สมการตรีโกณมิติ

สมการตรีโกณมิติ (Trigonometric Equations) คือสมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติของตัวแปรมุมซ่อนอยู่ การแก้สมการนี้คือการหาค่ามุม $\theta$ ที่ทำให้สมการเป็นจริง ซึ่งค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะมีลักษณะเป็นคาบ (Periodic) ทำให้สมการหนึ่งๆ อาจมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วนเว้นแต่จะมีการระบุช่วง (Domain) ที่ชัดเจน

Trigonometric Equations are equations that contain trigonometric functions of a variable angle. Solving these involves finding the angle $\theta$ that satisfies the equation. Because trigonometric functions are periodic, an equation can have infinitely many solutions unless a specific domain is defined.

การแก้สมการเบื้องต้น (แบบกำหนดช่วง) Basic Trigonometric Equations (Specific Domain)

ในหัวข้อนี้ เราจะพิจารณาการหาค่ามุม $\theta$ ภายใต้ขอบเขตที่กำหนดให้ ซึ่งโดยทั่วไปมักกำหนดให้อยู่ในหนึ่งรอบวงกลม คือ $0 \le \theta < 2\pi$ (หรือ $0^\circ \le \theta < 360^\circ$)

In this section, we will find the angle $\theta$ within a specified domain. Commonly, this is restricted to one full circle, which is $0 \le \theta < 2\pi$ (or $0^\circ \le \theta < 360^\circ$).

Example 1.1

จงแก้สมการ $\sin \theta = \displaystyle \frac{1}{2}$ เมื่อ $0 \le \theta < 2\pi$

$$ \begin{aligned} \sin \theta &= \frac{1}{2} \\ \text{เนื่องจากค่า } \sin \text{ เป็นบวก }& \text{มุมจะอยู่ในจตุภาคที่ } 1 \text{ และ } 2 \\ \text{มุมอ้างอิงคือ } \frac{\pi}{6} \\ \theta &= \frac{\pi}{6}, \pi - \frac{\pi}{6} \\ \theta &= \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \end{aligned} $$

Solve $\sin \theta = \displaystyle \frac{1}{2}$ for $0 \le \theta < 2\pi$

$$ \begin{aligned} \sin \theta &= \frac{1}{2} \\ \text{Since } \sin \text{ is positive, }& \text{the angle is in Quadrants } 1 \text{ and } 2. \\ \text{The reference angle is } \frac{\pi}{6} \\ \theta &= \frac{\pi}{6}, \pi - \frac{\pi}{6} \\ \theta &= \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \end{aligned} $$

Example 1.2

จงแก้สมการ $\cos \theta = -\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ เมื่อ $0 \le \theta < 2\pi$

$$ \begin{aligned} \cos \theta &= -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \text{ค่า } \cos \text{ เป็นลบ }& \text{มุมจะอยู่ในจตุภาคที่ } 2 \text{ และ } 3 \\ \text{มุมอ้างอิงคือ } \frac{\pi}{4} \\ \theta &= \pi - \frac{\pi}{4}, \pi + \frac{\pi}{4} \\ \theta &= \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \end{aligned} $$

Solve $\cos \theta = -\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ for $0 \le \theta < 2\pi$

$$ \begin{aligned} \cos \theta &= -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \text{Since } \cos \text{ is negative, }& \text{the angle is in Quadrants } 2 \text{ and } 3. \\ \text{The reference angle is } \frac{\pi}{4} \\ \theta &= \pi - \frac{\pi}{4}, \pi + \frac{\pi}{4} \\ \theta &= \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \end{aligned} $$

Example 1.3

จงแก้สมการ $\tan \theta = \sqrt{3}$ เมื่อ $0 \le \theta < 2\pi$

$$ \begin{aligned} \tan \theta &= \sqrt{3} \\ \text{ค่า } \tan \text{ เป็นบวก }& \text{มุมจะอยู่ในจตุภาคที่ } 1 \text{ และ } 3 \\ \text{มุมอ้างอิงคือ } \frac{\pi}{3} \\ \theta &= \frac{\pi}{3}, \pi + \frac{\pi}{3} \\ \theta &= \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \end{aligned} $$

Solve $\tan \theta = \sqrt{3}$ for $0 \le \theta < 2\pi$

$$ \begin{aligned} \tan \theta &= \sqrt{3} \\ \text{Since } \tan \text{ is positive, }& \text{the angle is in Quadrants } 1 \text{ and } 3. \\ \text{The reference angle is } \frac{\pi}{3} \\ \theta &= \frac{\pi}{3}, \pi + \frac{\pi}{3} \\ \theta &= \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \end{aligned} $$

Example 1.4

จงแก้สมการ $2\cos \theta - 1 = 0$ เมื่อ $0^\circ \le \theta < 360^\circ$

$$ \begin{aligned} 2\cos \theta - 1 &= 0 \\ 2\cos \theta &= 1 \\ \cos \theta &= \frac{1}{2} \\ \text{มุมอ้างอิงคือ } 60^\circ \text{ และค่า }& \cos \text{ เป็นบวก (Q1, Q4)} \\ \theta &= 60^\circ, 360^\circ - 60^\circ \\ \theta &= 60^\circ, 300^\circ \end{aligned} $$

Solve $2\cos \theta - 1 = 0$ for $0^\circ \le \theta < 360^\circ$

$$ \begin{aligned} 2\cos \theta - 1 &= 0 \\ 2\cos \theta &= 1 \\ \cos \theta &= \frac{1}{2} \\ \text{Reference angle is } 60^\circ \text{ and } &\cos \text{ is positive (Q1, Q4)} \\ \theta &= 60^\circ, 360^\circ - 60^\circ \\ \theta &= 60^\circ, 300^\circ \end{aligned} $$

Example 1.5

จงแก้สมการ $\sqrt{3}\cot \theta + 1 = 0$ เมื่อ $0 \le \theta < 2\pi$

$$ \begin{aligned} \sqrt{3}\cot \theta &= -1 \\ \cot \theta &= -\frac{1}{\sqrt{3}},\\ \tan \theta &= -\sqrt{3} \\ \text{มุมอ้างอิงคือ } \frac{\pi}{3} \text{ และ }& \tan \text{ เป็นลบ (Q2, Q4)} \\ \theta &= \pi - \frac{\pi}{3}, 2\pi - \frac{\pi}{3} \\ \theta &= \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \end{aligned} $$

Solve $\sqrt{3}\cot \theta + 1 = 0$ for $0 \le \theta < 2\pi$

$$ \begin{aligned} \sqrt{3}\cot \theta &= -1 \\ \cot \theta &= -\frac{1}{\sqrt{3}},\\ \tan \theta &= -\sqrt{3} \\ \text{Reference angle is } \frac{\pi}{3} \text{ and }& \tan \text{ is negative (Q2, Q4)} \\ \theta &= \pi - \frac{\pi}{3}, 2\pi - \frac{\pi}{3} \\ \theta &= \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \end{aligned} $$

Example 1.6

จงแก้สมการ $\sec \theta = 2$ เมื่อ $0 \le \theta < 2\pi$

$$ \begin{aligned} \sec \theta &= 2 \\ \frac{1}{\cos \theta} &= 2 \\ \cos \theta &= \frac{1}{2} \\ \text{มุมอ้างอิงคือ } \frac{\pi}{3} & \text{ และอยู่ในจตุภาคที่ } 1, 4 \\ \theta &= \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \end{aligned} $$

Solve $\sec \theta = 2$ for $0 \le \theta < 2\pi$

$$ \begin{aligned} \sec \theta &= 2 \\ \frac{1}{\cos \theta} &= 2 \\ \cos \theta &= \frac{1}{2} \\ \text{Reference angle is } \frac{\pi}{3} & \text{ in Quadrants } 1, 4 \\ \theta &= \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \end{aligned} $$

Example 1.7

จงแก้สมการ $2\sin \theta + \sqrt{3} = 0$ เมื่อ $0 \le \theta < 2\pi$

$$ \begin{aligned} 2\sin \theta &= -\sqrt{3} \\ \sin \theta &= -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \text{มุมอ้างอิงคือ } \frac{\pi}{3} \text{ และค่า } & \sin \text{ เป็นลบ (Q3, Q4)} \\ \theta &= \pi + \frac{\pi}{3}, 2\pi - \frac{\pi}{3} \\ \theta &= \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \end{aligned} $$

Solve $2\sin \theta + \sqrt{3} = 0$ for $0 \le \theta < 2\pi$

$$ \begin{aligned} 2\sin \theta &= -\sqrt{3} \\ \sin \theta &= -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \text{Reference angle is } \frac{\pi}{3} \text{ and } & \sin \text{ is negative (Q3, Q4)} \\ \theta &= \pi + \frac{\pi}{3}, 2\pi - \frac{\pi}{3} \\ \theta &= \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \end{aligned} $$

การหาคำตอบทั่วไป General Solutions

หากโจทย์ไม่ได้จำกัดช่วงของ $\theta$ สมการจะมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน เราต้องเขียนคำตอบในรูปของตัวแปร $n$ (เมื่อ $n \in \mathbb{Z}$ คือจำนวนเต็มใดๆ) โดยอาศัยสูตรหลักดังนี้:

$\sin x = \sin \alpha \implies x = n\pi + (-1)^n \alpha$
$\cos x = \cos \alpha \implies x = 2n\pi \pm \alpha$
$\tan x = \tan \alpha \implies x = n\pi + \alpha$

If the domain of $\theta$ is not restricted, the equation has infinitely many solutions. We write the solution using the variable $n$ (where $n \in \mathbb{Z}$ is any integer) based on these core formulas:

$\sin x = \sin \alpha \implies x = n\pi + (-1)^n \alpha$
$\cos x = \cos \alpha \implies x = 2n\pi \pm \alpha$
$\tan x = \tan \alpha \implies x = n\pi + \alpha$

Example 2.1

จงหาคำตอบทั่วไปของสมการ $\sin \theta = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$

$$ \begin{aligned} \sin \theta &= \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin \theta &= \sin \frac{\pi}{4} \quad \text{(ให้ } \alpha = \frac{\pi}{4}\text{)} \\ \theta &= n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} \quad \text{เมื่อ } n \in \mathbb{Z} \end{aligned} $$

Find the general solution for $\sin \theta = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$

$$ \begin{aligned} \sin \theta &= \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin \theta &= \sin \frac{\pi}{4} \quad \text{(Let } \alpha = \frac{\pi}{4}\text{)} \\ \theta &= n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} \quad \text{where } n \in \mathbb{Z} \end{aligned} $$

Example 2.2

จงหาคำตอบทั่วไปของสมการ $\cos \theta = \displaystyle \frac{1}{2}$

$$ \begin{aligned} \cos \theta &= \frac{1}{2} \\ \cos \theta &= \cos \frac{\pi}{3} \quad \text{(ให้ } \alpha = \frac{\pi}{3}\text{)} \\ \theta &= 2n\pi \pm \frac{\pi}{3} \quad \text{เมื่อ } n \in \mathbb{Z} \end{aligned} $$

Find the general solution for $\cos \theta = \displaystyle \frac{1}{2}$

$$ \begin{aligned} \cos \theta &= \frac{1}{2} \\ \cos \theta &= \cos \frac{\pi}{3} \quad \text{(Let } \alpha = \frac{\pi}{3}\text{)} \\ \theta &= 2n\pi \pm \frac{\pi}{3} \quad \text{where } n \in \mathbb{Z} \end{aligned} $$

Example 2.3

จงหาคำตอบทั่วไปของสมการ $\tan \theta = 1$

$$ \begin{aligned} \tan \theta &= 1 \\ \tan \theta &= \tan \frac{\pi}{4} \\ \theta &= n\pi + \frac{\pi}{4} \quad \text{เมื่อ } n \in \mathbb{Z} \end{aligned} $$

Find the general solution for $\tan \theta = 1$

$$ \begin{aligned} \tan \theta &= 1 \\ \tan \theta &= \tan \frac{\pi}{4} \\ \theta &= n\pi + \frac{\pi}{4} \quad \text{where } n \in \mathbb{Z} \end{aligned} $$

Example 2.4

จงหาคำตอบทั่วไปของสมการ $\sin 2\theta = 1$

$$ \begin{aligned} \sin 2\theta &= \sin \frac{\pi}{2} \\ 2\theta &= n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{2} \\ \theta &= \frac{n\pi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{4} \quad \text{เมื่อ } n \in \mathbb{Z} \end{aligned} $$

Find the general solution for $\sin 2\theta = 1$

$$ \begin{aligned} \sin 2\theta &= \sin \frac{\pi}{2} \\ 2\theta &= n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{2} \\ \theta &= \frac{n\pi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{4} \quad \text{where } n \in \mathbb{Z} \end{aligned} $$

Example 2.5

จงหาคำตอบทั่วไปของสมการ $\cos 3\theta = 0$

$$ \begin{aligned} \cos 3\theta &= \cos \frac{\pi}{2} \\ 3\theta &= 2n\pi \pm \frac{\pi}{2} \\ \theta &= \frac{2n\pi}{3} \pm \frac{\pi}{6} \quad \text{เมื่อ } n \in \mathbb{Z} \end{aligned} $$

Find the general solution for $\cos 3\theta = 0$

$$ \begin{aligned} \cos 3\theta &= \cos \frac{\pi}{2} \\ 3\theta &= 2n\pi \pm \frac{\pi}{2} \\ \theta &= \frac{2n\pi}{3} \pm \frac{\pi}{6} \quad \text{where } n \in \mathbb{Z} \end{aligned} $$

Example 2.6

จงหาคำตอบทั่วไปของสมการ $\sqrt{3}\tan \displaystyle \frac{\theta}{2} = 1$

$$ \begin{aligned} \tan \frac{\theta}{2} &= \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \tan \frac{\theta}{2} &= \tan \frac{\pi}{6} \\ \frac{\theta}{2} &= n\pi + \frac{\pi}{6} \\ \theta &= 2n\pi + \frac{\pi}{3} \quad \text{เมื่อ } n \in \mathbb{Z} \end{aligned} $$

Find the general solution for $\sqrt{3}\tan \displaystyle \frac{\theta}{2} = 1$

Example 2.7

จงหาคำตอบทั่วไปของสมการ $\sec^2 \theta = 2$

$$ \begin{aligned} \sec^2 \theta &= 2 \\ \cos^2 \theta &= \frac{1}{2} \\ \cos \theta &= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \text{กรณี } \cos \theta &= \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \theta &= 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} \\ \text{กรณี } \cos \theta &= -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \theta &= 2n\pi \pm \frac{3\pi}{4} \\ \text{สรุปคำตอบรวม: } \theta &= n\pi \pm \frac{\pi}{4} \quad \text{เมื่อ } n \in \mathbb{Z} \end{aligned} $$

Find the general solution for $\sec^2 \theta = 2$

$$ \begin{aligned} \sec^2 \theta &= 2 \\ \cos^2 \theta &= \frac{1}{2} \\ \cos \theta &= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \text{Case } \cos \theta &= \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \theta &= 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} \\ \text{Case } \cos \theta &= -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \theta &= 2n\pi \pm \frac{3\pi}{4} \\ \text{Combined solution: } \theta &= n\pi \pm \frac{\pi}{4} \quad \text{where } n \in \mathbb{Z} \end{aligned} $$

การแก้สมการโดยใช้เอกลักษณ์และสูตร Solving using Identities and Formulas

สมการตรีโกณมิติที่มีความซับซ้อน มักจะมีฟังก์ชันมากกว่าหนึ่งชนิด หรือมีมุมที่แตกต่างกัน เราต้องใช้ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ (Trigonometric Identities) เช่น $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ หรือสูตรมุมสองเท่า เพื่อจัดรูปให้เหลือฟังก์ชันชนิดเดียว จากนั้นใช้การแยกตัวประกอบเพื่อหาคำตอบ (ในหัวข้อนี้จะหาคำตอบในช่วง $0 \le \theta < 2\pi$)

Complex equations often involve multiple trigonometric functions or different angles. We must use Trigonometric Identities (e.g., $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$) or double-angle formulas to convert them into a single function. Then, we use factoring to find the solutions (for this section, we solve within $0 \le \theta < 2\pi$).

Example 3.1

จงแก้สมการ $\cos^2 \theta - \cos \theta = 0$

ดึงตัวร่วม $\cos \theta$ ออกมา

$$ \begin{aligned} \cos \theta (\cos \theta - 1) &= 0 \\ \cos \theta = 0 \quad &\text{หรือ} \quad \cos \theta = 1 \\ \theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \quad &\text{หรือ} \quad \theta = 0 \\ \text{เซตคำตอบคือ } &\{ 0, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \} \end{aligned} $$

Solve $\cos^2 \theta - \cos \theta = 0$

Factor out $\cos \theta$

$$ \begin{aligned} \cos \theta (\cos \theta - 1) &= 0 \\ \cos \theta = 0 \quad &\text{or} \quad \cos \theta = 1 \\ \theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \quad &\text{or} \quad \theta = 0 \\ \text{Solution set is } &\{ 0, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \} \end{aligned} $$

Example 3.2

จงแก้สมการ $2\sin^2 \theta - \sin \theta - 1 = 0$

แยกตัวประกอบในรูปสมการกำลังสอง

$$ \begin{aligned} (2\sin \theta + 1)(\sin \theta - 1) &= 0 \\ \sin \theta = -\frac{1}{2} \quad &\text{หรือ} \quad \sin \theta = 1 \\ \theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \quad &\text{หรือ} \quad \theta = \frac{\pi}{2} \\ \text{เซตคำตอบคือ } &\{ \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \} \end{aligned} $$

Solve $2\sin^2 \theta - \sin \theta - 1 = 0$

Factor the quadratic equation

$$ \begin{aligned} (2\sin \theta + 1)(\sin \theta - 1) &= 0 \\ \sin \theta = -\frac{1}{2} \quad &\text{or} \quad \sin \theta = 1 \\ \theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \quad &\text{or} \quad \theta = \frac{\pi}{2} \\ \text{Solution set is } &\{ \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \} \end{aligned} $$

Example 3.3

จงแก้สมการ $2\cos^2 \theta + \sqrt{3}\sin \theta - 2 = 0$

ใช้เอกลักษณ์ $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ เพื่อเปลี่ยนให้เป็น $\sin$ ทั้งหมด

$$ \begin{aligned} 2(1 - \sin^2 \theta) + \sqrt{3}\sin \theta - 2 &= 0 \\ 2 - 2\sin^2 \theta + \sqrt{3}\sin \theta - 2 &= 0 \\ -2\sin^2 \theta + \sqrt{3}\sin \theta &= 0 \\ \sin \theta ( \sqrt{3} - 2\sin \theta ) &= 0 \\ \sin \theta = 0 \quad &\text{หรือ} \quad \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \theta = 0, \pi \quad &\text{หรือ} \quad \theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \end{aligned} $$

Solve $2\cos^2 \theta + \sqrt{3}\sin \theta - 2 = 0$

Use identity $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ to express in terms of $\sin$

$$ \begin{aligned} 2(1 - \sin^2 \theta) + \sqrt{3}\sin \theta - 2 &= 0 \\ 2 - 2\sin^2 \theta + \sqrt{3}\sin \theta - 2 &= 0 \\ -2\sin^2 \theta + \sqrt{3}\sin \theta &= 0 \\ \sin \theta ( \sqrt{3} - 2\sin \theta ) &= 0 \\ \sin \theta = 0 \quad &\text{or} \quad \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \theta = 0, \pi \quad &\text{or} \quad \theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \end{aligned} $$

Example 3.4

จงแก้สมการ $\sin 2\theta - \cos \theta = 0$

ใช้สูตรมุมสองเท่า $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$

$$ \begin{aligned} 2\sin \theta \cos \theta - \cos \theta &= 0 \\ \cos \theta (2\sin \theta - 1) &= 0 \\ \cos \theta = 0 \quad &\text{หรือ} \quad \sin \theta = \frac{1}{2} \\ \theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \quad &\text{หรือ} \quad \theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \end{aligned} $$

Solve $\sin 2\theta - \cos \theta = 0$

Use double-angle formula $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$

$$ \begin{aligned} 2\sin \theta \cos \theta - \cos \theta &= 0 \\ \cos \theta (2\sin \theta - 1) &= 0 \\ \cos \theta = 0 \quad &\text{or} \quad \sin \theta = \frac{1}{2} \\ \theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \quad &\text{or} \quad \theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \end{aligned} $$

Example 3.5

จงแก้สมการ $\cos 2\theta + \cos \theta = 0$

เลือกใช้สูตร $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ เพื่อให้มีแต่ $\cos$

$$ \begin{aligned} (2\cos^2 \theta - 1) + \cos \theta &= 0 \\ 2\cos^2 \theta + \cos \theta - 1 &= 0 \\ (2\cos \theta - 1)(\cos \theta + 1) &= 0 \\ \cos \theta = \frac{1}{2} \quad &\text{หรือ} \quad \cos \theta = -1 \\ \theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \quad &\text{หรือ} \quad \theta = \pi \end{aligned} $$

Solve $\cos 2\theta + \cos \theta = 0$

Use $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ to keep everything in terms of $\cos$

$$ \begin{aligned} (2\cos^2 \theta - 1) + \cos \theta &= 0 \\ 2\cos^2 \theta + \cos \theta - 1 &= 0 \\ (2\cos \theta - 1)(\cos \theta + 1) &= 0 \\ \cos \theta = \frac{1}{2} \quad &\text{or} \quad \cos \theta = -1 \\ \theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \quad &\text{or} \quad \theta = \pi \end{aligned} $$

Example 3.6

จงแก้สมการ $\tan \theta + \cot \theta = 2$

แปลง $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$

$$ \begin{aligned} \tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} &= 2 \\ \text{คูณ } \tan \theta \text{ ตลอดสมการ:} \quad \tan^2 \theta + 1 &= 2\tan \theta \\ \tan^2 \theta - 2\tan \theta + 1 &= 0 \\ (\tan \theta - 1)^2 &= 0 \\ \tan \theta &= 1 \\ \theta &= \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \end{aligned} $$

Solve $\tan \theta + \cot \theta = 2$

Convert $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$

$$ \begin{aligned} \tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} &= 2 \\ \text{Multiply by } \tan \theta \text{:} \quad \tan^2 \theta + 1 &= 2\tan \theta \\ \tan^2 \theta - 2\tan \theta + 1 &= 0 \\ (\tan \theta - 1)^2 &= 0 \\ \tan \theta &= 1 \\ \theta &= \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \end{aligned} $$

Example 3.7

จงแก้สมการ $\sec^2 \theta - \tan \theta - 1 = 0$

ใช้เอกลักษณ์ $\sec^2 \theta = \tan^2 \theta + 1$

$$ \begin{aligned} (\tan^2 \theta + 1) - \tan \theta - 1 &= 0 \\ \tan^2 \theta - \tan \theta &= 0 \\ \tan \theta ( \tan \theta - 1 ) &= 0 \\ \tan \theta = 0 \quad &\text{หรือ} \quad \tan \theta = 1 \\ \theta = 0, \pi \quad &\text{หรือ} \quad \theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \end{aligned} $$

Solve $\sec^2 \theta - \tan \theta - 1 = 0$

Use identity $\sec^2 \theta = \tan^2 \theta + 1$

$$ \begin{aligned} (\tan^2 \theta + 1) - \tan \theta - 1 &= 0 \\ \tan^2 \theta - \tan \theta &= 0 \\ \tan \theta ( \tan \theta - 1 ) &= 0 \\ \tan \theta = 0 \quad &\text{or} \quad \tan \theta = 1 \\ \theta = 0, \pi \quad &\text{or} \quad \theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Equation	aequare (make equal)	สมการ · ประโยคสัญลักษณ์ที่มีเครื่องหมายเท่ากับ แสดงความเท่ากันของสองฝั่ง
General Solution	generalis (of a whole class) + solvere (loosen, solve)	คำตอบทั่วไป · รูปแบบคำตอบที่ครอบคลุมทุกค่าที่เป็นไปได้ โดยใช้ตัวแปร (เช่น n) เข้ามาช่วย
Identity	idem (the same)	เอกลักษณ์ · สมการที่เป็นจริงเสมอสำหรับทุกค่าของตัวแปรในโดเมน
Factoring	facere (to make, do)	การแยกตัวประกอบ · การเขียนพหุนามหรือสมการให้อยู่ในรูปผลคูณของตัวประกอบที่เล็กลง
Period	peri- (around) + hodos (way, path)	คาบ · ระยะห่างที่ฟังก์ชันเริ่มมีพฤติกรรมซ้ำรอยเดิม
Domain	dominus (master, owner)	โดเมน / ช่วงคำตอบ · ขอบเขตของค่าตัวแปรหรือมุมที่กำหนดให้พิจารณาคำตอบ
Quadrant	quadrans (a fourth part)	จตุภาค · พื้นที่ 1 ใน 4 ส่วนของระนาบพิกัดฉาก (Q1, Q2, Q3, Q4)
Reference Angle	referre (carry back) + angulus (corner)	มุมอ้างอิง · มุมแหลมที่ทำกับแกน X เพื่อใช้หาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติในจตุภาคต่างๆ
Reciprocal Identity	reciprocus (returning) + idem (same)	เอกลักษณ์ส่วนกลับ · เอกลักษณ์ความสัมพันธ์ส่วนกลับของฟังก์ชัน เช่น $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$
Extraneous Solution	extraneus (external, foreign)	คำตอบเกิน / คำตอบแฝง · คำตอบที่ได้จากการจัดรูปแก้สมการแต่ไม่ทำให้สมการดั้งเดิมเป็นจริง (ต้องตรวจคำตอบเสมอ)