ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

โดยปกติแล้ว ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (เช่น $\sin, \cos, \tan$) จะไม่เป็นฟังก์ชัน 1 ต่อ 1 (One-to-One Function) เนื่องจากมีหลายมุมที่ให้ค่าตรีโกณมิติเท่ากัน (เช่น $\sin(0) = 0$ และ $\sin(\pi) = 0$) ดังนั้น เพื่อให้สามารถสร้าง "ฟังก์ชันผกผัน" (Inverse Function) ได้ เราจึงต้อง จำกัดโดเมน (Restrict Domain) ของฟังก์ชันเดิมให้อยู่ในช่วงที่กราฟไม่วกกลับ

Normally, trigonometric functions (like $\sin, \cos, \tan$) are not one-to-one functions because multiple angles yield the same value (e.g., $\sin(0) = 0$ and $\sin(\pi) = 0$). Therefore, to create an "Inverse Function", we must restrict the domain of the original function to an interval where the graph does not turn back on itself.

โดเมน เรนจ์ และสัญลักษณ์ Domain, Range & Notation

สัญลักษณ์ตัวผกผันมักใช้คำว่า arc นำหน้า หรือใช้เลขชี้กำลัง $-1$ (เช่น $\arcsin x$ หรือ $\sin^{-1} x$) ซึ่งหมายถึง "มุมที่มีค่าตรีโกณมิตินั้นๆ" โดยมีการจำกัดโดเมนและเรนจ์ที่สำคัญดังนี้:

$y = \arcsin x \iff \sin y = x$
โดเมน $[-1, 1]$ | เรนจ์ $\displaystyle [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
$y = \arccos x \iff \cos y = x$
โดเมน $[-1, 1]$ | เรนจ์ $[0, \pi]$
$y = \arctan x \iff \tan y = x$
โดเมน $(-\infty, \infty)$ | เรนจ์ $\displaystyle (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

Inverse notation uses the prefix arc or an exponent of $-1$ (e.g., $\arcsin x$ or $\sin^{-1} x$), translating to "the angle whose trigonometric value is that number." Key domain & range restrictions:

$y = \arcsin x \iff \sin y = x$
Domain $[-1, 1]$ | Range $\displaystyle [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
$y = \arccos x \iff \cos y = x$
Domain $[-1, 1]$ | Range $[0, \pi]$
$y = \arctan x \iff \tan y = x$
Domain $(-\infty, \infty)$ | Range $\displaystyle (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

Example 1.1

จงหาค่าของ $\displaystyle \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$

ถามตัวเองว่า: มุมใดในช่วง $\displaystyle [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ที่มีค่า $\sin$ เท่ากับ $\displaystyle \frac{1}{2}$?

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } y &= \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) \\ \sin y &= \frac{1}{2} \\ y &= \frac{\pi}{6} \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$

Ask yourself: What angle in $\displaystyle [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ has a $\sin$ value of $\displaystyle \frac{1}{2}$?

$$ \begin{aligned} \text{Let } y &= \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) \\ \sin y &= \frac{1}{2} \\ y &= \frac{\pi}{6} \end{aligned} $$

Example 1.2

จงหาค่าของ $\displaystyle \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } y &= \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ \cos y &= \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{โดยที่ } y \in [0, \pi] \\ y &= \frac{\pi}{4} \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$$ \begin{aligned} \text{Let } y &= \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ \cos y &= \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{where } y \in [0, \pi] \\ y &= \frac{\pi}{4} \end{aligned} $$

Example 1.3

จงหาค่าของ $\arctan(-1)$

ระวัง! โดเมนของมุม $\arctan$ ที่ให้ค่าลบ จะอยู่ในควอดรันต์ที่ 4 (ค่ามุมติดลบ)

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } y &= \arctan(-1) \\ \tan y &= -1 \quad \text{โดยที่ } y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \\ y &= -\frac{\pi}{4} \end{aligned} $$

Evaluate $\arctan(-1)$

Careful! The angle for a negative $\arctan$ is in Quadrant 4 (negative angle).

$$ \begin{aligned} \text{Let } y &= \arctan(-1) \\ \tan y &= -1 \quad \text{where } y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \\ y &= -\frac{\pi}{4} \end{aligned} $$

Example 1.4

จงหาค่าของ $\displaystyle \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$$ \begin{aligned} \sin y &= -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \text{ในเรนจ์ } [-\frac{\pi}{2}, & \frac{\pi}{2}] \text{ มุมที่ได้คือ} \\ y &= -\frac{\pi}{3} \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$$ \begin{aligned} \sin y &= -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \text{In the range } [-\frac{\pi}{2}, & \frac{\pi}{2}]\text{, the angle is} \\ y &= -\frac{\pi}{3} \end{aligned} $$

Example 1.5

จงหาค่าของ $\displaystyle \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

สำหรับ $\arccos$ ค่าลบจะทำให้มุมตกอยู่ในควอดรันต์ที่ 2 (ระหว่าง $\frac{\pi}{2}$ ถึง $\pi$)

$$ \begin{aligned} \cos y &= -\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{โดยที่ } y \in [0, \pi] \\ y &= \pi - \frac{\pi}{6} \\ y &= \frac{5\pi}{6} \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

For $\arccos$, a negative value places the angle in Quadrant 2 (between $\frac{\pi}{2}$ and $\pi$).

$$ \begin{aligned} \cos y &= -\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{where } y \in [0, \pi] \\ y &= \pi - \frac{\pi}{6} \\ y &= \frac{5\pi}{6} \end{aligned} $$

Example 1.6

จงหาค่าของ $\arctan(\sqrt{3})$

$$ \begin{aligned} \tan y &= \sqrt{3} \\ y &= \frac{\pi}{3} \end{aligned} $$

Evaluate $\arctan(\sqrt{3})$

$$ \begin{aligned} \tan y &= \sqrt{3} \\ y &= \frac{\pi}{3} \end{aligned} $$

Example 1.7

จงหาค่าของ $\arccos(0)$

$$ \begin{aligned} \cos y &= 0 \quad \text{โดยที่ } y \in [0, \pi] \\ y &= \frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

Evaluate $\arccos(0)$

$$ \begin{aligned} \cos y &= 0 \quad \text{where } y \in [0, \pi] \\ y &= \frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

สมบัติการซ้อนทับกัน Composition Properties

เมื่อนำฟังก์ชันตรีโกณมิติและตัวผกผันของมันมาซ้อนกัน จะมีสมบัติหักล้างกันได้ แต่ต้องระวังเงื่อนไขของโดเมนและเรนจ์เสมอ:

$\sin(\arcsin x) = x$
เมื่อ $x \in [-1, 1]$ (หักล้างกันได้เสมอถ้าหาค่าได้)
$\arcsin(\sin \theta) = \theta$
ก็ต่อเมื่อ $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ เท่านั้น (หากอยู่นอกช่วง ต้องหมุนหาเทียบมุมอ้างอิง)

When composing a trigonometric function with its inverse, they can cancel each other out, but you must always watch the domain and range conditions:

$\sin(\arcsin x) = x$
for $x \in [-1, 1]$ (always cancels if defined)
$\arcsin(\sin \theta) = \theta$
if and only if $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ (if outside, find reference angle first)

Example 2.1

จงหาค่าของ $\displaystyle \sin\left(\arcsin\left(\frac{1}{3}\right)\right)$

$$ \begin{aligned} \text{เนื่องจาก } \frac{1}{3} \text{ อยู่ในช่วง } [-1, 1] & \\ \text{ดังนั้น หักล้างกันได้ทันที} &\\ \sin\left(\arcsin\left(\frac{1}{3}\right)\right) &= \frac{1}{3} \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \sin\left(\arcsin\left(\frac{1}{3}\right)\right)$

$$ \begin{aligned} \text{Since } \frac{1}{3} \text{ is within } [-1, 1]\text{,} & \\ \text{they cancel out immediately.} &\\ \sin\left(\arcsin\left(\frac{1}{3}\right)\right) &= \frac{1}{3} \end{aligned} $$

Example 2.2

จงหาค่าของ $\cos(\arccos(-0.4))$

$$ \begin{aligned} \text{เนื่องจาก } -0.4 \text{ อยู่ในช่วง } & [-1, 1] \\ \cos(\arccos(-0.4)) &= -0.4 \end{aligned} $$

Evaluate $\cos(\arccos(-0.4))$

$$ \begin{aligned} \text{Since } -0.4 \text{ is within } & [-1, 1]\text{,} \\ \cos(\arccos(-0.4)) &= -0.4 \end{aligned} $$

Example 2.3

จงหาค่าของ $\tan(\arctan(10))$

$$ \begin{aligned} \text{โดเมนของ } \arctan & \text{ คือจำนวนจริงทั้งหมด} \\ \tan(\arctan(10)) &= 10 \end{aligned} $$

Evaluate $\tan(\arctan(10))$

$$ \begin{aligned} \text{Domain of } \arctan & \text{ is all real numbers.} \\ \tan(\arctan(10)) &= 10 \end{aligned} $$

Example 2.4

จงหาค่าของ $\displaystyle \arcsin\left(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$

$$ \begin{aligned} \text{เนื่องจาก } \frac{\pi}{6} \text{ อยู่ในช่วงเรนจ์ } & [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \\ \arcsin\left(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) &= \frac{\pi}{6} \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \arcsin\left(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$

$$ \begin{aligned} \text{Since } \frac{\pi}{6} \text{ is in the valid range } & [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\text{,} \\ \arcsin\left(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) &= \frac{\pi}{6} \end{aligned} $$

Example 2.5

จงหาค่าของ $\displaystyle \arccos\left(\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right)$

ระวัง! ห้ามตอบ $\frac{4\pi}{3}$ เพราะไม่อยู่ในช่วง $[0, \pi]$

$$ \begin{aligned} \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) &= -\frac{1}{2} \\ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) &= \frac{2\pi}{3} \quad \text{(ตกในควอดรันต์ที่ 2)} \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \arccos\left(\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right)$

Careful! You cannot answer $\frac{4\pi}{3}$ because it's not in $[0, \pi]$

$$ \begin{aligned} \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) &= -\frac{1}{2} \\ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) &= \frac{2\pi}{3} \quad \text{(Falls in Quadrant 2)} \end{aligned} $$

Example 2.6

จงหาค่าของ $\displaystyle \arcsin\left(\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right)$

$$ \begin{aligned} \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) &= \frac{1}{2} \\ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) &= \frac{\pi}{6} \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \arcsin\left(\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right)$

$$ \begin{aligned} \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) &= \frac{1}{2} \\ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) &= \frac{\pi}{6} \end{aligned} $$

Example 2.7

จงหาค่าของ $\displaystyle \arctan\left(\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)$

$$ \begin{aligned} \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) &= -1 \\ \arctan(-1) &= -\frac{\pi}{4} \quad \text{(ตกในควอดรันต์ที่ 4 ตามเรนจ์ของ arctan)} \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \arctan\left(\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)$

$$ \begin{aligned} \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) &= -1 \\ \arctan(-1) &= -\frac{\pi}{4} \quad \text{(Falls in Quadrant 4 based on arctan range)} \end{aligned} $$

การคำนวณโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉาก Evaluation using Right Triangles

เมื่อเราเจอรูปแบบฟังก์ชันซ้อนกันต่างชนิด (เช่น $\sin(\arccos x)$) เราสามารถคำนวณได้โดยการสร้าง สามเหลี่ยมมุมฉาก ขึ้นมาช่วย โดยกำหนดให้ก้อน arc มีค่าเท่ากับมุม $\theta$ แล้วใช้ อัตราส่วนตรีโกณมิติ และ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาด้านที่เหลือ

When encountering mixed composition (like $\sin(\arccos x)$), we can evaluate it by drawing a right triangle. Let the arc term equal an angle $\theta$, then use trigonometric ratios and the Pythagorean theorem to find the missing side.

Example 3.1

จงหาค่าของ $\displaystyle \cos\left(\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right)$

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } \theta &= \arcsin\left(\frac{3}{5}\right) \\ \sin \theta &= \frac{3}{5} \\&= \frac{\text{ข้าม}}{\text{ฉาก}} \\ \text{ด้านประชิด } &= \sqrt{5^2 - 3^2} \\&= 4 \\ \cos \theta &= \frac{\text{ชิด}}{\text{ฉาก}} \\&= \frac{4}{5} \\[6pt] \therefore \cos\left(\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right) &= \frac{4}{5} \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \cos\left(\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right)$

$$ \begin{aligned} \text{Let } \theta &= \arcsin\left(\frac{3}{5}\right) \\ \sin \theta &= \frac{3}{5} \\&= \frac{\text{Opp}}{\text{Hyp}} \\ \text{Adj side } &= \sqrt{5^2 - 3^2} \\&= 4 \\ \cos \theta &= \frac{\text{Adj}}{\text{Hyp}} \\&= \frac{4}{5} \\[6pt] \therefore \cos\left(\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right) &= \frac{4}{5} \end{aligned} $$

Example 3.2

จงหาค่าของ $\displaystyle \sin\left(\arccos\left(\frac{5}{13}\right)\right)$

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } \theta &= \arccos\left(\frac{5}{13}\right) \\ \cos \theta &= \frac{5}{13} \\&= \frac{\text{ชิด}}{\text{ฉาก}} \\ \text{ด้านตรงข้าม } &= \sqrt{13^2 - 5^2} \\&= 12 \\ \sin \theta &= \frac{\text{ข้าม}}{\text{ฉาก}} \\&= \frac{12}{13} \\[6pt] \therefore \sin\left(\arccos\left(\frac{5}{13}\right)\right) &= \frac{12}{13} \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \sin\left(\arccos\left(\frac{5}{13}\right)\right)$

$$ \begin{aligned} \text{Let } \theta &= \arccos\left(\frac{5}{13}\right) \\ \cos \theta &= \frac{5}{13} \\&= \frac{\text{Adj}}{\text{Hyp}} \\ \text{Opposite side } &= \sqrt{13^2 - 5^2} \\&= 12 \\ \sin \theta &= \frac{\text{Opp}}{\text{Hyp}} \\&= \frac{12}{13} \\[6pt] \therefore \sin\left(\arccos\left(\frac{5}{13}\right)\right) &= \frac{12}{13} \end{aligned} $$

Example 3.3

จงหาค่าของ $\displaystyle \tan\left(\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)\right)$

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } \theta &= \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) \\ \sin \theta &= \frac{1}{2} \\&= \frac{\text{ข้าม}}{\text{ฉาก}} \\ \text{ด้านประชิด } &= \sqrt{2^2 - 1^2} \\&= \sqrt{3} \\ \tan \theta &= \frac{\text{ข้าม}}{\text{ชิด}} \\&= \frac{1}{\sqrt{3}} \\[6pt] \therefore \tan\left(\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)\right) &= \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{หรือ } \frac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \tan\left(\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)\right)$

$$ \begin{aligned} \text{Let } \theta &= \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) \\ \sin \theta &= \frac{1}{2} \\&= \frac{\text{Opp}}{\text{Hyp}} \\ \text{Adjacent side } &= \sqrt{2^2 - 1^2} \\&= \sqrt{3} \\ \tan \theta &= \frac{\text{Opp}}{\text{Adj}} \\&= \frac{1}{\sqrt{3}} \\[6pt] \therefore \tan\left(\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)\right) &= \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{or } \frac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned} $$

Example 3.4

จงหาค่าของ $\cos(\arctan(x))$ ในรูปพีชคณิต เมื่อ $x > 0$

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } \theta &= \arctan(x) \\ \tan \theta &= \frac{x}{1} \\&= \frac{\text{ข้าม}}{\text{ชิด}} \\ \text{ด้านตรงข้ามมุมฉาก } &= \sqrt{x^2 + 1^2} \\&= \sqrt{x^2+1} \\ \cos \theta &= \frac{\text{ชิด}}{\text{ฉาก}} \\&= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \\[6pt] \therefore \cos(\arctan(x)) &= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \end{aligned} $$

Evaluate $\cos(\arctan(x))$ as an algebraic expression for $x > 0$.

$$ \begin{aligned} \text{Let } \theta &= \arctan(x) \\ \tan \theta &= \frac{x}{1} \\&= \frac{\text{Opp}}{\text{Adj}} \\ \text{Hypotenuse } &= \sqrt{x^2 + 1^2} \\&= \sqrt{x^2+1} \\ \cos \theta &= \frac{\text{Adj}}{\text{Hyp}} \\&= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \\[6pt] \therefore \cos(\arctan(x)) &= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \end{aligned} $$

Example 3.5

จงหาค่าของ $\sin(\arccos(x))$ ในรูปพีชคณิต เมื่อ $0 < x < 1$

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } \theta &= \arccos(x) \\ \cos \theta &= \frac{x}{1} \\&= \frac{\text{ชิด}}{\text{ฉาก}} \\ \text{ด้านตรงข้าม } &= \sqrt{1^2 - x^2} \\&= \sqrt{1-x^2} \\ \sin \theta &= \frac{\text{ข้าม}}{\text{ฉาก}} \\&= \sqrt{1-x^2} \\[6pt] \therefore \sin(\arccos(x)) &= \sqrt{1-x^2} \end{aligned} $$

Evaluate $\sin(\arccos(x))$ as an algebraic expression for $0 < x < 1$.

$$ \begin{aligned} \text{Let } \theta &= \arccos(x) \\ \cos \theta &= \frac{x}{1} \\&= \frac{\text{Adj}}{\text{Hyp}} \\ \text{Opposite side } &= \sqrt{1^2 - x^2} \\&= \sqrt{1-x^2} \\ \sin \theta &= \frac{\text{Opp}}{\text{Hyp}} \\&= \sqrt{1-x^2} \\[6pt] \therefore \sin(\arccos(x)) &= \sqrt{1-x^2} \end{aligned} $$

Example 3.6

จงหาค่าของ $\displaystyle \sin\left(\arctan\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } \theta &= \arctan\left(-\frac{3}{4}\right) \\ &\quad (\text{ค่า } \tan \text{ ติดลบ } \theta \text{ ตกในควอดรันต์ที่ 4}) \\ x &= 4, \quad y = -3 \\ r &= \sqrt{4^2 + (-3)^2} \\&= 5 \\ \sin \theta &= \frac{y}{r} \\&= -\frac{3}{5} \\[6pt] \therefore \sin\left(\arctan\left(-\frac{3}{4}\right)\right) &= -\frac{3}{5} \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \sin\left(\arctan\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$

$$ \begin{aligned} \text{Let } \theta &= \arctan\left(-\frac{3}{4}\right) \\ &\quad (\text{Since it's negative, } \theta \text{ is in Quadrant 4}) \\ x &= 4, \quad y = -3 \\ r &= \sqrt{4^2 + (-3)^2} \\&= 5 \\ \sin \theta &= \frac{y}{r} \\&= -\frac{3}{5} \\[6pt] \therefore \sin\left(\arctan\left(-\frac{3}{4}\right)\right) &= -\frac{3}{5} \end{aligned} $$

Example 3.7

จงหาค่าของ $\displaystyle \sec\left(\arcsin\left(\frac{2}{3}\right)\right)$

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } \theta &= \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) \\ \sin \theta &= \frac{2}{3} \\&= \frac{\text{ข้าม}}{\text{ฉาก}} \\ \text{ด้านประชิด } &= \sqrt{3^2 - 2^2} \\&= \sqrt{5} \\ \sec \theta &= \frac{\text{ฉาก}}{\text{ชิด}} \\&= \frac{3}{\sqrt{5}} \\[6pt] \therefore \sec\left(\arcsin\left(\frac{2}{3}\right)\right) &= \frac{3}{\sqrt{5}} \quad \text{หรือ } \frac{3\sqrt{5}}{5} \end{aligned} $$

Evaluate $\displaystyle \sec\left(\arcsin\left(\frac{2}{3}\right)\right)$

$$ \begin{aligned} \text{Let } \theta &= \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) \\ \sin \theta &= \frac{2}{3} \\&= \frac{\text{Opp}}{\text{Hyp}} \\ \text{Adjacent side } &= \sqrt{3^2 - 2^2} \\&= \sqrt{5} \\ \sec \theta &= \frac{\text{Hyp}}{\text{Adj}} \\&= \frac{3}{\sqrt{5}} \\[6pt] \therefore \sec\left(\arcsin\left(\frac{2}{3}\right)\right) &= \frac{3}{\sqrt{5}} \quad \text{or } \frac{3\sqrt{5}}{5} \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Inverse	in- (in, towards) + vertere (to turn)	ตัวผกผัน · ฟังก์ชันที่ทำงานย้อนกลับจากฟังก์ชันเดิม
Domain	dominus (master, owner)	โดเมน · เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่สามารถป้อนเข้าสู่ฟังก์ชันได้
Restrict	re- (back) + stringere (to tie, pull tight)	จำกัด · การกำหนดขอบเขตให้แคบลงเพื่อให้กราฟผ่านเงื่อนไขการเป็นฟังก์ชัน 1 ต่อ 1
Hypotenuse	hypo- (under) + teinein (to stretch)	ด้านตรงข้ามมุมฉาก · ด้านที่ยาวที่สุดในสามเหลี่ยมมุมฉาก
Evaluate	ex- (out) + valere (be strong, worth)	ประเมินค่า / หาค่า · การคำนวณหานิพจน์ทางคณิตศาสตร์ให้เป็นผลลัพธ์สุดท้าย