กลับ
คณิตศาสตร์ · Mathematics

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
Derivatives

ที่มา ความหมาย อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย และการหดตัวของลิมิต

1

📜 ที่มาและประวัติศาสตร์ / Origins of Calculus

แคลคูลัส (Calculus) ถูกคิดค้นพัฒนาอย่างเป็นระบบในช่วงศตวรรษที่ 17 โดยนักคณิตศาสตร์อัจฉริยะสองท่านที่คิดค้นขึ้นมาในช่วงเวลาใกล้เคียงกันแต่แยกกันทำงาน (และนำไปสู่ข้อพิพาทอันยาวนานทางประวัติศาสตร์):

  • ไอแซก นิวตัน (Isaac Newton): พัฒนาแคลคูลัสเพื่อแก้ปัญหาเรื่องกลศาสตร์และการเคลื่อนที่ของดวงดาว เช่น ความเร็วพุ่งทะยาน ณ เสี้ยววินาทีใดๆ (The Velocity Problem)
  • กอทท์ฟรีด วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์ (Gottfried Wilhelm Leibniz): พัฒนาสัญลักษณ์เชิงเรขาคณิต เช่น สัญลักษณ์ \(\frac{dy}{dx}\) หรือเครื่องหมายอินทิกรัล \(\int\) ซึ่งสวยงามและถูกใช้งานอย่างแพร่หลายจนถึงปัจจุบัน เพื่อแก้ปัญหาการหาเส้นสัมผัสโค้ง (The Tangent Line Problem)

Calculus was systematically developed in the 17th century by two genius mathematicians working independently (which led to a historically bitter dispute):

  • Isaac Newton: Developed calculus to solve mechanics and planetary motion, specifically finding instantaneous velocity (The Velocity Problem).
  • Gottfried Wilhelm Leibniz: Developed geometrically-inspired notation (like \(\frac{dy}{dx}\) and \(\int\)) that is widely used today, specifically targeting the problem of finding tangent lines to curves (The Tangent Line Problem).
2

💡 ความหมายทางคณิตศาสตร์ / What is a Derivative?

มุมมองเชิงเรขาคณิต (Geometry)

อนุพันธ์คือ ความชันของเส้นสัมผัสโค้ง (Slope of the Tangent Line) ณ จุดๆ หนึ่งกราฟ \(y = f(x)\)

มันบอกเราว่า ณ "จุดนั้นจุดเดียว" กราฟมีความลาดชันหรือทิศทางพุ่งไปทางไหน

➔ เรียนรู้เรื่องเส้นสัมผัส →
Geometric View

The derivative is the Slope of the Tangent Line to the curve \(y = f(x)\) at a specific point.

It defines the exact direction or steepness of the curve at ONE instantaneous point.

➔ Learn about Tangent →
มุมมองเชิงฟิสิกส์ (Physics)

อนุพันธ์คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง (Instantaneous Rate of Change)

เช่น หากเราขับรถ ความเร็วที่โชว์บนหน้าปัดก็คือ "อนุพันธ์ของระยะทางเทียบกับเวลา" ณ เสี้ยววินาทีนั้น

Physical View

The derivative represents the Instantaneous Rate of Change of a quantity.

For example, the reading on a car's speedometer is the derivative of distance with respect to time.

3

📐 อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย / Average Rate of Change

ก่อนที่เราจะหาความชันที่ "จุดวินาทีเดียว" ได้ เราต้องเริ่มจากการหาความชันระหว่าง "สองจุด" ก่อน ซึ่งเราเรียกว่าเส้นตัด (Secant Line)

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ \(y\) เทียบกับ \(x\) ในช่วง \(x_1\) ถึง \(x_2\) มีสูตรว่า:

Before computing the instantaneous slope at ONE point, we start by calculating the slope spanning TWO points, creating a Secant Line.

The average rate of change of \(y\) with respect to \(x\) over the interval \([x_1, x_2]\) is:

\(\displaystyle \text{m}_{\text{avg}} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\)
ตัวอย่างที่ 1

ให้ \(f(x) = x^2 + 2x\) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยตั้งแต่ \(x = 1\) ถึง \(x = 3\)

Example 1

Let \(f(x) = x^2 + 2x\). Find the average rate of change from \(x = 1\) to \(x = 3\).

ขั้นที่ 1: หาค่าฟังก์ชันที่สองจุด
\[\begin{aligned} f(1) &= (1)^2 + 2(1) \\ &= 3 \\ f(3) &= (3)^2 + 2(3) \\ &= 15 \end{aligned}\]
Step 1: Evaluate function at boundary points
\[\begin{aligned} f(1) &= (1)^2 + 2(1) \\ &= 3 \\ f(3) &= (3)^2 + 2(3) \\ &= 15 \end{aligned}\]
ขั้นที่ 2: เข้าสูตร \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \)
\[\begin{aligned} \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} &= \frac{15 - 3}{2} \\ &= \frac{12}{2} \\ &= \mathbf{6} \end{aligned}\]
Step 2: Apply the \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \) formula
\[\begin{aligned} \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} &= \frac{15 - 3}{2} \\ &= \frac{12}{2} \\ &= \mathbf{6} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 2 (แบบเส้นตรง)

ให้ \(f(x) = 5x - 2\) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยจาก \(x = 2\) ถึง \(x = 4\)

Example 2 (Linear)

Let \(f(x) = 5x - 2\). Find the average rate of change from \(x = 2\) to \(x = 4\).

\[\begin{aligned} f(2) &= 5(2) - 2 \\ &= 8 \\ f(4) &= 5(4) - 2 \\ &= 18 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} f(2) &= 5(2) - 2 \\ &= 8 \\ f(4) &= 5(4) - 2 \\ &= 18 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} &= \frac{10}{2} \\ &= \mathbf{5} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} &= \frac{10}{2} \\ &= \mathbf{5} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 3 (แบบเศษส่วน)

ให้ \(f(x) = \frac{1}{x+1}\) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยจาก \(x = 0\) ถึง \(x = 1\)

Example 3 (Fractional)

Let \(f(x) = \frac{1}{x+1}\). Find the average rate of change from \(x = 0\) to \(x = 1\).

\[\begin{aligned} f(0) &= \frac{1}{0+1} \\ &= 1 \\ f(1) &= \frac{1}{1+1} \\ &= 0.5 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} f(0) &= \frac{1}{0+1} \\ &= 1 \\ f(1) &= \frac{1}{1+1} \\ &= 0.5 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} &= \frac{0.5 - 1}{1} \\ &= \mathbf{-0.5} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} &= \frac{0.5 - 1}{1} \\ &= \mathbf{-0.5} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 4 (แบบราก)

ให้ \(f(x) = \sqrt{x}\) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยจาก \(x = 4\) ถึง \(x = 9\)

Example 4 (Radical)

Let \(f(x) = \sqrt{x}\). Find the average rate of change from \(x = 4\) to \(x = 9\).

\[\begin{aligned} f(4) &= \sqrt{4} \\ &= 2 \\ f(9) &= \sqrt{9} \\ &= 3 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} f(4) &= \sqrt{4} \\ &= 2 \\ f(9) &= \sqrt{9} \\ &= 3 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \frac{f(9) - f(4)}{9 - 4} &= \frac{3 - 2}{5} \\ &= \mathbf{0.2} \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \frac{f(9) - f(4)}{9 - 4} &= \frac{3 - 2}{5} \\ &= \mathbf{0.2} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 5 (ฟิสิกส์)

วัตถุเคลื่อนที่ด้วยสมการ \(s(t) = 4t^2\) จงหาความเร็วเฉลี่ยจาก \(t = 1\) ถึง \(t = 2\) วินาที

Example 5 (Physics)

An object moves according to \(s(t) = 4t^2\) (distance). Find the average velocity from \(t = 1\) to \(t = 2\) seconds.

\[\begin{aligned} s(1) &= 4(1)^2 \\ &= 4 \\ s(2) &= 4(2)^2 \\ &= 16 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} s(1) &= 4(1)^2 \\ &= 4 \\ s(2) &= 4(2)^2 \\ &= 16 \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \frac{s(2) - s(1)}{2 - 1} &= \frac{16 - 4}{1} \\ &= \mathbf{12} \end{aligned}\] (หน่วย/วินาที)
\[\begin{aligned} \frac{s(2) - s(1)}{2 - 1} &= \frac{16 - 4}{1} \\ &= \mathbf{12} \end{aligned}\] (units/sec)
4

🔍 การหาอนุพันธ์โดยใช้ลิมิต / Limit Definition of Derivative

เพื่อหาอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดๆ เดียว เราจะกำหนดให้ระยะหดตัว \(x_2 - x_1\) มีชื่อเรียกว่า \(h\)

แล้วเราใช้ ลิมิต (Limit) บีบให้ \(h\) เล็กลงเข้าใกล้ 0 (\(h \to 0\)) ซึ่งจะเปลี่ยน "เส้นตัดสองจุด" (Secant Line) ให้กลายเป็น "เส้นสัมผัสจุดเดียว" (Tangent Line)

To find the instantaneous rate of change at precisely ONE point, we define the gap size \(x_2 - x_1\) as the variable \(h\).

We then apply a Limit to shrink \(h\) infinitesimally close to 0 (\(h \to 0\)). This forces the two-point Secant Line to merge into a single-point Tangent Line.

\(\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)
* นี่คือนิยามสากลที่เป็นหัวใจของแคลคูลัส (Formal Definition of a Derivative) *
ตัวอย่างที่ 6

จงหาอนุพันธ์ \(f'(x)\) ของกราฟพาราโบลา \(f(x) = x^2\) โดยใช้นิยามลิมิต

Example 6

Find the derivative \(f'(x)\) of the parabola \(f(x) = x^2\) using the limit definition.

ขั้นที่ 1: เตรียมองค์ประกอบ
  • \(f(x) = x^2\)
  • \(f(x+h) = (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2\)
Step 1: Prepare components
  • \(f(x) = x^2\)
  • \(f(x+h) = (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2\)
ขั้นที่ 2: เข้าสูตรลิมิต
\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2) - x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (2x + h) \\ &= 2x + 0 \\ &= \mathbf{2x} \end{aligned}\]
Step 2: Evaluate limit
\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2) - x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (2x + h) \\ &= 2x + 0 \\ &= \mathbf{2x} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 7

จงหาอนุพันธ์ \(f'(x)\) ของสมการเส้นตรง \(f(x) = 3x - 5\)

Example 7

Find the derivative \(f'(x)\) of the linear equation \(f(x) = 3x - 5\).

ขั้นที่ 1: เตรียมองค์ประกอบ
  • \(f(x+h) = 3(x+h) - 5 = 3x + 3h - 5\)
Step 1: Prepare components
  • \(f(x+h) = 3(x+h) - 5 = 3x + 3h - 5\)
ขั้นที่ 2: เข้าสูตรลิมิต
\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{(3x + 3h - 5) - (3x - 5)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{3h}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (3) \\ &= \mathbf{3} \end{aligned}\]
* สังเกตว่าอนุพันธ์ของสมการเส้นตรงจะมีค่าเท่ากับความชันกราฟ (m=3) คงที่เสมอ
Step 2: Evaluate limit
\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{(3x + 3h - 5) - (3x - 5)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{3h}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (3) \\ &= \mathbf{3} \end{aligned}\]
* Note that the derivative of a linear equation is constantly equal to its slope (m=3).
ตัวอย่างที่ 8

จงหาอนุพันธ์ \(f'(x)\) ของพหุนาม \(f(x) = x^2 - 4x + 3\)

Example 8

Find the derivative \(f'(x)\) of the polynomial \(f(x) = x^2 - 4x + 3\).

ขั้นที่ 1: เตรียม \(f(x+h)\)
\[\begin{aligned} f(x+h) &= (x+h)^2 - 4(x+h) + 3 \\ &= x^2 + 2xh + h^2 - 4x - 4h + 3 \end{aligned}\]
Step 1: Expand \(f(x+h)\)
\[\begin{aligned} f(x+h) &= (x+h)^2 - 4(x+h) + 3 \\ &= x^2 + 2xh + h^2 - 4x - 4h + 3 \end{aligned}\]
ขั้นที่ 2: เข้าสูตรลิมิต
\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2 - 4x - 4h + 3) - (x^2 - 4x + 3)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2 - 4h}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (2x + h - 4) \\ &= 2x + 0 - 4 \\ &= \mathbf{2x - 4} \end{aligned}\]
Step 2: Evaluate limit
\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2 - 4x - 4h + 3) - (x^2 - 4x + 3)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2 - 4h}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (2x + h - 4) \\ &= 2x + 0 - 4 \\ &= \mathbf{2x - 4} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 9

จงหาอนุพันธ์ \(f'(x)\) ของฟังก์ชันเศษส่วน \(f(x) = \frac{1}{x}\)

Example 9

Find the derivative \(f'(x)\) of the reciprocal function \(f(x) = \frac{1}{x}\).

ขั้นที่ 1: จัดรูปเศษส่วน \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)
\[\begin{aligned} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} &= \frac{\frac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} \\ &= \frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h} \\ &= \frac{-1}{x(x+h)} \end{aligned}\]
Step 1: Find the common denominator
\[\begin{aligned} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} &= \frac{\frac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} \\ &= \frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h} \\ &= \frac{-1}{x(x+h)} \end{aligned}\]
ขั้นที่ 2: หาลิมิตเมื่อ \(h \to 0\)
\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)} \\ &= \frac{-1}{x(x+0)} \\ &= \mathbf{-\frac{1}{x^2}} \end{aligned}\]
Step 2: Apply the limit \(h \to 0\)
\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)} \\ &= \frac{-1}{x(x+0)} \\ &= \mathbf{-\frac{1}{x^2}} \end{aligned}\]
ตัวอย่างที่ 10

จงหาอนุพันธ์ \(f'(x)\) ของฟังก์ชันรากที่สอง \(f(x) = \sqrt{x}\)

Example 10

Find the derivative \(f'(x)\) of the square root function \(f(x) = \sqrt{x}\).

ขั้นที่ 1: ใช้สังยุค (Conjugate) เพื่อกำจัดเครื่องหมายราก
\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \end{aligned}\]
Step 1: Use Conjugate to rationalize the numerator
\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \end{aligned}\]
ขั้นที่ 2: ทอนค่า \(h\) และหาลิมิต
\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ &= \mathbf{\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}} \end{aligned}\]
Step 2: Simplify \(h\) and evaluate the limit
\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ &= \mathbf{\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}} \end{aligned}\]

คำศัพท์ที่น่าสนใจ / Key Vocabulary

รวมศัพท์เฉพาะทางเรื่องอนุพันธ์และอัตราการเปลี่ยนแปลง

คำศัพท์ รากศัพท์ / Root ความหมาย / Meaning
Derivative derivare (to draw from) อนุพันธ์ · ค่าที่ได้จากการหักเหหรือดึงออกมาจากฟังก์ชันเดิมเพื่อดูการเปลี่ยนแปลง
Differentiation differentia (difference) การหาอนุพันธ์ · กระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้คำนวณหาค่าอนุพันธ์
Instantaneous instans (present/immediate) ขณะใดขณะหนึ่ง · ช่วงเวลาที่สั้นมากจนเกือบเป็นศูนย์ (เสี้ยววินาที)
Tangent tangere (to touch) เส้นสัมผัส · เส้นตรงที่แตะจุดบนเส้นโค้งเพียงจุดเดียว
Secant secare (to cut) เส้นตัด · เส้นตรงที่ตัดผ่านกราฟสองจุดเพื่อหาความชันเฉลี่ย