นหน่วยเรเดียน

$$ \begin{aligned} \text{เรเดียน} &= 135^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \\ &= \frac{135\pi}{180} \\ &= \frac{3\pi}{4} \text{ rad} \end{aligned} $$

Convert $135^\circ$ to radians.

$$ \begin{aligned} \text{Radian} &= 135^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \\ &= \frac{135\pi}{180} \\ &= \frac{3\pi}{4} \text{ rad} \end{aligned} $$

Example 3.3

จงแปลงมุม $-270^\circ$ ให้เป็นหน่วยเรเดียน

$$ \begin{aligned} \text{เรเดียน} &= (-270^\circ) \times \frac{\pi}{180^\circ} \\ &= -\frac{270\pi}{180} \\ &= -\frac{3\pi}{2} \text{ rad} \end{aligned} $$

Convert $-270^\circ$ to radians.

$$ \begin{aligned} \text{Radian} &= (-270^\circ) \times \frac{\pi}{180^\circ} \\ &= -\frac{270\pi}{180} \\ &= -\frac{3\pi}{2} \text{ rad} \end{aligned} $$

Example 3.4

จงแปลงมุม $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ เรเดียน ให้เป็นหน่วยองศา

$$ \begin{aligned} \text{องศา} &= \frac{\pi}{3} \times \frac{180^\circ}{\pi} \\ &= \frac{180^\circ}{3} \\ &= 60^\circ \end{aligned} $$

Convert $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ radians to degrees.

$$ \begin{aligned} \text{Degree} &= \frac{\pi}{3} \times \frac{180^\circ}{\pi} \\ &= \frac{180^\circ}{3} \\ &= 60^\circ \end{aligned} $$

Example 3.5

จงแปลงมุม $\displaystyle \frac{5\pi}{6}$ เรเดียน ให้เป็นหน่วยองศา

$$ \begin{aligned} \text{องศา} &= \frac{5\pi}{6} \times \frac{180^\circ}{\pi} \\ &= \frac{5 \times 180^\circ}{6} \\ &= 5 \times 30^\circ \\ &= 150^\circ \end{aligned} $$

Convert $\displaystyle \frac{5\pi}{6}$ radians to degrees.

$$ \begin{aligned} \text{Degree} &= \frac{5\pi}{6} \times \frac{180^\circ}{\pi} \\ &= \frac{5 \times 180^\circ}{6} \\ &= 5 \times 30^\circ \\ &= 150^\circ \end{aligned} $$

Example 3.6

จงแปลงมุม $\displaystyle -\frac{11\pi}{4}$ เรเดียน ให้เป็นหน่วยองศา

$$ \begin{aligned} \text{องศา} &= \left(-\frac{11\pi}{4}\right) \times \frac{180^\circ}{\pi} \\ &= -\frac{11 \times 180^\circ}{4} \\ &= -11 \times 45^\circ \\ &= -495^\circ \end{aligned} $$

Convert $\displaystyle -\frac{11\pi}{4}$ radians to degrees.

$$ \begin{aligned} \text{Degree} &= \left(-\frac{11\pi}{4}\right) \times \frac{180^\circ}{\pi} \\ &= -\frac{11 \times 180^\circ}{4} \\ &= -11 \times 45^\circ \\ &= -495^\circ \end{aligned} $$

Example 3.7

จงแปลงมุม $3$ เรเดียน ให้เป็นหน่วยองศา ($\pi \approx 3.1416$)

$$ \begin{aligned} \text{องศา} &= 3 \times \frac{180^\circ}{\pi} \\ &= \frac{540^\circ}{\pi} \\ &\approx \frac{540^\circ}{3.1416} \\ &\approx 171.89^\circ \end{aligned} $$

Convert $3$ radians to degrees ($\pi \approx 3.1416$).

$$ \begin{aligned} \text{Degree} &= 3 \times \frac{180^\circ}{\pi} \\ &= \frac{540^\circ}{\pi} \\ &\approx \frac{540^\circ}{3.1416} \\ &\approx 171.89^\circ \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Prefix	ความหมาย / Meaning
Trigonometry	trigōnon (triangle) + metron (measure)	ตรีโกณมิติ · สาขาคณิตศาสตร์ที่ว่าด้วยความสัมพันธ์ระหว่างมุมและด้านของรูปสามเหลี่ยม
Degree	de- (down) + gradus (step)	องศา · หน่วยวัดมุมมาตรฐาน โดยวงกลมเต็มวงเท่ากับ 360 ส่วน
Radian	radius (ray, spoke of a wheel)	เรเดียน · หน่วยวัดมุมทางคณิตศาสตร์ที่สัมพันธ์กับความยาวรัศมีของวงกลม
Arc length	arcus (bow, curve) + longus (long)	ความยาวส่วนโค้ง · ระยะทางบนเส้นรอบวงที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลาง
Convert	con- (together) + vertere (to turn)	แปลงหน่วย · การเปลี่ยนรูปแบบหรือค่าจากหน่วยวัดหนึ่งไปยังอีกหน่วยหนึ่ง