กลับ
คณิตศาสตร์ · Mathematics

เอกลักษณ์และสูตรตรีโกณมิติ
Trigonometric Identities & Formulas

การจัดรูปสมการ มุมประกอบ มุมพหุคูณ และการแปลงผลคูณ-ผลบวก

TH

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ (Trigonometric Identities) คือสมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ และเป็นจริงเสมอสำหรับทุกๆ ค่าของมุม การจดจำและเข้าใจสูตรเหล่านี้เป็นหัวใจสำคัญในการจัดรูปสมการที่ซับซ้อนและการแก้โจทย์ปัญหาในระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย

EN

Trigonometric Identities are equations involving trigonometric functions that are true for every value of the variables. Memorizing and understanding these formulas is essential for simplifying complex expressions and solving high school mathematical problems.

1

เอกลักษณ์พื้นฐาน Basic Identities

TH

เอกลักษณ์พื้นฐานที่สำคัญที่สุดคือ เอกลักษณ์พีทาโกรัส ซึ่งมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสในวงกลมหนึ่งหน่วย:

$$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $$ $$ 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta $$ $$ 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta $$
EN

The most important basic identities are the Pythagorean Identities, derived from the unit circle:

$$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $$ $$ 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta $$ $$ 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta $$
Example 1.1

จงจัดรูปสมการให้อยู่ในรูปอย่างง่าย: $\sin \theta \cot \theta$

$$ \begin{aligned} \sin \theta \cot \theta &= \sin \theta \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right) \\ &= \cos \theta \end{aligned} $$

Simplify the expression: $\sin \theta \cot \theta$

$$ \begin{aligned} \sin \theta \cot \theta &= \sin \theta \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right) \\ &= \cos \theta \end{aligned} $$
Example 1.2

จงจัดรูปสมการให้อยู่ในรูปอย่างง่าย: $\cos^2 x (1 + \tan^2 x)$

$$ \begin{aligned} \cos^2 x (1 + \tan^2 x) &= \cos^2 x (\sec^2 x) \quad \text{(ใช้เอกลักษณ์ } 1+\tan^2 x = \sec^2 x \text{)} \\ &= \cos^2 x \left( \frac{1}{\cos^2 x} \right) \\ &= 1 \end{aligned} $$

Simplify the expression: $\cos^2 x (1 + \tan^2 x)$

$$ \begin{aligned} \cos^2 x (1 + \tan^2 x) &= \cos^2 x (\sec^2 x) \quad \text{(using identity } 1+\tan^2 x = \sec^2 x \text{)} \\ &= \cos^2 x \left( \frac{1}{\cos^2 x} \right) \\ &= 1 \end{aligned} $$
Example 1.3

จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle \frac{1 - \sin^2 \theta}{\cos \theta} = \cos \theta$

$$ \begin{aligned} \text{พิจารณาฝั่งซ้าย: } \frac{1 - \sin^2 \theta}{\cos \theta} &= \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta} \quad \text{(จาก } \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 \text{)} \\ &= \cos \theta \\ &= \text{ฝั่งขวา} \end{aligned} $$

Prove that $\displaystyle \frac{1 - \sin^2 \theta}{\cos \theta} = \cos \theta$

$$ \begin{aligned} \text{Left Side: } \frac{1 - \sin^2 \theta}{\cos \theta} &= \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta} \quad \text{(from } \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 \text{)} \\ &= \cos \theta \\ &= \text{Right Side} \end{aligned} $$
Example 1.4

กำหนดให้ $\sin \theta = \frac{3}{5}$ และ $\theta$ อยู่ในจตุภาคที่ 1 จงหาค่า $\cos \theta$

$$ \begin{aligned} \sin^2 \theta + \cos^2 \theta &= 1 \\ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \theta &= 1 \\ \cos^2 \theta &= 1 - \frac{9}{25} \\ &= \frac{16}{25} \\ \cos \theta &= \frac{4}{5} \quad \text{(เป็นบวกเพราะอยู่ใน Q1)} \end{aligned} $$

Given $\sin \theta = \frac{3}{5}$ and $\theta$ is in Quadrant I, find $\cos \theta$.

$$ \begin{aligned} \sin^2 \theta + \cos^2 \theta &= 1 \\ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \theta &= 1 \\ \cos^2 \theta &= 1 - \frac{9}{25} \\ &= \frac{16}{25} \\ \cos \theta &= \frac{4}{5} \quad \text{(positive because in Q1)} \end{aligned} $$
Example 1.5

จงจัดรูปผลคูณ $(1 - \cos x)(1 + \cos x)$

$$ \begin{aligned} (1 - \cos x)(1 + \cos x) &= 1^2 - \cos^2 x \quad \text{(ผลต่างกำลังสอง)} \\ &= 1 - \cos^2 x \\ &= \sin^2 x \end{aligned} $$

Simplify the product $(1 - \cos x)(1 + \cos x)$

$$ \begin{aligned} (1 - \cos x)(1 + \cos x) &= 1^2 - \cos^2 x \quad \text{(difference of squares)} \\ &= 1 - \cos^2 x \\ &= \sin^2 x \end{aligned} $$
Example 1.6

จงพิสูจน์ว่า $\tan x + \cot x = \sec x \csc x$

$$ \begin{aligned} \tan x + \cot x &= \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} \\ &= \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos x \sin x} \\ &= \frac{1}{\cos x \sin x} \\ &= \left(\frac{1}{\cos x}\right) \left(\frac{1}{\sin x}\right) \\ &= \sec x \csc x \end{aligned} $$

Prove that $\tan x + \cot x = \sec x \csc x$

$$ \begin{aligned} \tan x + \cot x &= \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} \\ &= \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos x \sin x} \\ &= \frac{1}{\cos x \sin x} \\ &= \left(\frac{1}{\cos x}\right) \left(\frac{1}{\sin x}\right) \\ &= \sec x \csc x \end{aligned} $$
Example 1.7

จงจัดรูป $\displaystyle \frac{\sec^2 x - 1}{\sin^2 x}$

$$ \begin{aligned} \frac{\sec^2 x - 1}{\sin^2 x} &= \frac{\tan^2 x}{\sin^2 x} \quad \text{(ใช้เอกลักษณ์ } \sec^2 x - 1 = \tan^2 x \text{)} \\ &= \frac{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{\sin^2 x} \\ &= \frac{1}{\cos^2 x} \\ &= \sec^2 x \end{aligned} $$

Simplify $\displaystyle \frac{\sec^2 x - 1}{\sin^2 x}$

$$ \begin{aligned} \frac{\sec^2 x - 1}{\sin^2 x} &= \frac{\tan^2 x}{\sin^2 x} \quad \text{(using identity } \sec^2 x - 1 = \tan^2 x \text{)} \\ &= \frac{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{\sin^2 x} \\ &= \frac{1}{\cos^2 x} \\ &= \sec^2 x \end{aligned} $$
2

สูตรมุมประกอบ Compound Angle Formulas

TH

สูตรมุมประกอบใช้สำหรับการหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกหรือผลต่างของมุมสองมุม (ระวัง: $\sin(A+B) \neq \sin A + \sin B$)

$$ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta $$ $$ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta $$ $$ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta} $$
EN

Compound angle formulas are used to find trigonometric values for sums or differences of two angles. (Note: $\sin(A+B) \neq \sin A + \sin B$)

$$ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta $$ $$ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta $$ $$ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta} $$
Example 2.1

จงหาค่าแบบแม่นยำของ $\sin 75^\circ$

$$ \begin{aligned} \sin 75^\circ &= \sin(45^\circ + 30^\circ) \\ &= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ &= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) \\ &= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \end{aligned} $$

Find the exact value of $\sin 75^\circ$

$$ \begin{aligned} \sin 75^\circ &= \sin(45^\circ + 30^\circ) \\ &= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ &= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) \\ &= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \end{aligned} $$
Example 2.2

จงหาค่าแบบแม่นยำของ $\cos 15^\circ$

$$ \begin{aligned} \cos 15^\circ &= \cos(45^\circ - 30^\circ) \\ &= \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ \quad \text{(เครื่องหมายตรงข้ามกับโจทย์)} \\ &= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) \\ &= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \end{aligned} $$

Find the exact value of $\cos 15^\circ$

$$ \begin{aligned} \cos 15^\circ &= \cos(45^\circ - 30^\circ) \\ &= \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ \quad \text{(opposite sign to formula input)} \\ &= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) \\ &= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \end{aligned} $$
Example 2.3

จงหาค่าแบบแม่นยำของ $\tan 105^\circ$

$$ \begin{aligned} \tan 105^\circ &= \tan(60^\circ + 45^\circ) \\ &= \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 60^\circ \tan 45^\circ} \\ &= \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - (\sqrt{3})(1)} \\ &= \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \quad \text{(สามารถคูณคอนจูเกตต่อได้)} \end{aligned} $$

Find the exact value of $\tan 105^\circ$

$$ \begin{aligned} \tan 105^\circ &= \tan(60^\circ + 45^\circ) \\ &= \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 60^\circ \tan 45^\circ} \\ &= \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - (\sqrt{3})(1)} \\ &= \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \quad \text{(can further multiply by conjugate)} \end{aligned} $$
Example 2.4

จงหาค่าของ $\sin 40^\circ \cos 20^\circ + \cos 40^\circ \sin 20^\circ$

$$ \begin{aligned} \sin 40^\circ \cos 20^\circ + \cos 40^\circ \sin 20^\circ &= \sin(40^\circ + 20^\circ) \\ &= \sin 60^\circ \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} $$

Evaluate $\sin 40^\circ \cos 20^\circ + \cos 40^\circ \sin 20^\circ$

$$ \begin{aligned} \sin 40^\circ \cos 20^\circ + \cos 40^\circ \sin 20^\circ &= \sin(40^\circ + 20^\circ) \\ &= \sin 60^\circ \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} $$
Example 2.5

จงหาค่าของ $\cos 80^\circ \cos 20^\circ + \sin 80^\circ \sin 20^\circ$

$$ \begin{aligned} \cos 80^\circ \cos 20^\circ + \sin 80^\circ \sin 20^\circ &= \cos(80^\circ - 20^\circ) \quad \text{(ระวังเรื่องเครื่องหมาย)} \\ &= \cos 60^\circ \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$

Evaluate $\cos 80^\circ \cos 20^\circ + \sin 80^\circ \sin 20^\circ$

$$ \begin{aligned} \cos 80^\circ \cos 20^\circ + \sin 80^\circ \sin 20^\circ &= \cos(80^\circ - 20^\circ) \quad \text{(note the sign change)} \\ &= \cos 60^\circ \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$
Example 2.6

จงใช้สูตรมุมประกอบพิสูจน์ว่า $\sin(90^\circ + \theta) = \cos \theta$

$$ \begin{aligned} \sin(90^\circ + \theta) &= \sin 90^\circ \cos \theta + \cos 90^\circ \sin \theta \\ &= (1)(\cos \theta) + (0)(\sin \theta) \\ &= \cos \theta \end{aligned} $$

Use compound formula to prove $\sin(90^\circ + \theta) = \cos \theta$

$$ \begin{aligned} \sin(90^\circ + \theta) &= \sin 90^\circ \cos \theta + \cos 90^\circ \sin \theta \\ &= (1)(\cos \theta) + (0)(\sin \theta) \\ &= \cos \theta \end{aligned} $$
Example 2.7

จงหาค่าของ $\displaystyle \frac{\tan 50^\circ - \tan 20^\circ}{1 + \tan 50^\circ \tan 20^\circ}$

$$ \begin{aligned} \frac{\tan 50^\circ - \tan 20^\circ}{1 + \tan 50^\circ \tan 20^\circ} &= \tan(50^\circ - 20^\circ) \\ &= \tan 30^\circ \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \frac{\tan 50^\circ - \tan 20^\circ}{1 + \tan 50^\circ \tan 20^\circ}$

$$ \begin{aligned} \frac{\tan 50^\circ - \tan 20^\circ}{1 + \tan 50^\circ \tan 20^\circ} &= \tan(50^\circ - 20^\circ) \\ &= \tan 30^\circ \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned} $$
3

สูตรมุมพหุคูณ Multiple Angle Formulas

TH

สูตรเหล่านี้ถูกประยุกต์มาจากสูตรมุมประกอบ โดยการให้มุมสองมุมมีค่าเท่ากัน (เช่น $A+A = 2A$)

สูตรมุมสองเท่า (Double Angle)

$$ \begin{aligned} \sin(2\theta) &= 2\sin\theta\cos\theta \\ \cos(2\theta) &= \cos^2\theta - \sin^2\theta \\ &= 2\cos^2\theta - 1 \\ &= 1 - 2\sin^2\theta \\ \tan(2\theta) &= \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} \end{aligned} $$

สูตรมุมสามเท่า (Triple Angle)

$$ \begin{aligned} \sin(3\theta) &= 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \\ \cos(3\theta) &= 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \\ \tan(3\theta) &= \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta} \end{aligned} $$

สูตรมุมครึ่งเท่า (Half Angle)

$$ \begin{aligned} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) &= \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}} \\ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) &= \pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}} \\ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) &= \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}} \end{aligned} $$
EN

These formulas are derived from the compound angle formulas by setting the angles equal (e.g. $A+A = 2A$).

Double Angle Formulas

$$ \begin{aligned} \sin(2\theta) &= 2\sin\theta\cos\theta \\ \cos(2\theta) &= \cos^2\theta - \sin^2\theta \\ &= 2\cos^2\theta - 1 \\ &= 1 - 2\sin^2\theta \\ \tan(2\theta) &= \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} \end{aligned} $$

Triple Angle Formulas

$$ \begin{aligned} \sin(3\theta) &= 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \\ \cos(3\theta) &= 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \\ \tan(3\theta) &= \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta} \end{aligned} $$

Half Angle Formulas

$$ \begin{aligned} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) &= \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}} \\ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) &= \pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}} \\ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) &= \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}} \end{aligned} $$
Example 3.1

กำหนดให้ $\sin A = \frac{4}{5}$ (มุม A อยู่ใน Q1) จงหา $\sin 2A$

$$ \begin{aligned} \text{หา } \cos A \text{ ก่อน: } \cos A &= \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} \\ &= \frac{3}{5} \\ \sin 2A &= 2\sin A \cos A \\ &= 2\left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right) \\ &= \frac{24}{25} \end{aligned} $$

Given $\sin A = \frac{4}{5}$ (A in Q1), find $\sin 2A$

$$ \begin{aligned} \text{Find } \cos A \text{ first: } \cos A &= \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} \\ &= \frac{3}{5} \\ \sin 2A &= 2\sin A \cos A \\ &= 2\left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right) \\ &= \frac{24}{25} \end{aligned} $$
Example 3.2

กำหนดให้ $\cos A = \frac{3}{5}$ จงหา $\cos 2A$

$$ \begin{aligned} \cos 2A &= 2\cos^2 A - 1 \quad \text{(เลือกสูตรที่ไม่ต้องหา } \sin A\text{)} \\ &= 2\left(\frac{3}{5}\right)^2 - 1 \\ &= 2\left(\frac{9}{25}\right) - 1 \\ &= \frac{18}{25} - \frac{25}{25} \\ &= -\frac{7}{25} \end{aligned} $$

Given $\cos A = \frac{3}{5}$, find $\cos 2A$

$$ \begin{aligned} \cos 2A &= 2\cos^2 A - 1 \quad \text{(choose formula avoiding } \sin A\text{)} \\ &= 2\left(\frac{3}{5}\right)^2 - 1 \\ &= 2\left(\frac{9}{25}\right) - 1 \\ &= \frac{18}{25} - \frac{25}{25} \\ &= -\frac{7}{25} \end{aligned} $$
Example 3.3

จงหาค่าแบบแม่นยำของ $2\sin 15^\circ \cos 15^\circ$

$$ \begin{aligned} 2\sin 15^\circ \cos 15^\circ &= \sin(2 \times 15^\circ) \quad \text{(ยุบรูปกลับด้วยสูตรมุมสองเท่า)} \\ &= \sin 30^\circ \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$

Find the exact value of $2\sin 15^\circ \cos 15^\circ$

$$ \begin{aligned} 2\sin 15^\circ \cos 15^\circ &= \sin(2 \times 15^\circ) \quad \text{(apply double angle formula in reverse)} \\ &= \sin 30^\circ \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$
Example 3.4

จงหาค่าของ $\cos^2 22.5^\circ - \sin^2 22.5^\circ$

$$ \begin{aligned} \cos^2 22.5^\circ - \sin^2 22.5^\circ &= \cos(2 \times 22.5^\circ) \\ &= \cos 45^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} $$

Evaluate $\cos^2 22.5^\circ - \sin^2 22.5^\circ$

$$ \begin{aligned} \cos^2 22.5^\circ - \sin^2 22.5^\circ &= \cos(2 \times 22.5^\circ) \\ &= \cos 45^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} $$
Example 3.5

จงหาค่า $\sin 22.5^\circ$ โดยใช้สูตรมุมครึ่งเท่า

$$ \begin{aligned} \sin 22.5^\circ &= \sin\left(\frac{45^\circ}{2}\right) \\ &= +\sqrt{\frac{1 - \cos 45^\circ}{2}} \quad \text{(เป็นบวกเพราะ } 22.5^\circ \text{ อยู่ใน Q1)} \\ &= \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \\ &= \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \\ &= \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \end{aligned} $$

Find $\sin 22.5^\circ$ using the half-angle formula

$$ \begin{aligned} \sin 22.5^\circ &= \sin\left(\frac{45^\circ}{2}\right) \\ &= +\sqrt{\frac{1 - \cos 45^\circ}{2}} \quad \text{(positive because } 22.5^\circ \text{ is in Q1)} \\ &= \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \\ &= \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \\ &= \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \end{aligned} $$
Example 3.6

กำหนดให้ $\cos A = \frac{1}{2}$ จงหา $\cos 3A$

$$ \begin{aligned} \cos 3A &= 4\cos^3 A - 3\cos A \quad \text{(สูตรมุมสามเท่า)} \\ &= 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 3\left(\frac{1}{2}\right) \\ &= 4\left(\frac{1}{8}\right) - \frac{3}{2} \\ &= \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \\ &= -1 \end{aligned} $$

Given $\cos A = \frac{1}{2}$, find $\cos 3A$

$$ \begin{aligned} \cos 3A &= 4\cos^3 A - 3\cos A \quad \text{(triple angle formula)} \\ &= 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 3\left(\frac{1}{2}\right) \\ &= 4\left(\frac{1}{8}\right) - \frac{3}{2} \\ &= \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \\ &= -1 \end{aligned} $$
Example 3.7

จงจัดรูป $\displaystyle \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x}$

$$ \begin{aligned} \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} &= \frac{2\sin x \cos x}{1 + (2\cos^2 x - 1)} \quad \text{(เลือกสูตร } \cos 2x \text{ ที่หักล้าง } 1 \text{ ได้)} \\ &= \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} \\ &= \frac{\sin x}{\cos x} \\ &= \tan x \end{aligned} $$

Simplify $\displaystyle \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x}$

$$ \begin{aligned} \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} &= \frac{2\sin x \cos x}{1 + (2\cos^2 x - 1)} \quad \text{(choose } \cos 2x \text{ formula that cancels } 1\text{)} \\ &= \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} \\ &= \frac{\sin x}{\cos x} \\ &= \tan x \end{aligned} $$
4

การแปลงผลคูณให้เป็นผลบวกหรือผลต่าง Product to Sum Formulas

TH

สูตรกลุ่มนี้ใช้สำหรับกระจายฟังก์ชันตรีโกณมิติที่คูณกันอยู่ ให้อยู่ในรูปของการบวกลบ

$$ 2\sin A\cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B) $$ $$ 2\cos A\sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B) $$ $$ 2\cos A\cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B) $$ $$ 2\sin A\sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B) $$
EN

These formulas are used to expand products of trigonometric functions into sums or differences.

$$ 2\sin A\cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B) $$ $$ 2\cos A\sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B) $$ $$ 2\cos A\cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B) $$ $$ 2\sin A\sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B) $$
Example 4.1

จงแปลง $2\sin 40^\circ \cos 20^\circ$ เป็นผลบวก

$$ \begin{aligned} 2\sin 40^\circ \cos 20^\circ &= \sin(40^\circ + 20^\circ) + \sin(40^\circ - 20^\circ) \\ &= \sin 60^\circ + \sin 20^\circ \end{aligned} $$

Convert $2\sin 40^\circ \cos 20^\circ$ to a sum

$$ \begin{aligned} 2\sin 40^\circ \cos 20^\circ &= \sin(40^\circ + 20^\circ) + \sin(40^\circ - 20^\circ) \\ &= \sin 60^\circ + \sin 20^\circ \end{aligned} $$
Example 4.2

จงแปลง $2\cos 50^\circ \cos 10^\circ$ เป็นผลบวก

$$ \begin{aligned} 2\cos 50^\circ \cos 10^\circ &= \cos(50^\circ + 10^\circ) + \cos(50^\circ - 10^\circ) \\ &= \cos 60^\circ + \cos 40^\circ \end{aligned} $$

Convert $2\cos 50^\circ \cos 10^\circ$ to a sum

$$ \begin{aligned} 2\cos 50^\circ \cos 10^\circ &= \cos(50^\circ + 10^\circ) + \cos(50^\circ - 10^\circ) \\ &= \cos 60^\circ + \cos 40^\circ \end{aligned} $$
Example 4.3

จงหาค่าของ $2\sin 75^\circ \cos 15^\circ$

$$ \begin{aligned} 2\sin 75^\circ \cos 15^\circ &= \sin(75^\circ + 15^\circ) + \sin(75^\circ - 15^\circ) \\ &= \sin 90^\circ + \sin 60^\circ \\ &= 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} $$

Evaluate $2\sin 75^\circ \cos 15^\circ$

$$ \begin{aligned} 2\sin 75^\circ \cos 15^\circ &= \sin(75^\circ + 15^\circ) + \sin(75^\circ - 15^\circ) \\ &= \sin 90^\circ + \sin 60^\circ \\ &= 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} $$
Example 4.4

จงหาค่าของ $2\sin 15^\circ \sin 75^\circ$

$$ \begin{aligned} 2\sin 15^\circ \sin 75^\circ &= \cos(15^\circ - 75^\circ) - \cos(15^\circ + 75^\circ) \quad \text{(ใช้สูตร } \cos(A-B)-\cos(A+B)\text{)} \\ &= \cos(-60^\circ) - \cos(90^\circ) \\ &= \cos 60^\circ - 0 \quad \text{(จำไว้ว่า } \cos(-\theta) = \cos\theta\text{)} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$

Evaluate $2\sin 15^\circ \sin 75^\circ$

$$ \begin{aligned} 2\sin 15^\circ \sin 75^\circ &= \cos(15^\circ - 75^\circ) - \cos(15^\circ + 75^\circ) \quad \text{(using formula } \cos(A-B)-\cos(A+B)\text{)} \\ &= \cos(-60^\circ) - \cos(90^\circ) \\ &= \cos 60^\circ - 0 \quad \text{(recall that } \cos(-\theta) = \cos\theta\text{)} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$
Example 4.5

จงแปลง $2\cos 3x \sin x$ เป็นผลต่าง

$$ \begin{aligned} 2\cos 3x \sin x &= \sin(3x + x) - \sin(3x - x) \\ &= \sin 4x - \sin 2x \end{aligned} $$

Convert $2\cos 3x \sin x$ to a difference

$$ \begin{aligned} 2\cos 3x \sin x &= \sin(3x + x) - \sin(3x - x) \\ &= \sin 4x - \sin 2x \end{aligned} $$
Example 4.6

จงแปลง $\sin 4\theta \sin 2\theta$ ให้เป็นผลบวก/ผลต่าง

$$ \begin{aligned} \text{จากสูตร } 2\sin A\sin B &= \cos(A-B) - \cos(A+B) \\ \text{ดังนั้น } \sin 4\theta \sin 2\theta &= \frac{1}{2} [ \cos(4\theta - 2\theta) - \cos(4\theta + 2\theta) ] \\ &= \frac{1}{2} (\cos 2\theta - \cos 6\theta) \end{aligned} $$

Convert $\sin 4\theta \sin 2\theta$ to sum/difference

$$ \begin{aligned} \text{From formula } 2\sin A\sin B &= \cos(A-B) - \cos(A+B) \\ \text{Thus } \sin 4\theta \sin 2\theta &= \frac{1}{2} [ \cos(4\theta - 2\theta) - \cos(4\theta + 2\theta) ] \\ &= \frac{1}{2} (\cos 2\theta - \cos 6\theta) \end{aligned} $$
Example 4.7

จงหาค่าของ $2\cos 105^\circ \sin 15^\circ$

$$ \begin{aligned} 2\cos 105^\circ \sin 15^\circ &= \sin(105^\circ + 15^\circ) - \sin(105^\circ - 15^\circ) \\ &= \sin 120^\circ - \sin 90^\circ \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \end{aligned} $$

Evaluate $2\cos 105^\circ \sin 15^\circ$

$$ \begin{aligned} 2\cos 105^\circ \sin 15^\circ &= \sin(105^\circ + 15^\circ) - \sin(105^\circ - 15^\circ) \\ &= \sin 120^\circ - \sin 90^\circ \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \end{aligned} $$
5

การแปลงผลบวกหรือผลต่างให้เป็นผลคูณ Sum to Product Formulas

TH

สูตรเหล่านี้ใช้สำหรับการจัดรูปสมการที่มีการบวกลบกันอยู่ เพื่อดึงเป็นตัวคูณร่วมนอกวงเล็บ หรือแยกตัวประกอบ

$$ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $$ $$ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $$ $$ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $$ $$ \cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $$
EN

These formulas are used to factorize sums or differences of trigonometric functions into a product form.

$$ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $$ $$ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $$ $$ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $$ $$ \cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $$
Example 5.1

จงแปลง $\sin 40^\circ + \sin 20^\circ$ เป็นผลคูณ

$$ \begin{aligned} \sin 40^\circ + \sin 20^\circ &= 2\sin\left(\frac{40^\circ + 20^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{40^\circ - 20^\circ}{2}\right) \\ &= 2\sin(30^\circ)\cos(10^\circ) \end{aligned} $$

Convert $\sin 40^\circ + \sin 20^\circ$ to a product

$$ \begin{aligned} \sin 40^\circ + \sin 20^\circ &= 2\sin\left(\frac{40^\circ + 20^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{40^\circ - 20^\circ}{2}\right) \\ &= 2\sin(30^\circ)\cos(10^\circ) \end{aligned} $$
Example 5.2

จงแปลง $\cos 70^\circ - \cos 10^\circ$ เป็นผลคูณ

$$ \begin{aligned} \cos 70^\circ - \cos 10^\circ &= -2\sin\left(\frac{70^\circ + 10^\circ}{2}\right)\sin\left(\frac{70^\circ - 10^\circ}{2}\right) \\ &= -2\sin(40^\circ)\sin(30^\circ) \end{aligned} $$

Convert $\cos 70^\circ - \cos 10^\circ$ to a product

$$ \begin{aligned} \cos 70^\circ - \cos 10^\circ &= -2\sin\left(\frac{70^\circ + 10^\circ}{2}\right)\sin\left(\frac{70^\circ - 10^\circ}{2}\right) \\ &= -2\sin(40^\circ)\sin(30^\circ) \end{aligned} $$
Example 5.3

จงหาค่าของ $\sin 75^\circ + \sin 15^\circ$

$$ \begin{aligned} \sin 75^\circ + \sin 15^\circ &= 2\sin\left(\frac{75^\circ + 15^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{75^\circ - 15^\circ}{2}\right) \\ &= 2\sin(45^\circ)\cos(30^\circ) \\ &= 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= \frac{\sqrt{6}}{2} \end{aligned} $$

Evaluate $\sin 75^\circ + \sin 15^\circ$

$$ \begin{aligned} \sin 75^\circ + \sin 15^\circ &= 2\sin\left(\frac{75^\circ + 15^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{75^\circ - 15^\circ}{2}\right) \\ &= 2\sin(45^\circ)\cos(30^\circ) \\ &= 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= \frac{\sqrt{6}}{2} \end{aligned} $$
Example 5.4

จงหาค่าของ $\cos 105^\circ + \cos 15^\circ$

$$ \begin{aligned} \cos 105^\circ + \cos 15^\circ &= 2\cos\left(\frac{105^\circ + 15^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{105^\circ - 15^\circ}{2}\right) \\ &= 2\cos(60^\circ)\cos(45^\circ) \\ &= 2\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} $$

Evaluate $\cos 105^\circ + \cos 15^\circ$

$$ \begin{aligned} \cos 105^\circ + \cos 15^\circ &= 2\cos\left(\frac{105^\circ + 15^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{105^\circ - 15^\circ}{2}\right) \\ &= 2\cos(60^\circ)\cos(45^\circ) \\ &= 2\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} $$
Example 5.5

จงจัดรูป $\displaystyle \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x}$

$$ \begin{aligned} \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} &= \frac{2\sin\left(\frac{4x}{2}\right)\cos\left(\frac{2x}{2}\right)}{2\cos\left(\frac{4x}{2}\right)\cos\left(\frac{2x}{2}\right)} \\ &= \frac{2\sin(2x)\cos(x)}{2\cos(2x)\cos(x)} \\ &= \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} \\ &= \tan 2x \end{aligned} $$

Simplify $\displaystyle \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x}$

$$ \begin{aligned} \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} &= \frac{2\sin\left(\frac{4x}{2}\right)\cos\left(\frac{2x}{2}\right)}{2\cos\left(\frac{4x}{2}\right)\cos\left(\frac{2x}{2}\right)} \\ &= \frac{2\sin(2x)\cos(x)}{2\cos(2x)\cos(x)} \\ &= \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} \\ &= \tan 2x \end{aligned} $$
Example 5.6

จงจัดรูป $\displaystyle \frac{\cos A - \cos 3A}{\sin 3A - \sin A}$

$$ \begin{aligned} \frac{\cos A - \cos 3A}{\sin 3A - \sin A} &= \frac{-2\sin\left(\frac{4A}{2}\right)\sin\left(\frac{-2A}{2}\right)}{2\cos\left(\frac{4A}{2}\right)\sin\left(\frac{2A}{2}\right)} \\ &= \frac{-2\sin(2A)\sin(-A)}{2\cos(2A)\sin(A)} \\ &= \frac{-2\sin(2A)(-\sin A)}{2\cos(2A)\sin(A)} \quad \text{(เพราะ } \sin(-\theta) = -\sin\theta\text{)} \\ &= \frac{2\sin(2A)\sin(A)}{2\cos(2A)\sin(A)} \\ &= \tan 2A \end{aligned} $$

Simplify $\displaystyle \frac{\cos A - \cos 3A}{\sin 3A - \sin A}$

$$ \begin{aligned} \frac{\cos A - \cos 3A}{\sin 3A - \sin A} &= \frac{-2\sin\left(\frac{4A}{2}\right)\sin\left(\frac{-2A}{2}\right)}{2\cos\left(\frac{4A}{2}\right)\sin\left(\frac{2A}{2}\right)} \\ &= \frac{-2\sin(2A)\sin(-A)}{2\cos(2A)\sin(A)} \\ &= \frac{-2\sin(2A)(-\sin A)}{2\cos(2A)\sin(A)} \quad \text{(since } \sin(-\theta) = -\sin\theta\text{)} \\ &= \frac{2\sin(2A)\sin(A)}{2\cos(2A)\sin(A)} \\ &= \tan 2A \end{aligned} $$
Example 5.7

จงแปลง $\sin 5\theta - \sin 3\theta$ เป็นผลคูณ

$$ \begin{aligned} \sin 5\theta - \sin 3\theta &= 2\cos\left(\frac{5\theta + 3\theta}{2}\right)\sin\left(\frac{5\theta - 3\theta}{2}\right) \\ &= 2\cos(4\theta)\sin(\theta) \end{aligned} $$

Convert $\sin 5\theta - \sin 3\theta$ to a product

$$ \begin{aligned} \sin 5\theta - \sin 3\theta &= 2\cos\left(\frac{5\theta + 3\theta}{2}\right)\sin\left(\frac{5\theta - 3\theta}{2}\right) \\ &= 2\cos(4\theta)\sin(\theta) \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์ รากศัพท์ / Root ความหมาย / Meaning
Identity idem (the same) เอกลักษณ์ · สมการที่เป็นจริงเสมอสำหรับทุกค่าตัวแปร
Compound Angle com- (together) + ponere (to put) มุมประกอบ · มุมที่เกิดจากการบวกหรือลบกันของมุมสองมุม
Multiple multus (many) + plicare (to fold) พหุคูณ · จำนวนเท่าของมุม เช่น 2 เท่า, 3 เท่า
Verify / Prove verus (true) พิสูจน์ · การแสดงขั้นตอนให้เห็นว่าสมการทั้งสองข้างเท่ากันจริง
Simplify simplex (simple) + facere (to make) จัดรูปอย่างง่าย · ทำให้สมการหรือนิพจน์สั้นและกะทัดรัดที่สุด
Pythagorean Pythagoras (กรีกโบราณ) เกี่ยวกับพีทาโกรัส · อ้างอิงจากความสัมพันธ์ $a^2+b^2=c^2$ ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
Double Angle duplus (twofold) + angulus (corner) มุมสองเท่า · สูตรที่ใช้คำนวณค่าตรีโกณมิติของมุม $2\theta$
Half Angle half + angulus (corner) มุมครึ่งเท่า · สูตรที่ใช้คำนวณค่าตรีโกณมิติของมุม $\frac{\theta}{2}$
Product to Sum pro-ducere (to bring forth) การแปลงผลคูณเป็นผลบวก · กระจายฟังก์ชันที่คูณกันให้อยู่ในรูปผลบวก/ผลต่าง
Sum to Product summa (highest) + pro-ducere การแปลงผลบวกเป็นผลคูณ · แยกตัวประกอบผลบวก/ผลต่างให้อยู่ในรูปผลคูณ
Conjugate conjugare (to join together) คอนจูเกต / สังยุค · นิพจน์คู่สังยุคที่ใช้เปลี่ยนเครื่องหมายตรงกลางเพื่อกำจัดตัวส่วน
Quadrant quadrans (a fourth part) จตุภาค · พื้นที่ 1 ใน 4 ส่วนของระนาบพิกัดฉาก (Q1, Q2, Q3, Q4)