วงกลมหนึ่งหน่วย

ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เราคุ้นเคยจากอัตราส่วนในสามเหลี่ยมมุมฉาก สามารถขยายความเข้าใจให้ครอบคลุมมุมทุกขนาดได้ด้วยการใช้ วงกลมหนึ่งหน่วย (Unit Circle) ซึ่งช่วยให้เรากำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผ่านจุดพิกัด $(x, y)$ บนระนาบคาร์ทีเซียนได้อย่างเป็นระบบ

The trigonometric functions we know from right triangle ratios can be expanded to angles of any size using the Unit Circle. This allows us to define trigonometric values systematically through the coordinates $(x, y)$ on the Cartesian plane.

🔵 นิยามวงกลมหนึ่งหน่วย 🔵 Definition of the Unit Circle

วงกลมหนึ่งหน่วย คือ วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด $(0, 0)$ และมีรัศมียาว $1$ หน่วย ดังนั้น พิกัด $(x, y)$ ของจุดใดๆ ที่อยู่บนวงกลมนี้จะต้องสอดคล้องกับสมการ:

$$ x^2 + y^2 = 1 $$

A Unit Circle is a circle centered at the origin $(0, 0)$ with a radius of exactly $1$ unit. Therefore, the coordinates $(x, y)$ of any point on this circle must satisfy the equation:

$$ x^2 + y^2 = 1 $$

Example 1.1

จงตรวจสอบว่าจุด $(1, 0)$ อยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วยหรือไม่

แทนค่า $x = 1, y = 0$ ลงในสมการวงกลม

Verify if the point $(1, 0)$ lies on the unit circle.

Substitute $x = 1, y = 0$ into the circle equation.

$$ \begin{aligned} 1^2 + 0^2 &= 1 + 0 \\ &= 1 \end{aligned} $$

เนื่องจากสมการเป็นจริง ดังนั้นจุด $(1, 0)$ อยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วย

Since the equation holds true, the point $(1, 0)$ lies on the unit circle.

Example 1.2

จงตรวจสอบว่าจุด $\displaystyle P\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ อยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วยหรือไม่

Verify if the point $\displaystyle P\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ lies on the unit circle.

$$ \begin{aligned} x^2 + y^2 &= \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \\ &= \frac{2}{4} + \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\ &= 1 \end{aligned} $$

Example 1.3

จงตรวจสอบว่าจุด $\displaystyle \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ อยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วยหรือไม่

Verify if the point $\displaystyle \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ lies on the unit circle.

$$ \begin{aligned} x^2 + y^2 &= \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ &= \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2} \quad (\text{ไม่เท่ากับ } 1) \end{aligned} $$

จุดนี้ ไม่อยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วย

This point does NOT lie on the unit circle.

Example 1.4

กำหนดจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยคือ $\displaystyle \left( x, \frac{4}{5} \right)$ โดยที่จุดนี้อยู่ในจตุภาคที่ 1 ($Q_1$) จงหาค่า $x$

Given a point on the unit circle $\displaystyle \left( x, \frac{4}{5} \right)$ located in Quadrant 1 ($Q_1$), find the value of $x$.

$$ \begin{aligned} x^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 &= 1 \\ x^2 + \frac{16}{25} &= 1 \\ x^2 &= 1 - \frac{16}{25} \\ x^2 &= \frac{9}{25} \\ x &= \pm \frac{3}{5} \end{aligned} $$

เนื่องจากอยู่ใน $Q_1$ ค่า $x$ ต้องเป็นบวก ดังนั้น $\displaystyle x = \frac{3}{5}$

Since it's in $Q_1$, $x$ must be positive. Thus, $\displaystyle x = \frac{3}{5}$

Example 1.5

กำหนดจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยคือ $\displaystyle \left( -\frac{5}{13}, y \right)$ โดยที่จุดนี้อยู่ในจตุภาคที่ 3 ($Q_3$) จงหาค่า $y$

Given a point on the unit circle $\displaystyle \left( -\frac{5}{13}, y \right)$ located in Quadrant 3 ($Q_3$), find the value of $y$.

$$ \begin{aligned} \left(-\frac{5}{13}\right)^2 + y^2 &= 1 \\ \frac{25}{169} + y^2 &= 1 \\ y^2 &= 1 - \frac{25}{169} \\ y^2 &= \frac{144}{169} \\ y &= \pm \frac{12}{13} \end{aligned} $$

เนื่องจากอยู่ใน $Q_3$ ค่า $y$ ต้องเป็นลบ ดังนั้น $\displaystyle y = -\frac{12}{13}$

Since it's in $Q_3$, $y$ must be negative. Thus, $\displaystyle y = -\frac{12}{13}$

Example 1.6

มีจุด $P(a, a)$ อยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วยในจตุภาคที่ 1 จงหาค่า $a$

A point $P(a, a)$ lies on the unit circle in Quadrant 1. Find the value of $a$.

$$ \begin{aligned} a^2 + a^2 &= 1 \\ 2a^2 &= 1 \\ a^2 &= \frac{1}{2} \\ a &= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\ a &= \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} $$

เนื่องจากจุดอยู่ใน $Q_1$ จะได้ $\displaystyle a = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Since the point is in $Q_1$, we get $\displaystyle a = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Example 1.7

จงหาระยะห่างระหว่างจุดกำเนิด $(0,0)$ กับจุด $\displaystyle \left( -\frac{3}{5}, -\frac{4}{5} \right)$ เพื่อยืนยันว่าจุดนี้อยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วย

Find the distance between the origin $(0,0)$ and the point $\displaystyle \left( -\frac{3}{5}, -\frac{4}{5} \right)$ to verify it lies on the unit circle.

$$ \begin{aligned} d &= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\ &= \sqrt{\left(-\frac{3}{5} - 0\right)^2 + \left(-\frac{4}{5} - 0\right)^2} \\ &= \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} \\ &= \sqrt{\frac{25}{25}} \\ &= \sqrt{1} \\ &= 1 \end{aligned} $$

ระยะห่าง (รัศมี) เท่ากับ $1$ พอดี จึงเป็นการพิสูจน์ที่ถูกต้อง

The distance (radius) is exactly $1$, confirming the proof.

📈 ค่าไซน์และโคไซน์จากจุดปลายส่วนโค้ง 📈 Sine and Cosine on the Unit Circle

เมื่อเราลากเส้นจากจุดศูนย์กลางไปยังจุด $P(x, y)$ บนวงกลมหนึ่งหน่วย โดยทำมุม $\theta$ กับแกน $X$ ทางบวก พิกัดของจุด $P$ จะถูกกำหนดให้เป็นค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติดังนี้:

$$ x = \cos \theta $$ $$ y = \sin \theta $$

และเมื่อนำไปแทนในสมการวงกลม $x^2 + y^2 = 1$ เราจะได้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่สำคัญที่สุด คือ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$

When we draw a line from the origin to a point $P(x, y)$ on the unit circle, forming an angle $\theta$ with the positive $X$-axis, the coordinates of $P$ define the trigonometric functions as follows:

$$ x = \cos \theta $$ $$ y = \sin \theta $$

Substituting these into the circle's equation $x^2 + y^2 = 1$ gives us the most important trigonometric identity: $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$

Example 2.1

กำหนดจุด $\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right)$ เป็นจุดปลายส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่รองรับมุม $\theta$ จงหาค่าของ $\cos \theta$ และ $\sin \theta$

จากพิกัด $(x, y) = (\cos \theta, \sin \theta)$ สามารถอ่านค่าได้ทันที

Given the point $\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right)$ on the unit circle corresponding to angle $\theta$, find $\cos \theta$ and $\sin \theta$.

From coordinates $(x, y) = (\cos \theta, \sin \theta)$, read values directly.

$$ \begin{aligned} \cos \theta &= x \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin \theta &= y \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$

Example 2.2

ที่มุม $\theta = 90^\circ$ จุดปลายส่วนโค้งจะไปตกที่พิกัด $(0, 1)$ จงหาค่า $\cos 90^\circ$ และ $\sin 90^\circ$

At angle $\theta = 90^\circ$, the point falls on the coordinates $(0, 1)$. Find $\cos 90^\circ$ and $\sin 90^\circ$.

$$ \begin{aligned} \cos 90^\circ &= x \\ &= 0 \\ \sin 90^\circ &= y \\ &= 1 \end{aligned} $$

Example 2.3

กำหนดให้ $\displaystyle \cos \theta = \frac{3}{5}$ และมุม $\theta$ อยู่ในจตุภาคที่ 1 ($Q_1$) จงหาค่าของ $\sin \theta$

ใช้เอกลักษณ์ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$

Given $\displaystyle \cos \theta = \frac{3}{5}$ and angle $\theta$ is in Quadrant 1 ($Q_1$), find $\sin \theta$.

Use the identity $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.

$$ \begin{aligned} \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \sin^2 \theta &= 1 \\ \frac{9}{25} + \sin^2 \theta &= 1 \\ \sin^2 \theta &= 1 - \frac{9}{25} \\ \sin^2 \theta &= \frac{16}{25} \\ \sin \theta &= \pm \frac{4}{5} \end{aligned} $$

เนื่องจาก $\theta$ อยู่ใน $Q_1$ ดังนั้น $\sin \theta$ ต้องเป็นบวก จะได้ $\displaystyle \sin \theta = \frac{4}{5}$

Since $\theta$ is in $Q_1$, $\sin \theta$ must be positive. Thus, $\displaystyle \sin \theta = \frac{4}{5}$

Example 2.4

กำหนดให้ $\displaystyle \sin \theta = -\frac{12}{13}$ และมุม $\theta$ อยู่ในจตุภาคที่ 4 ($Q_4$) จงหาค่าของ $\cos \theta$

Given $\displaystyle \sin \theta = -\frac{12}{13}$ and angle $\theta$ is in Quadrant 4 ($Q_4$), find $\cos \theta$.

$$ \begin{aligned} \cos^2 \theta + \left(-\frac{12}{13}\right)^2 &= 1 \\ \cos^2 \theta + \frac{144}{169} &= 1 \\ \cos^2 \theta &= 1 - \frac{144}{169} \\ \cos^2 \theta &= \frac{25}{169} \\ \cos \theta &= \pm \frac{5}{13} \end{aligned} $$

เนื่องจาก $\theta$ อยู่ใน $Q_4$ ค่า $x$ ต้องเป็นบวก จะได้ $\displaystyle \cos \theta = \frac{5}{13}$

Since $\theta$ is in $Q_4$, $x$ must be positive. Thus, $\displaystyle \cos \theta = \frac{5}{13}$

Example 2.5

จงหาผลสำเร็จของ $\displaystyle \cos^2(30^\circ) + \sin^2(30^\circ)$

Evaluate $\displaystyle \cos^2(30^\circ) + \sin^2(30^\circ)$

$$ \begin{aligned} \cos(30^\circ) &= \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \\ \cos^2(30^\circ) + \sin^2(30^\circ) &= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ &= \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \\ &= \frac{4}{4} \\ &= 1 \end{aligned} $$

Example 2.6

จงจัดนิพจน์ $1 - \sin^2 \theta$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด

Simplify the expression $1 - \sin^2 \theta$ to its simplest form.

$$ \begin{aligned} \text{จาก } \cos^2 \theta + \sin^2 \theta &= 1 \\ \text{จะได้ } \cos^2 \theta &= 1 - \sin^2 \theta \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \text{From } \cos^2 \theta + \sin^2 \theta &= 1 \\ \text{we get } \cos^2 \theta &= 1 - \sin^2 \theta \end{aligned} $$

Example 2.7

จงกระจายและจัดรูปนิพจน์ $(\cos \theta + \sin \theta)^2$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด

Expand and simplify the expression $(\cos \theta + \sin \theta)^2$.

$$ \begin{aligned} (\cos \theta + \sin \theta)^2 &= \cos^2 \theta + 2\cos \theta \sin \theta + \sin^2 \theta \\ &= (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + 2\cos \theta \sin \theta \\ &= 1 + 2\cos \theta \sin \theta \end{aligned} $$

🧭 เครื่องหมายของฟังก์ชันในแต่ละจตุภาค 🧭 Signs of Functions in Quadrants

เนื่องจากค่า $\cos \theta$ ผูกติดกับค่า $x$ และ $\sin \theta$ ผูกติดกับค่า $y$ เครื่องหมายของฟังก์ชันจึงแปรผันตามพิกัดใน 4 จตุภาค (Quadrants) ดังนี้:

จตุภาคที่ 1 ($Q_1$): $x > 0, y > 0 \implies \cos \theta (+), \sin \theta (+)$ (All)
จตุภาคที่ 2 ($Q_2$): $x < 0, y> 0 \implies \cos \theta (-), \sin \theta (+)$ (Sin)
จตุภาคที่ 3 ($Q_3$): $x < 0, y < 0 \implies \cos \theta (-), \sin \theta (-)$ (Tan)
จตุภาคที่ 4 ($Q_4$): $x > 0, y < 0 \implies \cos \theta (+), \sin \theta (-)$ (Cos)

Since $\cos \theta$ corresponds to $x$ and $\sin \theta$ to $y$, the signs of the functions change depending on the 4 Quadrants:

Quadrant 1 ($Q_1$): $x > 0, y > 0 \implies \cos \theta (+), \sin \theta (+)$ (All)
Quadrant 2 ($Q_2$): $x < 0, y> 0 \implies \cos \theta (-), \sin \theta (+)$ (Sin)
Quadrant 3 ($Q_3$): $x < 0, y < 0 \implies \cos \theta (-), \sin \theta (-)$ (Tan)
Quadrant 4 ($Q_4$): $x > 0, y < 0 \implies \cos \theta (+), \sin \theta (-)$ (Cos)

Example 3.1

ถ้ามุม $\theta$ ตกอยู่ในจตุภาคที่ 2 ($Q_2$) เครื่องหมายของ $\sin \theta$ และ $\cos \theta$ จะเป็นอย่างไร?

If angle $\theta$ falls in Quadrant 2 ($Q_2$), what are the signs of $\sin \theta$ and $\cos \theta$?

$$ \begin{aligned} \text{ใน } Q_2 \text{ ค่า } x &< 0 \implies \cos \theta \text{ เป็นลบ } (-) \\ \text{ใน } Q_2 \text{ ค่า } y &> 0 \implies \sin \theta \text{ เป็นบวก } (+) \end{aligned} $$

Example 3.2

มุม $\theta$ จะอยู่ในจตุภาคใด หากกำหนดให้ $\sin \theta > 0$ และ $\cos \theta < 0$

Which quadrant does angle $\theta$ lie in if $\sin \theta > 0$ and $\cos \theta < 0$?

$$ \begin{aligned} \sin \theta > 0 \quad (y > 0) &\implies \text{อยู่ใน } Q_1 \text{ หรือ } Q_2 \\ \cos \theta < 0 \quad (x < 0) &\implies \text{อยู่ใน } Q_2 \text{ หรือ } Q_3 \end{aligned} $$

ส่วนที่ซ้อนทับกันคือ จตุภาคที่ 2 ($Q_2$)

The intersection is Quadrant 2 ($Q_2$).

Example 3.3

มุม $\theta$ จะอยู่ในจตุภาคใด หากกำหนดให้ $\cos \theta > 0$ และ $\sin \theta < 0$

Which quadrant does angle $\theta$ lie in if $\cos \theta > 0$ and $\sin \theta < 0$?

$$ \begin{aligned} \cos \theta > 0 \quad (x > 0) &\implies \text{อยู่ใน } Q_1 \text{ หรือ } Q_4 \\ \sin \theta < 0 \quad (y < 0) &\implies \text{อยู่ใน } Q_3 \text{ หรือ } Q_4 \end{aligned} $$

ส่วนที่ซ้อนทับกันคือ จตุภาคที่ 4 ($Q_4$)

The intersection is Quadrant 4 ($Q_4$).

Example 3.4

จงพิจารณาว่า $\cos(200^\circ)$ และ $\sin(200^\circ)$ จะมีเครื่องหมายเป็นอย่างไร

Determine the signs of $\cos(200^\circ)$ and $\sin(200^\circ)$.

$$ \begin{aligned} \text{มุม } 200^\circ &\text{ อยู่ระหว่าง } 180^\circ \text{ ถึง } 270^\circ \\ &\text{จึงตกในจตุภาคที่ 3 } (Q_3) \\ \text{ใน } Q_3 &\implies x < 0 \text{ และ } y < 0 \end{aligned} $$

ดังนั้น ทั้ง $\cos(200^\circ)$ และ $\sin(200^\circ)$ มีเครื่องหมายเป็นลบ (-)

Therefore, both $\cos(200^\circ)$ and $\sin(200^\circ)$ are negative (-).

Example 3.5

ถ้ามุม $\theta$ ตกอยู่ในจตุภาคที่ 4 ($Q_4$) จงพิจารณาว่าผลคูณของ $\displaystyle \sin \theta \cdot \cos \theta$ จะมีเครื่องหมายเป็นบวกหรือลบ?

If angle $\theta$ falls in Quadrant 4 ($Q_4$), determine whether the product $\displaystyle \sin \theta \cdot \cos \theta$ is positive or negative.

$$ \begin{aligned} \text{ใน } Q_4 \text{ จะได้พิกัด } &(+, -) \\ \cos \theta \text{ (พิกัด x) } &\text{มีค่าเป็นบวก } (+) \\ \sin \theta \text{ (พิกัด y) } &\text{มีค่าเป็นลบ } (-) \\ \text{ดังนั้น } \sin \theta \cdot \cos \theta &= (-) \cdot (+) \\ &= \text{ลบ } (-) \end{aligned} $$

Example 3.6

หากทราบว่า $\sin \theta$ และ $\cos \theta$ มีเครื่องหมาย "เหมือนกัน" (เช่น บวกทั้งคู่ หรือ ลบทั้งคู่) มุม $\theta$ สามารถตกอยู่ในจตุภาคใดได้บ้าง?

If $\sin \theta$ and $\cos \theta$ have the "same" sign (both positive or both negative), which quadrant(s) can angle $\theta$ be in?

$$ \begin{aligned} \text{กรณีบวกทั้งคู่ } (+, +) &\implies \text{จตุภาคที่ 1 } (Q_1) \\ \text{กรณีลบทั้งคู่ } (-, -) &\implies \text{จตุภาคที่ 3 } (Q_3) \end{aligned} $$

คำตอบคือ $Q_1$ หรือ $Q_3$

The answer is $Q_1$ or $Q_3$.

Example 3.7

กำหนดให้ $\displaystyle \sin \theta = -\frac{1}{2}$ และ $\displaystyle \cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ จงระบุจตุภาคของมุม $\theta$

Given $\displaystyle \sin \theta = -\frac{1}{2}$ and $\displaystyle \cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, identify the quadrant of angle $\theta$.

$$ \begin{aligned} y = -\frac{1}{2} &\implies y < 0 \\ x=-\frac{\sqrt{3}}{2} &\implies x < 0 \end{aligned} $$

เนื่องจากทั้ง $x$ และ $y$ ติดลบ ดังนั้นมุม $\theta$ ตกใน จตุภาคที่ 3 ($Q_3$)

Since both $x$ and $y$ are negative, angle $\theta$ is in Quadrant 3 ($Q_3$).

🔄 ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ 🔄 Other Trigonometric Functions

เราสามารถนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติอีก 4 ฟังก์ชันที่เหลือ ได้จากค่าไซน์ (y) และ โคไซน์ (x) ดังนี้:

$$ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0) $$ $$ \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{1}{x} \quad (x \neq 0) $$ $$ \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{1}{y} \quad (y \neq 0) $$ $$ \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{x}{y} \quad (y \neq 0) $$

We can define the remaining 4 trigonometric functions in terms of sine (y) and cosine (x):

Example 4.1

กำหนดจุด $\displaystyle P\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$ เป็นจุดปลายส่วนโค้ง จงหาค่า $\tan \theta$

Given the point $\displaystyle P\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$ on the unit circle, find $\tan \theta$.

$$ \begin{aligned} \tan \theta &= \frac{y}{x} \\ &= \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} \\ &= \frac{4}{3} \end{aligned} $$

Example 4.2

ถ้า $\displaystyle \sin \theta = -\frac{4}{5}$ และ $\displaystyle \cos \theta = -\frac{3}{5}$ จงหาค่าของ $\sec \theta$ และ $\csc \theta$

If $\displaystyle \sin \theta = -\frac{4}{5}$ and $\displaystyle \cos \theta = -\frac{3}{5}$, find $\sec \theta$ and $\csc \theta$.

$$ \begin{aligned} \sec \theta &= \frac{1}{\cos \theta} \\ &= \frac{1}{-\frac{3}{5}} \\ &= -\frac{5}{3} \\[10pt] \csc \theta &= \frac{1}{\sin \theta} \\ &= \frac{1}{-\frac{4}{5}} \\ &= -\frac{5}{4} \end{aligned} $$

Example 4.3

กำหนดจุดปลายส่วนโค้ง $\displaystyle P\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ จงหาค่าของ $\cot \theta$

Given the point $\displaystyle P\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, find $\cot \theta$.

$$ \begin{aligned} \cot \theta &= \frac{x}{y} \\ &= \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ &= -1 \end{aligned} $$

Example 4.4

ทำไมค่า $\tan(90^\circ)$ จึงหาค่าไม่ได้ (Undefined)?

Why is $\tan(90^\circ)$ undefined?

ที่มุม $90^\circ$ จะตกที่พิกัด $(0, 1)$

$$ \begin{aligned} \tan(90^\circ) &= \frac{y}{x} \\ &= \frac{1}{0} \quad \text{(ส่วนเป็นศูนย์)} \end{aligned} $$

At $90^\circ$, the coordinates are $(0, 1)$

$$ \begin{aligned} \tan(90^\circ) &= \frac{y}{x} \\ &= \frac{1}{0} \quad \text{(division by zero)} \end{aligned} $$

ในทางคณิตศาสตร์ การหารด้วยศูนย์ ไม่นิยาม

In mathematics, division by zero is undefined.

Example 4.5

จงจัดรูปนิพจน์ $\tan \theta \cdot \cos \theta$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด

Simplify the expression $\tan \theta \cdot \cos \theta$.

$$ \begin{aligned} \tan \theta \cdot \cos \theta &= \left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right) \cdot \cos \theta \\ &= \sin \theta \end{aligned} $$

Example 4.6

จงหาผลสำเร็จของนิพจน์ $\sin \theta \cdot \csc \theta$

Evaluate the expression $\sin \theta \cdot \csc \theta$.

$$ \begin{aligned} \sin \theta \cdot \csc \theta &= \sin \theta \cdot \left(\frac{1}{\sin \theta}\right) \\ &= 1 \end{aligned} $$

Example 4.7

จงพิสูจน์เอกลักษณ์ $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ โดยใช้นิยามพิกัด $(x, y)$

Prove the identity $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ using coordinates $(x, y)$.

$$ \begin{aligned} 1 + \tan^2 \theta &= 1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2 \\ &= 1 + \frac{y^2}{x^2} \\ &= \frac{x^2 + y^2}{x^2} \end{aligned} $$

จากสมการวงกลม $x^2 + y^2 = 1$ จะได้ว่า:

From the circle's equation $x^2 + y^2 = 1$, we get:

$$ \begin{aligned} 1 + \tan^2 \theta &= \frac{1}{x^2} \\ &= \left(\frac{1}{x}\right)^2 \\ &= \sec^2 \theta \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Unit Circle	unus (one) + circulus (small ring)	วงกลมหนึ่งหน่วย · วงกลมบนระนาบที่มีรัศมียาว 1 หน่วย ใช้เป็นฐานในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติ
Quadrant	quadrans (a fourth part)	จตุภาค · พื้นที่ 1 ใน 4 ส่วนของระนาบคาร์ทีเซียนที่ถูกแบ่งโดยแกน X และ Y
Sine	sinus (curve, bay)	ไซน์ · ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับพิกัดแกน Y ของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย
Cosine	co- (complement) + sinus	โคไซน์ · ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับพิกัดแกน X ของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย
Coordinate	co- (together) + ordinare (arrange)	พิกัด · ตัวเลขคู่ (x, y) ที่ใช้ระบุตำแหน่งของจุดบนกราฟอย่างเป็นระเบียบ