กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็น ฟังก์ชันที่เป็นคาบ (Periodic Functions) หมายความว่ากราฟจะมีรูปแบบซ้ำๆ กันเมื่อเวลาผ่านไปช่วงหนึ่ง การศึกษากราฟเหล่านี้ช่วยให้เราเข้าใจปรากฏการณ์รูปคลื่นในธรรมชาติ เช่น คลื่นเสียง คลื่นน้ำ และไฟฟ้ากระแสสลับ

Trigonometric functions are periodic functions, meaning their graphs repeat in regular intervals. Studying these graphs helps us understand wave phenomena in nature, such as sound waves, water ripples, and alternating current.

ลักษณะกราฟของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ Characteristics of Sine and Cosine Graphs

กราฟของฟังก์ชันไซน์ $y = \sin x$ และโคไซน์ $y = \cos x$ มีลักษณะเป็นคลื่นที่แกว่งไปมาอย่างราบรื่น โดยมีสมบัติพื้นฐานดังนี้:

โดเมน (Domain): จำนวนจริงทั้งหมด $(\mathbb{R})$
เรนจ์ (Range): $[-1, 1]$ (ค่าสูงสุดคือ $1$ และต่ำสุดคือ $-1$)
คาบ (Period): $2\pi$ (กราฟจะครบรอบพอดีทุกๆ $2\pi$)

The graphs of sine $y = \sin x$ and cosine $y = \cos x$ are smooth, oscillating waves with the following properties:

Domain: All real numbers $(\mathbb{R})$
Range: $[-1, 1]$ (Maximum value is $1$, minimum is $-1$)
Period: $2\pi$ (The graph completes one full cycle every $2\pi$)

กราฟเปรียบเทียบ $y = \sin x$ (สีน้ำเงิน) และ $y = \cos x$ (สีเขียว)Comparison graph of $y = \sin x$ (Blue) and $y = \cos x$ (Green)

Example 1.1

จงหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน $y = \sin x$

$$ \begin{aligned} \text{จากเรนจ์ของกราฟ } y &= \sin x \text{ คือ } [-1, 1] \\ \text{ค่าสูงสุด } &= 1 \\ \text{ค่าต่ำสุด } &= -1 \end{aligned} $$

Find the maximum and minimum values of $y = \sin x$.

$$ \begin{aligned} \text{Since the range of } y &= \sin x \text{ is } [-1, 1] \\ \text{Max value } &= 1 \\ \text{Min value } &= -1 \end{aligned} $$

Example 1.2

จงหาจุดตัดแกน $y$ (y-intercept) ของกราฟ $y = \cos x$

$$ \begin{aligned} \text{หาจุดตัดแกน } y \text{ โดยให้ } x &= 0 \\ y &= \cos(0) \\ &= 1 \\ \text{ดังนั้น จุดตัดแกน } y \text{ คือ } &(0, 1) \end{aligned} $$

Find the y-intercept of the graph $y = \cos x$.

$$ \begin{aligned} \text{Find y-intercept by setting } x &= 0 \\ y &= \cos(0) \\ &= 1 \\ \text{Thus, the y-intercept is } &(0, 1) \end{aligned} $$

Example 1.3

จงหาจุดตัดแกน $y$ ของกราฟ $y = \sin x$

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } x &= 0 \\ y &= \sin(0) \\ &= 0 \\ \text{ดังนั้น กราฟผ่านจุดกำเนิด } &(0, 0) \end{aligned} $$

Find the y-intercept of the graph $y = \sin x$.

$$ \begin{aligned} \text{Let } x &= 0 \\ y &= \sin(0) \\ &= 0 \\ \text{Thus, the graph passes through the origin } &(0, 0) \end{aligned} $$

Example 1.4

ในช่วง $[0, 2\pi]$ กราฟ $y = \sin x$ ตัดแกน $x$ ที่จุดใดบ้าง?

$$ \begin{aligned} \text{หาจุดตัดแกน } x \text{ โดยให้ } y &= 0 \\ \sin x &= 0 \\ \text{ในช่วง } [0, 2\pi] \text{ จะได้ } x &= 0, \pi, 2\pi \end{aligned} $$

In the interval $[0, 2\pi]$, where does the graph $y = \sin x$ intersect the x-axis?

$$ \begin{aligned} \text{Find x-intercept by setting } y &= 0 \\ \sin x &= 0 \\ \text{In } [0, 2\pi] \text{, we get } x &= 0, \pi, 2\pi \end{aligned} $$

Example 1.5

ในช่วง $[0, 2\pi]$ กราฟ $y = \cos x$ ตัดแกน $x$ ที่จุดใดบ้าง?

$$ \begin{aligned} \cos x &= 0 \\ \text{ในช่วง } [0, 2\pi] \text{ จะได้ } x &= \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \end{aligned} $$

In the interval $[0, 2\pi]$, where does the graph $y = \cos x$ intersect the x-axis?

$$ \begin{aligned} \cos x &= 0 \\ \text{In } [0, 2\pi] \text{, we get } x &= \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \end{aligned} $$

Example 1.6

จงหาจุดที่กราฟ $y = \sin x$ มีค่าสูงสุดในช่วง $[0, 2\pi]$

$$ \begin{aligned} \text{ค่าสูงสุดของ } \sin x \text{ คือ } &1 \\ \sin x &= 1 \\ \text{จะได้ } x &= \frac{\pi}{2} \\ \text{จุดสูงสุดคือ } &\left(\frac{\pi}{2}, 1\right) \end{aligned} $$

Find the point where the graph $y = \sin x$ reaches its maximum in $[0, 2\pi]$.

$$ \begin{aligned} \text{Max value of } \sin x \text{ is } &1 \\ \sin x &= 1 \\ \text{Yields } x &= \frac{\pi}{2} \\ \text{The maximum point is } &\left(\frac{\pi}{2}, 1\right) \end{aligned} $$

Example 1.7

จงเปรียบเทียบค่าของกราฟ $y = \sin x$ และ $y = \cos x$ ที่ตำแหน่ง $x = \frac{\pi}{4}$

$$ \begin{aligned} \text{ที่ } x &= \frac{\pi}{4} \\ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) &= \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) &= \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \text{สรุปได้ว่ากราฟทั้งสองจะ}\mathbf{ตัดกัน}\text{ที่จุด } &\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \end{aligned} $$

Compare the values of $y = \sin x$ and $y = \cos x$ at $x = \frac{\pi}{4}$.

$$ \begin{aligned} \text{At } x &= \frac{\pi}{4} \\ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) &= \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) &= \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \text{Thus, the two graphs }\mathbf{intersect}\text{ at } &\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \end{aligned} $$

แอมพลิจูดและคาบ (Amplitude & Period) Amplitude and Period

เมื่อพิจารณาสมการในรูปแบบทั่วไป $y = A \sin(Bx)$ และ $y = A \cos(Bx)$ ตัวแปร $A$ และ $B$ จะส่งผลต่อรูปร่างของคลื่นดังนี้:

แอมพลิจูด (Amplitude): คือครึ่งหนึ่งของความสูงรวมของคลื่น คำนวณจาก $|A|$ (กราฟจะยืดหรือหดในแนวตั้ง)
คาบ (Period): คือความยาวคลื่นหนึ่งรอบ คำนวณจาก $\displaystyle \frac{2\pi}{|B|}$ (กราฟจะบีบหรือขยายในแนวนอน)

Given the general forms $y = A \sin(Bx)$ and $y = A \cos(Bx)$, the variables $A$ and $B$ affect the wave's shape:

Amplitude: Half the total height of the wave, calculated as $|A|$ (vertical stretch/compression).
Period: The length of one complete cycle, calculated as $\displaystyle \frac{2\pi}{|B|}$ (horizontal stretch/compression).

กราฟเปรียบเทียบ $y = \sin(x)$ (สีน้ำเงิน) และ $y = 2\sin(2x)$ (สีส้ม)Comparison of $y = \sin(x)$ (Blue) and $y = 2\sin(2x)$ (Orange)

Example 2.1

จงหาแอมพลิจูดและคาบของ $y = 3\sin(2x)$

$$ \begin{aligned} \text{เทียบฟอร์ม } y &= A \sin(Bx) \text{ จะได้ } A = 3, B = 2 \\ \text{แอมพลิจูด } &= |3| \\ &= 3 \\ \text{คาบ } &= \frac{2\pi}{|2|} \\ &= \pi \end{aligned} $$

Find the amplitude and period of $y = 3\sin(2x)$.

$$ \begin{aligned} \text{Match } y &= A \sin(Bx) \text{, so } A = 3, B = 2 \\ \text{Amplitude } &= |3| \\ &= 3 \\ \text{Period } &= \frac{2\pi}{|2|} \\ &= \pi \end{aligned} $$

Example 2.2

จงหาแอมพลิจูดและคาบของ $\displaystyle y = -5\cos\left(\frac{x}{2}\right)$

$$ \begin{aligned} \text{จะได้ } A &= -5, B = \frac{1}{2} \\ \text{แอมพลิจูด } &= |-5| \\ &= 5 \quad \text{(แอมพลิจูดต้องเป็นบวกเสมอ)} \\ \text{คาบ } &= \frac{2\pi}{\left|\frac{1}{2}\right|} \\ &= 4\pi \end{aligned} $$

Find the amplitude and period of $\displaystyle y = -5\cos\left(\frac{x}{2}\right)$.

$$ \begin{aligned} \text{We have } A &= -5, B = \frac{1}{2} \\ \text{Amplitude } &= |-5| \\ &= 5 \quad \text{(Amplitude is always positive)} \\ \text{Period } &= \frac{2\pi}{\left|\frac{1}{2}\right|} \\ &= 4\pi \end{aligned} $$

Example 2.3

จงหาคาบของ $y = \frac{1}{2}\sin(4\pi x)$

$$ \begin{aligned} \text{ค่า } B &= 4\pi \\ \text{คาบ } &= \frac{2\pi}{|4\pi|} \\ &= \frac{1}{2} \text{ วินาที/หน่วย} \end{aligned} $$

Find the period of $y = \frac{1}{2}\sin(4\pi x)$.

$$ \begin{aligned} \text{Value } B &= 4\pi \\ \text{Period } &= \frac{2\pi}{|4\pi|} \\ &= \frac{1}{2} \text{ units} \end{aligned} $$

Example 2.4

จงหาแอมพลิจูดและคาบของ $y = -2\cos(-3x)$

$$ \begin{aligned} \text{จะได้ } A &= -2, B = -3 \\ \text{แอมพลิจูด } &= |-2| \\ &= 2 \\ \text{คาบ } &= \frac{2\pi}{|-3|} \\ &= \frac{2\pi}{3} \end{aligned} $$

Find the amplitude and period of $y = -2\cos(-3x)$.

$$ \begin{aligned} \text{We have } A &= -2, B = -3 \\ \text{Amplitude } &= |-2| \\ &= 2 \\ \text{Period } &= \frac{2\pi}{|-3|} \\ &= \frac{2\pi}{3} \end{aligned} $$

Example 2.5

จงสร้างสมการของฟังก์ชันไซน์ที่มีแอมพลิจูดเท่ากับ $4$ และมีคาบเท่ากับ $\pi$ (สมมติให้ $A > 0$)

$$ \begin{aligned} \text{จาก } A &= 4 \\ \text{จากสมการคาบ } \frac{2\pi}{|B|} &= \pi \\ |B| &= 2 \implies B = 2 \\ \text{สมการคือ } y &= 4\sin(2x) \end{aligned} $$

Create a sine function equation with an amplitude of $4$ and a period of $\pi$ (Assume $A > 0$).

$$ \begin{aligned} \text{Since } A &= 4 \\ \text{From period formula } \frac{2\pi}{|B|} &= \pi \\ |B| &= 2 \implies B = 2 \\ \text{The equation is } y &= 4\sin(2x) \end{aligned} $$

Example 2.6

จงหาคาบของฟังก์ชัน $\displaystyle y = 1.5\sin\left(\frac{2x}{3}\right)$

$$ \begin{aligned} \text{ค่า } B &= \frac{2}{3} \\ \text{คาบ } &= \frac{2\pi}{\frac{2}{3}} \\ &= 2\pi \times \frac{3}{2} \\ &= 3\pi \end{aligned} $$

Find the period of the function $\displaystyle y = 1.5\sin\left(\frac{2x}{3}\right)$.

$$ \begin{aligned} \text{Value } B &= \frac{2}{3} \\ \text{Period } &= \frac{2\pi}{\frac{2}{3}} \\ &= 2\pi \times \frac{3}{2} \\ &= 3\pi \end{aligned} $$

Example 2.7

กราฟ $y = \sin(2x)$ จะแกว่งเร็วกว่ากราฟ $y = \sin(x)$ กี่เท่า?

$$ \begin{aligned} \text{คาบของ } \sin(x) &= 2\pi \\ \text{คาบของ } \sin(2x) &= \frac{2\pi}{2} = \pi \\ \text{สรุปว่า } \sin(2x) &\text{ ใช้ระยะทางในการครบรอบน้อยกว่า } 2 \text{ เท่า} \\ \text{ดังนั้นจึงแกว่งเร็วกว่า } &2 \text{ เท่า} \end{aligned} $$

How many times faster does the graph $y = \sin(2x)$ oscillate compared to $y = \sin(x)$?

$$ \begin{aligned} \text{Period of } \sin(x) &= 2\pi \\ \text{Period of } \sin(2x) &= \frac{2\pi}{2} = \pi \\ \text{Since } \sin(2x) &\text{ takes half the distance to complete a cycle,} \\ \text{it oscillates } &2 \text{ times faster.} \end{aligned} $$

กราฟของฟังก์ชันอื่นๆ (Tan, Csc, Sec, Cot) Graphs of Other Functions

ฟังก์ชัน $\tan, \csc, \sec, \cot$ จะมีลักษณะพิเศษคือ เส้นกำกับแนวตั้ง (Vertical Asymptotes) เนื่องจากตัวส่วนของฟังก์ชันเหล่านี้สามารถเป็นศูนย์ได้ ส่งผลให้ค่าพุ่งไปสู่ $\pm\infty$ และ ฟังก์ชันเหล่านี้ไม่มีแอมพลิจูด

คาบของ $\tan$ และ $\cot$: คือ $\displaystyle \frac{\pi}{|B|}$ (สั้นกว่าไซน์ครึ่งหนึ่ง)
คาบของ $\csc$ และ $\sec$: คือ $\displaystyle \frac{2\pi}{|B|}$ (เท่ากับไซน์/โคไซน์)

The functions $\tan, \csc, \sec, \cot$ have a special feature: Vertical Asymptotes. This occurs because their denominators can be zero, causing values to shoot to $\pm\infty$. These functions do not have an amplitude.

Period of $\tan$ & $\cot$: is $\displaystyle \frac{\pi}{|B|}$ (half the period of sine).
Period of $\csc$ & $\sec$: is $\displaystyle \frac{2\pi}{|B|}$ (same as sine/cosine).

กราฟ $y = \tan x$ (สีม่วง) และเส้นกำกับแนวตั้งGraph of $y = \tan x$ (Purple) and vertical asymptotes

Example 3.1

จงหาคาบและเส้นกำกับแนวตั้งเบื้องต้นของ $y = \tan x$

$$ \begin{aligned} \text{คาบ } &= \frac{\pi}{1} = \pi \\ \tan x &= \frac{\sin x}{\cos x} \\ \text{หาตำแหน่งที่ } \cos x &= 0 \text{ จะได้เส้นกำกับคือ } x = \pm\frac{\pi}{2}, \pm\frac{3\pi}{2}, \dots \end{aligned} $$

Find the period and primary vertical asymptotes of $y = \tan x$.

$$ \begin{aligned} \text{Period } &= \frac{\pi}{1} = \pi \\ \tan x &= \frac{\sin x}{\cos x} \\ \text{Find where } \cos x &= 0 \text{; asymptotes are at } x = \pm\frac{\pi}{2}, \pm\frac{3\pi}{2}, \dots \end{aligned} $$

Example 3.2

จงหาคาบและเส้นกำกับแนวตั้งเบื้องต้นของ $y = \cot x$

$$ \begin{aligned} \text{คาบ } &= \frac{\pi}{1} = \pi \\ \cot x &= \frac{\cos x}{\sin x} \\ \text{หาตำแหน่งที่ } \sin x &= 0 \text{ จะได้เส้นกำกับคือ } x = 0, \pm\pi, \pm 2\pi, \dots \end{aligned} $$

Find the period and primary vertical asymptotes of $y = \cot x$.

$$ \begin{aligned} \text{Period } &= \frac{\pi}{1} = \pi \\ \cot x &= \frac{\cos x}{\sin x} \\ \text{Find where } \sin x &= 0 \text{; asymptotes are at } x = 0, \pm\pi, \pm 2\pi, \dots \end{aligned} $$

Example 3.3

ฟังก์ชัน $y = \sec x$ หาค่าไม่ได้ (Undefined) ที่ตำแหน่งใดบ้าง?

$$ \begin{aligned} \sec x &= \frac{1}{\cos x} \\ \text{หาค่าไม่ได้เมื่อ } \cos x &= 0 \\ \text{นั่นคือที่ } x &= \frac{(2n+1)\pi}{2} \quad \text{เมื่อ } n \text{ เป็นจำนวนเต็ม} \end{aligned} $$

Where is the function $y = \sec x$ undefined?

$$ \begin{aligned} \sec x &= \frac{1}{\cos x} \\ \text{Undefined when } \cos x &= 0 \\ \text{That is at } x &= \frac{(2n+1)\pi}{2} \quad \text{where } n \text{ is an integer} \end{aligned} $$

Example 3.4

ฟังก์ชัน $y = \csc x$ หาค่าไม่ได้ (Undefined) ที่ตำแหน่งใดบ้าง?

$$ \begin{aligned} \csc x &= \frac{1}{\sin x} \\ \text{หาค่าไม่ได้เมื่อ } \sin x &= 0 \\ \text{นั่นคือที่ } x &= n\pi \quad \text{เมื่อ } n \text{ เป็นจำนวนเต็ม} \end{aligned} $$

Where is the function $y = \csc x$ undefined?

$$ \begin{aligned} \csc x &= \frac{1}{\sin x} \\ \text{Undefined when } \sin x &= 0 \\ \text{That is at } x &= n\pi \quad \text{where } n \text{ is an integer} \end{aligned} $$

Example 3.5

จงหาคาบของฟังก์ชัน $y = \tan(3x)$

$$ \begin{aligned} \text{ค่า } B &= 3 \\ \text{คาบของฟังก์ชันแทนเจนต์ } &= \frac{\pi}{|B|} \\ &= \frac{\pi}{3} \end{aligned} $$

Find the period of the function $y = \tan(3x)$.

$$ \begin{aligned} \text{Value } B &= 3 \\ \text{Period of tangent } &= \frac{\pi}{|B|} \\ &= \frac{\pi}{3} \end{aligned} $$

Example 3.6

จงหาคาบของฟังก์ชัน $\displaystyle y = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$

$$ \begin{aligned} \text{ค่า } B &= \frac{1}{2} \\ \text{คาบ } &= \frac{\pi}{\frac{1}{2}} \\ &= 2\pi \end{aligned} $$

Find the period of the function $\displaystyle y = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$.

$$ \begin{aligned} \text{Value } B &= \frac{1}{2} \\ \text{Period } &= \frac{\pi}{\frac{1}{2}} \\ &= 2\pi \end{aligned} $$

Example 3.7

จงหาคาบของฟังก์ชัน $y = 2\sec(4x)$

$$ \begin{aligned} \text{ค่า } B &= 4 \\ \text{คาบของฟังก์ชันเซแคนต์ } &= \frac{2\pi}{|B|} \\ &= \frac{2\pi}{4} \\ &= \frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

Find the period of the function $y = 2\sec(4x)$.

$$ \begin{aligned} \text{Value } B &= 4 \\ \text{Period of secant } &= \frac{2\pi}{|B|} \\ &= \frac{2\pi}{4} \\ &= \frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษที่เกี่ยวข้อง

คำศัพท์	รากศัพท์ / Prefix	ความหมาย / Meaning
Amplitude	amplus (large, wide)	แอมพลิจูด · ความสูงครึ่งหนึ่งของคลื่น วัดจากแกนกลางถึงจุดยอด
Period	peri (around) + hodos (way)	คาบ · ระยะทางหรือเวลาที่คลื่นใช้ในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบเต็ม
Asymptote	a- (not) + sympiptein (to meet)	เส้นกำกับ · เส้นตรงที่กราฟเคลื่อนที่เข้าใกล้ไปเรื่อยๆ แต่ไม่เคยสัมผัสหรือตัดผ่าน
Intercept	inter- (between) + capere (to catch)	จุดตัดแกน · จุดที่กราฟเคลื่อนที่ตัดผ่านแกน x หรือแกน y
Sine Wave	sinus (curve, fold)	คลื่นไซน์ · รูปแบบเส้นโค้งการแกว่งที่มีลักษณะราบรื่นและเป็นคาบ