การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมที่เกิน $90^\circ$ (หรือ $\frac{\pi}{2}$ เรเดียน) หรือมุมที่ติดลบ สามารถทำได้โดยการประยุกต์ใช้ มุมอ้างอิง (Reference Angles) ร่วมกับสมมาตรของวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งจะช่วยให้เรายุบมุมขนาดใหญ่หรือมุมที่ซับซ้อนให้กลับมาอยู่ในรูปมุมพื้นฐานที่เราท่องจำได้
Evaluating trigonometric functions for angles greater than $90^\circ$ (or $\frac{\pi}{2}$ radians) or negative angles can be done by applying Reference Angles and the symmetry of the unit circle. This allows us to reduce large or complex angles into standard, memorable angles.
📐 ค่าของมุมพื้นฐานและมุมบนแกนพิกัด 📐 Basic and Quadrantal Angles
จุดเริ่มต้นที่สำคัญที่สุดคือการจดจำค่าของมุมพื้นฐานในจตุภาคที่ 1 ($Q_1$) และมุมบนแกนพิกัด ($X, Y$) ซึ่งเป็นพื้นฐานของการคำนวณทั้งหมด:
1. มุมพื้นฐานในจตุภาคที่ 1 (Basic Angles in $Q_1$)
| เรเดียน (Radian) | องศา (Degree) | $\sin \theta$ | $\cos \theta$ | $\tan \theta$ |
|---|---|---|---|---|
| $0$ | $0^\circ$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $\frac{\pi}{6}$ | $30^\circ$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ |
| $\frac{\pi}{4}$ | $45^\circ$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ |
| $\frac{\pi}{3}$ | $60^\circ$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| $\frac{\pi}{2}$ | $90^\circ$ | $1$ | $0$ | หาค่าไม่ได้ |
2. มุมบนแกนพิกัด (Quadrantal Angles)
| ตำแหน่ง (Position) | เรเดียน (Radian) | พิกัด $(x, y)$ | $\sin \theta = y$ | $\cos \theta = x$ | $\tan \theta = \frac{y}{x}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| แกน $+X$ | $0, 2\pi$ | $(1, 0)$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| แกน $+Y$ | $\frac{\pi}{2}$ | $(0, 1)$ | $1$ | $0$ | หาค่าไม่ได้ |
| แกน $-X$ | $\pi$ | $(-1, 0)$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| แกน $-Y$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $(0, -1)$ | $-1$ | $0$ | หาค่าไม่ได้ |
The foundation of all trigonometric calculations is memorizing the values of basic angles in Quadrant 1 ($Q_1$) and quadrantal angles (falling on the $X$ and $Y$ axes):
1. Basic Angles in Quadrant 1 ($Q_1$)
| Radian | Degree | $\sin \theta$ | $\cos \theta$ | $\tan \theta$ |
|---|---|---|---|---|
| $0$ | $0^\circ$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $\frac{\pi}{6}$ | $30^\circ$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ |
| $\frac{\pi}{4}$ | $45^\circ$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ |
| $\frac{\pi}{3}$ | $60^\circ$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| $\frac{\pi}{2}$ | $90^\circ$ | $1$ | $0$ | Undefined |
2. Quadrantal Angles
| Position | Radian | Point $(x, y)$ | $\sin \theta = y$ | $\cos \theta = x$ | $\tan \theta = \frac{y}{x}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $+X$ Axis | $0, 2\pi$ | $(1, 0)$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $+Y$ Axis | $\frac{\pi}{2}$ | $(0, 1)$ | $1$ | $0$ | Undefined |
| $-X$ Axis | $\pi$ | $(-1, 0)$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $-Y$ Axis | $\frac{3\pi}{2}$ | $(0, -1)$ | $-1$ | $0$ | Undefined |
จงหาค่าของ $\displaystyle \sin(0) + \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$
Evaluate $\displaystyle \sin(0) + \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \times \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$
Evaluate $\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \times \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \cos(\pi) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$
Evaluate $\displaystyle \cos(\pi) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right)$
Evaluate $\displaystyle \sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$
Evaluate $\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle 2\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)$
Evaluate $\displaystyle 2\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0)}{\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)}$
Evaluate $\displaystyle \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0)}{\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)}$
🔄 การวัดมุมในทิศตามเข็มนาฬิกา (มุมติดลบ) 🔄 Negative Angles (Clockwise Measurement)
เมื่อมีเครื่องหมายลบอยู่ในมุม ฟังก์ชัน $\cos$ จะ "ดูด" เครื่องหมายลบหายไปได้ แต่ฟังก์ชัน $\sin$ และ $\tan$ จะ "คาย" ลบออกมาด้านหน้า
For negative angles, the $\cos$ function absorbs the negative sign, while $\sin$ and $\tan$ factor it out to the front.
จงหาค่าของ $\displaystyle \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$
Evaluate $\displaystyle \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)$
Evaluate $\displaystyle \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)$
Evaluate $\displaystyle \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$
Evaluate $\displaystyle \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \times \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)$
Evaluate $\displaystyle \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \times \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \frac{\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right)}{\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)}$
Evaluate $\displaystyle \frac{\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right)}{\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)}$
จงหาค่าของ $\displaystyle \cos(-\pi) - 2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$
Evaluate $\displaystyle \cos(-\pi) - 2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$
💫 กรณีหมุนเกิน 1 รอบ ($2n\pi \pm \theta$) 💫 Multiple Revolutions ($2n\pi \pm \theta$)
การบวกหรือลบมุมด้วย $2\pi$ (360 องศา) ไปกี่รอบ ($n$ รอบ) ก็จะกลับมาตกที่ตำแหน่งเดิมเสมอ จึงสามารถตัดทิ้งได้เลย
Adding or subtracting any multiple of $2\pi$ (360 degrees) returns you to the exact same position on the unit circle, so they can be ignored.
จงหาค่าของ $\displaystyle \sin\left(\frac{13\pi}{6}\right)$
Evaluate $\displaystyle \sin\left(\frac{13\pi}{6}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \cos\left(\frac{9\pi}{4}\right)$
Evaluate $\displaystyle \cos\left(\frac{9\pi}{4}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \tan\left(\frac{25\pi}{4}\right)$
Evaluate $\displaystyle \tan\left(\frac{25\pi}{4}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \sin\left(\frac{11\pi}{3}\right)$
Evaluate $\displaystyle \sin\left(\frac{11\pi}{3}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \cos\left(\frac{23\pi}{6}\right)$
Evaluate $\displaystyle \cos\left(\frac{23\pi}{6}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \tan\left(-\frac{13\pi}{3}\right)$
Evaluate $\displaystyle \tan\left(-\frac{13\pi}{3}\right)$
📍 การยุบมุมราบบนแกน X ($n\pi \pm \theta$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มคี่) 📍 X-Axis Reference Angles ($n\pi \pm \theta$ where $n$ is odd)
ความสัมพันธ์ของมุมในรูป $n\pi \pm \theta$ (เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มคี่ เช่น $1, 3, 5, \dots$) ชื่อฟังก์ชันจะยังคงเหมือนเดิม โดยแยกการบวกและลบมุมดังนี้:
For angles in the form $n\pi \pm \theta$ (where $n$ is an odd integer such as $1, 3, 5, \dots$), the function name does not change. The formulas for subtraction and addition are as follows:
จงหาค่าของ $\displaystyle \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)$
Evaluate $\displaystyle \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)$
Evaluate $\displaystyle \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \tan\left(\frac{4\pi}{3}\right)$
Evaluate $\displaystyle \tan\left(\frac{4\pi}{3}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$
Evaluate $\displaystyle \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \cos\left(\frac{8\pi}{3}\right)$
Evaluate $\displaystyle \cos\left(\frac{8\pi}{3}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \sin\left(\frac{19\pi}{6}\right)$
Evaluate $\displaystyle \sin\left(\frac{19\pi}{6}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \tan\left(\frac{13\pi}{4}\right)$
Evaluate $\displaystyle \tan\left(\frac{13\pi}{4}\right)$
จงหาค่าของ $\displaystyle \cos\left(\frac{14\pi}{3}\right)$
Evaluate $\displaystyle \cos\left(\frac{14\pi}{3}\right)$
🔁 ความสัมพันธ์ของโคฟังก์ชันบนแกน Y (สลับชื่อฟังก์ชัน) 🔁 Co-functions on Y-Axis (Swapped Function)
ความสัมพันธ์ของโคฟังก์ชัน (Co-function) ในรูป $\frac{\pi}{2} \pm \theta$ และ $\frac{3\pi}{2} \pm \theta$ ฟังก์ชันจะต้องถูกเปลี่ยนชื่อเป็นโคฟังก์ชันเสมอ คือ $\sin \leftrightarrow \cos$, $\tan \leftrightarrow \cot$ แล้วจึงดูเครื่องหมายตามจตุภาคเดิม
For co-functions in the form $\frac{\pi}{2} \pm \theta$ and $\frac{3\pi}{2} \pm \theta$, the function MUST change to its co-function: $\sin \leftrightarrow \cos$, $\tan \leftrightarrow \cot$. The sign is then determined by the original quadrant.
จงใช้โคฟังก์ชันหาค่าของ $\displaystyle \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ โดยอ้างอิงจากแกน Y
Use co-function to evaluate $\displaystyle \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ referencing the Y-axis.
จงจัดรูปและหาค่าของ $\displaystyle \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$
Simplify and evaluate $\displaystyle \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$
จงใช้โคฟังก์ชันหาค่าของ $\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ โดยอ้างอิงจากแกน Y
Use co-function to evaluate $\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ referencing the Y-axis.
จงใช้โคฟังก์ชันหาค่าของ $\displaystyle \tan\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ โดยอ้างอิงจากแกน Y
Use co-function to evaluate $\displaystyle \tan\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ referencing the Y-axis.
จงใช้โคฟังก์ชันหาค่าของ $\displaystyle \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)$ โดยอ้างอิงมุม $\frac{3\pi}{2}$
Use co-function to evaluate $\displaystyle \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)$ referencing $\frac{3\pi}{2}$.
จงใช้โคฟังก์ชันหาค่าของ $\displaystyle \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)$ โดยอ้างอิงมุม $\frac{3\pi}{2}$
Use co-function to evaluate $\displaystyle \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)$ referencing $\frac{3\pi}{2}$.
จงใช้โคฟังก์ชันหาค่าของ $\displaystyle \tan\left(\frac{5\pi}{4}\right)$ โดยอ้างอิงมุม $\frac{3\pi}{2}$
Use co-function to evaluate $\displaystyle \tan\left(\frac{5\pi}{4}\right)$ referencing $\frac{3\pi}{2}$.
คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary
คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์
| คำศัพท์ | รากศัพท์ / Root | ความหมาย / Meaning |
|---|---|---|
| Trigonometry | trigōnon (triangle) + metron (measure) | ตรีโกณมิติ · การศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม |
| Quadrant | quadrans (a fourth part) | จตุภาค · พื้นที่ 1 ใน 4 ส่วนของระนาบพิกัดฉาก |
| Co-function | complement + function | โคฟังก์ชัน · ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับมุมประกอบมุมฉาก (มุมที่รวมกันได้ 90 องศา) |
| Reference Angle | referre (to carry back) | มุมอ้างอิง · มุมแหลมบวกที่กระทำกับแกน X เสมอ ใช้สำหรับเทียบหาค่าตรีโกณมิติ |
| Revolution | revolutio (turn back) | รอบการหมุน · การหมุนครบ 1 วงกลม (360 องศา หรือ 2π เรเดียน) |
| Real Number | res (thing) + numerus (number) | จำนวนจริง · จำนวนที่อยู่บนเส้นจำนวน ใช้แทนความยาวส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วย |
| Radian | radius (ray/spoke) | เรเดียน · หน่วยวัดมุมโดยอ้างอิงอัตราส่วนความยาวส่วนโค้งต่อรัศมี ($1 \text{ rev} = 2\pi \text{ rad}$) |
| Terminal Side | terminus (end/boundary) | ด้านสิ้นสุด · แขนของมุมที่หมุนไปยังตำแหน่งสุดท้ายเพื่อระบุพิกัด $(x, y)$ |
| Coterminal Angles | co- (together) + terminus (end) | มุมร่วมสิ้นสุด · มุมที่มีด้านสิ้นสุดตกอยู่ตำแหน่งเดียวกัน (ต่างกัน $2n\pi$) |
| Periodicity | periodos (recurring cycle) | คาบการซ้ำ · สมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีค่าวนกลับมาเท่าเดิมทุกๆ คาบ $2\pi$ |