กฎของไซน์และโคไซน์

อัตราส่วนตรีโกณมิติพื้นฐาน (ข้าม/ฉาก, ชิด/ฉาก, ข้าม/ชิด) มักถูกจำกัดให้ใช้ได้เฉพาะกับ รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่านั้น แต่ในความเป็นจริง เราสามารถใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อแก้ปัญหา รูปสามเหลี่ยมใดๆ (Oblique Triangles) ได้โดยอาศัย กฎของไซน์ (Law of Sines) และ กฎของโคไซน์ (Law of Cosines) ซึ่งเป็นเครื่องมือทรงพลังในการหาระยะทางและมุมในชีวิตจริง

Basic trigonometric ratios (SOH CAH TOA) are strictly limited to right-angled triangles. However, in reality, we can use trigonometric functions to solve any triangle (Oblique Triangles) by utilizing the Law of Sines and the Law of Cosines. These are powerful tools for finding distances and angles in real-world scenarios.

กฎของโคไซน์ Law of Cosines

กฎของโคไซน์ ใช้สำหรับหาความยาวด้านที่เหลือเมื่อทราบความยาว 2 ด้านและมุมที่อยู่ระหว่างกลาง (ด้าน-มุม-ด้าน) หรือใช้หามุมเมื่อทราบความยาวด้านทั้ง 3 ด้าน (ด้าน-ด้าน-ด้าน) สูตรคือ:

$$ \begin{aligned} \color{#d32f2f}{a}^2 &= \color{#1976d2}{b}^2 + \color{#2e7d32}{c}^2 - 2\color{#1976d2}{b}\color{#2e7d32}{c} \cos \color{#d32f2f}{A} \\ \color{#1976d2}{b}^2 &= \color{#d32f2f}{a}^2 + \color{#2e7d32}{c}^2 - 2\color{#d32f2f}{a}\color{#2e7d32}{c} \cos \color{#1976d2}{B} \\ \color{#2e7d32}{c}^2 &= \color{#d32f2f}{a}^2 + \color{#1976d2}{b}^2 - 2\color{#d32f2f}{a}\color{#1976d2}{b} \cos \color{#2e7d32}{C} \end{aligned} $$

The Law of Cosines is used to find a remaining side when 2 sides and the included angle are known (SAS), or to find an angle when all 3 sides are known (SSS). The formulas are:

Example 1.1

กำหนดให้ $\triangle ABC$ มี $b = 5$, $c = 8$ และ $\angle A = 60^\circ$ จงหาความยาวของด้าน $a$

$$ \begin{aligned} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\ &= 5^2 + 8^2 - 2(5)(8) \cos 60^\circ \\ &= 25 + 64 - 80\left(\frac{1}{2}\right) \\ &= 89 - 40 \\ a^2 &= 49 \\ a &= 7 \end{aligned} $$

Given $\triangle ABC$ with $b = 5$, $c = 8$, and $\angle A = 60^\circ$. Find the length of side $a$.

$$ \begin{aligned} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\ &= 5^2 + 8^2 - 2(5)(8) \cos 60^\circ \\ &= 25 + 64 - 80\left(\frac{1}{2}\right) \\ &= 89 - 40 \\ a^2 &= 49 \\ a &= 7 \end{aligned} $$

Example 1.2

กำหนดให้ $\triangle ABC$ มี $a = 3$, $b = 5$ และ $\angle C = 120^\circ$ จงหาความยาวของด้าน $c$

$$ \begin{aligned} c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cos C \\ &= 3^2 + 5^2 - 2(3)(5) \cos 120^\circ \\ &= 9 + 25 - 30\left(-\frac{1}{2}\right) \quad \text{(เพราะ } \cos 120^\circ \text{ ติดลบ)} \\ &= 34 + 15 \\ c^2 &= 49 \\ c &= 7 \end{aligned} $$

Given $\triangle ABC$ with $a = 3$, $b = 5$, and $\angle C = 120^\circ$. Find the length of side $c$.

$$ \begin{aligned} c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cos C \\ &= 3^2 + 5^2 - 2(3)(5) \cos 120^\circ \\ &= 9 + 25 - 30\left(-\frac{1}{2}\right) \quad \text{(Since } \cos 120^\circ \text{ is negative)} \\ &= 34 + 15 \\ c^2 &= 49 \\ c &= 7 \end{aligned} $$

Example 1.3

กำหนดให้ $\triangle ABC$ มี $a = 7$, $b = 3$, $c = 8$ จงหาขนาดของมุม $A$

จัดรูปสมการเพื่อหา $\cos A$ ก่อน

$$ \begin{aligned} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\ 2bc \cos A &= b^2 + c^2 - a^2 \\ \cos A &= \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \\ \cos A &= \frac{3^2 + 8^2 - 7^2}{2(3)(8)} \\ &= \frac{9 + 64 - 49}{48} \\ &= \frac{24}{48} \\ &= \frac{1}{2} \\ A &= 60^\circ \quad \text{(เพราะ } \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \text{)} \end{aligned} $$

Given $\triangle ABC$ with $a = 7$, $b = 3$, $c = 8$. Find the measure of angle $A$.

Rearrange the formula to solve for $\cos A$ first.

$$ \begin{aligned} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\ 2bc \cos A &= b^2 + c^2 - a^2 \\ \cos A &= \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \\ \cos A &= \frac{3^2 + 8^2 - 7^2}{2(3)(8)} \\ &= \frac{9 + 64 - 49}{48} \\ &= \frac{24}{48} \\ &= \frac{1}{2} \\ A &= 60^\circ \quad \text{(Since } \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \text{)} \end{aligned} $$

Example 1.4

ใน $\triangle PQR$ มี $p = 4$, $q = 5$ และ $r = \sqrt{21}$ จงหา $\cos P$

$$ \begin{aligned} p^2 &= q^2 + r^2 - 2qr \cos P \\ \cos P &= \frac{q^2 + r^2 - p^2}{2qr} \\ &= \frac{5^2 + (\sqrt{21})^2 - 4^2}{2(5)(\sqrt{21})} \\ &= \frac{25 + 21 - 16}{10\sqrt{21}} \\ &= \frac{30}{10\sqrt{21}} \\ &= \frac{3}{\sqrt{21}} \\ &= \frac{\sqrt{21}}{7} \end{aligned} $$

In $\triangle PQR$, $p = 4$, $q = 5$, and $r = \sqrt{21}$. Find $\cos P$.

Example 1.5

กำหนดให้ $\triangle ABC$ มี $b = \sqrt{2}$, $c = 2$ และ $\angle A = 45^\circ$ จงหาความยาวด้าน $a$

$$ \begin{aligned} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\ &= (\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2(\sqrt{2})(2) \cos 45^\circ \\ &= 2 + 4 - 4\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ &= 6 - 4 \\ a^2 &= 2 \\ a &= \sqrt{2} \end{aligned} $$

Given $\triangle ABC$ with $b = \sqrt{2}$, $c = 2$, and $\angle A = 45^\circ$. Find the length of side $a$.

Example 1.6

รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีด้านประกอบมุมยอดแต่ละด้านยาว $10$ ซม. และมุมยอดกาง $120^\circ$ จงหาความยาวฐาน

$$ \begin{aligned} \text{ให้ฐานยาว } & x \text{ ซม.} \\ x^2 &= 10^2 + 10^2 - 2(10)(10) \cos 120^\circ \\ &= 100 + 100 - 200\left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= 200 + 100 \\ x^2 &= 300 \\ x &= \sqrt{300} \\ &= 10\sqrt{3} \text{ ซม.} \end{aligned} $$

An isosceles triangle has equal sides of $10$ cm and a vertex angle of $120^\circ$. Find the base length.

$$ \begin{aligned} \text{Let the base be }& x \text{ cm.} \\ x^2 &= 10^2 + 10^2 - 2(10)(10) \cos 120^\circ \\ &= 100 + 100 - 200\left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= 200 + 100 \\ x^2 &= 300 \\ x &= \sqrt{300} \\ &= 10\sqrt{3} \text{ cm.} \end{aligned} $$

Example 1.7

กำหนดรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้าน $3, 4, 6$ จงหาว่าสามเหลี่ยมนี้เป็นสามเหลี่ยมมุมป้านหรือไม่ โดยพิจารณาจากมุมที่ใหญ่ที่สุด (ตรงข้ามด้านที่ยาวที่สุด)

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } a=3, b=4,& c=6 \text{ (มุม } C \text{ ใหญ่ที่สุด)} \\ \cos C &= \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \\ &= \frac{3^2 + 4^2 - 6^2}{2(3)(4)} \\ &= \frac{9 + 16 - 36}{24} \\ &= \frac{-11}{24} \\ \text{เนื่องจาก } \cos C &< 0 \text{ ดังนั้นมุม } C \text{ เป็นมุมป้าน (> 90}^\circ\text{)} \end{aligned} $$

Given a triangle with sides $3, 4, 6$. Determine if it is an obtuse triangle by finding the largest angle (opposite the longest side).

$$ \begin{aligned} \text{Let } a=3, b=4, & c=6 \text{ (Angle } C \text{ is the largest)} \\ \cos C &= \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \\ &= \frac{3^2 + 4^2 - 6^2}{2(3)(4)} \\ &= \frac{9 + 16 - 36}{24} \\ &= \frac{-11}{24} \\ \text{Since } \cos C &< 0\text{, angle } C \text{ is obtuse (>90}^\circ\text{).} \end{aligned} $$

กฎของไซน์ Law of Sines

กฎของไซน์ ใช้แสดงความสัมพันธ์ของอัตราส่วนระหว่างความยาวด้านและค่าไซน์ของมุมที่อยู่ตรงข้ามด้านนั้นๆ โดยอัตราส่วนนี้จะเท่ากันทั้งสามคู่ มักใช้เมื่อทราบ 2 มุมกับ 1 ด้าน (มุม-มุม-ด้าน) หรือ ทราบ 2 ด้านกับ 1 มุมที่ไม่ใช่มุมระหว่างกลาง (ด้าน-ด้าน-มุม)

$$ \frac{\color{#d32f2f}{a}}{\sin \color{#d32f2f}{A}} = \frac{\color{#1976d2}{b}}{\sin \color{#1976d2}{B}} = \frac{\color{#2e7d32}{c}}{\sin \color{#2e7d32}{C}} $$

The Law of Sines establishes the relationship that the ratio of a side length to the sine of its opposite angle is constant for all three sides. It is mostly used when given 2 angles and 1 side (AAS/ASA) or 2 sides and a non-included angle (SSA).

$$ \frac{\color{#d32f2f}{a}}{\sin \color{#d32f2f}{A}} = \frac{\color{#1976d2}{b}}{\sin \color{#1976d2}{B}} = \frac{\color{#2e7d32}{c}}{\sin \color{#2e7d32}{C}} $$

Example 2.1

กำหนดให้ $\triangle ABC$ มี $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$ และ $a = 10$ จงหาความยาวด้าน $b$

$$ \begin{aligned} \frac{a}{\sin A} &= \frac{b}{\sin B} \\ \frac{10}{\sin 30^\circ} &= \frac{b}{\sin 45^\circ} \\ \frac{10}{\frac{1}{2}} &= \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ 20 &= \frac{2b}{\sqrt{2}} \\ b &= 10\sqrt{2} \end{aligned} $$

Given $\triangle ABC$ with $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, and $a = 10$. Find side $b$.

Example 2.2

กำหนดให้ $\triangle ABC$ มี $a = 4\sqrt{3}$, $b = 4$ และ $\angle A = 60^\circ$ จงหาค่าของมุม $B$ (สมมติให้ $B$ เป็นมุมแหลม)

$$ \begin{aligned} \frac{a}{\sin A} &= \frac{b}{\sin B} \\ \frac{4\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} &= \frac{4}{\sin B} \\ \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} &= \frac{4}{\sin B} \\ 8 &= \frac{4}{\sin B} \\ \sin B &= \frac{4}{8} \\ &= \frac{1}{2} \\ B &= 30^\circ \end{aligned} $$

Given $\triangle ABC$ with $a = 4\sqrt{3}$, $b = 4$, and $\angle A = 60^\circ$. Find angle $B$ (assuming $B$ is acute).

Example 2.3

กำหนดให้ $\triangle PQR$ มี $\angle P = 45^\circ$, $\angle Q = 105^\circ$ และด้าน $p = 6$ จงหาด้าน $r$

ต้องหามุม R ก่อน โดยผลรวมมุมภายในคือ $180^\circ$

$$ \begin{aligned} \angle R &= 180^\circ - (45^\circ + 105^\circ) \\ &= 30^\circ \\ \frac{p}{\sin P} &= \frac{r}{\sin R} \\ \frac{6}{\sin 45^\circ} &= \frac{r}{\sin 30^\circ} \\ \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} &= \frac{r}{\frac{1}{2}} \\ \frac{12}{\sqrt{2}} &= 2r \\ r &= \frac{6}{\sqrt{2}} \\ &= 3\sqrt{2} \end{aligned} $$

Given $\triangle PQR$ with $\angle P = 45^\circ$, $\angle Q = 105^\circ$, and side $p = 6$. Find side $r$.

Find angle R first. The sum of angles is $180^\circ$.

Example 2.4

ในรูปสามเหลี่ยม มุมสองมุมกาง $60^\circ$ และ $45^\circ$ ตามลำดับ ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม $60^\circ$ ยาว $2\sqrt{3}$ ซม. จงหาความยาวด้านตรงข้ามมุม $45^\circ$

$$ \begin{aligned} \frac{a}{\sin 60^\circ} &= \frac{b}{\sin 45^\circ} \\ \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} &= \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ 4 &= \frac{2b}{\sqrt{2}} \\ b &= 2\sqrt{2} \text{ ซม.} \end{aligned} $$

In a triangle, two angles are $60^\circ$ and $45^\circ$. The side opposite $60^\circ$ is $2\sqrt{3}$ cm. Find the side opposite $45^\circ$.

Example 2.5

กำหนด $\triangle ABC$ มี $b=8$, $c=8\sqrt{2}$, $\angle B = 30^\circ$ จงหามุม $C$ ที่เป็นมุมป้าน

$$ \begin{aligned} \frac{b}{\sin B} &= \frac{c}{\sin C} \\ \frac{8}{\sin 30^\circ} &= \frac{8\sqrt{2}}{\sin C} \\ \frac{8}{0.5} &= \frac{8\sqrt{2}}{\sin C} \\ 16 &= \frac{8\sqrt{2}}{\sin C} \\ \sin C &= \frac{8\sqrt{2}}{16} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} $$

มุมที่ให้ค่า $\sin$ เป็น $\frac{\sqrt{2}}{2}$ คือ $45^\circ$ และ $135^\circ$ (เนื่องจากโจทย์ระบุว่าเป็นมุมป้าน จึงตอบ $135^\circ$)

Given $\triangle ABC$ with $b=8$, $c=8\sqrt{2}$, $\angle B = 30^\circ$. Find angle $C$ if it is obtuse.

Angles with a sine of $\frac{\sqrt{2}}{2}$ are $45^\circ$ and $135^\circ$. (Since $C$ is obtuse, the answer is $135^\circ$.)

Example 2.6

กำหนดอัตราส่วนความยาวด้าน $\displaystyle a:b:c = 4:5:6$ จงหาค่าของ $\displaystyle \frac{\sin A}{\sin C}$

จากกฎของไซน์ อัตราส่วนของไซน์ของมุม จะเท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้าม

$$ \begin{aligned} \frac{a}{\sin A} &= \frac{c}{\sin C} \\ \frac{\sin A}{\sin C} &= \frac{a}{c} \\ &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3} \end{aligned} $$

Given the ratio of sides $\displaystyle a:b:c = 4:5:6$. Find the value of $\displaystyle \frac{\sin A}{\sin C}$.

By the Law of Sines, the ratio of the sines of the angles equals the ratio of their opposite sides.

$$ \begin{aligned} \frac{a}{\sin A} &= \frac{c}{\sin C} \\ \frac{\sin A}{\sin C} &= \frac{a}{c} \\ &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3} \end{aligned} $$

Example 2.7

หากสามเหลี่ยมมีพื้นที่บรรจุในวงกลมแนบใน โดยมีรัศมีวงกลมล้อมรอบ (Circumradius) เท่ากับ $R = 10$ จงหาด้าน $a$ หากมุม $A = 30^\circ$

ความสัมพันธ์พิเศษ: $\displaystyle \frac{a}{\sin A} = 2R$

$$ \begin{aligned} \frac{a}{\sin 30^\circ} &= 2(10) \\ \frac{a}{0.5} &= 20 \\ a &= 20 \times 0.5 \\ a &= 10 \end{aligned} $$

If a triangle is inscribed in a circle with a circumradius $R = 10$, find side $a$ if angle $A = 30^\circ$.

Special relationship: $\displaystyle \frac{a}{\sin A} = 2R$

$$ \begin{aligned} \frac{a}{\sin 30^\circ} &= 2(10) \\ \frac{a}{0.5} &= 20 \\ a &= 20 \times 0.5 \\ a &= 10 \end{aligned} $$

การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม Area of a Triangle

การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม เราสามารถคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ ได้อย่างรวดเร็ว หากทราบความยาวของด้าน 2 ด้าน และ มุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสองนั้น โดยใช้สูตร:

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2}\color{#d32f2f}{a}\color{#1976d2}{b} \sin \color{#2e7d32}{C} \\ &= \frac{1}{2}\color{#1976d2}{b}\color{#2e7d32}{c} \sin \color{#d32f2f}{A} \\ &= \frac{1}{2}\color{#d32f2f}{a}\color{#2e7d32}{c} \sin \color{#1976d2}{B} \end{aligned} $$

The Area of a Triangle can be quickly calculated if we know the lengths of 2 sides and their included angle using the formula:

Example 3.1

จงหาพื้นที่ของ $\triangle ABC$ ที่มี $a = 10, b = 12$ และ $\angle C = 30^\circ$

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2}ab \sin C \\ &= \frac{1}{2}(10)(12) \sin 30^\circ \\ &= 60 \left(\frac{1}{2}\right) \\ &= 30 \text{ ตร.หน่วย} \end{aligned} $$

Find the area of $\triangle ABC$ with $a = 10, b = 12$, and $\angle C = 30^\circ$.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2}ab \sin C \\ &= \frac{1}{2}(10)(12) \sin 30^\circ \\ &= 60 \left(\frac{1}{2}\right) \\ &= 30 \text{ sq units} \end{aligned} $$

Example 3.2

จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว $8$ และ $5\sqrt{2}$ โดยมุมระหว่างด้านทั้งสองคือ $45^\circ$

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2}bc \sin A \\ &= \frac{1}{2}(8)(5\sqrt{2}) \sin 45^\circ \\ &= 20\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ &= \frac{20(2)}{2} \\ &= 20 \text{ ตร.หน่วย} \end{aligned} $$

Find the area of a triangle with sides $8$ and $5\sqrt{2}$ and an included angle of $45^\circ$.

Example 3.3

จงหาพื้นที่ของ $\triangle PQR$ ที่มี $p = 6, r = 10$ และ $\angle Q = 60^\circ$

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2}pr \sin Q \\ &= \frac{1}{2}(6)(10) \sin 60^\circ \\ &= 30 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= 15\sqrt{3} \text{ ตร.หน่วย} \end{aligned} $$

Find the area of $\triangle PQR$ with $p = 6, r = 10$, and $\angle Q = 60^\circ$.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2}pr \sin Q \\ &= \frac{1}{2}(6)(10) \sin 60^\circ \\ &= 30 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= 15\sqrt{3} \text{ sq units} \end{aligned} $$

Example 3.4

จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน ที่มีด้านประกอบมุมป้านยาว $14$ และ $20$ ซม. โดยมุมป้านมีขนาด $150^\circ$

จำไว้ว่า $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ)$

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2}(14)(20) \sin 150^\circ \\ &= 140 \sin 30^\circ \\ &= 140 \left(\frac{1}{2}\right) \\ &= 70 \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

Find the area of an obtuse triangle with sides $14$ and $20$ cm enclosing an angle of $150^\circ$.

Remember $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ)$.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2}(14)(20) \sin 150^\circ \\ &= 140 \sin 30^\circ \\ &= 140 \left(\frac{1}{2}\right) \\ &= 70 \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Example 3.5

ใน $\triangle ABC$ มีพื้นที่เท่ากับ $50\sqrt{3}$ ตร.ม. ด้าน $a=20$ ม. และมุม $B=60^\circ$ จงหาความยาวของด้าน $c$

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2}ac \sin B \\ 50\sqrt{3} &= \frac{1}{2}(20)(c) \sin 60^\circ \\ 50\sqrt{3} &= 10c \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ 50\sqrt{3} &= 5\sqrt{3} c \\ c &= \frac{50\sqrt{3}}{5\sqrt{3}} \\ &= 10 \text{ ม.} \end{aligned} $$

In $\triangle ABC$, the area is $50\sqrt{3}$ $m^2$. Side $a=20$ m and angle $B=60^\circ$. Find the length of side $c$.

Example 3.6

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีด้านยาว $10$ และ $12$ ซม. และมีมุมหนึ่งเท่ากับ $120^\circ$ จงหาพื้นที่

สี่เหลี่ยมด้านขนานเกิดจากสามเหลี่ยมสองรูปรวมกัน ดังนั้นพื้นที่ $= 2 \times (\text{พื้นที่สามเหลี่ยม}) = ab \sin \theta$

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= ab \sin \theta \\ &= (10)(12) \sin 120^\circ \\ &= 120 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= 60\sqrt{3} \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

A parallelogram has sides $10$ and $12$ cm and an angle of $120^\circ$. Find its area.

A parallelogram is two congruent triangles, so Area $= 2 \times (\text{Triangle Area}) = ab \sin \theta$.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= ab \sin \theta \\ &= (10)(12) \sin 120^\circ \\ &= 120 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= 60\sqrt{3} \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Example 3.7

ตรวจสอบสูตร: หาพื้นที่สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีฐาน $3$ สูง $4$ มุมระหว่างกลาง $90^\circ$

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2}ab \sin C \\ &= \frac{1}{2}(3)(4) \sin 90^\circ \\ &= 6(1) \\ &= 6 \text{ ตร.หน่วย} \end{aligned} $$

ตรงกับสูตรพื้นฐาน $\frac{1}{2} \times \text{ฐาน} \times \text{สูง}$ พอดี!

Formula verification: Find the area of a right triangle with base $3$, height $4$, and included angle $90^\circ$.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2}ab \sin C \\ &= \frac{1}{2}(3)(4) \sin 90^\circ \\ &= 6(1) \\ &= 6 \text{ sq units} \end{aligned} $$

This perfectly matches the basic $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$ formula!

การประยุกต์ใช้ในชีวิตจริง Real-world Applications

กฎของไซน์และโคไซน์เป็นพื้นฐานสำคัญในงานสำรวจทิศทาง การเดินเรือ สถาปัตยกรรม และวิศวกรรม เพื่อใช้หาระยะทาง ความสูง มุมก้ม และมุมเงย โดยการจำลองสถานการณ์ให้เป็น รูปสามเหลี่ยม

The Laws of Sines and Cosines are fundamental in surveying, navigation, architecture, and engineering to find distances, heights, and angles of elevation/depression by modeling scenarios as triangles.

Example 4.1

เรือ 2 ลำ ออกจากท่าเรือพร้อมกัน ทำมุม $60^\circ$ ต่อกัน ลำแรกแล่นได้ระยะ $5$ กม. ลำที่สองแล่นได้ $8$ กม. เรือทั้งสองลำอยู่ห่างกันเท่าใด?

$$ \begin{aligned} \text{ให้ระยะห่างคือ }& x \text{ (ใช้กฎของโคไซน์)} \\ x^2 &= 5^2 + 8^2 - 2(5)(8) \cos 60^\circ \\ &= 25 + 64 - 80(0.5) \\ &= 89 - 40 \\ &= 49 \\ x &= 7 \text{ กม.} \end{aligned} $$

Two ships leave a port diverging at a $60^\circ$ angle. The first travels $5$ km, the second $8$ km. How far apart are they?

$$ \begin{aligned} \text{Let distance be }& x \text{ (Use Law of Cosines)} \\ x^2 &= 5^2 + 8^2 - 2(5)(8) \cos 60^\circ \\ &= 25 + 64 - 80(0.5) \\ &= 89 - 40 \\ &= 49 \\ x &= 7 \text{ km} \end{aligned} $$

Example 4.2

ต้นไม้ต้นหนึ่งเอนทำมุม $105^\circ$ กับพื้นดิน (เอียงหนีจากผู้สังเกต) ชายคนหนึ่งยืนห่างจากโคนต้นไม้ $10$ เมตร มองเห็นยอดต้นไม้เป็นมุมเงย $30^\circ$ จงหาความยาวของต้นไม้ที่เอนนี้

มุมบนยอดต้นไม้คือ $180^\circ - (105^\circ + 30^\circ) = 45^\circ$

$$ \begin{aligned} \frac{h}{\sin 30^\circ} &= \frac{10}{\sin 45^\circ} \quad \text{(กฎของไซน์)} \\ \frac{h}{0.5} &= \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ 2h &= \frac{20}{\sqrt{2}} \\ &= 10\sqrt{2} \\ h &= 5\sqrt{2} \text{ เมตร} \end{aligned} $$

A tree leans at a $105^\circ$ angle to the ground (away from the observer). A man standing $10$ m from the base sees the top at an angle of elevation of $30^\circ$. Find the length of the leaning tree.

The angle at the top is $180^\circ - (105^\circ + 30^\circ) = 45^\circ$

$$ \begin{aligned} \frac{h}{\sin 30^\circ} &= \frac{10}{\sin 45^\circ} \quad \text{(Law of Sines)} \\ \frac{h}{0.5} &= \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ 2h &= \frac{20}{\sqrt{2}} \\ &= 10\sqrt{2} \\ h &= 5\sqrt{2} \text{ meters} \end{aligned} $$

Example 4.3

จุดสังเกตสองจุด $A$ และ $B$ อยู่ห่างกัน $20$ ม. มองบอลลูนบนฟ้า $C$ ทำมุมเงย $45^\circ$ และ $60^\circ$ ตามลำดับ (จุดอยู่ด้านเดียวกันของบอลลูน) จงหาระยะจากจุด $A$ ไปยังบอลลูน

มุมบนยอด $C$ คือ $60^\circ - 45^\circ = 15^\circ$ และมุมที่ $B$ (ด้านป้าน) คือ $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$$ \begin{aligned} \frac{AC}{\sin 120^\circ} &= \frac{AB}{\sin 15^\circ} \\ \frac{AC}{\sin 60^\circ} &= \frac{20}{\sin 15^\circ} \\ AC &= \frac{20 \sin 60^\circ}{\sin 15^\circ} \text{ เมตร} \end{aligned} $$

Two points $A$ and $B$, $20$ m apart, view a balloon $C$ at elevation angles of $45^\circ$ and $60^\circ$ (both on the same side). Find the distance from $A$ to the balloon.

Top angle $C$ is $60^\circ - 45^\circ = 15^\circ$, obtuse $B$ angle is $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Example 4.4

นายพรานเห็นนกบินสองตัว ตัวแรกห่างไป $3$ กม. ตัวที่สองห่างไป $5$ กม. มุมระหว่างแนวสายตาทั้งสองคือ $120^\circ$ นกสองตัวห่างกันเท่าใด?

$$ \begin{aligned} d^2 &= 3^2 + 5^2 - 2(3)(5) \cos 120^\circ \\ &= 9 + 25 - 30(-0.5) \\ &= 34 + 15 \\ &= 49 \\ d &= 7 \text{ กม.} \end{aligned} $$

A hunter sees two birds: one is $3$ km away, the other is $5$ km away. The angle between his lines of sight is $120^\circ$. How far apart are the birds?

$$ \begin{aligned} d^2 &= 3^2 + 5^2 - 2(3)(5) \cos 120^\circ \\ &= 9 + 25 - 30(-0.5) \\ &= 34 + 15 \\ &= 49 \\ d &= 7 \text{ km} \end{aligned} $$

Example 4.5

แรงสองแรงขนาด $4$ N และ $5$ N กระทำต่อวัตถุที่จุดเดียวกันโดยทำมุม $60^\circ$ ต่อกัน จงหาขนาดของแรงลัพธ์ (Resultant Force)

ใช้กฎของโคไซน์กับสี่เหลี่ยมด้านขนาน มุมภายในจะเป็น $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$$ \begin{aligned} R^2 &= 4^2 + 5^2 - 2(4)(5) \cos 120^\circ \\ &= 16 + 25 - 40(-0.5) \\ &= 41 + 20 \\ &= 61 \\ R &= \sqrt{61} \text{ นิวตัน} \end{aligned} $$

Two forces of $4$ N and $5$ N act on a point at a $60^\circ$ angle. Find the resultant force magnitude.

Using the parallelogram method, the internal angle is $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

$$ \begin{aligned} R^2 &= 4^2 + 5^2 - 2(4)(5) \cos 120^\circ \\ &= 16 + 25 - 40(-0.5) \\ &= 41 + 20 \\ &= 61 \\ R &= \sqrt{61} \text{ N} \end{aligned} $$

Example 4.6

ชายคนหนึ่งมองจากหน้าผาเห็นเรือ $A$ และ $B$ เป็นมุมก้ม $30^\circ$ และ $45^\circ$ ตามลำดับ ถ้าระยะจากตาถึงเรือ $A$ คือ $20$ ม. มุมระหว่างเรือทั้งสองคือ $30^\circ$ จงหาระยะจากหน้าผาถึงเรือ $B$

จัดรูปสามเหลี่ยมกลางอากาศโดยใช้กฎของไซน์

$$ \begin{aligned} \frac{d_B}{\sin 30^\circ} &= \frac{20}{\sin 45^\circ} \\ \frac{d_B}{0.5} &= \frac{20}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ 2 d_B &= 20\sqrt{2} \\ d_B &= 10\sqrt{2} \text{ ม.} \end{aligned} $$

A man on a cliff sees boats $A$ and $B$ at depression angles. If distance to $A$ is $20$ m and the angle between the boats from his view is $30^\circ$, find the distance to boat $B$ if the opposite angle is $45^\circ$.

Using the Law of Sines in the viewing triangle.

$$ \begin{aligned} \frac{d_B}{\sin 30^\circ} &= \frac{20}{\sin 45^\circ} \\ \frac{d_B}{0.5} &= \frac{20}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ 2 d_B &= 20\sqrt{2} \\ d_B &= 10\sqrt{2} \text{ m} \end{aligned} $$

Example 4.7

ที่ดินรูปสามเหลี่ยมแปลงหนึ่งมีด้านยาว $40$ ม. และ $50$ ม. มุมระหว่างด้านทั้งสองคือ $30^\circ$ ที่ดินแปลงนี้มีพื้นที่กี่ตารางเมตร?

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2}ab \sin \theta \\ &= \frac{1}{2}(40)(50) \sin 30^\circ \\ &= 1000(0.5) \\ &= 500 \text{ ตารางเมตร} \end{aligned} $$

A triangular piece of land has sides measuring $40$ m and $50$ m with an included angle of $30^\circ$. What is the area of the land in square meters?

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2}ab \sin \theta \\ &= \frac{1}{2}(40)(50) \sin 30^\circ \\ &= 1000(0.5) \\ &= 500 \text{ sq. meters} \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Sine	sinus (curve/fold)	ไซน์ · อัตราส่วนความยาวด้านตรงข้ามมุม ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก
Cosine	co- (complement) + sinus	โคไซน์ · อัตราส่วนความยาวด้านประชิดมุม ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก (ไซน์ของมุมประกอบ)
Oblique Triangle	obliquus (slanting)	รูปสามเหลี่ยมใดๆ · รูปสามเหลี่ยมที่ไม่มีมุมใดเป็นมุมฉาก
Elevation	ex- (up) + levare (to lift)	มุมเงย · มุมที่วัดขึ้นจากระดับสายตาไปยังวัตถุ
Depression	de- (down) + premere (to press)	มุมก้ม · มุมที่วัดลงจากระดับสายตาไปยังวัตถุ
Opposite	ob- (against) + ponere (to place)	ตรงข้าม · ด้านที่อยู่ฝั่งตรงข้ามกับมุมที่พิจารณา
Adjacent	ad- (near) + iacere (to lie)	ประชิด · ด้านที่อยู่ติดกับมุมที่พิจารณา
Hypotenuse	hypo- (under) + teinein (to stretch)	ด้านตรงข้ามมุมฉาก · ด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
Ambiguous Case	ambi- (both) + agere (to drive)	กรณีคลุมเครือ · กรณี SSA ในกฎของไซน์ที่อาจหาได้ 0, 1 หรือ 2 สามเหลี่ยม
Parallelogram	para- (alongside) + allelon (each other)	รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน · รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันสองคู่
Resultant	re- (back) + salire (to leap)	แรงลัพธ์ / เวกเตอร์ลัพธ์ · ผลรวมของแรงหรือเวกเตอร์สองตัวขึ้นไป