ก่อนที่เราจะก้าวเข้าสู่การศึกษา ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Trigonometric Functions) ที่ซับซ้อนในระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย ซึ่งเกี่ยวข้องกับวงกลมหนึ่งหน่วย กราฟ และเอกลักษณ์ต่างๆ สิ่งสำคัญที่สุดคือการทบทวนรากฐานที่มั่นคงจากมัธยมต้น นั่นคือ อัตราส่วนตรีโกณมิติจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งประกอบไปด้วย $\sin, \cos, \tan, \csc, \sec, \cot$ และค่าของมุมพื้นฐานที่เจอบ่อยที่สุด
Before diving into the complex study of Trigonometric Functions in high school, which involves the unit circle, graphs, and identities, it is crucial to review the solid foundation from junior high school. This is the trigonometric ratios derived from a right-angled triangle, which include $\sin, \cos, \tan, \csc, \sec, \cot$, and the values of the most common basic angles.
📐 อัตราส่วนจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 📐 Right Triangle Ratios
พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก $ABC$ ที่มีมุม $C$ เป็นมุมฉาก และกำหนดให้มุม $A$ เป็นมุมที่เราสนใจ (มักแทนด้วย $\theta$)
- ข้าม: ความยาวด้านตรงข้ามมุม $\theta$
- ชิด: ความยาวด้านประชิดมุม $\theta$ (ด้านที่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก)
- ฉาก: ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก (ด้านที่ยาวที่สุดเสมอ)
Consider a right-angled triangle $ABC$ with angle $C$ as the right angle. Let angle $A$ be the angle of interest (often denoted as $\theta$).
- Opposite: The length of the side opposite to angle $\theta$.
- Adjacent: The length of the side adjacent to angle $\theta$ (not the hypotenuse).
- Hypotenuse: The length of the side opposite the right angle (always the longest side).
จากความสัมพันธ์ของด้านทั้งสาม เราสามารถนิยามอัตราส่วนตรีโกณมิติพื้นฐาน 3 ค่าหลัก และส่วนกลับอีก 3 ค่าได้ดังนี้:
From the relationship of these three sides, we can define the 3 main basic trigonometric ratios and their 3 reciprocal ratios as follows:
กำหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว $3$ และ $4$ หน่วย และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $5$ หน่วย จงหาค่า $\sin(A)$ เมื่อมุม $A$ อยู่ตรงข้ามด้านที่ยาว $3$ หน่วย
Given a right triangle with legs of length $3$ and $4$, and a hypotenuse of length $5$. Find $\sin(A)$ if angle $A$ is opposite the side of length $3$.
จากตัวอย่าง 1.1 จงหาค่า $\cos(A)$ และ $\tan(A)$
From Example 1.1, find $\cos(A)$ and $\tan(A)$.
สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉากยาว $5$ และ $12$ จงหาค่า $\sec(\theta)$ เมื่อ $\theta$ เป็นมุมที่อยู่ตรงข้ามด้านยาว $5$
ขั้นแรก หาความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
A right triangle has legs of $5$ and $12$. Find $\sec(\theta)$ if $\theta$ is the angle opposite the side of $5$.
First, find the hypotenuse using the Pythagorean theorem.
กำหนดให้ $\displaystyle \sin(\theta) = \frac{8}{17}$ จงหาค่าของ $\csc(\theta)$
ข้อนี้ใช้สมบัติส่วนกลับได้เลยโดยไม่ต้องหาด้านที่เหลือ
Given $\displaystyle \sin(\theta) = \frac{8}{17}$, find the value of $\csc(\theta)$.
You can use the reciprocal property directly without finding the missing side.
กำหนดให้ $\displaystyle \tan(\alpha) = \frac{15}{8}$ จงหาค่า $\cos(\alpha)$
Given $\displaystyle \tan(\alpha) = \frac{15}{8}$, find $\cos(\alpha)$.
ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $\sqrt{5}$ และด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาว $1$ จงหา $\cot(\theta)$ เมื่อ $\theta$ อยู่ตรงข้ามด้านที่ยาว $1$
In a right triangle, if the hypotenuse is $\sqrt{5}$ and one leg is $1$. Find $\cot(\theta)$ if $\theta$ is opposite the side of length $1$.
ถ้า $\displaystyle \csc(B) = \frac{x}{y}$ จงหา $\sin(B)$ และ $\tan(B)$ ในเทอมของ $x, y$ (โดยที่ $x > y > 0$)
If $\displaystyle \csc(B) = \frac{x}{y}$, find $\sin(B)$ and $\tan(B)$ in terms of $x, y$ (where $x > y > 0$).
🕒 ค่าของตรีโกณมิติของมุมพื้นฐาน 🕒 Values of Basic Trigonometric Angles
มุมพื้นฐานที่ถูกนำมาใช้งานบ่อยที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์คือมุม $30^\circ, 45^\circ$ และ $60^\circ$ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุมเหล่านี้สามารถหาได้จากการสร้างรูปสามเหลี่ยมพิเศษสองรูป:
- สามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว (สำหรับมุม $45^\circ$): มีด้านประกอบมุมฉากยาวด้านละ $1$ หน่วย จะได้ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$
- สามเหลี่ยมด้านเท่าผ่าครึ่ง (สำหรับมุม $30^\circ$ และ $60^\circ$): จากสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ยาวด้านละ $2$ หน่วย เมื่อลากเส้นแบ่งครึ่งมุมยอด จะได้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม $30^\circ$ และ $60^\circ$ โดยมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $2$, ด้านฐานยาว $1$, และส่วนสูง (ด้านตรงข้าม $60^\circ$) ยาว $\sqrt{2^2-1^2} = \sqrt{3}$
ตารางสรุปค่า (Table of Values):
| มุม ($\theta$) | $\sin(\theta)$ | $\cos(\theta)$ | $\tan(\theta)$ |
|---|---|---|---|
| $30^\circ$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ หรือ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| $45^\circ$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ หรือ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ หรือ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ |
| $60^\circ$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
The most frequently used basic angles in math and physics are $30^\circ, 45^\circ$, and $60^\circ$. Their trigonometric values can be derived from two special triangles:
- Isosceles Right Triangle (for $45^\circ$): Legs are $1$ unit each, hypotenuse is $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
- Bisected Equilateral Triangle (for $30^\circ$ and $60^\circ$): From an equilateral triangle of side $2$, bisecting the top angle creates a right triangle with angles $30^\circ$ and $60^\circ$. The hypotenuse is $2$, base is $1$, and height is $\sqrt{2^2-1^2} = \sqrt{3}$.
Table of Values:
| Angle ($\theta$) | $\sin(\theta)$ | $\cos(\theta)$ | $\tan(\theta)$ |
|---|---|---|---|
| $30^\circ$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ or $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| $45^\circ$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ or $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ or $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ |
| $60^\circ$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
จงหาค่าของ $\displaystyle \sin(30^\circ) + \cos(60^\circ)$
Find the value of $\displaystyle \sin(30^\circ) + \cos(60^\circ)$.
จงหาค่าของ $\displaystyle 2\sin(45^\circ)\cos(45^\circ)$
Find the value of $\displaystyle 2\sin(45^\circ)\cos(45^\circ)$.
จงหาค่าของ $\displaystyle \tan^2(60^\circ) - \sec^2(45^\circ)$
หมายเหตุ: $\tan^2(\theta)$ หมายถึง $(\tan(\theta))^2$ และ $\sec(45^\circ) = \frac{1}{\cos(45^\circ)}$
Find the value of $\displaystyle \tan^2(60^\circ) - \sec^2(45^\circ)$.
Note: $\tan^2(\theta)$ means $(\tan(\theta))^2$ and $\sec(45^\circ) = \frac{1}{\cos(45^\circ)}$
จงหาค่าของ $\displaystyle \frac{\sin(30^\circ)}{\cos(30^\circ)}$ และเปรียบเทียบกับ $\tan(30^\circ)$
ซึ่งมีค่าเท่ากับ $\displaystyle \tan(30^\circ)$ พอดี นี่คือเอกลักษณ์พื้นฐาน $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$
Find the value of $\displaystyle \frac{\sin(30^\circ)}{\cos(30^\circ)}$ and compare it with $\tan(30^\circ)$.
Which is exactly equal to $\displaystyle \tan(30^\circ)$. This verifies the basic identity $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$.
จงหาค่าของ $\displaystyle \sin^2(60^\circ) + \cos^2(60^\circ)$
นี่เป็นตัวอย่างของเอกลักษณ์พีทาโกรัส $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ ที่จะเป็นจริงเสมอสำหรับทุกมุม
Find the value of $\displaystyle \sin^2(60^\circ) + \cos^2(60^\circ)$.
This is an example of the Pythagorean identity $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$, which is always true for any angle.
ชายคนหนึ่งมองขึ้นไปบนยอดเสาธงด้วยมุมเงย $30^\circ$ ถ้ายืนห่างจากเสาธง $10\sqrt{3}$ เมตร เสาธงสูงเท่าใด (ไม่คิดความสูงคน)
A man looks up at the top of a flagpole with an angle of elevation of $30^\circ$. If he stands $10\sqrt{3}$ meters away from the pole, how tall is the flagpole? (Ignore the man's height)
จงหาค่าของ $x$ เมื่อ $\displaystyle x \cdot \cos(60^\circ) \cdot \tan(45^\circ) = \sin(30^\circ)$
Find the value of $x$ when $\displaystyle x \cdot \cos(60^\circ) \cdot \tan(45^\circ) = \sin(30^\circ)$.
คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary
คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์
| คำศัพท์ | รากศัพท์ / Root | ความหมาย / Meaning |
|---|---|---|
| Trigonometry | trigonon (triangle) + metron (measure) | ตรีโกณมิติ · วิชาที่ว่าด้วยการวัดรูปสามเหลี่ยม ความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุม |
| Opposite | ob- (against) + ponere (to place) | ข้าม (ด้านตรงข้าม) · ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่พิจารณา |
| Adjacent | ad- (to) + jacere (to lie) | ชิด (ด้านประชิด) · ด้านที่อยู่ติดกับมุมที่พิจารณา (ที่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก) |
| Hypotenuse | hypo- (under) + teinein (to stretch) | ฉาก (ด้านตรงข้ามมุมฉาก) · ด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก |
| Ratio | reri (to reckon/think) | อัตราส่วน · การเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณด้วยการหาร |
| Reciprocal | reciprocus (returning) | ส่วนกลับ · ปริมาณที่เมื่อคูณกับจำนวนเดิมแล้วได้ 1 (เช่น $\csc$ คือส่วนกลับของ $\sin$) |